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Teoria de Números Complexos
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NÚMEROS COMPLEXOS
Prof. Marcelo Renato 2009
AULA 01 – MÓDULO 1AULA 01 – MÓDULO 1
1. INTRODUÇÃO
Resolvendo a equação x2 – 4 x + 5 = 0, utilizando a fórmula de Bháskara,
Vamos calcular o delta ...
Sabemos que, neste caso, NÃO EXISTEM RAÍZES REAIS!
Sabemos, também, que a equação
é de grau 2 e, portanto, tem 2 raízes, certo?
VAMOS APRENDER COMO LIDAR COM ESSE TIPO DE NÚMERO!
... iremos conhecer o Conjunto dos Números Complexos.
Prof. Marcelo Renato 2009
O CONJUNTO
C
O conjunto C representa os números Complexos;
O conjunto ( C – R ) representa os números Complexos Imaginários (Complexos não-Reais);
Todo número real é complexo, entretanto, nem todo número complexo é real;
Como no conjunto dos números reais não existem números na forma
foi criado o conjunto “ C ”, para abrigar tais “números”:
O conjunto R representa os números Complexos Reais e é subconjunto de C ;
C
(C – R)
QN Z
R
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Exemplo: Resolva a equação no campo dos números complexos.
Resposta: S = { 1 – i ; 1 + i }
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3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:
biaz +=
,IRb,a ∈
( )
∈+=
∈+=
real)(númeroIRm,0.i)(mz
puro)o(imaginári*IRk,k.i0z
2
1
onde
“a” é a parte real do complexo “z” e “b” é sua parte imaginária .
3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:
biaz +=
Exemplos: z1 = 2 + 3.i ; z2 = – 1 + i ; z3 = 5.i
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4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
4.1. Igualdade de números complexos:
4.2. Adição / Subtração:
A operação de multiplicação de dois números complexos ocorre de acordo
1i2
−=
Resolução: )i2()i31(zz
21+⋅+−=⋅
i55zz
21+−=⋅
Exemplo: Sendo os números complexos e , calcule 21
zz ⋅)i31(z1
+−= )i2(z2
+=
devemos lembrar que
com a regra de multiplicação de binômios, entretanto,
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4.4. Conjugado:
"ibaz" += ibaz −=O conjugado do complexo , a e b reais, é o complexo
Exemplo: i3z24z −=−Determine C, tal que ∈z
Resolução:
Fazendo-se z = a + b.i biaz −= , teremos:
i3)i.ba.(24bia −+=−−
i).3b2()a2(i).b()4a( −+=−+−
−=−=−
b3b2a24a
1be4a =−=
i4z +−=
Inverte-se o sinal
da parte imaginária
e
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DIVISÃO DE COMPLEXOS
2
1
z
z0z
2≠
22
21
2
1
zz
zz
z
z
⋅
⋅=
i1zei.31z21
−=+=2
1
z
z
i21z
z
2
1 +−=
4.5. DIVISÃO DE COMPLEXOS:
Exemplo: Sendo os números complexos , calcule o valor de
Resolução:
Para efetuarmos a divisão de dois números complexos ,
num procedimento semelhante à operação
de racionalização de denominadores, ou seja:
utilizaremos o conjugado do denominador
2
1
z
z
)i1()i1(
)i1()i31(
+×−+×+= =⇒
2
1
z
z22
2
)i()1(
)i.(3i41
−
++=⇒
2
1
z
z
)1(1
)1.(3i41
−−−++
2
i42
z
z
2
1 +−=
i1
i31
z
z
2
1
−+=
Sendo o denominadorna forma ( a + b.i ), com b ≠ 0.
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POR QUAL MOTIVO ?
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5. POTÊNCIAS DE “ i ”
)INn(in ∈
4n ≥
Os resultados de , com o expoente “n” variando,
Para o cálculo da potência I n , com “n” inteiro e
se repetem com um período de quatro.
divide-se n por 4, obtendo-se resto inteiro “r”.
Tem-se então rnii =
,
5. POTÊNCIAS DE “ i ”
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a) Calcular i 10
b) Calcular i 53
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Observação:
6. PLANO DE ARGAND-GAUSS:
Parte Real
Parte Imaginária
Argumento
Módulo
Afixo
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6. PLANO DE ARGAND-GAUSS (PLANO COMPLEXO)
A cada número complexo z = a + b.i
denominado afixo do complexo z.
6.1. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O módulo | z | do número complexo z = a + b.i
é a distância do afixo (a,b) ao ponto (0,0) do plano de Argand-Gauss.
22bazi.baz +=⇒+=
vamos associar o ponto do plano complexo
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6.2. ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Denomina-se argumento do complexo, não-nulo, z = a + b.i
a medida do ângulo ,θ formado pelo segmento de reta P0
medido no sentido anti-horário,
com o eixo real,
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7. FORMA TRIGONOMÉTRICA (OU POLAR) DE UM NÚMERO COMPLEXO
A forma trigonométrica de z será: )sen.i.(cos|z|z θθ +=
Exemplo 1:
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Para passar um número complexo da forma algébrica para a forma trigonométrica devemos proceder da seguinte maneira:
1º passo: Representar o complexo no plano de Argand-Gauss
3º passo:
2º passo: Calcular o módulo e o argumento de z;
Escrever z na forma
Observação: Este tópico será estudado detalhadamente no módulo 02.
Observação-3:
Parte imaginária de zIm(z)
Parte Real de zRe(z)
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ARCO CUJA TANGENTE VALE
8. TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS NÃO REAIS, ou seja, (a + b.i) com b ≠ 0
8. TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS NÃO REAIS
Se um número complexo z = a + b.i, com b ≠ 0,
é raiz de uma equação COM COEFICIENTES REAIS,
então seu conjugado i.baz −= também é raiz dessa equação.
Exemplo: (PUC-SP) Resolva a equação 3x3 – 7x2 + 8x – 2 = 0, sabendo que uma de suas raízes é 1 – i.
Utilizando a relação de Girard correspondente à soma das raízes da equação:
Resposta:
Resolução:
Como a equação possui coeficientes reais, “(1 + i)” também é raiz da equação.
São raízes da equação:
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ESTE FOI O 1º MÓDULO DE NÚMEROS COMPLEXOS
VERIFIQUE SE OS EXERCÍCIOS
JÁ ESTÃO DISPONÍVEIS NO SITE
http://www.marcelorenato.com.br
DEPOIS DE EXERCITAR (OBJETIVAS E DISCURSIVAS),
INICIE O 2º MÓDULO DE NÚMEROS COMPLEXOS ...
TENHO CERTEZA QUE VOCÊ PODE MUITO MAIS !
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