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Matemática I

Profª Ms. Karine R. de Souza

AULA 6

Quadrado da soma de dois termos: (a + b)²

O produto (a + b)(a + b) = (a + b)² é chamado de produto notável, pois aparece com frequência no cálculo algébrico.

O quadrado da soma de dois termos é igual

Pela regra prática: (a + b)² =

1º termo

2º termo

ao quadrado do 1º termo,

a²

mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º,

+ 2 . ab

mais o quadrado do 2º.

+ b²

Pela propriedade distributiva:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução.

Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado da soma de dois termos desconhecidos geometricamente.

a² ab

ab

b²

Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a área do quadrado maior , a², mais duas vezes a área do retângulo, ou seja, 2ab, mais a área do quadrado menor, b².

(a + b)² = a² + 2. ab + b²

a

b

a b

(a + b)(a + b) = (a + b)²

Exemplos:

(2x + 6)² = (2x)² + 2 * 2x * 6 + (6)² = 4x² + 24x + 36 

(9x + 5) = (9x)² + 2 * 9x * 5 + (5)² = 81x² + 90x + 25 

(4x² + 3) = (4x²)² + 2 * 4x² * 3 + (3)² = 16x^4 + 24x² + 9 

(12x + 6y)² = (12x)² + 2 * 12x * 6y + (6y)² = 144x² + 144xy + 36y² 

(10x³ + x)² = (10x³)² + 2 * 10x³ * x + (x)² = 100x^6 + 20x^4 + x² 

O produto (a - b)(a - b) = (a - b)² é chamado de produto notável, pois aparece com frequência no cálculo algébrico.

Pela propriedade distributiva:

(a - b)(a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²

Pela regra prática:

1º termo

2º termo

a² - 2 . ab

+ b²

O quadrado da diferença de dois termos é igual

ao quadrado do 1º termo,

menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º,

mais o quadrado do 2º.

(a - b)² =

Observe que a área do quadrado de lado (a - b) vermelho pode ser obtida subtraindo a área dos dois retângulos azuis e a área do quadrado amarelo . Ou seja:

a

ab

b

(a – b)

(a – b) (a – b)²

b(a – b)

b(a – b)

b²

a² - b . (a – b)

- b . (a – b)

- b² = (a – b)²

(7x – 8)² = (7x)² – 2 * 7x * 8 + (8)² = 49x² – 112x + 64 

(3x – 4)² = (3x)² – 2 * 3x * 4 + (4)² = 9x² – 24x + 16 

(6y – 5)² = (6y)² – 2 * 6y * 5 + (5)² = 36y² – 60y + 25 

(8a – 7b)² = (8a)² – 2 * 8a * 7b + (7b)² = 64a² – 112ab + 49b² 

(12z – 3)² = (12z)² – 2 * 12z * 3 + (3)² = 144z² – 72z + 9

O produto (a + b)(a - b) = a² - b² é chamado de produto notável, pois

aparece com bastante frequência no cálculo algébrico.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual

Pela propriedade distributiva:

(a + b)(a -b) = a² - ab + ba - b² = a² - b²

Pela regra prática: (a + b).(a – b) =

ao quadrado do 1º termo, menos o quadrado do 2º termo.

a² - b²

1º termo

2º termo

Considere um retângulo de lados com medida (a + b) e (a – b).

A área do retângulo laranja é

(a + b) . (a – b)a

b

a b

(a - b)

(a + b)

ab

b

a

A área da figura obtida pode ser expressa por a² - b²

(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b² Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam. 

(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16 

(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36 

(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x^6 – 144 

(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x²