UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

PÊNDULO SIMPLES

Turma T5

Antônio Roberto Leão da Cruz

Douglas Bispo dos Santos

Juliano Almeida Perez

Tâmara Matos dos Santos

SÃO CRISTÓVÃO

2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Relatório de laboratório apresentado à

Universidade Federal de Sergipe, Centro

de Ciências Exatas e Tecnologia,

Departamento de Física, como um dos pré-

requisitos para a conclusão da disciplina

Laboratório de Física A.

Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.

SÃO CRISTÓVÃO

2012

1. INTRODUÇÃO

Galileu Galilei foi físico, astrônomo, matemático e filósofo italiano que teve

papel muito importante na revolução científica. Galileu nasceu no ano de 1564 em

Pisa, Itália. Galileu sempre foi muito dedicado aos estudos sobre os movimentos dos

corpos, sendo ele o cientista que moldou as bases para que Isaac Newton

descrevesse as três leis que explicam os movimentos dos corpos do universo. Diz a

história que, certa vez, Galileu estava observando as oscilações de um lustre da

Catedral de Pisa quando teve a ideia de fazer medidas do tempo de oscilação.

Como naquela época ainda não haviam inventado o relógio e nem o cronômetro,

Galileu fez a contagem do tempo de oscilação comparando-o com a contagem das

batidas de seu próprio pulso. Fazendo isso ele verificou que mesmo quando as

oscilações ficavam cada vez menores o tempo delas era sempre o mesmo. Em sua

casa ele repetiu o experimento utilizando um pêndulo e novamente o resultado que

tinha obtido com a oscilação do lustre foi confirmado, e verificou ainda que o tempo

das oscilações dependiam do comprimento do fio. Com essas descobertas Galileu

sugeriu o uso de um pêndulo de comprimento padrão para fazer a medida da

pulsação de pacientes. Esse aparelho se tornou muito popular entre os médicos da

época e foi a última contribuição desse físico para a medicina, pois o estudo de

outros dispositivos mecânicos fez com que ele alterasse seu ramo profissional.

Ao realizar novos experimentos com pêndulos, Galileu verificou que o tempo

de oscilação do pêndulo não depende do peso do corpo que está preso na

extremidade do fio, ou seja, o tempo é o mesmo tanto para um corpo leve quanto

para um corpo pesado. Essa descoberta fez com que Galileu imaginasse que uma

pedra leve e outra pesada oscilando na extremidade de um fio, gastavam o mesmo

tempo para ir da posição mais alta para a posição mais baixa. Sabendo que o

movimento do pêndulo e a queda livre são causados pela ação da gravidade, Galileu

disse e comprovou, na Torre de Pisa, que se duas pedras de diferentes massas

fossem abandonadas livremente da mesma altura, ambas gastariam o mesmo

tempo para alcançar o solo. Essas conclusões eram contrárias às conclusões e

ensinamentos de Aristóteles.

Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô

que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora

causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que

estes o descrevem como um objeto de fácil previsão de movimentos e que

possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de

torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo

mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Este pêndulo

consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas

extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma:

Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza

oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam

sobre o pêndulo são a tensão sobre o fio e o peso da massa m. Desta forma:

A componente da força Peso que é dado por Pcosθ se anulará com a força de

Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a força

restauradora Psenθ. Então:

𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛𝜃 (1)

Tal força tem sinal negativo devido à sua ação de tentar manter o corpo em seu

estado inicial de repouso, no centro da trajetória descrita pelo movimento.

No entanto, o ângulo 𝜃, expresso em radianos que por definição é dado pelo

quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo

é 𝑥 e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por 𝐿, assim:

𝜃 =𝑥

𝐿

Onde ao substituirmos em 𝐹:

𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛𝑥

𝐿

Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não

descreve um MHS (Movimento Harmônico Simples), já que a força não é

proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos

pequenos, 𝜃 ≥𝜋

8𝑟𝑎𝑑, o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este

ângulo. Então, ao considerarmos os casos de pequenos ângulos de oscilação:

𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛𝑥

𝐿= −𝑃

𝑥

𝐿

𝐹 = −𝑃

𝐿𝑥 (2)

Como 𝑃 = 𝑚𝑔, e 𝑚, 𝑔 e 𝐿 são constantes neste sistema, podemos considerar que:

𝐾 =𝑃

𝐿=𝑚𝑔

𝐿

Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:

𝐹 = −𝐾𝑥 (3)

Ainda podemos desenvolver a equação 𝐹 = −𝑃𝑠𝑒𝑛𝜃 da seguinte maneira:

𝑚𝑎 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

Para 𝑎 =𝑑²(𝑥)

𝑑𝑡² e 𝑥 = 𝜃𝐿, temos:

𝑚𝑑²(𝑥)

𝑑𝑡²= −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑²(𝜃𝐿)

𝑑𝑡²= −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑²(𝜃)

𝑑𝑡²+𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐿= 0 (4)

Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para

pequenas oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS. Como para qualquer

MHS, o período é dado por:

𝑇 = 2𝜋 𝑚

𝐾

E como 𝐾 =𝑚𝑔

𝐿, então, o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:

𝑇 = 2𝜋 𝑚𝑚𝑔

𝐿

= 2𝜋 𝐿

𝑔

𝑇 = 2𝜋 𝐿

𝑔 (5)

Figura 01: Movimento de um Pêndulo Simples na prática.

2. OBJETIVOS

Estudar o movimento de um pêndulo simples;

Determinar a dependência entre o período de oscilação e o comprimento do

pêndulo simples;

Calcular o valor da aceleração da gravidade.

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes itens:

Uma esfera de aço presa a um fio de nylon;

Um eletroímã;

Uma fonte de tensão;

Um sensor óptico;

Um cronômetro digital;

Um tripé e haste de fixação para o pêndulo;

Uma chave 2 pólos/2 posições;

Uma trena;

Um micrômetro;

Um transferidor;

Uma bancada nivelada;

Um Computador com o Software SciDAVis instalado.

Segue abaixo as Figuras 02 e 03 com o esboço do experimento:

Figura 02: Modelo para o arranjo experimental.

Figura 03: Imagem captada durante a prática de um experimento de pêndulo simples.

Inicialmente, o experimento foi montado e ajustado no intuito de atender a

todas as especificações. Foi determinado o diâmetro da esfera de aço e sua

respectiva incerteza com o auxílio do micrômetro. Em seguida, foi determinado o

comprimento do fio de nylon e sua respectiva incerteza com a ajuda da trena.

Na sequência, acionamos a chave para energizar o eletroímã e levamos a

esfera às suas proximidades para que fosse fixada na posição desejada. Após a

fixação da esfera no eletroímã, utilizamos o transferidor para garantir que o ângulo

formado com a vertical estaria inferior a 15º. Logo após, desacionamos a chave e a

esfera é libertada da ação magnética do eletroímã. A esfera descreve o movimento

esperado e passa pelo sensor óptico que registra o tempo gasto da mesma para

percorrer ¼ do seu período. Em seguida, resetamos o cronômetro digital e repetimos

mais quatro vezes o mesmo procedimento, obtendo um total de cinco medidas para

o valor de ¼ do período do movimento descrito pela esfera. Repetimos os passos

anteriores para dez comprimentos de fio diferentes.

Finalmente, calculamos a incerteza de ¼ do período e de todo o período de

revolução da esfera em todos os diferentes casos mencionados anteriormente, e

ainda, montamos uma tabela organizando todos esses dados, tanto os obtidos como

os calculados.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Segue abaixo as Tabelas 1.1 e 1.2 que revelam respectivamente: Os dados

obtidos e calculados com a realização do experimento e os cálculos das incertezas

envolvidas.

Tabela 1.1

L L (m) σ B em L (m)

Ângulo (°)

Tempo (s)

t (s) σ A (s) σ B (s) σ C (s) Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5

L1 0,209 0,0005 12 0,1871 0,1786 0,1800 0,1873 0,1852 0,18364 0,0018228 0,0001 0,0018255

L2 0,24 0,0005 12 0,2121 0,2122 0,2095 0,2128 0,212 0,21172 0,00057219 0,0001 0,0005809

L3 0,3 0,0005 12 0,2361 0,2323 0,2402 0,2373 0,2328 0,23574 0,00146513 0,0001 0,0014685

L4 0,315 0,0005 12 0,2376 0,2369 0,2385 0,2387 0,2328 0,2369 0,00107471 0,0001 0,0010794

L5 0,34 0,0005 12 0,2485 0,2493 0,2459 0,2454 0,2441 0,24664 0,00097652 0,0001 0,0009816

L6 0,365 0,0005 12 0,2568 0,2569 0,2633 0,2539 0,2634 0,25886 0,00191065 0,0001 0,0019133

L7 0,398 0,0005 12 0,2733 0,2684 0,2688 0,2693 0,2669 0,26934 0,00106799 0,0001 0,0010727

L8 0,425 0,0005 12 0,2683 0,2731 0,2649 0,2609 0,2729 0,26802 0,00234657 0,0001 0,0023487

L9 0,447 0,0005 12 0,2843 0,2851 0,2708 0,2833 0,2864 0,28198 0,00284067 0,0001 0,0028424

L10 0,483 0,0005 12 0,2855 0,2895 0,2929 0,2914 0,294 0,29066 0,00149486 0,0001 0,0014982

Tabela 1.2

Resultado de t T (s) σ T (s) Resultado de T T² (s²) σ T² (s²) Resultado de T²

(0,18364 ± 0,00182) 0,73456 0,007302164 (0,73456 ± 0,00730) 0,539578394 0,010727755 (0,53958 ± 0,01073)

(0,21172 ± 0,00058) 0,84688 0,002323446 (0,84688 ± 0,00232) 0,717205734 0,003935359 (0,71720 ± 0,00393)

(0,23574 ± 0,00147) 0,94296 0,005874147 (0,94296 ± 0,00587) 0,889173562 0,011078171 (0,88917 ± 0,01108)

(0,2369 ± 0,0011) 0,9476 0,004317407 (0,9476 ± 0,0043) 0,89794576 0,008182349 (0,8979 ± 0,0082)

(0,24664 ± 0,00098) 0,98656 0,003926525 (0,98656 ± 0,00393) 0,973300634 0,007747505 (0,97330 ± 0,00775)

(0,25886 ± 0,00191) 1,03544 0,007653078 (1,03544 ± 0,00765) 1,072135994 0,015848606 (1,07213 ± 0,01585)

(0,26934 ± 0,00107) 1,07736 0,004290641 (1,07736 ± 0,00429) 1,16070457 0,00924513 (1,16070 ± 0,00924)

(0,26802 ± 0,00235) 1,07208 0,009394807 (1,07208 ± 0,00939) 1,149355526 0,02014397 (1,14935 ± 0,02014)

(0,28198 ± 0,00284) 1,12792 0,011369714 (1,12792 ± 0,01137) 1,272203526 0,025648256 (1,27220 ± 0,02565)

(0,29066 ± 0,00149) 1,16264 0,005992796 (1,16264 ± 0,00599) 1,35173177 0,013934928 (1,35173 ± 0,01393)

Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que

envolveram o experimento:

MÉDIA

𝑥−

= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo

objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.

Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.

DESVIO PADRÃO DA MEDIDA

𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝑥

−

2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,

para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.

INCERTEZA DO TIPO A

𝜎𝐴 =𝜎

𝑛

A incerteza do Tipo A utiliza conceito estatístico que se associa ao valor

médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,

quanto maior for o número de medidas envolvidas.

INCERTEZA DO TIPO B

A incerteza do tipo B ou incerteza instrumental é determinada através da

resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento

digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um

equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter

a incerteza em questão.

INCERTEZA COMBINADA

𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2

A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às

medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B.

PERÍODO DE UM MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)

𝑇 = 2𝜋 𝐿

𝑔

Elevando os dois membros ao quadrado, temos:

𝑇 2 = 2𝜋 𝐿

𝑔

2

𝑇2 = 4𝜋²𝐿

𝑔

COEFICIENTE ANGULAR DA RETA FORMADA PELO GRÁFICO L x T²

𝑎 =𝑔

4𝜋²

ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

𝑔 = 𝑎4𝜋²

PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A ACELERAÇÃO DA

GRAVIDADE

𝜎𝑔 = 𝜕𝑔

𝜕𝑎𝜎𝑎

2

= 4𝜋²𝜎𝑎 2

𝜎𝑔 = 4𝜋²𝜎𝑎

Importamos para o SciDAVis as medidas do comprimento do fio de nylon (𝐿)

e do quadrado do período de revolução da esfera (𝑇²) e montamos um gráfico de (𝐿)

x (𝑇²). A previsão teórica indica que o gráfico deve ser uma reta. Conforme a

dedução abaixo:

𝑇 = 2𝜋 𝐿

𝑔

𝑇 2 = 2𝜋 𝐿

𝑔

2

𝑇2 = 4𝜋²𝐿

𝑔

𝐿 = 𝑔𝑇²

4𝜋²

Obtivemos pontos dispersos, mas com os devidos ajustes conseguiu-se traçar uma

reta, porém, a mesma não englobou todos os pontos levados em consideração.

Diante deste resultado que o Gráfico 1 ilustra, podemos afirmar que a coleta dos

dados experimentais de alguma maneira foi afetada. Seja pelos erros aleatórios,

porque utilizamos dispositivos eletrônicos que estão sujeitos aos mesmos, e também

pelo fato de poucas amostras terem sido coletadas para as análises. Seja pelos

erros sistemáticos, que por ventura não tenham sido identificados e eliminados pela

equipe. Ou até mesmo pelos erros grosseiros, pois a natureza humana propicia tal

acontecimento.

A partir do gráfico confeccionado foi possível obter o coeficiente angular da

reta, bem como sua incerteza. Tomando a função da reta como:

𝐿 = 𝑔𝑇²

4𝜋²

E comparando com a equação genérica:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

O coeficiente angular será:

𝑎 =𝑔

4𝜋²

Após plotar o gráfico, o software SciDAVis informa automaticamente o coeficiente

angular e sua respectiva incerteza.

Foi possível calcular a aceleração da gravidade a partir do coeficiente

angular. Isolando g na equação:

𝑎 =𝑔

4𝜋²

Onde 𝑎 é o coeficiente angular da reta formada pelo gráfico L x T², teremos:

𝑔 = 𝑎4𝜋²

Propagando as incertezas na equação acima, obtemos a incerteza de g:

𝜎𝑔 = 𝜕𝑔

𝜕𝑎𝜎𝑎

2

= 4𝜋²𝜎𝑎 2

𝜎𝑔 = 4𝜋²𝜎𝑎

Abaixo se encontram o valor teórico e o valor calculado para a aceleração da

gravidade:

Aceleração da Gravidade Teórico Calculado

g (m/s²) 9,78 (13,35048572 ± 0,00066433)

Comparando-se os valores, percebemos que mesmo dentro do intervalo da

incerteza os valores não iguais. Tal fato deve-se aos erros em que o experimento foi

acometido ou exposto, como comentado anteriormente.

Podemos concluir que quanto maior for o comprimento de L maior será o

período de revolução. Podemos tirar esta conclusão porque nesse aspecto, tanto a

previsão teórica quanto os resultados obtidos indicaram o mesmo resultado, mesmo

que com certa incoerência entre os resultados. Comparando-se os valores obtidos

nas Tabelas 1.1 e 1.2, do período (T) e comprimento (L), tal conclusão fica mais

clara.

5. CONCLUSÕES

Diante do exposto, embora a dependência entre o período de revolução do

pêndulo e o seu comprimento tenha sido de certa forma comprovada, não foi

possível validar os conceitos teóricos para este experimento através dos dados

obtidos, uma vez que a reta do gráfico confeccionado não se comportou de maneira

satisfatória em relação à previsão, e o valor para a aceleração da gravidade

calculado não condiz com o valor teórico. De fato, nossas medidas contêm erros que

prejudicaram as análises acerca do experimento. Para contornar este problema,

seria necessário identificar tais erros e realizar novamente a experiência para

minimizá-los e obter resultados mais próximos do esperado.

6. BIBLIOGRAFIA

YOUNG H. D.,FREEDMAN R. A., SEARS F. W., ZEMANSKY M. W., Física,

vol. 1, ed. São Paulo, 2005.

Só Física, Pêndulo Simples, disponível em:

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php,

acesso em 18/05/2012.

Santos, Marco Aurélio da Silva, Um físico chamado Galileu Galilei, disponível

em:

http://www.mundoeducacao.com.br/fisica/um-fisico-chamado-galileu-

galilei.htm, acesso em 18/05/2012.

Pratavieira, Manoel Batista, Pêndulo Simples, disponível em:

http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pendulo/PenduloSimples_HTML.htm,

acesso em 18/05/2012.