Estudo de caso: o professor de Matemática e o ensino de funções reais

UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA

EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS

FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA

Andréa Thees

Orientador: Prof. Drº Wanderley Rezende

NITERÓI2009

COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES NA EDUCAÇÃO BÁSICA?

Alguns sintomas...

Pesquisas sobre o ensino de Cálculo revelam um primeiro sintoma

Botelho e Sá apontam o segundo sintoma ao realizarem um mapeamento de livros didáticos

COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES NA EDUCAÇÃO BÁSICA?

Por outro lado...

(Caraça) Resgatando o conceito de função através de interdependência e fluência

“O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo” (Caraça, (1942)

Recomendações dos PCN’s: o imprescindível estudo da variabilidade

“Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática.” (Brasil, 1997)

A PERGUNTA

Como os professores de matemática da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao

comportamento variacional das funções afim e quadrática na resolução de problemas?

A MONOGRAFIA

Capítulo 1 – O Problema

Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função

CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS

Função afim Nicolau de Oresme (1323-1382)

Algumas representações gráficas de Oresme para o movimento e, ao lado, uma representação gráfica para o Teorema de Merton.

O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos escolásticos e Galileu.

CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS

Função quadrática Galileu Galilei (1564-1642)

O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos escolásticos e Galileu.

“(...) o espaço percorrido pelo

corpo é diretamente proporcional ao

quadrado do tempo usado para

percorrer este espaço.”

© Istituto e Museo di Storia della Scienza

MAS AFINAL, O QUE SABIA GALILEU?

Galileu empreendeu sua explicação acerca dos fenômenos do movimento, utilizando os saberes acumulados em seu

tempo. Esses conhecimentos, que são anteriores ao Cálculo, também estão presentes no conteúdo programático da

educação básica.

A MONOGRAFIA

Capítulo 1 – O Problema

Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função

Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática

A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICAFunção afim

Função quadrática

Rezende, (2008) Galileu e as Novas Tecnologias no Estudo das Funções Reais no Ensino Básico. IVº Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro.

Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C., A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. volume 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

A MONOGRAFIA

Capítulo 1 – O Problema

Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função

Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática

Capítulo 4 – A Pesquisa

A PESQUISA

Grupos pesquisados Grupo A 31º Encontro do Projeto Fundão – UFRJ

Grupo B 5º Encontro Sul Fluminense de Ed. Matemática (5º ESFEM) – USS

Grupo C Turma de Especialização Matemática para Prof. Ens. Fund. e Médioda Universidade Federal Fluminense – UFF

Grupo D 1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) – FFP/UERJ

Metodologia: pesquisa de campo – o estudo de caso

Sujeitos da pesquisa

INSTRUMENTOS DA PESQUISA

Questionário informativo

INSTRUMENTOS DA PESQUISA

Atividades propostas

INSTRUMENTOS DA PESQUISA

Atividades propostas

INSTRUMENTOS DA PESQUISA

Atividades propostas

INSTRUMENTOS DA PESQUISA

Atividades propostas

INSTRUMENTOS DA PESQUISA

Formulário de avaliação

80% dos p

articipantes

que atuam como

professores d

ão aulas

no Ensino M

édio

RESULTADOS DA PESQUISAQuestionário informativo

Classificação das atividades propostas

RESULTADOS DA PESQUISA

Respostas Qtde.

Corretas 83

Incorretas 113

Em branco (EB) 51

Não finalizadas (NF) 8

Resoluções incongruentes (RI) 9

Total geral 264

Todos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta ResumidaTodos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta Resumida

Análise das resoluções das atividades propostas

RESULTADOS DA PESQUISA

Resoluções incorretas, em branco, não finalizadas ou incongruentes: 181 – 68%

Todos os Grupos x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas

QUESTÃO 1Respostas Qtde.Corretas do tipo 1 (C1) 6Corretas do tipo 2 (C2) 22Corretas do tipo 3 (C3) 5Corretas do tipo 4 (C4) 18Subtotal Corretas 51Incorretas do tipo 1 (I1) 3Incorretas do tipo 2 (I2) 8Subtotal Incorretas 11Em branco (EB) 2Não finalizadas (NF) 1

Resoluções incongruentes (RI) 1Total geral 66

Alto índice de resoluções corretas do tipo C1 e C2.

Relação entre Δs e Δt

Divisão do tempo em

partes proporcionais

23%

77%

Todos os Grupos x Questão 2 x Categoria de Respostas Classificadas

QUESTÃO 2Respostas Qtde.Corretas do tipo 1 (C1) 1Subtotal Corretas 1Incorretas do tipo 1 (I1) 36Incorretas do tipo 2 (I2) 8Incorretas do tipo 3 (I3) 4Incorretas do tipo 4 (I4) 1Subtotal Incorretas 49Em branco (EB) 11Não finalizadas (NF) 4

Resoluções incongruentes (RI) 1Total geral 66

Apenas uma resolução correta Alto índice de resoluções incorretas do tipo I1.

Regra de três simples entre Δs e Δt

98,5%

Todos os Grupos x Questão 3 x Categoria de Respostas Classificadas

QUESTÃO 3

Respostas Qtde.

Corretas do tipo 1 (C1) 5Corretas do tipo 2 (C2) 26Subtotal Corretas 31Incorretas do tipo 1 (I1) 1Incorretas do tipo 2 (I2) 4Incorretas do tipo 3 (I3) 12Incorretas do tipo 4 (I4) 2Incorretas do tipo 5 (I5) 1Incorretas do tipo 6 (I6) 2Incorretas do tipo 7 (I7) 2Subtotal Incorretas 24Em branco (EB) 9Não finalizadas (NF) 1Resoluções incongruentes (RI) 1Total geral 66

A grande maioria das resoluções corretas são do tipo C2.

50% das resoluções incorretas são do tipo I3.

Regra de três simples entre

ΔC e ΔN

Regra de três simples entre ºC e ºN

53%

Todos os Grupos x Questão 4 x Categoria de Respostas Classificadas

QUESTÃO 4

Respostas Qtde.

Incorretas do tipo 1 (I1) 5Incorretas do tipo 2 (I2) 21Incorretas do tipo 3 (I3) 3Subtotal Incorretas 29Em branco (EB) 29Não finalizadas (NF) 2Resoluções incongruentes (RI) 6Total geral 66

Nenhum participante apresentou uma solução correta para esta questão.

Alto índice de resoluções incorretas do tipo I2.

Regra de três simples entre

Δn e Δt

Por Grupo x Questão 1 x Categoria de Resposta Classificada

• Total de resoluções corretas, nos quatro grupos pesquisados, está entre 70% e 80%.

• Maior ocorrência das resoluções corretas do tipo 4 (utilização da função afim) no grupo C (50%), e as corretas do tipo 2 (divisão do tempo em partes proporcionais) no grupo D (59%).

• Resolução do tipo 3 (regra de três entre Δs e Δt), encontradas apenas no grupo A.

Por Grupo x Questão 2 x Categoria de Resposta Classificada

• Predominância da resolução incorreta do tipo 1 (regra de três simples entre Δs e Δt), principalmente nos grupos A e D.

• Alto índice de resoluções deixadas em branco nos grupos B, C e D.

Por Grupo x Questão 3 x Categoria de Resposta Classificada

• Predominância das resoluções corretas do tipo 2 (regra de três entre ΔC e ΔN) entre os participantes dos 4 grupos pesquisados.

• Entre os participantes dos grupos B, C e D, prevalece a resolução incorreta do tipo 3 (regra de três entre ºN e ºC).

Por Grupo x Questão 4 x Categoria de Resposta Classificada

• Prevalece a resolução incorreta do tipo 2 (regra de três simples entre Δn e Δt) nos grupos A, B e D e a resolução incorreta do tipo 3 (regra de três simples entre n e t) no grupo C.

• Alto índice de resoluções deixadas em branco, principalmente no grupo B.

A idéia proposta (estudo da variabilidade das funções afim e quadrática) foi compreendida por todos os participantes e o estudo proposto foi considerado relevante para a formação do aluno da educação básica, pois:

“Mostra a função de uma forma diferente, sem ser aquela situação estática, só gráfico.”

“A dificuldade dos alunos em funções sem dar sua lei de formação é enorme.”

82% dos participantes do minicurso ministrado na 1ª JORMAT, implementariam esta sequência didática para desenvolver o estudo da variação das funções e concordam que o “aluno mediano” teria capacidade de assimilar o conteúdo apresentado.

Os 18% também concordam, mas parcialmente, e deram as seguintes justificativas:

“Apresentarei outras maneiras também.”

“Depende daquilo que interpreto como aluno mediano. Depende da realidade em que a sala de aula se apresenta (nas relações professor x aluno x escola).”

Formulário de avaliação

RESULTADOS DA PESQUISA

Comentários de maior destaque sobre quais elementos foram agregados à formação dos participantes após o minicurso:

“A questão da ordem da PA ter influência no grau da função.”

“Novos métodos para interpretação das funções.”

“Muitos conhecimentos que até então nunca tinha ouvido falar.”

“Agregou pois vi que, mesmo com problemas elementares, ainda errei a questão por falta de atenção e conhecimento suficiente.”

“Acrescentou bastante, pois estou cursando licenciatura em Matemática e acho completamente importante que os alunos compreendam o ensino como uma coisa muito importante para suas vidas. Esse minicurso ajudou para que todos nós possamos tentar passar o ensino de função de maneira mais simples, mais fácil.”

Formulário de avaliação

RESULTADOS DA PESQUISA

Conclusões Parciais da Pesquisa

Dificuldade em perceber o tipo de função que deve ser usado para modelar o problema;

Predominância do modelo linear na resolução das atividades;

Transferência de propriedades do modelo matemático linear para o modelo de função afim não-linear;

Falta de conhecimento do comportamento variacional da função quadrática.

RESULTADOS DA PESQUISA

A MONOGRAFIA

Capítulo 1 – O Problema

Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função

Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática

Capítulo 4 – A Pesquisa

Capítulo 5 – Considerações Gerais

CONSIDERAÇÕES GERAIS

Os professores não estão sendo preparados para ensinar funções na educação básica;

Conscientes disso, anseiam por uma formação continuada que compense o que não está sendo ensinado na graduação;

Existe o interesse por novos métodos de ensino que os ajudem a ensinar o conceito de função de forma mais simples e concreta, com menos definições e decorebas.

Esperamos ter contribuído para uma reflexão sobre a necessidade de orientar o professor, na medida em que ele é o agente transformador, é aquele que faz acontecer ou não na sala de aula.

CONTRIBUIÇÃO

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA