Verso preliminar10 de setembro de 200209. SISTEMA DE PARTCULAS........................................................................................ 2O CENTRO DE MASSA.......................................................................................................... 2Sistema de partculas - Uma dimenso ........................................................................ 2Sistema de partculas - Duas dimenses...................................................................... 3Sistema de partculas - Trs dimenses....................................................................... 3Corpos rgidos............................................................................................................... 4MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA...................................................................................... 5MOMENTO LINEAR DE UMA PARTCULA .................................................................................. 6MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTCULAS ................................................................ 6CONSERVAO DO MOMENTO LINEAR................................................................................... 7SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 82.................................................................................................................................... 83.................................................................................................................................... 83A.................................................................................................................................. 94.................................................................................................................................. 107.................................................................................................................................. 108.................................................................................................................................. 1215................................................................................................................................ 1317................................................................................................................................ 1318................................................................................................................................ 1521................................................................................................................................ 1522................................................................................................................................ 1730................................................................................................................................ 1834................................................................................................................................ 1937................................................................................................................................ 20Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br209. Sistema de partculasO centro de massaMesmoquandoumcorpogiraouvibra,existeumpontonessecorpo,chamadocentro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma nica part-cula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de foras que ele.Ainda que o sistema no seja um corpo rgido mas um conjunto de partculas, podeser definido para ele um centro de massa, como veremos adiante.Sistema de partculas - Uma dimensoVamosdefinirinicialmenteaposioxCMdocentrodemassaparaumsistemacomposto de duas partculas de massasm1em2e que ocupam as posiesx1ex2 .2 12 2 1 1m mx m x mxCM++ou22 1212 11xm mmxm mmxCM

,`

.|++

,`

.|+ m1 m2 x1 x2Podemos olhar a ltima equao como uma mdia ponderada da posio de cadapartcula de massamionde o "peso" de cada termo a frao da massa total contida naposioxi .Para um sistema deNcorpos dispostos ao longo de uma linha reta, podemos fa-zer uma extenso da definio anterior:+ + ++ + +NiiNiiNN NCMmx mm m mx m x m x mx1112 12 2 1 1!!Iremos definir a massa total do sistema comoM , onde:Niim M1e desse modo teremos:Nii CMm Mx1Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br3Sistema de partculas - Duas dimensesPara a definio do centro de massa de um sistema deNpartculas distribudasem um plano podemos, por analogia com as definies anteriores, considerar que: + + ++ + +Nii i NiiNiiNN NCMx mMmx mm m mx m x m x mx11112 12 2 1 11!! + + ++ + +Nii i NiiNiiNN NCMy mMmy mm m my m y m y my11112 12 2 1 11!!Sistema de partculas - Trs dimensesParaumsistemadeNpartculasdistribudasemtrsdimensestemosasse-guintes definies:Nii i CMx mMx11Nii i CMy mMy11Nii i CMz mMz11Se considerarmos que:'+ + + + CM CM CM CMi i i iz k y j x i rez k y j x i r ""teremos:Nii i CMr mMr11" "Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br4Corpos rgidosPodemosimaginarumcorporgidocomosendosubdivididoempequenosele-mentos de volumeVide massamirespectivamente, que esto localizados em pon-tos definidos por coordenadas ( xi , yi ,zi ) . Neste cenrio, teremosasseguintesequa-es:NiiNii iCMmm xx11NiiNii iCMmm yy11NiiNii iCMmm zz11Seos elementos devolumeVi0,asmassascontidasnesseselementosdevolumetambmdeseroreduzidas,aopontodemi0.Quandoissoacontece,aquelas somas se transformam em integrais: dm xM dmdm xmm xLim xNiiNii imCMi1110 dm yM dmdm ymm yLim yNiiNii imCMi1110 dm zM dmdm zmm zLim zNiiNii imCMi1110e concluindo: dm rMrCM" "1Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br5Movimento do centro de massaA partir da definio de centro de massa temos a seguinte equao:N N CMr m r m r m r M"!" " "+ + + 2 2 1 1A variao dessas posies com o tempo calculada como:dtr dmdtr dmdtr dmdtr dMNNCM"!" " "+ + + 2211de modo que a velocidade do centro de massa tem a forma: + + + Nii i N N CMv m v m v m v m v M12 2 1 1" "!" " "A variao dessas velocidades com o tempo calculada como:dtv dmdtv dmdtv dmdtv dMNNCM"!" " "+ + + 2211de modo que a acelerao do centro de massa tem a forma: + + + Nii i N N CMa m a m a m a m a M12 2 1 1" "!" " "Cadatermodaequaoanteriorrefere-seaumapartculaespecfica,eigualfora resultante que atua nessa partcula. + + + Nii N CMF F F F a M12 1" "!" ""Masaforaresultantequeatuaemumapartculaquefazpartedessesistemacomposta de duas partes: as foras externas a esse sistema que atuam em cada partculae as foras internas de interao mtua entre as partculas.( ) ( ) ( ) ( )INT EXTNiiINT iEXT NINT NEXT INT EXT INT EXT CMF F F F F F F F F F a M" " " " " "!" " " ""+ + + + + + + 12 2 1 1Mas quando considerarmos a soma das foras internas estaremos incluindo paresdeforasqueseanulam,segundoaTerceiraLeideNewtonporseremaoereao.Por exemplo: iremos incluir as foras que a partcula2exerce na partcula3como tam-bm as foras que a partcula3exerce na partcula2 . E essas foras de interao seanulam.Issoacontececomtodososparesdepartculasqueconsiderarmos.Assimasomatotaldasforasinternasqueatuamemumsistemadepartculasnula,edessemodo:EXT CMF a M""Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br6Essa equao diz queo centro de massa de um sistema de partculas se movecomo se toda a massaMdesse sistema estivesse concentrada nesse ponto e essamassa estivesse sob a ao da fora externa resultante.Momento linear de uma partculaDefine-seomomentum(oumomento)lineardeumapartculacomosendoopro-duto de sua massa por sua velocidade:v m p" "Conta-se que Newton na realidade formulou a sua Segunda Lei em termos do mo-mento, da seguinte maneira:Ataxadevariaodomomentode umapartcula proporcionalresultantedasforasque agem sobre essa partcula, e tem a mesma direo e o mesmo sentido que essa for-a.( ) v mdtddtp dFR""" Para os sistemas de massa constante:a mdtv dmdtp dFR"" "" Momento linear de um sistema de partculasPara um sistema composto de N partculas, definimos o momento total como: + + + Nii Np p p p P12 1" "!" ""ou ainda:CMNii i N Nv M v m v m v m v m P" " "!" " + + + 12 2 1 1J foi mostrado que:EXTCMCMFdtv dM a M""" e quandoM = constante , temos( )dtP dv MdtdFCM EXT""" Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br7Conservao do momento linearQuando estivermos considerando um sistema isolado, onde a resultante das forasexternas for nula, teremos:te cons p p p PdtP dFN EXTtan 0 02 1 + + + "!" """"indicando que o momento total do sistema uma constante. Porexemplo, numacolisoentreduasbolasdebilhar,omomentototaldessesistemaisoladoseconserva:omo-mento total antes da coliso igual ao momento total depois da coliso.Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br8Soluo de alguns problemasCaptulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio2A distncia entre os centros dos tomos de carbono Ce oxignio Oem uma mol-cula de monxido de carbono CO de1,131x10-10m . Determine a posio do cen-tro de massa da molcula deCOem relao ao tomo de carbono. Use as massasdos tomos deCeO .Por definio temos que:C OC C O OCMM Md M d Mx++ondedO = d - dC d MO MC xVamosescolheraorigemdoeixoxcomopassandopelotomodeoxignio.Comessa escolha teremosd0 = 0edC = d =1,131x10-10m , e portanto:dM MMdM Md MxC OCCC OCCM

,`

.|+ +considerando que:MO = 15,994g/molMC = 12,011g/moldCM = 0,571 d = 0,645x10-10mCaptulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio3Quais so as coordenadas do centro de massa das trs partculas que aparecem nodesenho a seguir? O que acontece com o centro de massa quando a massa da part-cula de cima aumenta gradualmente? As unidade das distncias o metro.a)3 2 13 3 2 2 1 1m m mx m x m x mxCM+ ++ +mx x xxCM07 , 115164 8 32 4 1 8 0 3 + ++ +3 2 13 3 2 2 1 1m m my m y m y myCM+ ++ +mx x xyCM34 , 115204 8 31 4 2 8 0 3 + ++ + 8,0kg4,0kg3,0kgPr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br9b) Oqueacontececomocentrodemassaquandoamassadapartculadecimaaumenta gradualmente?Usando as definies das coordenadas do centro de massa, podemos dizer que:3 2 13 3 2 2 1 1m m mr m r m r mrCM+ ++ +" " ""Se a massa da partcula2aumenta gradualmente, passando do valorm2parao valorm2 + m2 , a equao acima tomar a forma:( )23 2 123 2 13 3 2 2 2 1 1rm m mmrm m mr m r m m r mRCM CM" "" " ""+ ++ + ++ + +ou seja:23 2 12rm m mmr R rCM CM CM" """+ + Concluso: Se uma das partculas aumentar gradualmente a sua massa, o centrode massa gradualmente se mover de acordo com a equao anterior paraCMr"Captulo 9 - Halliday e Resnick - Edio antiga3ACalcule o centro de massa de umahastecom uma distribuiouniformede massa,de comprimentoLe massa M .Vamos considerar um elemento de massadmde larguradxlocalizado na posiox.Comoadistribuiodemassauni-forme, podemos dizer que:dxLMdmL Mdx dm

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.| ' dmx xLLL LCM CMxLdx xLdxLMxMx dm xMx020 0 21 1 1 1 ,`

.| 2LxCMPr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br10Captulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio4Trs barras finas de comprimentoLso dispostas em forma de U invertido confor-me a figura a seguir. As duas barras laterais tm massaMe a barra central massa3M. Qual a localizao do centro de massa do conjunto? L3M L M ML ym2 m1m3 xPara o clculo do centro de massa desse conjunto as barras se comportam como seassuasmassasestivessemconcentradasemseusrespectivoscentrosdemassa.Escolhendo um sistema de coordenadas, as massas esto nas posies:( )( )( )'+ ++ ++ ++ +'5432 / 3 2 /2 32 / 3 02 / ;; 2 / 32 / ; 0321LM M MMxL MxL MxLyLM M MMxL MxL MxxL L e M mL L e M mL e M mCMCMCaptulo 9 - Halliday, Resnick - Edio antiga7Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raioR , ngulo0e mas-saM .Como definido anteriormente, temos: dm xMxCM1 dm yMyCM1Considerandoqueadistribuiodemas-sanofiouniforme,podemosencontrarumarelaoentreaquantidadeinfinite-simal de massadme o ngulod quedelimita essa massa, usando a proporoa seguir:y R 0 dyx x' dMdmMd dm0 0Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br11Aposio(x,y)deumelementodemassagenricodmpodeserexpressacomo:x = R cosy = R senDesse modo termos:( )000000 00sen sen cos cos1 100 0 R RdRdMRMdm xMxCM

,`

.| e de modo equivalente:( ) ( )000000 00cos 1 cos sen sen1 100 0

,`

.| R RdRdMRMdm yMyCM Apartirdessesresultadospodemosocentrodemassadeoutrasfigurasse-melhantes:i.Um quarto de crculo0 = /2 .( )( ) ( )' R RyR RxCMCM22 / cos 12 /22 / sen2 /ii.Um semicrculo0 = .( )( ) ( )' R RyRxCMCM2cos 10 seniii.Um crculo0 = 2.( )( ) ( )' 0 2 cos 120 2 sen2RyRxCMCMPr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br12Captulo 9 - Halliday, Resnick - Edio antiga8Calcule o centro de massa de um quarto de disco de raioRe massaM .O centro de massa definido como: dm xMxCM1 dm yMyCM1 yR y d x xonde o elemento genrico de massadmest contido em um elemento de readAno interior do disco e essas grandezas esto relacionadas:dA dAAMdmM Adm dA ' onde a densidade superficial de massa do disco. Temos ainda que:( )( )' d dr r dr d r dARA42'sencosr yr xTemos ento que:( )( ) 2 /0 022 /0cos cos1 1 d dr rMd dr r rMdA xMdm xMxR RoCM{ 343sen33232 /003RMRMRMrMxRCM '' 34RxCMDe maneira equivalente( )( ) 2 /0 022 /0sen sen1 1 d dr rMd dr r rMdA yMdm yMyR RoCMPr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br13{ 343cos33232 /003RMRMRMrMyRCM '' 34RyCMCaptulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio15UmhomemdemassaMHestpenduradoemumaescadadecordapresaaumbalo de massaMB , conforme a figura a seguir. O balo est parado em relao aosolo.a) Se o homem comear a subir a escada com velocidadev(em relao a esca-da),emquedireoecomquevelocidade(emrelaoTerra)obalovaisemover?'+ v v vv j vB H" " ""ondeVH a velocidade do homem emrelao ao solo eVB a velocidade dobalo em relao ao solo.Como o conjunto homem + balo esta-va inicialmente em repouso, e a resul-tante das foras externas nula, temosque:( ) 0 + +B B H H CM B Hv M v M v M M" " "y MB

Bv"MH Hv"ou seja:( ) vM MMj vM MMv v v M v MB HHB HHB B H B B

,`

.|+

,`

.|+ + +0" " " " "b) Qual ser o movimento depois que o homem parar de subir?O balo novamente ficar novamente estacionrio pois sevCM = 0evH = 0te-remos quevB = 0 .Captulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio17Um canho e um suprimento de balas de canho se encontram no interior de um va-go fechado de comprimentoL , como na figura a seguir. O canho dispara para adireita; o recuo faz o vago se mover para a esquerda. As balas disparadas continu-am no vago depois de se chocarem com a parede oposta.a) Qual a maior distncia que o vago pode ter percorrido depois que todas as ba-las forem disparadas?Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br14VamosconsiderarqueexistemNba-lasdecanhodemassamcada,equesodisparadasparaadireitacomvelocidadevB .O vago e o canho tm conjuntamenteuma massaMT .Apsodisparodeumabalaparaadi-reita o conjunto vago + canho + ( N -1 ) balas se deslocam para aesquerdacom velocidadevT .Inicialmentetodoesseaparatoestavaemrepouso,logoavelocidadedocen-tro de massa ser nula: xL - x[ ] ( ) [ ]( )BTT B T T CM Tvm N Mmv v m v m N M v Nm M" " " " "]]]

+ + + +10 1Pelo desenho podemos notar que aps o tiro a bala se deslocou uma distnciaL - xe como conseqncia do recuo o vago se deslocou uma distnciax . Ouseja:B TB TBTvx Lxvvx Lvxtt v x Lt v x

,`

.| ' Usando as duas ltimas equaes encontramos o valor de x, o deslocamentodo vago para um nico tiro de canho:LNm MmxT

,`

.|+Depois de N disparos, o vago ter se deslocado uma distnciad = N x :LNm MNmdT

,`

.|+O maior deslocamento possvel acontecer quando a massa total da balasN mfor muito maior do que a massa do vago. Nessa situao teremos que:se N m>>MTd = Lb) Qual a velocidade do vago depois que todas as balas forem disparadas?Oconjuntovago+canho+balasvoltaraorepousopoisinicialmenteessesistema tinha o centro de massa com velocidade nula.Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br15Captulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio18Deixa-secairumapedraemt=0.Umasegundapedracommassaduasvezesmaior que a da primeira, largada do mesmo ponto emt = 100ms .a) Onde estar o centro de massa das duas pedras emt = 300ms ? Suponha quenenhuma das pedras chegou ao cho.m1 = mm2 = 2mt = 100ms = 0,1sT = 300ms = 0,3sAs equaes de movimento das partculas so:( )' + 2 22 22 2222 211t g t gyt t g t gyy t1t2O centro de massa desse sistema ter a forma:( )( )6 6 2222) (2222gt t t gm mt gmt t gmt yCM + +]]]

+]]]

+Parat = 0,3syCM ( 0,3s) = - 0, 40 mb) Qual a velocidade do centro de massa desse sistema nesse momento?( ) t t gt dy dt vCMCM + 231) (vCM ( 0,3s ) = - 2,28m/sCaptulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio21Dois sacos de acar idnticos so ligados por uma corda de massa desprezvel, quepassa por uma roldana sem atrito, de massa desprezvel, com50mmde dimetro.Os dois sacos esto no mesmo nvel e cada um possui originalmente uma massa de500g .a) Determine a posio horizontal do centro de massa do sistema.Inicialmenteosdoissacosestonomesmo nvel, logo02 12 2 1 1++M My M y MyCMd = 50mm = 0,05mM1 = M2 = 500g = 0,5kgPr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br16edM MMM Md M MM Mx M x MxCM

,`

.|+++++2 122 12 12 12 2 1 10 .xCM = 0,025m = 25mmb) Suponha que20gde acar so transferidos deumsacoparaoutro,masossacossomantidosnas posies originais. Determine a nova posiohorizontal do centro de massa.m1 = 0,48kgm2 = 0,52kgdm mmm mx m x mxCM

,`

.|+++2 122 12 2 1 1= 0,026mM1 M2x d yc) Os dois sacos so liberados. Em que direo se move o centro de massa?J foi mostrado anteriormente que os sacos tm, em mdulo, a mesma acelera-o:gm mm ma

,`

.|+1 21 2e elas tm sentido contrrios:'+ a j aa j a21""Como:2 12 2 1 1m ma m a maCM++" ""encontramos que:gm mm mj aCM21 21 2

,`

.|+"Como a acelerao constante, a velocidade do centro de massa tem a forma:t a t a v vCM CM CM CM" " " " + 0pois a velocidade inicial nula. Desse modo teremos que:t gm mm mj vCM21 21 2

,`

.|+"e portanto o centro de massa se desloca para baixo.Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br17d) Qual a sua acelerao?J foi mostrado quegm mm mj aCM21 21 2

,`

.|+"e) Como varia a posio do centro de massa medida que os sacos se movimen-tam?22 2221 21 212112101 01 1gtm mm mj rt art at v r r

,`

.|+ + + """"" " "2 22221 21 222222202 02 2gtm mm mj d i rt ad i rt at v r r

,`

.|++ + + + """"" " "Relembrando que:2 12 2 1 1m mr m r mrCM++" ""encontramos2 221 21 21 22gtm mm mj dm mmi rCM

,`

.|++

,`

.|+"Captulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio22Um cachorro de5kgest em um bote de20kgque se encontra a6mda margem.Ele anda2,4mno barco em direo margem, e depois pra. O atrito entre o bote eaguadesprezvel.Aquedistnciadamargemestocachorrodepoisdacami-nhada?Sugesto:Ocachorrosemoveparaaesquerda;obotesedeslocaparaadireita; e o centro de massa do sistema cachorro + bote ? Ser que ele se move?MC = 5kgMB = 20kgd = 6ms = 2,4mAntesdecomeararesoluovamosfazer algumas suposies:i.O cachorro est na extremidade dobote mais afastada da margemii.O bote tem forma simtrica, tal queocentrodemassaestlocalizadono seu centro geomtrico. D x0 L-ss Ld xPr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br18( ) ( ) te cons v M M F a M MCM B C EXT CM B Ctan 0 + +"""Como o conjuntocachorro + boteestava inicialmente em repouso, a velocidade docentro de massa era nula e ir permanecer com esse valor pois a resultante das for-as externas zero.( ) 0 + +B B C C CM B Cv M v M v M M" " "Antes do cachorro se mover a posio do centro de massa tem a seguinte forma:( )B CB CCMM MM L d dMx+ +2 /Depois que ele se moveu, a posio de centro de massa, tem a seguinte forma:( ) ( ) [ ] ( ) [ ]B CB CCMM MM L x L d M s L x L dx++ + + + + 2 /0 0Como a velocidade do centro de massa nula, ele no se moveu e portanto as duasequaes anteriores so iguais. Fazendo essa igualdade encontramos que:( ) ( ) sM MMx sM M M x M x M s xB CCC B C B C

,`

.|+ + + 0 0 0 00 = 0,48m( ) ( ) s x d s L x L d D + + + 0 0=4,08mCaptulo 9 - Halliday e Resnick - Edio antiga30Um sapo de massa mest parado na extremidade de uma tbua de massaMecomprimentoL . A tbua flutua emrepousosobreasuperfciedeumlago. Osapopula em direo outra extremidade da tbua com uma velocidadevque forma umngulo com a horizontal. Determine o mdulo da velocidade inicial do sapo paraque ele atinja a outra extremidade da tbua.Vamossuporquequandoosapopula,apartedatbuaondeeleestava afunda um pouco, mas voltaaboiar,demodoquequandoeletocar na outra extremidade, a tbuaj estar na posio horizontal.Como o conjunto estava em repou-so, a velocidade do centro de mas-sa nula.v"L xO sapo salta para direita e a tbua se move para esquerda com velocidadeV .( )MmvV MV mv v M mCMcoscos 0 +O sapo ir permanecer no ar um tempot , e portanto o tempo de subida ser metadedesse tempo de vo, logo:Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br19gvttg v vMsen 22sen ,`

.| Desse modo, o deslocamento horizontalxdo sapo, ser:x = ( v cos ) te o deslocamento horizontal da tbuaL - x , ser:tMmvVt x L ,`

.| cosou seja:( ) ( ) ( ) ( )gvvMmt vMmt vMmt v L sen 2cos 1 cos 1 cos cos ,`

.|+ ,`

.|+ + 2 sen 12

,`

.|+ MmgvLou seja: 2 sen 1 ,`

.|+MmgLvCaptulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio34Dois blocos de massas 1kge3kg respectivamente,ligados porumamola, estoem repouso em uma superfcie sematrito.Em umcertoinstantesoprojetadosumnadireodooutrodetalformaqueoblocode1kgviajainicialmentecomumavelocidade de1,7m/sem direo ao centro de massa, que permanece em repouso.Qual a velocidade inicial do outro bloco?M1 = 1kgM2 = 3kgv1 = 1,7m/sDe maneira geral temos que:M1M2 xEXT CMF a M""Apartirdaequao anteriortemosquequando aresultantedas forasexternas fornula a velocidade do centro de massa ser constante. Mas como os blocos estavaminicialmente em repouso, a velocidade do centro de massa ser nula:02 2 1 1 + v M v M v MCM" " "ou seja:1212vMMv" " Pr of . Romer oTavar esdaSilvaCap09 r omer o@f i sica. uf pb. br20Mas s m i v / 7 , 11 " , logos m i v i v / 1 , 57 , 1132 2 " "Captulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio37Uma vago plataforma de pesoPpode rolar sem atrito em um trecho reto e planodalinhafrrea.Inicialmente,umhomemdepesopestdepnocarro,quesemove para a esquerda com velocidadev0 . Qual a variao da velocidade do vagoquandoohomemcorreparaaesquerdacomumavelocidadevRELemrelaoaovago?M = P/gm = p/gO momento inicial do conjunto :( )0v M m PI""+ xVamos considerar o homem passe a ter uma velocidade v ie que o vago passe ater uma velocidade V i . O momento final do sistema ser:v m V M PF"" "+ Masavelocidadedohomememrelaoaovago,ousejaavelocidaderelativadefinida de tal modo que:RELv V v"""+ ou seja:( )REL Fv V m V M P"" " "+ + Considerando que quando a resultante das foras externas for nula o momento totaldeste sistema se conserva, temos que:( ) ( ) ( )REL RELv m V M m v V m V M v M m"""" ""+ + + + +0RELvM mmV v""#++ 0REL RELvP ppvM mmv V V" " "" "+ + 0