Teorema de Transporte de Reynolds - mecflu2.usuarios.rdc...

1

Equações de Conservação

Teorema de Transporte de Reynolds

Equação de Conservação de Massa (continuidade)

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento

Linear (2a Lei de Newton)

Equação de Navier-Stokes

Equação de Energia Mecânica

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento

Angular

2

Teorema de Transporte de Reynolds

Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo

com o tempo de da grandeza grandeza específica

de uma grandeza específica no VC através da SC

de um sistema

f = grandeza específica ; r = massa específica ;

d = volume infinitesimal

d m = massa infinitesimal ; d m = r d ;

d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d

permite transformar as equações para sistema

(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)

dm = r d

sistema dm = r d

SC

VC

V2

V1

3

d m=r dA L= =r dA Vn dt

quantidade da grandeza que cruza a superfície:

f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r

fluxo líquido de massa cruzando a SC

dA

dm = r d

SC

VC

V2

V1

taxa de acumulação de uma grandeza específica

rf

f

VCVC

dt

dmt

SC

AdnV

rf

SCVCsistema

AdnVdttd

d rfrf

F

nV

V

V

Vn

Vn

Vn

4

Equação de Conservação de Massa

Sistema:

00

td

mdd

td

d

sistema

r

dm = r d

sistema

Volume de controle:

A B

Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa

da massa do volume de controle através da superfície de controle

SCVC

AdnVdt

0

rr

5

Aplicando o teorema de Leibnitz

t

a t

b t

ta t

b t

f x dx f x dx dbdt

f b dadt

f a( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

ao termo A , temos

r rt

V Ct

V C

d d . .

Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos

r r V n d A div V d

VCSC

( )

Somando A com B r

r

tdiv V d

VC

( )

0

Queremos que está equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d e

aplicando o limite d tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial,

válida para qualquer ponto

r

r

tdiv V ( )

0 ( I )

Variação da massa Fluxo líquido de massa

com o tempo por por unidade de volume

unidade de volume

A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ(

div

como r

r r

tV V

0

Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A

D t

A

tV A

variação local variação

temporal convectiva

temos

D

D tV

rr

0 ( II )

7

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas curvilíneas:

Coordenadas cilíndricas:

0

w

zv

yu

xtrrr

r

0

zr u

zu

rur

rrtrr

r

r

Equação de Conservação de Massa ou

Continuidade

0

)(div V

t

r

r0 )(div V

Dt

D r

rou0

i

i

x

u

t

)(rr

Casos Particulares1. Regime Permanente:

2. Incompressível:

0)(div V

r

0)(div V

i

jij

i

i

i

jij

i

jjijj

ii

x

eeu

x

u

tx

eeu

x

uee

tue

xe

t

)(

)()(

)()( r

rrr

rrr

r0

8

Equação de Conservação de Quantidade

de Movimento Linear (2a Lei de Newton)

tD

VDff

tD

VDdfdamF cSextext

rr

força de corpo: Cf

força volumétrica,ex: força gravitacional gf g

r

força de superfície: fff pS

9

dydzxP )(

dy

dz

dydzdxxP )( ),,( zyx

- força de pressão: força normal compressivapf

dx

k

z

Pj

y

Pi

x

Pf p

Pf p

dFp,x= P dy dz - (P dy dz + P/x dx dy dz) = - P/x d

fp,x = - P/x logo fp,y = - P/y e fp,z = - P/z

10

Força de superfície viscosa resultante na direção x

yxdzz

yxzxdyy

zxzydxx

zyF zxzxzx

yxyxyx

xxxxxxx

,

zyxzyx

F zxyxxxx

,

convençãon

n

zyxf zxyxxx

x

,

dxdz

f

força viscosa: força definida por um

tensor, em cada face possui 3 componentes, dois

tangenciais e um normal

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xx

yx

yy

y

x

z

yz

zz

xz

xy

zx

zy

11

Procedendo de forma análoga para as outras direções

zyxf zxyxxx

x

,

zyxf

zyyyxyy

,

zyxf zzyzxz

z

,

f

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxf

zyxzyxzyxf zzyzxzzyyyxyzxyxxx

12

Equação diferencial de quantidade de

movimento na forma vetorial

coordenadas cartesianas

PgρtD

VDρ

z

τ

y

τ

x

τ

z

Pgρwvuρ

z

τ

y

τ

x

τ

y

Pgρwvuρ

z

τ

y

τ

x

τ

x

Pgρwvuρ

zzyzxzzz

w

y

w

x

w

t

w

zyyyxyyz

v

y

v

x

v

t

v

zxyxxxxz

u

y

u

x

u

t

u

13

PgρtD

VDρ grad

Pgρ grad

•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso)

•Equação da Hidrostática:

Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação

adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de

deformação do elemento de fluido

Casos Particulares:

14

pode-se demonstrar pelo uso

da equação conservação de

quantidade de movimento

angular que o tensor é

simétrico

zzzyzx

zyyyyx

zxyxxx

Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos

IVVVf T

div3

2gradgraddivdivdiv= ])([

y

u

x

vxy

Vx

uxx

3

2

z

u

x

wxz

y

w

z

vyz

Vy

vyy

3

2

Vz

wzz

3

2

15

Equação de Navier-Stokes: Equação de

conservação de quantidade de movimento linear para

fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)

x

w

zx

v

yx

u

xz

u

zy

u

yx

u

x

z

w

y

v

x

u

xxz

u

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

rr

3

2

y

w

zy

v

yy

u

xz

v

zyv

yx

v

x

z

w

y

v

x

u

yyz

v

y

v

x

v

t

v

y

pgwvu

rr

3

2

z

w

zz

v

yz

u

xz

w

zy

w

yx

w

x

z

w

y

v

x

u

zzz

w

y

w

x

w

t

w

z

pgwvu

rr

3

2

16

A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa

específica e a viscosidade foram constante

A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos

incompressíveis

A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante

0 V

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wzz

w

y

w

x

w

t

w

z

v

y

v

x

vyz

v

y

v

x

v

t

v

z

u

y

u

x

uxz

u

y

u

x

u

t

u

μz

Pgρwvuρ

μy

Pgρwvuρ

μx

Pgρwvuρ

Navier-Stokes (propriedades constantes) VμPgρtD

VDρ 2

coordenadas cartesianas

Vμf 2

17

Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas

2z

2

22z

2

zzzz

2θ

2

22θ

2

θθθθ

2r

2

22r

2

rrrr

z

u

θr

uz

zz

uzθr

uθr

urt

u

r2z

u

θr

u

2θθ

θθr

z

uzθr

uθr

urt

u

θ2z

u

θr

u

2rr

r

2θ

z

uzθr

uθr

urt

u

r

ur

rr

1μ

z

Pgρuuuρ

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

θr

Pgρ

r

uuuuuρ

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

r

Pgρ

r

uuuuρ

Direção

radial

Direção

angular

Direção

axial

Equação da Vorticidade

18

Tensor vorticidade

TVV )(W

2

1

V

2

1 = ex x+ ey y+ ez z vetor vorticidade

0

0

0

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

xy

xz

yz

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

W

Equação da Vorticidade

Uma característica essencial do escoamento turbulento é que estes

devem ser rotacionais, isto é a vorticidade é não nula. A vorticidade

é definida pelo rotacional do vetor velocidade

sendo igual a duas vezes a rotação do elemento de fluido.

Em notação indicial

onde

símbolo de permutação (símbolo Levi-Civita)

19

V

kijk

i

j

jji

i

kk ex

ueue

xe

kijkji eee sendo

contráriocaso0

cíclicosantisão1

cíclicossão1

),,(

),,(

),,(

kjise

kjise

kjise

ijk

A equação para a vorticidade pode ser derivada,

aplicando o rotacional na equação de Navier-Stokes

resultando em

A equação para a evolução de um elemento de linha

material infinitesimal é

Comparando as duas últimas equações, observa-se que para um

escoamento não viscoso, o vetor vorticidade se comporta da

mesma forma que um elemento de linha material infinitesimal

(teorema de Helmholtz)

20

VPtD

VD

21

r

VtD

D

2

Vstd

sd

21

Equação de Energia Mecânica

A energia mecânica de um sistema não se conserva, porém esta

equação é muito útil em diversas situações.

Pode ser obtida através do produto escalar do vetor velocidade com

a equação de conservação de quantidade de movimento linear

τPgVtD

VDV

rr

ii VVVVouVVVV

22

VVV

tVV

t

VV

tD

VDV

22

2

1

2

1rrr

rr

VPVPPV

VVV

:

VVt

VV

tVVV

t

V

tD

VD

decontinuidazero

rr

rr

rr

])([

Obs: (1)

(2)

Então, operando o produto escalar

22

jiijklijjkilklijkjlilklkjiji eeeeeeee :τ:σ

Produto escalar de dois tensores (produto duplo):

VVVVV T

:])([: 3

2

Para fluido Newtoniano

j

iij

k

k

i

j

j

i

x

u

x

u

x

u

x

uV

F

3

2:

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

k

k

j

i

i

j

j

i

j

i

3

2F

F é sempre positivo, é a

função dissipação

22

3

2

2

1

k

k

i

j

j

i

x

u

x

u

x

uF

Para fluidos Não-newtonianos pode ser negativoV

:

23

Equação de Energia Cinética

internaenergia

asívelirreverconversão

detaxa

viscosasforças

adevidotrabalho

detaxa

internaenergiaareversívelconversão

detaxa

pressãoadevido

trabalhodetaxa

cionalgravitaforça

adevidotrabalho

detaxa

cinéticaenergia

delíquidofluxo

cinéticaenergia

deaumentodetaxa

VVVPVPgVVVVt

:)( rrr 22

2

1

2

1

pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido está

sofrendo expansão ou compressão. As mudanças de temperatura

podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presença de

ondas de choque.

é sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode

ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de

velocidades elevados, como ocorre em lubrificação, extrusão rápida

e vôos de alta velocidade.

VP

V

:

24

Equação de Energia Mecânica

Trabalhando o termo podemos rescrever a equação para

a soma da energia cinética e potencial, gerando a equação de

energia mecânica

Introduzindo a definição de energia potencial potencial por unidade

de massa Y, definida com , temos que

gV

r

tV

tV

VVVgV

)()()(

)()(

YrYr

rYYr

rYYrYrr

Yg

VVVPVPVVVt

:)())( YrrYrr 22

2

1

2

1

25

Equação de Conservação de Quantidade

de Movimento Angular

Esta equação pode ser obtida com o produto vetorial do vetor

posição r com a equação de conservação de quantidade de

movimento linear

τPgrVVt

Vr

rr

r

]:[ε][I][][][

rrr

rPrgrVrV

t

Vr

é o tensor de 3ª. ordem com componentes ijk (símbolo de

permutação)

diferentes

foremíndicesdoisquaisquerse

ijkse

ijkseijk

0

213ou1323211

312ou2311231

,

,

26

kjiijk wve wv

Produto vetorial de dois vetores:

Produto vetorial de um vetor e tensor:

321

321

321

www

vvv

eee

detwv

jkiijlklkjkjii rrr eeeee

Se é simétrico:

não existe conversão de momentum angular macroscópico em

momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se

conservam separadamente.

0]:[ε

27

CONDIÇÕES EM INTERFACES

Balanço de massa

Fluxo de massa na interface, devido a mudança de fase

Para obter o componente normal, vamos considerar que a interface pode ser

definida por S(x, t)=0

Em t=t+dt, ainda temos S(x + vi dt, t+dt)=0

Logo, usando uma expansão em série de Taylor 00

SemS

t

Siv

S

S

nO unitário normal de fluido 1 S< 0 fluido 2 S > 0

t

S

Sini

1nvv

nvunvu )()( i22i11 ρρm

m

n1=-n2

vi= vti + vniVelocidade da interface

vti = vsi Componente tangencial = componente

tangencial da superfície

28

CONDIÇÕES EM INTERFACES

Para superfície sólida, impermeável = 0m ivnun

00

SemS

t

Su

Condição de contorno cinemática

Superfícies sólidas para escoamento viscoso: condição de não deslizamento

00 Semi )v(un

Esta expressão não se aplica, quando existe movimento da linha de contato, porém,

ainda não existem modelos bem definidos para essas situações

0 SemivuParedes impermeáveis

Para a interface entre dois fluidos 021 )u(un

021 SemuuNa ausência de mudança de fase

29

CONDIÇÕES EM INTERFACES

Balanço de quantidade de movimento

(I – n n) é a projeção do plano tangente à interface

Tangencial:

nnIuun)σ(σ )( 1212 m

n1=-n2k é a curvatura nk é a tensão superficial

Decompondo nas partes normais e tangencias

k )( 121212 uun)τ(τn mpp

Ip

Normal:

nnIn)τ(τn 12

nnnI k

30

CONDIÇÕES DE CONTORNO

Interface fluido-sólido: a velocidade do líquido é igual a

velocidade do sólido

condição de não deslizamento: velocidades tangenciais iguais

condição de impenetrabilidade: velocidades normais iguais

Interface plana líquido-líquido: as velocidades e tensões são

contínuas através da interface

Interface plana líquido-gás: a tensão cisalhante é nula na

interface, uma vez que os gradientes do lado do gás são pequenos.

Esta é uma boa aproximação porque gases << liquidos.

Quando as interfaces líquido-liquido ou líquido-gás são

curvas, a tensão normal não é mais contínua através da

interface, e a tensão superficial torna-se importante

31

ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos

determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e

sustentação.

Região afetada pela

presença do corpo

CAMADA LIMITE

Fora da camada limite, o

escoamento não é afetado

pela presença do corpo

forças viscosas não são

importantes

Quando o escoamento na camada limite é

desacelerado devido a uma diferença de

pressão, pode ocorrer uma reversão do

escoamento e a camada limite separa-se da

superfície do corpo, formando a esteira

ESCOAMENTOS EXTERNOS

A velocidade característica é a velocidade de

aproximação do corpo U

A dimensão característica é o comprimento do corpo

na direção do escoamento, L

32

r LURe O número de Reynolds que caracteriza a

transição neste caso é

Re 5 x 105 laminar

Re > 5 x 105 turbulento

33

ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos

buscar a relação entre vazão e queda de pressão.

• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o

escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia

linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro

dinâmicamente desenvolvido.

• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo

comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos

externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a região de

entrada de uma tubulação.

34

ESCOAMENTOS INTERNOS

Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente

desenvolvido.

A velocidade característica é a velocidade média um

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

A4D

At é a área transversal do

escoamento e Pm é o perímetro

molhado, o fator 4 é introduzido por

conveniência.

r hm DuRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re 2300 laminar

Re > 2300 turbulento