âNgulos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso 01072009

Ângulos autor Antonio Carlos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS        Duas semi-retas que não estejam

contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas

regiões: uma convexa e outra não-convexa.       Cada uma dessas regiões, junto com

as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

Cont.

Definição.

     Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

     O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

Cont.

Ângulos Observe agora dois casos em que as

semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

 As semi-retas  coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

As semi-retas não coincidem. ângulos rasos ou de meia- volta.

Cont.

Ângulo é duas semi-retas que têm a mesma origem.

MEDIDA DE UM ÂNGULO           A medida de um ângulo é dada pela

medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

          Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

O transferidor

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos

Unidades.

O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

                            1º=60' O segundo corresponde a do minuto. Indica-se

um segundo por 1''.                             1'=60''Logo, podemos

concluir que: 1º  =  60'.60 = 3.600''Quando um ângulo é

medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Ângulos.

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a seqüência O centro O do transferidor deve ser colocado

sobre o vértice do ângulo. A linha horizontal que passa pelo centro deve

coincidir com uma das semi-retas do ângulo . Verificamos a medida da escala em que passa

a outra semi-reta .

Leitura de um Ângulo.

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

                                      15º               (lê-se "15 graus'')                                       45º50'          (lê-se ''45 graus e 50

minutos'')                                      30º48'36''     (lê-se ''30 graus, 48 minutos

e 36 segundos'') Observações Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem

ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.

Ângulo agudos

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução.

       Medida de AÔB = x Medida de BÔC = 105º Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo

raso, temos:               m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)                                    x + 105º = 180º                                              x   = 180º - 105º                                              x   = 75º Logo, a medida de AÔB é 75º.

Determine a medida do ângulo não-convexo na figura:

Solução.

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º x = 360º - 50º x = 310º Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

Construção.

Ângulos Como construir um ângulo utilizando

o transferidor Observe a seqüência utilizada na

construção de um ângulo de 50º: Traçamos uma semi-reta .

Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).

Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Cont.

Cont.

Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º  são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.

Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transforme 30º em minutos. Solução Sendo 1º = 60', temos:                 30º = 30 . 60'= 1.800 'Logo, 30º = 1.800

Cont.

Transforme 5º35' em minutos. Solução                 5º = 5 . 60' = 300'                 300' +  35'= 335' Logo, 5º35'= 335'.

Cont.

transforme 8º em segundos. Solução Sendo 1º = 60', temos:                8º = 8 . 60'= 480 'Sendo 1'= 60'', temos:                 480'= 480 . 60'' = 28.800'' Logo, 8º = 28.800''.

Cont.

Transforme 3º35' em segundos. Solução                 3º = 3 . 60'= 180'                 180' +  35' = 215'                 215' .  60''  = 12.900'' Logo, 3º35'= 12.900''

Cont.

Transforme 2º20'40'' em segundos. Solução                  2º = 2 . 60' = 120'                  120' + 20'  = 140'                   140'. 60''= 8.400''                   8.400'' + 40'' = 8.440'' Logo, 2º20'40'' = 8.440''

Cont.

Ângulos Transformando uma medida de

ângulo em número misto Transforme 130' em graus e minutos. Solução                

Solução:

Transforme 150'' em minutos e segundos.

Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos

Medidas fracionárias de um ângulo

Transforme 24,5º em graus e minutos. solução                  0,5º  = 0,5 . 60' = 30'                  24,5º= 24º + 0,5º = 24º30' Logo, 24,5º = 24º30'.

    Transforme 45º36' em graus. solução                      60'   1º                      36'   x                                                                           x = 0,6º  (lê-se ''seis décimos de

grau'') Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

Transforme 5'54''  em minutos

Solução                    60''  1'                    54''  x                                                            x = 0,9' 

( lê-se ''nove décimos de minuto'') Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS.

Cont.

Subtração

90º  -  35º49'46''

80º48'30''  -  70º58'55''

Multiplicação por um número natural

5 . ( 12º36'40'')

Divisão por um número natural

( 45º20' ) : 4

( 50º17'30'' ) : 6

ÂNGULOS CONGRUENTES

Cont.

  Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma

medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação

Cont.

                          Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. 

ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Os ângulos AÔC  e CÔB possuem: Vértice comum: OLado comum:  

Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: OLado comum:  

Os ângulos CÔB  e AÔB possuem: Vértice comum: OLado comum:

ÂNGULOS ADJACENTES

Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns

Cont.

Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns

Cont.

Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns

Definição:

     Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

 Duas retas concorrentes

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Cont.

Verifique que a semi-reta  divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.

Nesse caso, a semi-reta  é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Definição.

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Construção com o uso do compasso.

Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas

,

Cont.

Cont.

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C  a D traçamos arcos que se cruzam em E. Em seguida

Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.

Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

RETAS PERPENDICULARES 

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:  

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

          Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

          Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Complemento.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Resolva.

Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução Medida do complemento = 90º - medida do

ângulo Medida do complemento = 90º - 75º Medida do complemento = 15º Logo, a medida do complemento do ângulo de

75º é 15º.  

Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares

Observe os ângulos AÔB e BÔC  na figura abaixo: ÂNGULOS SUPLEMENTARES

OPV.

Resolva.

Cont.

x + 60º  = 3x - 40º  ângulos o.p.v          x - 3x    = - 40º - 60º           -2x       =  - 100º               x       = 50º Logo, o valor de x é 50º

Antonio Carlos Carneiro Barroso Professor de Matemática Graduado pela UFBA Pós graduado em Metodologia e Didática Trabalho no Colégio Estadual Dinah

Gonçalves em Valéria Salvador –Bahia Meu blog

http://ensinodematemtica.blogspot.com Salvador 01/07/2009