MATEMÁTICA

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMO .................................................................... 02

2. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS; CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS .................................... 07

3. TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES .......................................................................... 12

4. RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS ........................................................................................ 14

5. PLANO DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ................................ 15

6. CÁLCULO FINANCEIRO E ANÁLISE DE INVESTIMENTO ....................................................... 19

7. TAXAS DE RETORNO ................................................................................................................ 20

8. EXERCÍCIOS ................................................................................................................................ 22

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11 INTRODUÇÃO: EXPONENCIAIS INTRODUÇÃO: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMOE LOGARÍTMO

EXPONENCIAÇÃO

POTÊNCIA

É um produto de fatores iguais.

Exemplo:

23 = 2 . 2. 2 = 8

Temos: 2 é a base 3 é o expoente 8 é a potência

Sendo a um número real e n um número inteiro, maior que 1, defi ne-se:

an = a . a . a ... a (n fatores)

Exemplos:

1) 32 = 3 . 3 = 9

2) 53 = 5 . 5 . 5 = 125

3)

4) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = - 8

5) (-7)2 = (-7) . (-7) = 49

OBSERVAÇÕES:• Potência com a base positiva e com expoente par (ou ímpar): a potência é positiva.• Potência com base negativa e com expoente par: a potência é positiva.• Potência com base negativa e com expoente ímpar: a potência é negativa.• Toda potência de expoente 1 é igual à base (a1 = a).

Exemplos:

1) 21 = 2

2)

• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expo-ente positivo.

Exemplos:

1)

2)

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

1ª. MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE:

Conserva-se a base e soma-se os expoentes.

a m . a n = a m + n

Exemplos:

1) 23 . 2 . 22 = 23 + 1 + 2 = 26

2) 53 . 54 = 53 + 4 = 57

2ª. DIVISÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE:

Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.

Exemplos:

3ª. POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA:

Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

(a m) n = a m x n

Exemplos:

1) (34) 5 = 34 x 5 = 320

2) (2-3) -2 = 2-3 x (-2) = 26

4ª. POTÊNCIA DE UM PRODUTO:

Eleva-se ao expoente a cada fator.

(a . b) n = a n . b n

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Exemplos:

1) (2 . 3) 2 = 22 . 32

2) (52 . 2) 3 = (52)3. 23 = 56 . 23

RAIZ

Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro positivo, podemos escrever:

Exemplos:

RADICAIS SEMELHANTES:

Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplos:

OPERAÇÕES

Adição e subtração

Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes.

Exemplos:

Multiplicação

Propriedade do radical de um produto:

Para multiplicar radicais de índices iguais, aplicamos a propriedade do radical de um produto.

Exemplos:

Divisão

Propriedade do radical de um quociente:

Para dividir radicais de índices iguais, usamos a propriedade do radical de um quociente.

Exemplos:

Potenciação

Conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada.

Exemplos:

Radiciação

Conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada.

Exemplos:

OBSERVAÇÃO: • Se o índice (ímpar) for igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando.

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Matemática

Exemplos:

• Caso o índice (par) e o expoente do radicando sejam iguais, a raiz será dada pelo módulo do radicando.

Exemplos:

• Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical.

Exemplos:

Simplifi cação de radicais

• Simplifi car um radical signifi ca escrevê-lo com termos mais simples, aplicando as propriedades.

Exemplos:

Fatorando o 8 obtemos:

Racionalização de denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração signifi ca eliminar os radicais que aparecem nesse denominador.

Exemplos (1º caso):

Exemplos (2º caso):

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais:1) 3x = 81 (a solução é x = 4)2) 2x-5 = 16 (a solução é x = 9)3) 16x - 42x-1 - 10 = 22x-1 (a solução é x = 1)4) 32x-1 - 3x - 3x-1 + 1 = 0 (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

)0 e 1( >≠=⇒= aanmaa nm

1) 3x = 81Resolução: Como 81 = 34, podemos escrever 3x = 34

E daí, x = 4.

2) 9x = 1Resolução: 9x = 1 9x = 90 ; logo x = 0.

3) Resolva a equação 32x – 6 . 3x – 27 = 0.Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:32x – 6.3x – 27 = 0 (3x)2 – 6 . 3x – 27 = 0

Fazendo 3x=y, obtemos:y2 – 6y – 27 = 0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’ = –3 e y’’= 9

Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y:y’ = –3 3x’ = –3 não existe x’, pois potência de base positiva é positivay’’ = 9 3x’’ = 9 3x’’ = 32 x’’= 2

Portanto, a solução é x=2.

FUNÇÃO EXPONENCIALChamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IR IR+ defi nida por f(x)=ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

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GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfi co abaixo:

x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfi co abaixo:

x -2 -1 0 1 2

y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que:a) o gráfi co nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;b) o gráfi co corta o eixo vertical no ponto (0,1);c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

LOGARITMOS bxba a

x log =⇔=

sendo b>0 ,a>0 e a 1

Na igualdade X = loga b, obtemos:

a= base do logaritmob= logaritmando ou antilogaritmox= logaritmo

Exemplos:1) log2 32 = 5 pois 25 = 322) log4 16 = 2 pois 42 = 16 3) log4 1 = 0 pois 50 = 1

Consequências da defi niçãoSendo b>0 ,a>0 e a 1 e m um número real qualquer, temos a seguir, algumas consequências da defi nição de logaritmo:

01log =a 1log =aa

mama =log

ba ba =log

cbcb aa =⇔= loglog

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

1) Logaritmo do produto: (a>0, a 1, x>0 e y>0)

yxyx aaa loglog).(log +=

2) Logaritmo do quociente:(a>0, a 1, x>0 e y>0)

yx

yx

aaa logloglog −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3) Logaritmo da potência: (a>0, a 1, x>0 e m )

xmx am

a log.log =

Caso particular:

xnmxx a

nm

an m

a log.loglog ==

MUDANÇA DE BASE

Em algumas situações, podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades lo-garítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b, usa-se:

axx

b

ba log

loglog =

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Logaritmos Decimais

nº log nº log nº log nº log

1 0 26 1,414973 51 1,70757 76 1,880814

2 0,30103 27 1,431364 52 1,716003 77 1,886491

3 0,477121 28 1,447158 53 1,724276 78 1,892095

4 0,60206 29 1,462398 54 1,732394 79 1,897627

5 0,69897 30 1,477121 55 1,740363 80 1,90309

6 0,778151 31 1,491362 56 1,748188 81 1,908485

7 0,845098 32 1,50515 57 1,755875 82 1,913814

8 0,90309 33 1,518514 58 1,763428 83 1,919078

9 0,954243 34 1,531479 59 1,770852 84 1,924279

10 1 35 1,544068 60 1,778151 85 1,929419

11 1,041393 36 1,556303 61 1,78533 86 1,934498

12 1,079181 37 1,568202 62 1,792392 87 1,939519

13 1,113943 38 1,579784 63 1,799341 88 1,944483

14 1,146128 39 1,591065 64 1,80618 89 1,94939

15 1,176091 40 1,60206 65 1,812913 90 1,954243

16 1,20412 41 1,612784 66 1,819544 91 1,959041

17 1,230449 42 1,623249 67 1,826075 92 1,963788

18 1,255273 43 1,633468 68 1,832509 93 1,968483

19 1,278754 44 1,643453 69 1,838849 94 1,973128

20 1,30103 45 1,653213 70 1,845098 95 1,977724

21 1,322219 46 1,662758 71 1,851258 96 1,982271

22 1,342423 47 1,672098 72 1,857332 97 1,986772

23 1,361728 48 1,681241 73 1,863323 98 1,991226

24 1,380211 49 1,690196 74 1,869232 99 1,995635

25 1,39794 50 1,69897 75 1,875061 100 2

ANOTAÇÕES____________________________________________________________________________

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____________________________________________________________________________

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22JUROS SIMPLES E COMPOSTOS; JUROS SIMPLES E COMPOSTOS; CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOSCAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou fi nanciamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplifi car a operação fi nanceira a um Fluxo de Caixa.

CAPITAL O Capital é o valor aplicado por meio de alguma operação fi nanceira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês, usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras fi nanceiras).

JUROS

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLESO juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOSO juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de o correspondente intervalo. Ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

TAXA DE JUROSA taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especifi cação do período de tempo a que se refere:

Exemplos:8 % a.a. - (a.a. signifi ca ao ano).10 % a.t. - (a.t. signifi ca ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. signifi ca ao mês).0,10 a.q. - (a.q. signifi ca ao quadrimestre)

MONTANTEAo somarmos os juros ao valor principal temos o montante, ou seja:

M = C + J

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o Capital. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Capital ou valor principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J =

Onde: J juros C principal (capital) i taxa de juros n número de períodos

OBSERVAÇÃO: A taxa de juros e o número de períodos devem estar na mesma unidade de tempo.

Exemplos:1. Tenho uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

C = 1000i = 8% a.m.n = 2 meses

Observe que a taxa de juros e o número de períodos estão em meses, com isso já podemos partir para a fórmula de juros simples:

J =

J = 160,00Portanto o juros que pagarei, será de R$ 160,00.

2. Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 18% a.a. durante 145 dias.C = 70000,00i = 18% a.a.t = 145 dias

Nesse caso, há uma diferença nas unidades de tempo da taxa de juros e número de período. Para resolver isso, passaremos a taxa, que no exercício é anual para taxa diária. Concordando com o período da aplicação. Temos:

Jogando na fórmula de juros simples:

J = J = 5075,00

O montante é o resultado da soma do capital e o juros:

M = C + J M = 70000 + 5075 M = 75075,00

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3. Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.C = 1200i = 13% a.t.n = 4 meses e 15 dias 4,5 meses

Podemos considerar o período de 4 meses e 15 dias, como simplesmente 4,5 meses. Já a taxa, que é trimestral, transformaremos em mensal dividindo por 3.

Aplicando a fórmula, temos:

J = J = J = J =

J =234,00

4. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado por meio de capitalização simples?

i = 150% a.a i = % a.m i = 12,5% a.m.M = 2. C

M = C + J 2C = C +

200C – 100C = 12,5Cn

100C – 12,5Cn = 0 C(100 – 12,5n) = 0

C = 0 ou 100 – 12,5Cn = 0

Resolvendo a segunda equação:100 – 12,5 = 0-12,5n = -100 (-1)12,5n = 100 n = 100 ____ 12,5

n = 8 meses

Portanto, serão necessários 8 meses para duplicar o capital.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. O preço à vista de um Notebook(computador portátil) é R$ 2400,00. O comprador deu R$ 1000,00 de entrada e R$ 1470,00 após 30 dias. A taxa mensal de juros cobrada pela loja é:a) 3,5% b) 5% c) 7,5% d) 8%

SoluçãoO capital fi nanciado é R$ 1400,00, já que sobre a entrada não pode incidir juros.C = 1400n = 30 d. n = 1 mês J = 70

Usando a fórmula de juros simples:

J = 70 =

1400i = 7000

i = i = 5%

Resposta: Alternativa B.

2. Se certo capital fosse aplicado a uma taxa de juros simples de 1% a.d. durante 1 mês, ele renderia R$ 3000,00. Sabendo-se que ele foi aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.m. durante 1 ano, o juro obtido, em reais, foi de:a) R$ 1800,00b) R$ 2000,00c) R$ 2400,00d) R$ 6000,00

SoluçãoNesta questão existem duas situações. A primeira é quando o capital é aplicado a uma taxa de juros simples de 1% a.d. durante 1 mês, ele renderia R$ 3000,00. Dessa maneira podemos escrever:i = 1% a.d. i = 30% a.m.n = 1 mêsJ = 3000

300 = 30C = 300000 C=

C = 10000

A segunda situação apresentada é a seguinte: “Sabendo-se que ele foi aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.m. durante 1 ano, o juro obtido, em reais, foi de”. Já sabemos que o capital é R$ 10000,00, temos então:C = 10000i = 2% a.m. n = 1 ano n = 12 meses

Resposta: Alternativa C.

JUROS COMPOSTOS

O ganho, após cada período, é incorporado ao principal e, por sua vez, passa a render juros. Por esta razão, é também conhecido como “juros sobre juros”, ou seja, o saldo cresce em progressão geométrica. É uma metodologia mais complexa que a dos juros simples e a utilizada em, praticamente, todas as formas de empréstimos das fi nanceiras e instituições bancárias.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M = C • (1 + i)

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Matemática

2º mês: o capital é igual ao montante do mês anterior: M = C • (1 + i) • (1 + i)

3º mês: o capital é igual ao montante do mês anterior: M = C • (1 + i) • (1 + i) • (1 + i)

Generalizando, obtemos a fórmula:

M = C • (1 + i)n

Onde,M Montante;C Capital Inicial ou Principal;i taxa de juros;n número de períodos.

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n.

Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao fi nal do período:

J = M – C

A fórmula M = C • (1 + i)n é a fórmula fundamental dos juros compostos, e o montante está isolado. Podemos, a partir dela, calcular não somente o montante, mas também o Capital, a taxa de juros e o número de períodos da aplicação. Para isso, basta isolarmos cada um dos três elementos. Para facilitar o trabalho algébrico, apresentaremos abaixo a mesma fórmula, porém, com cada elemento isolado.

Exemplos:1. Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% ao mês. Calcular o montante desta aplicação após 3 meses.SoluçãoC = 200i = 20% a.m. i = 0,2n = 3 meses

M = C (1 + i)n M = 200 (1 + 0,2)3

M = 200 • 1,23

M = 200 • 1,728M = 345,60

2. No juros compostos, um certo capital, após 10 meses, à taxa de juros de 2% a.m., rendeu um montante de R$ 3656,97. Qual o valor desse capital? (dado: 1,0210 = 1,21899)

SoluçãoM = 3656,97i = 2% a.m. i = 0,02n = 10 meses

M 3656,97C = ______ C = __________ (1+ i)n (1+0,02)10

Portanto, o capital investido foi de R$ 3000,00.

OBSERVAÇÃO: Nesta questão, foi dado o valor de 1,0210, mas isto não acontecerá sempre assim. Muitos exercícios omitem esta informação, que pode ser obtida atra-vés de uma tabela fi nanceira. Essa tabela

nos mostra os resultados do cálculo de (1 + i)n, para diversos valores de i (que varia a cada coluna) e de n (que varia a cada linha).

3. Um montante de R$ 15790,56 foi gerado de um capital de R$ 8000,00 que fi cou aplicado a uma taxa composta de 12% ao ano. Calcule o tempo que durou esta aplicação. (dados: log(1,97382) = 0,2953 e log(1,12) = 0,049218)

SoluçãoM = 15790,56i = 12% a.a. i = 0,12C = 8000

n = 0,2953 _________

0,049218

n = 6

Portanto, o capital fi cou aplicado durante 6 anos.

OBSERVAÇÃO:• Num regime de capitalização a juros simples, o saldo cresce em progressão aritmética. • Num regime de capitalização a juros compostos, o saldo cresce em progressão geométrica.

DESCONTOSDenomina-se desconto ao abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento.São exemplos de título de crédito as letras de câmbio, notas promissórias e as duplicatas.A diferença entre o valor nominal e o valor líquido é o que se denomina desconto.Valor Nominal (VN) também chamado valor de face, é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título.

Valor Líquido (VL) também chamado valor atual, valor descontado, valor pago, é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do título.

Prazo de Antecipação (PA) é o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data de vencimento do mesmo.

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DESCONTO SIMPLES

Na capitalização simples, o desconto pode ser classifi cado em duas modalidades: desconto racional simples e desconto comercial simples.

1. Desconto racional simples “desconto por dentro” é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido, ou seja, 100% é o valor líquido.

Exemplo:a) Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 15% a.m..

SoluçãoVN = 650 => i = 15% a.m. => n = 2 meses.Neste caso, precisamos achar o Valor Líquido, pois sabemos que o desconto (D) é a diferença do Valor Nominal (VN) e o Valor Líquido (VL), ou seja, D = VN - VL. A taxa total de desconto é de 30%, pois foram 2 meses de antecipação, como o desconto é racional, na conta, o valor líquido será o 100% e portanto o valor nominal 130%. Usando uma regra de três:

130% ---------650

100%----------VL

130 .VL = 650.100 D = VN - VL

D = 650 - 500

D = 150

VL = 500

Portanto o desconto dado ao título foi de R$ 150,00.

2. Desconto comercial simples “desconto por fora” é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o Valor Nominal, ou seja, 100% é o Valor Nominal.

Exemplo:b) Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% a.m., resultou num valor descontado de R$ 608,00.

Soluçãon = 60 dias = 2 mesesi = 12% a.m.VL = 608 (muito cuidado, pois valor descontado é diferente de desconto)

A taxa total de desconto é de 24%, pois foram 2 meses de antecipação, como o desconto agora é comercial, na conta, o valor nominal será o 100% e portanto o valor líquido será 76%, pois o valor nominal sofreu um desconto à taxa de 24%. Usando uma regra de três:

76% ---------608100%----------VN

76 • VN = 608 • 100 Caso o exercício pedisse o valor de desconto

dado ao título:

VN = D = VN – VLD = 800 - 608

VN = 800 D = 192

Portanto o Valor Nominal do título era R$ 800,00.

DESCONTO COMPOSTO

Na capitalização composta, o desconto pode ser, também, classifi cado em duas modalidades: desconto racional compos-to e desconto comercial composto.

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

Conhecido também como desconto fi nanceiro, é calculado usando-se uma taxa de juros composta antecipada, e será calculado por meio da fórmula:

A • (1 + i)n = N ou ainda n)i1(

NA

+=

Onde

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTOÉ calculado usando-se uma taxa de juros composta postecipada, e será calculado por meio da fórmula:

A = N • (1 – i)n

Onde

Exemplo:

(CAIXA-2008)Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa com-posta de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A dife-rença D-d, em reais, vale:a) 399,00.b) 398,00.c) 397,00.d) 396,00.e) 395,00.

Solução

N = 24200I = 10% = 0,1

Para esta questão teremos que calcular o desconto comercial composto e o desconto racional composto. Na verdade é uma comparação entre o dois tipos de desconto composto.Vamos começar com o D(desconto comercial composto) usando a fórmula: L = N • (1 – i)n

Temos: L = 24200 • (1 – 0,1)2

L = 24200 • (0,9)2

L = 24200 • (0,81)L = 19602,00

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Sabemos que o valor do desconto é dado por D = N - L, portanto

D = 24200 – 19602 D = 4598,00

Agora vamos calcular o d(desconto racional composto) usando a fórmula: A • (1 – i)n = NTemos:

n)i1(N

A+

=

n)1,01(24200

A+

=

21,124200

A =

A = 24200 1,21 A = 2000,00

O valor do desconto d será dado por: d = N - A, assim

d = 24200 – 20000 d = 4200,00

Assim tendo o valor de D e de d, já podemos fazer a diferença D-d:

D – d = 4598 – 4200 D – d = 398,00

Matemática

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33 TAXAS PROPORCIONAIS TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTESE EQUIVALENTES

TAXAS PROPORCIONAISDuas ou mais taxas são proporcionais se, aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo período de tempo, no regime de juros simples, produzirem juros iguais.Exemplo: Uma aplicação de R$ 1.000,00, com taxa de 2% ao mês, por um período de 4 meses (juros simples), equivale à taxa 8% ao quadrimestre. Portanto, podemos afi rmar que a taxa de 2% ao mês e 8% ao quadrimestre são proporcionais.Note que basta uma simples regra de três para calcular taxas proporcionais.

TAXAS EQUIVALENTES Duas ou mais taxas são equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo período de tempo, no regime de juros compostos, produzirem juros iguais.

OBSERVAÇÃO: Usaremos, ao longo de nossos estudos, a seguinte convenção para taxa efetivas:

Exemplo: Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 20% a.m.?Temos que, 1 trimestre equivale a 3 meses, desta maneira 1 e 3 serão os expoentes, veja:

(1 + it)1 = (1 + im)3

Sabemos que im = 20%a.m. = 0,2, daí

(1 + it)1 = (1 + 0,2)3

1 + it = 1,23

1 + it = 1,728it = 1,728 - 1

it = 0,728 it = 0,728% a.t.

Portanto, 72,8% a.t. é a taxa trimestral equivalente a taxa mensal de 20%a.m..Nas defi nições de taxas proporcionais e equivalentes, perce-bemos que a única diferença é o regime de juros.

EXERCÍCIOS01. A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:a) 8%. b) 8,16%.

c) 1,08%.d) 1,0816%.e) 16%.

02. A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros simples, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:a) 8%. d) 1,0816%. b) 8,16%. e) 16%.c) 1,08%.

03. A taxa de 1% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa anual equivalente a:a) 12,00%. b) 12,68%. c) 13,68%.d) 14,00%.e) 15,17%.

04. A taxa de 15% ao semestre, nos juros compostos, corresponde a uma taxa mensal equivalente a:

a) 2,00%. b) 2,68%. c) 2,50%.d) 2,49%.e) 2,36%.

GABARITO

01. b 02. a 03. b 04. e

TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS

Uma taxa é chamada Efetiva quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Quando isso não ocorrer ela será chamada Taxa Nominal.

Exemplos:

CONVERSÃO DA TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVAA conversão será feita usando uma regra de três simples, ajustando assim a taxa nominal proporcionalmente ao período

TaxasNominais

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Matemática

de capitalização. Vejamos alguns exemplos:a) Uma aplicação fi nanceira paga juros compostos de 72% ao ano com capitalizações mensais. Qual deverá ser a taxa mensal que usaremos para calcular o montante?

Portanto, a taxa nominal de 72% a.a. corresponde à taxa efetiva de 6% a.m..

b) Um problema de juros compostos faz referência a uma taxa de juros de 8% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa de juros efetiva trimestral praticada nesta aplicação?

Portanto, a taxa nominal de 8% a.a. corresponde à taxa efetiva de 2% a.t..

EXERCÍCIO RESOLVIDO

(CAIXA-2009-ACRE) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?a) 75,0% d) 64,4%b) 72,8% e) 60,0%c) 67,5%

ResoluçãoTemos uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitaliza-da bimestralmente. A primeira providência deve ser convertê-la em taxa Efetiva:

Já com a taxa Efetiva de 20% a.b., em mãos, podemos resumir a questão em: Qual a taxa efetiva semestral equivalente à taxa efetiva de 20% a.b.?

Resposta: letra B.

TAXA REAL E TAXA APARENTE

Quando em um exercício falamos em taxa de juros de uma aplicação fi nanceira, quase sempre desconsideramos um de-talhe muito importante: a infl ação. Ela faz a taxa apresentada não representar a realidade. Sendo assim, a taxa apresentada sem considerar a infl ação, é chamada de Taxa Aparente. Ao considerarmos a infl ação chamaremos de Taxa Real.As taxas unitária e real relacionam-se da seguinte forma:

(1 + iR) • (1 + iI) = (1 + iA)

iR Taxa Real

Onde { ii Taxa de Infl ação

iA Taxa Aparente

Exemplo: Consideremos que um banco tenha oferecido uma determina-da aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% a.a.. Se, no mesmo, período for registrada uma infl ação da ordem de 6% a.a., qual foi a taxa real dessa aplicação?SoluçãoiR = ?iI = 0,06iA = 0,1

ANOTAÇÕES________________________________________________________________________________

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44 RENDAS UNIFORMES RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEISE VARIÁVEIS

Rendas Certas, ou também chamadas séries periódicas uniformes, são pagamentos sucessivos para um investimento (Capita-lização) ou para a quitação de uma dívida (Amortização). As rendas podem ser classifi cadas:

ANOTAÇÕES________________________________________________________________________________

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PLANOS DE AMORTIZAÇÃOA amortização é o processo pelo qual uma dívida é paga progressivamente por meio de prestações que por sua vez representa a soma da amortização do período (cota de amortização) com os juros do saldo devedor.

(Prestação=Cota de Amortização+Juros)

Os principais e mais utilizados sistemas de amortização são: SAF - Sistema de Amortização Francês, SAC - Sistema de Amortização Constante, SAM – Sistema de Amortização Misto, também conhecido como SACRE – Sistema de Amortização Crescente e por último o SAA – Sistema de Amortização Ame-ricano. Começaremos com o mais utilizado no Brasil.

SISTEMA FRANCÊS OU PRICE

O sistema Francês foi utilizado primeiramente na França, no século XIX, por isso o nome. Mas também é chamado de Tabela Price em homenagem ao inglês Richard Price que foi o responsável em incorporar a teoria de Juros Compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII.

Vamos a algumas características do Sistema Francês:• O valor das prestações é constante, ou seja, prestações iguais;• O juro pago em cada prestação é decrescente, pois é calculado a partir do saldo devedor do período imediatamente anterior;• A cota de amortização é crescente, pois o juro diminui e a prestação mantém-se constante;• Fórmula para calcular-se o valor da prestação R é:

ou ainda

Onde:R valor da prestação

Fator da tabela Price, para n períodos e taxa i de juros

P Capital,valor fi nanciado, Principal.

Exemplos:1. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago em três prestações mensais iguais. Considerando uma taxa de juros de 5% a.m., qual o valor das prestações?

SoluçãoSabemos que o sistema de Amortização do exercício é o Francês, pois as parcelas são iguais. P=200.000n=3i=5%=0,05

Aplicando a fórmula:

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

No SAC, os juros de cada parcela também serão calculados a partir do saldo devedor do período anterior à parcela. Como o próprio nome diz, as cotas de amortização são constantes. Daí percebe-se que as prestações serão decrescentes:

Pelo gráfi co observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são decrescentes, e os juros decrescem em função do saldo devedor.

CÁLCULO DA COTA DE AMORTIZAÇÃO

Como a amortização (A) é constante, basta dividir o Principal (P) pelo número de prestações (n), o que seria feito caso o fi nanciamento fosse sem juros.

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOSEMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 55

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Matemática

CÁLCULO DO SALDO DEVEDORO saldo devedor do período será calculado a partir do saldo devedor do período anterior menos a cota de amortização.

ou

Onde:

SDK Saldo devedor após pagamento da prestação de número K;P Principal ou Capital;K número da última parcela paga;A Cota de amortização;n número de prestações.

CÁLCULO DO JUROO Juro do período será calculado a partir do saldo devedor do período anterior.

Onde:

JK Juro pago na prestação de número K;i taxa de juros do fi nanciamento;SDK-1=Saldo devedor após o pagamento da prestação K-1;

Ao substituirmos na fórmula o SDK-1 pela segunda fórmula de

saldo devedor, no período k-1, teremos:

Exemplo:Alexandre e Thatiane fazem um empréstimo de R$ 6 000,00 em um banco por meio do SAC em 10 prestações anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule:

a) O valor da cota de amortização;b) O saldo devedor após terem pagado a sexta prestação;c) O valor do juro pago na sétima parcela;d) O valor da sétima prestação.

SoluçãoP=6 000n=10i=15%=0,15

a) Cota De Amortização

b) Saldo devedor na sexta prestaçãoComo vimos podemos utilizar duas fórmulas para o cálculo:

• Fica assim ao critério do leitor considerando as restrições de cada exercício, a escolha da fórmula para o saldo devedor, o mesmo acontecendo para o cálculo do juro que faremos a seguir.

c) Juro pago na 7ª prestaçãoAqui também usaremos as duas fórmulas apresentadas:

• Na segunda fórmula de juros apresentada, não é necessário calcular o saldo devedor do período anterior, fi cando assim mais prática que a primeira, que só será prática caso o leitor já tenha em mão o saldo devedor como foi o nosso caso aqui no exercício.

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Matemática

d) O valor da 7ª prestação

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

No sistema SAM, cada prestação será obtida pela média arit-mética entre a prestação do sistema Francês e a prestação do SAC.

Exemplo:Um empréstimo de R$ 12 000,00 , será pago em 12 prestações mensais pelo Sistema de Amortização Misto. Sabendo que a taxa é de 2% ao mês, calcule a 9ª prestação.

SoluçãoP=12 000,00n=12i=2%=0,02K=9

1. Cálculo da 9ª prestação pelo SAF:

Consultando a tabela 3, temos que

2. Cálculo da 9ª prestação pelo SAC:

3. Cálculo da 9ª prestação pelo SAM:Basta achar a média aritmética entre a 9ª prestação pelo SAF e a 9ª prestação pelo SAC:

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANONeste sistema o Principal(P) é pago apena no fi m do fi nanciamento, por meio de uma parcela única, ou seja, o tomador do empréstimo paga os juros periodicamente, e só amortiza a dívida no fi nal com um único pagamento. Em raros casos, os juros são capitalizados e pagos juntamente com o Principal no fi m do prazo acertado.

Exemplo:Um fazendeiro comprou um terreno por R$ 100 000,00 em 3 prestações, a serem pagas a juros de 3% ao ano. Complete a planilha.

n Juros Amortização Prestação Saldo Devedor

0

1

2

3

Devemos perceber que é uma renda postecipada, por isso, não haverá juros, amortização e muito menos prestação no período n=0. Preencheremos a linha n=0 com traços, exceto para o Saldo devedor que será de R$ 100 000,00 até n=2. Lembrando que a amortização só será feita na última prestação (n=3). Nossa planilha fi cará assim:

n Juros Amortização Prestação Saldo Devedor

0 - - - 100 000,00

1 - 100 000,00

2 - 100 000,00

3

Os juros para n igual a 1,2 e 3 são iguais pois, serão calculados a partir do saldo devedor do período anterior, que se mantém o mesmo, pois não há amortização até n=3. Como J = SD.i J=100 000·0.03 ( J=3 000,00).

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Matemática

n Juros Amortização Prestação Saldo Devedor

0 - - - 100 000,00

1 3 000,00 - 3 000,00 100 000,00

2 3 000,00 - 3 000,00 100 000,00

3 3 000,00

Note que já preenchemos as prestações R1 e R2 com o mesmo valor dos juros, lembrando que R=A+J.No terceiro ano o fazendeiro pagará a última prestação, por isso, deve amortizar a dívida, fi cando assim a planilha:

n Juros Amortização Prestação Saldo Devedor

0 - - - 100 000,00

1 3 000,00 - 3 000,00 100 000,00

2 3 000,00 - 3 000,00 100 000,00

3 3 000,00 100 000,00 103 000,00 -

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CÁLCULO FINANCEIRO E CÁLCULO FINANCEIRO E ANÁLISE DE INVESTIMENTOANÁLISE DE INVESTIMENTO 66

PROCESSO DE CAPITALIZAÇÃO Um dos temas que a Ciência Econômica aborda diz respeito à aplicação do rendimento. O rendimento gerado na produção é aplicado aonde e como?

A este processo pelo qual um capital inicial C produz um juro, a um certo tempo, chama-se processo de capitalização.

J = C.i.n

Na contagem do juro periódico e na formação do capital acu-mulado há a considerar três regimes de capitalização:

REGIME PURO SIMPLES O juro periódico é pago no fi m do respectivo período e sai do processo de capitalização.

REGIME DITO SIMPLES O juro periódico não é pago no fi m do respectivo período, ou seja, vai ser adicionado ao capital existente em cada período de capitalização, mas não entra no processo de capitalização.

REGIME COMPOSTOO juro periódico não é pago no fi m do respectivo período ou seja, vai ser adicionado ao capital existente em cada período de capitalização, e entra no processo de capitalização.

Matemática

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77 TAXAS DE RETORNOTAXAS DE RETORNOOs investidores dispõem de diversos métodos para a análise de um investimento. Cada um destes enfoca uma variável di-ferente. O Pay Back é extremamente voltado para a variável tempo enquanto o Valor Presente Líquido volta-se para o valor dos fl uxos de caixas obtidos a data base. A ideia da TIR surgiu como mais um modelo de análise de investimento, des-sa vez voltada para a variável taxa. A utilização da TIR tenta reunir em apenas um único número o poder de decisão sobre determinado projeto. Esse número não depende da taxa de juros de mercado vigente no mercado de capitais (Daí o nome Taxa Interna de Retorno). A TIR é um número intrínseco ao projeto e não depende de nenhum parâmetro que não os fl uxos de caixa esperados desse projeto.

A TIR é a taxa de juros que torna o valor presente das entra-das de caixa igual ao valor ao presente das saídas de caixa do investimento. Isso quer dizer que a TIR é a taxa que “zera” o seu investimento. É uma taxa tal que se utilizada fará com que o lucro do seu projeto seja nulo ou VPL = 0.

CÁLCULO DA TIRVamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é cal-culada. Suponha que a empresa WYS necessita investir R$ 30.000.000,00 para obter fl uxos futuros de R$ 11.000.000,00, R$ 12.100.000,00 e R$ 13.310.000 ao longo de três anos. Vejamos agora como seria calculada a TIR.

Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação. Para que seja calculada a TIR devemos considerar que VP seja igual a zero. Se VP for igual a zero a única res-posta seria 0,1. Concluímos a taxa interna de retorno do pro-jeto é de 10% ao ano.

Se Substituirmos i por 0,1. Teremos que VP = -30.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000. O VP portanto será igual a zero.

UTILIZAÇÃO DA TIR

Fizemos o cálculo da TIR e encontrarmos 10%. Mas o que isso quer dizer? Quer dizer que a taxa de 10% esse projeto é eco-nomicamente indiferente pois não trará lucro nem prejuízo. O uso da TIR deve servir para comparações com a taxa de juros do mercado.

O que aconteceria se a taxa de juros do mercado fosse de 6%? Substituindo 6% na equação acima acharíamos um VP de 2.321.648 (-30.000.000 + 10.377.358 + 10.768.957 + 11.175.333).

Agora vamos supor que a taxa de juros do mercado seja de 15%. Substituindo 15% na equação acima acharíamos um VP de -2.533.903 (-30.000.000 + 9.565.217 + 9.149.338 + 8.751.541).

Através de nossos cálculos chegamos a seguinte con-clusão:• Se a taxa de retorno for maior que a taxa de juros do mer-cado, é rentável fazer o investimento.• Se a taxa de retorno for menor que a taxa de juros do mer-cado, não é rentável fazer o investimento.• Quando a taxa de retorno se equivale a taxa de juros do mercado, o investimento é indiferente pois a rentabilidade é nula.

Quanto maior for a taxa de retorno maior, maior será o nº de possibilidades de um investimento ser lucrativo. No exemplo a taxa de juros é de 10%. Isso quer dizer que o projeto será lucrativo a qualquer taxa menor que 10%. Se a taxa de juros fosse de 20% as possibilidades de lucros seriam duas vezes maior pois o projeto seria lucrativo a qualquer taxa de juros desde que esta não ultrapassasse 20%.

PROBLEMAS COM A TIR

Até o presente momento a TIR parece ser um modelo de análise de investimento efi caz pois utiliza-se apenas de um único número para análise.

Se fi zermos uma análise mais apurada do cálculo da TIR ire-mos perceber uma enorme difi culdade matemática para seu cálculo caso o nº de períodos seja maior que 2. Uma outra curiosidade é que o denominador dos fl uxos de caixa é repre-sentado por (1+i)t. Assim sendo se tivermos uma quantidade de fl uxos igual a 10 por exemplo iremos nos deparar com um denominador representado por um polinômio de décimo grau que seria (1+i)10 . Assim sendo a TIR admite a hipótese matemática de se encontrar até 10 valores para i inclusive va-lores negativos. Interpretar o signifi cado fi nanceiro de núme-ro enorme de soluções para a TIR é um tanto trabalhoso, fato esse que faz com que a TIR seja um método difícil de se calcular e que dependendo das respostas encontradas difícil de se avaliar.

Entretanto, mesmo com o problema das múltiplas raízes quando o fl uxo no período zero é negativo e os demais fl uxos são positivos, é encontrado um único valor real para a TIR. Quando existe a situação inversa na qual o fl uxo de caixa no período zero é positivo e os demais fl uxos são negativos, verifi ca-se também um único número real para o cálculo da TIR. Esses exemplos de fl uxos futuros de caixa são no en-tanto algumas das possibilidades de fl uxos de caixa que o mercado fi nanceiro pode proporcionar. Existem situações nas quais o fl uxos futuros de caixa podem ser positivos e negati-vos aleatoriamente. Nessa situação a possibilidade de múltip-las respostas no cálculo da TIR é verdadeira difi cultando uma análise simples como a descrita no caso da Empresa WYS. Vamos supor que no caso da Empresa WYS, achássemos como solução da TIR 2% e 10%. Como analisaríamos se esse projeto é viável ou não? Como nesse caso são duas soluções, a equação é de 2º grau. Logo seu comportamento descreverá uma parábola conforme a fi gura.

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Matemática

Como 2% e 10% fazem o VP ser igual a zero são portanto as raízes da equação. As conclusões que o gráfi co nos mostra são as seguintes:

Abaixo de 2% 2% Entre 2%

e 10% 10% Acima de 10%

Lucro Nulo Prejuízo Nulo Lucro

Assim sendo mesmo com mais de uma solução é possível utilizar a TIR. No entanto quanto maior for o período, maior poderá ser o nº de raízes difi cultando o cálculo. Outro im-passe é que as taxas de juros do mercado mudam constante-mente. Se houver mais de uma TIR, projetos que prometiam uma alta rentabilidade podem de repente transformar-se em verdadeiros prejuízos por conta do enorme número de inter-valos de lucratividade e prejuízo que um número grande de soluções para a TIR poderá proporcionar.

Uma outra desvantagem é que embora a taxa de juros do mercado não afete o cálculo da TIR, a TIR depende dos fl uxos de caixa futuros. Como determinar com exatidão os fl uxos de caixa esperados? E se houver risco? Questões como essa fazem com que os investidores muitas vezes desmeresçam o método da TIR e procurem outros métodos de avaliação.

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8 8 EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXPONENCIAL

01. Nesta equação exponencial, o valor de x é:a) -4. 3x = 81b) 4. c) 9.d) 27.e) n.d.a.

02. O valor de x nesta equação exponencial, é: a) 3. 5x = 125b) 5. c) 15. d) 25.e) n.d.a.

03. Se 9X = 243 , então, x é igual a:a) 5 2b) 5 3c) 2 5d) 27e) n.d.a.

04. O valor de x nesta equação exponencial é:a) 4 1 = 81b) - 4 3x c) 1 4d) - 1 4e) n.d.a.

05. O valor de x na equação exponencial abaixo é: a) - 1. 102x - 4 = 1b) - 2. c) 1. d) 2.e) n.d.a.

06. A equação exponencial abaixo tem como solução:a) 5. 3x = 5√81 b) 4. c) 5 4d) 4 5e) n.d.a.

07. Na equação exponencial abaixo, o valor de x é:a) 1/2. 4x – 8 = 0b) 3/2. c) 2. d) 3.e) n.d.a.

08. O valor de x nesta função exponencial é: 9x + 3 = 81x

a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) n.d.a.

09. O valor de x nessa equação exponencial é:a) 1 22x + 5 = 64 2b) 2 c) 6 d) 1 6e) n.d.a.

10. Esta equação tem seu conjunto solução igual a: a) S = { 7 }. 2x – 3 = 16b) S = { 5 }. c) S = { 4 }.d) S = { 1 }.e) n.d.a.

11. O valor de x nesta função exponencial é:a) 2 52x+ 3 = 125x

b) 3 c) 1 2d) 1 3e) n.d.a.

12. O valor de x nesta equação exponencial é:a) 2. b) 4. c) 6. d) 8.e) n.d.a.

13. O valor de x nesta equação exponencial é:a) 0. 55x – 4 – 5 = 0b) 1. c) 2.d) – 1.e) n.d.a.

14. O valor de x nesta equação exponencial é:a) 2. 3x – 2 – 32x – 4 = 0b) 3. c) 4.d) 8.e) n.d.a.

15. O valor de x nesta equação exponencial é:a) 1 83x + 1 – 8x = 0 b) 2 c) – 2d) – 1 2e) n.d.a.

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Matemática

16. A solução da equação exponencial abaixo é:a) + 4. b) + 3. c) 0.d) + 2.e) n.d.a.

17. O valor de x na equação abaixo é: 5x – 1 = 1 125

a) 1. b) 2. c) 4. d) – 2. e) n.d.a.

18. O valor de x nesta equação exponencial é: 8 . 22x + 1 = 1024

a) 2. b) 3. c) 6. d) 7. e) n.d.a.

19. O valor de x que satisfaz a equação abaixo em lR é:a) 3 5 b) 2 5 c) -3 5 d) 5 3 e) n.d.a.

20. A solução da equação em lR é: a) 3 52x -1 = 1 5 625b) 2 3 c) 2 3d) 3 2e) n.d.a.

21. O valor de x na equação exponencial abaixo é: a) 2. a3x = ax -10

b) 5. c) 2.d) 5.e) n.d.a.

22. O valor de x nesta equação é:a) 3. b) -3. c) 2. d) 5.e) n.d.a.

GABARITO01. b 02. a 03. a 04. b 05. d

06. d 07. b 08. b 09. a 10. a

11. b 12. b 13. b 14. a 15. d

16. d 17. d 18. b 19. a 20. d

21. d 22. b

DESCONTOS

01. Uma loja vendia uma determinada peça de roupa por R$ 100 para pagamento em 30 dias. Para pagamento à vista, há um desconto simples (comercial) de 30%. Qual o preço à vista?a) R$ 70,00. b) R$ 80,00. c) R$ 30,00. d) R$ 71,50.e) R$ 76,92.

02. O desconto simples “por fora” também é conhecido como:a) desconto racional. b) desconto por dentro. c) desconto bancário ou comercial.d) desconto de juros fi xos.e) desconto comum.

03. Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto simples racional (por dentro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?a) R$ 50,00. b) R$ 75,00. c) R$ 86,25.d) R$ 90,00.e) R$ 150,00.

04. Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto composto racional (por dentro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?a) R$ 50,00. b) R$ 75,00. c) R$ 77,43.d) R$ 79,12.e) R$ 82,19.

05. Para cálculo do desconto do valor de R$ 100.000,00 em dois meses e taxa de juros de 2% ao mês, utilizou-se o cálculo abaixo:100.000,00 / (1,02 x 1,02) = 96.116,88 Desconto: 100.000,00 – 96.116,88 = 3.883,12Com base no descrito acima, podemos afi rmar que foi utili-zado:a) desconto simples “por dentro” (ou racional).b) desconto simples “por fora” (ou bancário ou comercial).c) desconto composto “por fora”.d) desconto composto “por dentro”.e) todas as alternativas acima estão erradas.

06. Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de des-conto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de descon-to é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de:a) R$ 1.600,00 e R$ 400,00. b) R$ 1.620,00 e R$ 380,00. c) R$ 1.640,00 e R$ 360,00.d) R$ 1.653,00 e R$ 360,00.e) R$ 1.666,67 e R$ 333,33.

07. Julgue os itens a seguir, referentes a diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser descontada:a) (...) Se for calculado a uma mesma taxa, o valor atual se-gundo o desconto comercial será sempre menor que o valor

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Matemática

atual segundo o desconto racional.b) (...) O desconto bancário nada mais é do que o desconto comercial acrescido de uma taxa a título de despesas bancá-rias.c) (...) No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida.d) (...) A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma mesma taxa, aumenta à medida que a data do desconto aproxima-se da data do vencimento.e) (...) Se uma nota promissória – com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos – é descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a.

08. Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a.m.. Sendo R$ 31.104,00 o valor nomi-nal do título, quanto paguei por ele?a) R$ 21600,00. b) R$ 21700,00. c) R$ 21800,00. d) R$ 21900,00.e) n.d.a.

09. Uma duplicata de R$ 3000,00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a.a. pelo critério do desconto racional composto. Qual seria a taxa anu-al a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto?a) 33,3% a.a. b) 28% a.a. c) 25% a.a.d) 20% a.a.e) 18% a.a.

10. Um título cinco meses de valor nominal igual a R$100.000,00 foi descontado sob o regime de juro simples a uma taxa de desconto comercial de 2% ao mês. O valor do desconto é:a) R$10.000,00. b) R$12.000,00. c) R$8.000,00. d) R$14.000,00.e) n.d.a.

11. Um título de seis meses de valor nominal igual a R$ 250.000,00 foi descontado sob o regime de juro simples por R$190.000,00. Neste caso, o valor do desconto é:a) R$60.000,00. b) R$10.000,00. c) R$120.000,00. d) R$90.000,00.e) n.d.a.

12. Um título seis meses de valor nominal igual a R$200.000,00 foi descontado sob o regime de juro simples a uma taxa de desconto igual a 20% ao ano. Neste caso, o valor descontado do título é:a) R$180.000,00. b) R$220.000,00. c) R$160.000,00.d) R$181.800,00.e) n.d.a.

13. Um título, com valor nominal de R$100.000,00, foi des-contado 90 dias antes de seu vencimento, proporcionando valor atual de R$89.625,75. Determine a taxa de desconto simples mensal desta operação.a) 0,12% ao mês. b) 11,57% ao mês. c) 3,86% ao mês. d) 3,46% ao mês.e) n.d.a.

14. Um título de seis meses de valor nominal de R$100.000,00 foi descontado por R$90.000,00 (desconto comercial ou ban-cário). Neste caso, a taxa de desconto é:a) 20%. b) 22,2%. c) 23,5%. d) 24,1%.e) n.d.a.

15. Considere uma operação de desconto comercial (ou ban-cário) de dois anos, taxa de 24% ao ano. Neste caso, a taxa de juro simples que gera os mesmos valores numéricos da operação de desconto é:a) 24%. b) 46,2%. c) 38,7%. d) 18,3%.e) n.d.a.

16. A empresa XYZ precisa de recursos por dois anos e con-segue diversas propostas alternativas. A alternativa que lhe acarreta o menor custo fi nanceiro é:a) 18% ao ano de taxa de desconto comercial (ou bancário).b) 18% ao ano de taxa de juro simples em um empréstimo.c) 18% ao ano de taxa de juro composto em um empréstimo.d) 18% ao ano de taxa de desconto composto.e) n.d.a.

17. Uma empresa possui um borderô de duplicatas, as quais serão descontadas à taxa de desconto simples de 2,75% ao mês (ver a tabela a seguir). Calcule o valor total de desconto.

a) R$2.042,23. b) R$1.045,00. c) R$201,30. d) R$2.013,00. e) n.d.a.

18. Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto , que foi calculado com base na taxa de 20%a.m. Sendo R$ 31104,00 o valor nominal do título, quanto paguei por ele? a) R $ 21 600,00. b) R $ 21 700,00.c) R $ 21 800,00. d) R $ 21 900,00.e) n.d.a.

25

Matemática

19. Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 6 me-ses, a quantia de R $ 1 000 000,00 à taxa de juros compostos de 19,9 % a .m . No entanto, 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a.m.? Considere 1,996 = 2,97. a) R$ 2.400.000,00. b) R$ 2.500.000,00.c) R$ 2.600.000,00.d) R$ 2.700.000,00.e) n.d.a.

20. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 500.000,00, 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de des-conto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado fi nal): a) R$ 429.304,00. b) R$ 440.740,00. c) R$ 446.728,00. d) R$ 449.785,00. e) R$ 451.682,00. Obs.:

21. João tem um compromisso representado por 2 (duas) pro-missórias: uma de R$ 200.000,00 e outra de R$ 150.000,00, vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 (dez) meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m., o valor da nova nota promissó-ria é de (desprezar os centavos no resultado fi nal): a) R$ 420.829,00. b) R$ 430.750,00. c) R$ 445.723,00. d) R$ 450.345,00.e) R$ 456.703,00.

22. Uma letra de câmbio no valor de R$ 800.000, com venci-mento daqui a 3 anos, deve ser substituída por duas letras de câmbio, de mesmo valor nominal cada, com vencimentos da-qui a 2 anos e 5 anos respectivamente. Calcular o valor nomi-nal das novas letras, sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 8% ao semestre e a taxa de juro composto do desconto é de 10% ao semestre: a) R$ 511.305. b) R$ 311.305. c) R$ 433.382. d) R$ 411.305.e) R$ 382.433.

23. Um “comercial paper” com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resga-tado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate: a) US$ 751,314.80. b) US$ 750,000.00. c) US$ 748,573.00. d) US$ 729,000.00.e) US$ 700,000.00.

24. Uma empresa estabelece um contrato de “leasing” para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de $ 1.166.400,00, des-contada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do desconto racional será de: a) $194.089,00. b) $186.624,00. c) $ 166.400,00. d) $ 116.640,00.e) n.d.a.

25. Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto comercial à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. O valor do desconto será: a) R$ 487,50. b) R$464,85. c) R$ 512,50. d) R$ 4.512,50.e) R$4.535,15.

26. Considerando que uma mesma taxa i seja utilizada para determinação dos descontos compostos racional, DR, e co-mercial, DC, de um mesmo título e para um mesmo prazo de antecipação, pode-se afi rmar que: a) Dc = DR para qualquer prazo. b) Dc > DR para qualquer prazo.c) Dc < DR para qualquer prazo. d) dependendo do prazo, podem ocorrer Dc > DR, Dc < DR, e Dc = DR. e) para prazos menores que 1 período de capitalização tem-se Dc < DR.

27. Uma duplicata de R$ 3.000,00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a.a. pelo critério do desconto racional composto. Qual seria a taxa anu-al a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? a) 33,3% a.a. b) 28% a.a. c) 25% a.a.d) 20% a.a. e) 18% a.a.

28. Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de des-conto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de descon-to é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de:

a) R$ 1.600,00 e R$ 400,00. b) R$ 1.620,00 e R$ 380,00. c) R$ 1.640,00 e R$ 360,00.d) R$ 1.653,00 e R$ 360,00.e) R$ 1.666,67 e R$ 333,33.

GABARITO01. a 02. c 03. b 04. c

05. d 06. b 07. CCEEC 08. a

09. d 10. a 11. a 12. a

13. d 14. a 15. b 16. b

17. d 18. a 19. d 20. e

21. d 22. d 23. a 24. c

25. a 26. b 27. d 28. b

26

Matemática

LOGARITMO

01. Se logb a = c, então é verdadeira a seguinte igualdade:a) bc = a.b) ab = c.c) ac = b.d) ba = c.e) n.d.a.

02. Se loga b, para determinar o valor desse logaritmo é necessário que:a) os valores de a e b sejam positivos.b) os valores de a e b sejam negativos.c) o valor de b seja positivo e diferente de 1 e o valor de a seja positivo.d) o valor de a seja positivo e diferente de 1 e o valor de b seja positivo.e) n.d.a.

03. No logaritmo de a na base b, o resultado é:a) o número ao qual se eleva b para obter a.b) o número ao qual se eleva a para obter b.c) a potência de base b e expoente a.d) a potência de base a e expoente b.e) n.d.a.

04. A condição de existência do logaritmo log (x + 3) é:a) x = - 3.b) x > - 3.c) x < - 3.d) x < - 3.e) n.d.a.

05. O logaritmo abaixo só existirá se a base x for qualquer número: logx 7a) positivo.b) negativo. c) diferente de zero.d) positivo e diferente de 1.e) n.d.a.

06. O resultado da operação log2 64 é:a) 32.b) 8.c) 6.d) 3.e) n.d.a.

07. O resultado da operação log4 64 é:a) 16.b) 4.c) 3.d) 2.e) n.d.a.

08. O logaritmo de 125 na base 5 é:a) 1. log5 125 b) 3. c) 15.d) 25.e) n.d.a.

09. O resultado da operação abaixo é:a) - 3. log3 1b) 0. c) 1.

d) 3.e) n.d.a.

10. O valor desta expressão é igual a:a) 2. log2 32 - log3 27b) 3. c) 4.d) 5.e) n.d.a.

11. Calculando o valor do logaritmo log½ 64 obtemos:a) - 6.b) 5.c) 32.d) - 32.e) n.d.a.

12. Está CORRETO o seguinte logaritmo:a) log25 5 = 5.b) log2 16 = 8.c) log2 32 = 5.d) log0,1 0,01 = 10.e) n.d.a.

13. Está CORRETA a afi rmativa:a) log2 6 = 3.b) log5 25 = 2.c) log10 100 = 10.d) log2 23 = 3 + log2 2.e) n.d.a.

14. É CORRETO afi rmar que:a) log3 1 = 0.b) log2 4 = - 2.c) log1/3 9 = 2.d) log2 1 = 2. 4e) n.d.a.

15. Está INCORRETO o seguinte logaritmo:a) log2 8 = 4.b) log3 1 = 0.c) log6 6 = 1.d) log4 42 = 2.e) n.d.a.

16. Está INCORRETO o seguinte logaritmo:a) log3 27 = 3.b) log2 64 = 6.c) log10 0,1 = - 1.d) log1 10 = 10.e) n.d.a.

17. Com relação a logaritmos, está INCORRETA a seguinte opção:a) log2 1 = 0.b) log 0 = .c) log2 8 = 3.d) log2 - 2 = - 1.e) n.d.a.

18. O valor de x neste logaritmo é: log10 0,001 = x

a) 0. b) 3. c) - 3. d) 1/3. e) n.d.a.

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Matemática

19. O valor de x neste logaritmo é:a) 81. log3 x = 4b) 64. c) 27. d) 12.e) n.d.a.

20. Nesta equação logarítmica, o valor de x é:a) 1/3. log2 3x = 0b) 2/3. c) - 2.d) 0.e) n.d.a.

21. Nesta equação logarítmica, o valor de x é: a) 2. log2 (2x + 4) = 1b) 1. c) - 2.d) - 1.e) n.d.a.

22. Resolvendo a equação logarítmica abaixo, encontra-se o valor de x, que é igual a:a) 0. log3 (x - 9) = 2b) 15. c) 17. d) 18.e) n.d.a.

23. No logaritmo log2 x = 5, o valor de x é:a) 64. b) 32. c) 25. d) 10. e) n.d.a.

24. Nesta equação logarítmica, o valor de x é igual a:a) 2 log8 x = 1b) 3 3c) 1 2d) 1 3e) n.d.a.

25. O valor de x nesta equação é:a) 2. log5 (3x - 6) - log5 x = 0b) - 1. c) 1. d) 3.e) n.d.a.

26. O valor de x na equação logarítmica abaixo é:a) a. loga (5x + 2) = loga (3x + 6)b) 1. c) 2.d) 3.e) n.d.a.

27. Com relação às propriedades de logaritmos, é INCORRETO afi rmar que:a) O logaritmo da própria base é igual a 1. b) O logaritmo decimal de 1 é igual a zero.c) Os logaritmos decimais de números iguais são iguais.d) O logaritmo de um produto é igual ao produto dos logaritmos dos fatores.e) n.d.a.

28. Com relação às propriedades do logaritmo, é CORRETO afi rmar que:a) logy y = y.b) logx 1 = x.c) log (x y) = log x log y.d) log (x . y) = log x + log y.e) n.d.a.

29. Se log a = 12 e log b = 4, aplicando-se as propriedades de logaritmo temos que:a) log (a . b) = 48.b) log a = 8. bc) log b2 = 16.d) log √a = 24.e) n.d.a.

30. Com base nos logaritmos abaixo, pode-se afi rmar que:a) log x . y = 64. b) log x . y = 12 log x = 4c) log x = 4 y 3 log y = 3 d) log x = 1. y e) n.d.a.

31. Dados: log a = 5 e log b = 2Com base nos dados acima, é CORRETO afi rmar que log (a . b) é igual a:a) 3. c) 7. b) 5.d) 10.e) n.d.a.

32. Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48O valor de log 6 é:a) 0,78. c) - 0,781. b) 0,14440.d) 0,30.e) n.d.a.

33. Dados: log 5 = 0,70 e log 3 = 0,48Com base nesses dados, pode afi rmar que log 15 é igual a:a) 0,22. b) 0,86. c) 1,18. d) 1,62.e) n.d.a.

34. Dados: log 5 = 0,70 e log 3 = 0,48 Com base nesses dados, pode afi rmar que log 75 é igual a:a) 1,18. b) 2,18. c) 1,78. d) 1,88. e) n.d.a.

35. A expressão que possibilita a mudança de loga b para a base c é:

a) logc b

logc a b)

logc a

logc b c)

loga c

logb c d)

logb c loga c

e) n.d.a.

28

Matemática

36. Só existe log3 (5x – 10) para:a) x > 5.b) x > 2 . Condição de existência:c) x > ½ . logab a > 0, a ≠ 1 e b > 0 d) x > -2.e) n.d.a.

37. Considere as propriedades operatórias dos logaritmos:Considere logb A = 6 e logb B = 3.Com base nas propriedades acima, pode-se afi rmar que:

log(AB) = log A + log Blog A = log A - log B

BLog (a)n = n.log A

a) logb (AB) = 9.b) logb (A/B)=2. c) logb (AB) = 19.d) logb (B)2 = 9.e) n.d.a.

38. Com base nas mesmas propriedades dadas na questão anterior, pode-se afi rmar que:a) log AB2 = log A – 2logB – log C. Cb) log A3 = 3log A – log B. Bc) log A.B = log A – log B.d) log A2 = 2log A + log B. Be) n.d.a.

39. log3 (x – 1) = 1 O valor de x nessa equação logarítmica é:a) 1.b) 2. c) 3.d) 4.e) n.d.a.

40. Se a e b são raízes da equação x2+8x+8=0, então o valor de é:a) 4. b) 10. c) 12. d) 100.e) n.d.a.

GABARITO01. a 02. d 03. a 04. b 05. d 06. c

07. c 08. b 09. b 10. a 11. a 12. c

13. b 14. a 15. a 16. d 17. d 18. c

19. a 20. a 21. d 22. d 23. b 24. a

25. d 26. c 27. d 28. d 29. b 30. d

31. c 32. a 33. c 34. d 35. a 36. b

37. a 38. b 39. d 40. b

JUROS

01. Considere uma taxa nominal igual a 24% ao ano com capitalização mensal. Neste caso, a taxa efetiva ao mês é:a) 2%. b) 2,1%. c) 1,9%. d) 1,8%.e) n.d.a. 02. A taxa efetiva ao ano que equivale a uma taxa nominal igual a 16% ao ano com capitalização trimestral é mais pró-xima da taxa de:a) 17%. b) 17,1%. c) 16,9%. d) 16,8%.e) n.d.a.

03. A empresa XYZ tomou um empréstimo de R$200.000,00 por seis meses à taxa nominal de 24% ao ano com capitali-zação mensal. O valor a ser devolvido após os seis meses é próximo de:a) R$ 225.232,00. b) R$ 224.000,00. c) R$ 222.710,00. d) R$ 226.165,00.e) n.d.a.

04. O banco XYZ fez uma aplicação de R$1.000.000,00 por 12 meses a uma taxa de 18% ao ano com capitalização semes-tral. O valor resgatado após os 12 meses foi de:a) R$ 1.188.100,00. c) R$ 1.192.300,00. b) R$ 1.180.000,00. d) R$ 1.193.700,00.e) n.d.a.

05. Considere uma empresa que precisa tomar um emprésti-mo de seis meses. A melhor alternativa é:a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral.b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral.c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal.d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal.e) n.d.a.

06. José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimen-to pelos próximos 180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de 12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria conseguiu uma taxa efe-tiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa?a) Devem aplicar no banco de José.b) Devem aplicar no banco de Maria.c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento.d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.e) n.d.a.

07. Considere uma taxa nominal de 19% ao ano e sua res-pectiva taxa efetiva de 20,75% ao ano. Neste caso, a capita-lização ocorre de forma:a) Mensal. b) Bimensal. c) Trimestral. d) Semestral.e) n.d.a.

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Matemática

08. Dada uma taxa efetiva igual a 25,44% ao ano com capi-talização semestral, então a correspondente taxa nominal ao ano é mais próxima da taxa de:a) 24%. b) 25%. c) 23%. d) 26%.e) n.d.a.

09. Um banco captou R$1.000.000,00 ao emitir um CDB de 12 meses com uma taxa efetiva de 24% ao ano. Este valor foi emprestado por 12 meses a uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. O resultado do banco foi:a) R$28.242,00 de lucro. b) R$18.342,00 de prejuízo. c) Zero.d) R$24.000,00 de lucro.e) n.d.a.

10. Um título cambial vai vencer em 180 dias pagando 106% de seu valor de face. Este título está sendo negociado a uma taxa de juro nominal, com capitalização semestral, igual a 8% ao ano. Neste caso, o preço de mercado deste título é perto de:a) 101,9% de seu valor de face. b) 100,2% de seu valor de face. c) 102% de seu valor de face.d) 102,1% de seu valor de face.e) n.d.a.

11. Considere uma empresa que precisa de recursos por 12 meses e encontra diversas alternativas: (I) 24% ao ano de taxa de juro efetiva; (II) 24% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização semestral; e. (III) 24% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização mensal. Classifi que as alternativas da melhor para a pior:a) (I); (II) e (III). b) (I); (III) e (II). c) (III); (II) e (I). d) (II); (III) e (I).e) n.d.a.

12. Qual é a taxa proporcional ao bimestre de uma taxa de 18% ao ano?a) 3% ao bimestre. b) 2% ao bimestre. c) 2,5% ao bimestre. d) 1,5% ao bimestre.e) n.d.a.

13. Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 3,5% ao trimestre?a) 15% ao ano. b) 16% ao ano.c) 14% ao ano. d) 17% ao ano.e) n.d.a.

14. Uma empresa aplicou R$800.000,00 e resgatou R$1.000,00 após dois anos. Qual a taxa de juro proporcional a 12 meses desta aplicação?a) 12,5% ao ano. b) 11,8% ao ano.

c) 12,1% ao ano. d) 12,9% ao ano.e) n.d.a.

15. Qual a taxa proporcional em seis meses de uma taxa igual a 16% para oito meses?a) 12% ao semestre. b) 11% ao semestre. c) 10% ao semestre. d) 13% ao semestre.e) n.d.a.

16. Um banco captou R$1.000.000,00 por seis meses a uma taxa proporcional a 24% ao ano e aplicou, também por seis meses, a uma taxa proporcional a 2,5% ao mês. O lucro desta operação foi:a) R$ 30.000,00. b) R$ 28.000,00. c) R$ 26.000,00. d) R$ 32.000,00.e) n.d.a.

17. Quando duas taxas de juro simples proporcionais são trazidas para o prazo de um ano:a) Sempre são iguais para qualquer prazo de defi nição das taxas.b) São iguais apenas se o prazo de defi nição de uma taxa é múltiplo do outro.c) São iguais apenas por acaso.d) Nunca são iguais.e) n.d.a.

18. Uma empresa tomou R$400.000,00 por seis meses, de-volvendo R$550.000,00 ao fi nal do período. A taxa proporcio-nal para oito meses deste empréstimo é:a) 45% em 8 meses. c) 40% em 8 meses. b) 35% em 8 meses. d) 50% em 8 meses.e) n.d.a.

19. Um investidor fez, simultaneamente, duas aplicações de seis meses cada com títulos que retornam juros simples. A primeira delas no valor de R$50.000,00 a 12% ao ano e a segunda de R$30.000,00 a 9% ao ano. Determine o retorno do conjunto dessas aplicações no semestre:a) 6,08%. b) 5,44%. c) 6,5%. d) 7,52%.e) n.d.a.

20. Um fundo fez uma aplicação de seis meses em um título de mesmo período que rende uma taxa de juro simples de 14% ao ano. A taxa de retorno proporcional do fundo no período é próxima de:a) 7% ao semestre. b) 6% ao semestre.c) 6,8% ao semestre. d) 7,2% ao semestre.e) n.d.a.

21. Considere as seguintes taxas de juro simples: (I) 2% ao mês; (II) 6% ao semestre e (III) 12% ao ano.

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Matemática

Então:a) As taxas (i), (II) e (III) são proporcionais entre si.b) Apenas as taxas (I) e (II) são proporcionais entre si.c) Apenas as taxas (II) e (III) são proporcionais entre si.d) Nenhuma taxa é proporcional à outra.e) n.d.a.

22. Considere uma taxa nominal ao ano com capitalização mensal. Então:a) A taxa efetiva mensal é igual à taxa proporcional mensal.b) A taxa efetiva mensal é maior que a taxa proporcional mensal.c) A taxa efetiva mensal é menor que a taxa proporcional mensal.d) A taxa efetiva mensal é igual a taxa nominal dividida pela taxa proporcional.e) n.d.a.

23. Uma empresa necessita de recursos por seis meses e conseguiu as alternativas abaixo (juros simples). Indique qual que possui a melhor taxa proporcional para o período:a) 24% ao ano. c) 7% ao trimestre.b) 2% ao mês. d) 3% ao bimestre.e) n.d.a.

24. Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando: (I) são taxas de juro compostas e;(II) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro.a) (I) e (II) são afi rmações verdadeiras. b) (I) e (II) são afi rmações falsas.c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.e) n.d.a.

25. Considere uma taxa de juros composta defi nida ao semestre e sua equivalente taxa ao ano. Então:a) A taxa ao ano é maior que duas vezes a taxa semestral.b) A taxa ao ano é menor que duas vezes a taxa semestral.c) A taxa ao ano é igual a duas vezes a taxa semestral.d) A taxa ao ano pode ser maior ou menor que taxa semestral.e) n.d.a.

26. A afi rmação: “As taxas proporcionais estão para os juros simples, assim como as taxas equivalentes estão para os juros compostos”:a) É verdadeira sob quaisquer circunstâncias.b) É falsa sob quaisquer circunstâncias.c) É falsa apenas para prazos menores que um ano.d) É verdadeira apenas para prazos menores que um ano.e) n.d.a.

27. Qual é a taxa equivalente ao semestre de uma taxa de 12% ao ano?a) 6,14% ao semestre. c) 5,39% ao semestre. b) 5,83% ao semestre. d) 6,26% ao semestre.e) n.d.a.

28. Qual é a taxa equivalente ao ano de uma taxa de 6,5% em sete meses?a) 11,4% ao ano. b) 11% ao ano.

c) 11,2% ao ano. d) 11,6% ao ano.e) n.d.a.

29. Uma empresa tomou um empréstimo de R$400.000,00 para pagar R$430.000,00 em cinco meses. Qual a taxa equi-valente ao ano?a) 18,95% ao ano. b) 19,57% ao ano.c) 17,33% ao ano . d) 20,02% ao ano.e) n.d.a.

30. Um investidor tem duas alternativas para investir R$ por um mesmo prazo: (I) a uma taxa de 10% ao semestre.(II) a uma taxa de 21% ao ano. Neste caso:a) As duas alternativas são idênticas, pois as taxas são equivalentes.b) A melhor alternativa é a alternativa (I).c) A melhor alternativa é a alternativa (II).d) A melhor alternativa é a (II) para prazos iguais ou menores a um ano.e) n.d.a.

31. Considere uma aplicação que rendeu em quatro meses uma taxa equivalente a 20% ao ano. A taxa proporcional, em 12 meses, desta aplicação é mais perto da taxa:a) 18,8% ao ano. b) 18,6% ao ano. c) 19% ao ano. d) 19,2% ao ano.e) n.d.a.

32. Um banco tomou R$1.000.000,00 por seis meses a uma taxa equivalente a 24% ao ano e aplicou, também por seis meses, a uma taxa equivalente a 2% ao mês. O lucro desta operação foi próximo a:a) R$ 12.610,00. b) R$ 11.580,00. c) R$ 13.920,00. d) R$ 11.950,00.e) n.d.a.

33. Uma instituição exige taxa real de juro de 1,6% ao mês para sua aplicação. O prazo da aplicação é de 90 dias. Nestes meses, estima-se infl ação de 3,25% ao mês (mês 1), 2,75% ao mês (mês 2) e 1,95% ao mês (mês 3). Determine a taxa de juro composto ao ano que satisfaz as exigências do inves-tidor:a) 45,96%. b) 65,56%. c) 62,05%. d) 51%.e) n.d.a.

34. Um capital de US$ 2.000,00, aplicado à taxa racional composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de quantos dólares? Dado: (1,05)12 = 1, 79586. a) US$ 3.291,72. b) US$ 3.391,72. c) US$ 3.491,72. d) US$ 3.591,72.e) n.d.a.

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Matemática

35. A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses? a) R$ 801,00. b) R$ 802,00. c) R$ 803,00.d) R$ 804,00. e) n.d.a.

36. No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a.a., com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é então de: a) 1, 00025% a.b.b) 1, 0025% a.b. c) 1, 025% a.b.d) 1,25% a.b. e) n.d.a.

37. A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20%. b) 21%. c) 22%. d) 23%. e) 24%. 38. Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao fi nal do prazo era de: a) R$ 16.590,00. b) R$ 16.602,00. c) R$ 16.698,00. d) R$ 16.705,00.e) R$ 16.730,00.

Obs.: (1,15)3 = 1,5209.

39. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fi m do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20, 324%. b) 19, 6147%. c) 19, 196%. d) 18, 174%.e) 18%.

40. Um título de valor inicial R$ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês? a) R$ 313,84. b) R$ 285,31. c) R$ 281,26.d) R$ 259,37.e) R$ 251,81.

41. Um capital de R$ 100.000,00 foi depositado por um prazo de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao trimestre, com cor-reção monetária trimestral igual à infl ação. Admitamos que as

taxas de infl ação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A disponibilidade do depositan-te ao fi nal do terceiro trimestre é de, aproximadamente: a) R$ 123.065,00. b) R$ 153.065,00. c) R$ 202.045,00.d) R$ 212.045,00.e) R$ 222.045,00.

42. Certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio. b) 6 meses. c) 3 meses e meio. d) 5 meses.e) 3 meses.

43. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60,0%. b) 66,6%. c) 68,9%. d) 72,8%. e) 84,4%. 44. Uma empresa aplica $ 300,00 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60%. b) 4,40%. c) 5,00%. d) 5,20%. e) 4,80%. 45. Para que se obtenha R$ 242,00, ao fi nal de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de: a) R$ 171,43. b) R$ 172,86. c) R$ 190,00. d) R$ 200,00.e) R$ 220,00.

46. A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de infl ação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: a) 5%. b) 10%. c) 15%. d) 105%. e) 110%. 47. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a seguir: a) (...) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior. b) (...) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitali-zação são equivalentes, quando produzem o mesmo montan-te no fi nal de determinado período de tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. c) (...) Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa efetiva. d) (...) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada.

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Matemática

e) (...) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa no-minal anual de 20%, capitalizadas semestralmente.

48. Deseja-se comprar um bem que custa X cruzeiros, mas dispõe-se apenas de 1/3 desse valor. A quantia disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras, à taxa mensal de 26%, enquanto que o bem sofre mensalmen-te um reajuste de 20%. Considere as aproximações: log 3 = 0,48; log 105 = 2,021; log 0,54 = -0,27. Assinale a opção CORRETA: a) Ao fi nal do primeiro ano de aplicação, o bem poderá ser adquirido com o montante obtido. b) O número n de meses necessários para o investimento alcançar o valor do bem é dado pela fórmula: X/3 + n 0,26 X/3 = X + n 0,2X. c) O número mínimo de meses de aplicação necessários a aquisição do bem será 23.d) Decorridos 10 meses, o montante da aplicação será 40% do valor do bem naquele momento. e) O bem jamais poderá ser adquirido com o montante obtido.

49. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) Acerca de uma aplica-ção realizada na mesma data e referente a dois capitais (C1 e C2) de valores iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente, à taxa nominal de 42% ao ano, para o capi-tal C 1, e à taxa efetiva de 21 % ao ano, para o capital C 2, julgue os itens abaixo: a) (...) A taxa nominal, para a aplicação do capital C 2 , é igual a 20% ao ano. b) (...) A taxa de capitalização semestral do capital C1, é igual a 20%. c) (...) A taxa de capitalização semestral do capital C 1, é exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do capital C 2. d) (...) O montante do capital C 1 é 21% maior que o mon-tante do capital C 2, no prazo estabelecido para a aplicação. e) (...) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, à mesma taxa estabelecida, o montante de C 2 (ao fi nal do 2° ano de aplicação) será igual ao montante de C1, (ao fi nal do 1° ano de aplicação).

GABARITO01. a 02. a 03. a 04. a 05. d

06. a 07. a 08. a 09. a 10. a

11. a 12. a 13. c 14. a 15. a

16. a 17. a 18. d 19. b 20. a

21. c 22. a 23. d 24. a 25. a

26. a 27. b 28. a 29. a 30. a

31. a 32. a 33. b 34. d 35. b

36. b 37. b 38. e 39. b 40. a

41. c 42. b 43. d 44. e 45. d

46. a 47.CCEEC 48. c 49.CEECC

JUROS SIMPLES01. Você fez um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago em dois anos. O valor a ser pago é próximo de:a) R$6.200,00. b) R$6.270,00.

c) R$4.030,00. d) R$4.070,00.e) n.d.a.

02. Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples de cinco anos, cuja taxa de juro é de 14% ao ano e o valor de resgate, único, igual a R$100.000,00?a) R$58.823,00. b) R$51.936,00. c) R$52.854,00. d) R$59.325,00.e) n.d.a.

03. Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa de 1,8% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no fi nal deste período:a) R$166.946,73. b) R$312.000,00. c) R$151.620,00. d) R$166.200,00.e) n.d.a.

04. Um agente fi nanceiro aplica R$85.000,00 por cinco meses à taxa de 0,9% ao mês. Qual foi o juro obtido nessa aplicação, considerando um regime de capitalização simples?a) R$3.825,00. b) R$3.894,47. c) R$38.250,00. d) R$45.783,04.e) n.d.a.

05. Um investidor faz empréstimo de R$140.000,00 à taxa de 1,95% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita cinco meses após a contratação do empréstimo, qual o valor a ser pago no fi nal deste período?a) R$153.650,00. b) R$140.546,00. c) R$152.635,00. d) R$126.350,00.e) n.d.a.

06. Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remuneração desse capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juro simples ao mês dessa operação?a) 2,11% ao mês. b) 2,18% ao mês. c) 8,7% ao mês.d) 1,09% ao mês.e) n.d.a.

07. Um agente de mercado aplicou R$45.000,00 em determinado papel. Considerando que a taxa de juro foi de 1,45% ao mês, pelo prazo de 51 dias, calcule, no regime de capitalização simples, o valor de resgate desta operação.Admita que um mês possua 30 dias corridos.a) R$46.114,87. b) R$46.109,25. c) R$45.382,69. d) R$45.383,82.e) n.d.a.

08. Um agente fi nanceiro aplicou R$85.000,00 em um período de 173 dias. Foi totalizada uma quantia de R$15.500,00

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Matemática

de juro. Qual é a taxa de juro mensal desta aplicação, considerando o regime de capitalização simples? Admita que um mês tenha 30 dias corridos.a) 2,95% ao mês. b) 3,16% ao mês. c) 25,71% ao mês. d) 19,48% ao mês.e) n.d.a.

09. Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de 7,5% ao mês?a) 66,67 meses. b) 4,65 meses. c) 80 meses. d) 53,33 meses.e) n.d.a.

10. Uma empresa toma empréstimo de R$80.000,00 à taxa de 14,5% ao ano no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita quatro meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no fi nal deste período:a) R$80.966,67. b) R$126.400,00. c) R$87.733,33. d) R$83.866,67.e) n.d.a.

11. Você aplicou R$5.000,00 à taxa de juro simples de 13% ao ano. Quantos anos serão necessários para triplicar o valor?a) 31 anos. b) 25 anos. c) 15 anos.d) 22 anos.e) n.d.a.

12. Uma pessoa aplicou em uma instituição fi nanceira R$ 28.500,00 resgatando no fi nal R$ 31.546,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.a) 3% a.m. b) 2% a.m. c) 2,67% a.m.d) 3,67% a.m.c) 2,67% a.m.

13. Um empréstimo de R$ 33.480,00 foi resgatado 7 meses depois pelo valor de R$ 40.149,80. Calcular a taxa de juros simples em bases mensais e anuais desta operação.

14. Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o montante de R$13.000,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu?

15. Uma pessoa dispondo de R$ 22.500,00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 6,5%, 7,5%, 7,2% e 9,2%. Pede-se calcular os juros simples totais ao fi m do prazo da aplicação.

16. Qual o juro simples total pago pelo empréstimo de R$ 100.000,00 durante 30 dias, às taxas variáveis de 5%

a.m.(durante 12 dias); 3,8% a.m. (durante 8 dias) e 4,7% a.m. (durante 10 dias)?

17. Determinar a taxa trimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 5 anos (=20 trimestres).

18. Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% a.a.?

19. Um capital de R$ 55.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 3,25% ao trimestre ao longo de 1 ano e 9 meses, qual o montante?

20. Um imposto no valor de R$ 410,00 está sendo pago com atraso de cinco meses. Se a Prefeitura cobrar juros de 32,50% ao ano, qual o acréscimo que o contribuinte deverá pagar? 21. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa linear de 42% a.a.

22. Qual os juros simples produzido pela aplicação de um capital de R$ 13.500,00, a uma taxa de 42% ao ano durante 2anos e 8 meses.

23. Uma aplicação de R$ 345.000,00, rendendo uma taxa de juros simples de 24% a.a. produz, ao fi nal de determinado período, juros no valor de R$ 165.600,00. Calcular o prazo da operação.

24. Um capital de R$ 56.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 5 meses, com um rendimento fi nanceiro de R$ 7.740,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. 25. Uma empresa aplica durante 34 dias um capital de R$ 120.000,00 para receber juros simples de 2,5% a.m. Qual o capital acumulado ao fi m do período? 26. Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição que paga juro simples de 3% a.q., para se obter R$ 32.500,00 no fi m de 29 dias? 27. Que taxa de juros simples mensal faz com que um capital de R$ 160.000,00 aumente para R$ 340.000,00, durante 15 meses?

28. Um capital rendeu juros equivalentes a 15% de seu valor. Quantos dias esteve aplicado, sabendo-se que a taxa de juros diária é de 1,5%?.

29. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de juros simples de 13% a.a. duplica seu valor inicial?

30. Paulo emprestou R$ 150,00, a juros simples comerciais, lucrando R$ 42,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias, a taxa de juros mensal aplicada?

31. Aplica-se R$ 15.000,00 a taxa de juros simples de 11,25% ao ano durante 109 dias. Qual o juro obtido? 32. Em quanto tempo um capital aplicado com juros simples 8% ao semestre, triplica?

34

Matemática

GABARITO01. a 02. a 03. d

04. a 05. a 06. b

07. b 08. b 09. d

10. d 11. c 12. c

13. 2,846% a.m. e 34,152% a.a. 14. 1,2% a.m. 15. R$ 6.840,00

16. R$ 4.580,00 17. 10 a.t. 18. R$ 90.909,09

19. R$ 67.512,50 20. R$ 55,52 21. M = R$ 499.500,00 J = R$ 199.500,00

22. R$ 15.120,00 23. 2 anos 24. 2,76% a.m.

25. R$ 123.400,00 26. R$ 32.266,07 27. 7,50% a.m.

28. 10 dias 29. 7,7 anos 30. 7% a.m.

31. R$ 510,94 32. 25 semestres

JUROS COMPOSTOS01. Qual o montante de R$ 5.000,00 quando aplicados por quatro meses à taxa de juros compostos de 3% a.m.? Despreze os centavos:a) R$ 5.630,00. b) R$ 5.627,00. c) R$ 5.625,00.d) R$ 5.621,00.e) R$ 5.620,00.

02. Que capital produz um montante de R$ 1.459,98 em cinco meses, se aplicado à taxa de juros compostos de 4% a.m. ?(dado 1,045 = 1,216))a) R$ 1.200,00. b) R$ 1.300,00. c) R$ 1.400,00.d) R$ 1.500,00.e) R$ 1.600,00.

03. Quais os juros compostos gerados pela aplicação de R$ 60.000,00 durante três anos, à taxa de 12% a.a.? Despreze os centavos.a) R$ 21.600,00. b) R$ 22.450,00. c) R$ 23.685,00.d) R$ 24.295,00.e) R$ 25.096,00.

04. Quanto deverei aplicar por seis meses a 5% a.m. , para receber juros compostos de R$ 1.020,29?(dado 1,056 = 1,34).a) R$ 2.500,00. b) R$ 2.700,00. c) R$ 3.000,00.d) R$ 3.200,00.e) R$ 3.500,00.

05. Em capitalização composta o valor dos juros é sempre:a) Crescente, mas não é proporcional ao prazo. b) Crescente e proporcional ao prazo. c) Decrescente, mas não é proporcional ao prazo.

d) Decrescente e proporcional ao prazo.e) n.d.a.

06. Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer período de tempo maior do que zero e a uma certa taxa, chamarmos: M1- Montante calculado no regime de juros simples; M2- Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial; M3 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear. Teremos: a) M3 > M 1 para qualquer t > 0. b) M3 = M 1 para qualquer 0 < t < 1. c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro. d) M3 < M2 quando t é inteiro. e) M2 > M1 para qualquer t > 0.

07. Uma empresa tomou um empréstimo de dois anos, taxa de juro compostos de 12% ao ano. Sabendo que o valor devolvido após dois anos foi R$500.000,00, então, o empréstimo inicial é mais próximo do valor de:a) R$ 398.597,00. b) R$ 403.226,00. c) R$ 446.429,00.d) R$ 423.550,00.e) n.d.a.

08. A aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00. b) R$ 10.368,00. c) R$ 10.378,00. d) R$ 10.388,00. e) n.d.a.

09. Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses? a) R$ 26.420,00. b) R$ 26.520,00. c) R$ 26.620,00. d) R$ 26.720,00.e) n.d.a.

35

Matemática

10. A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no fi nal do terceiro mês, num montante acumulado: a) de R$ 3.000,00. b) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.c) inferior a R$ 13.000,00. d) superior a R$ 13.000,00.e) de R$13.000,00.

11. Um agente realiza investimento no banco GOHL no valor de R$ 220.000,00 à taxa de 1% ao mês, pelo prazo de oito meses, no regime de capitalização composto. Calcule o valor de resgate desta operação:a) R$ 242.000,00. b) R$ 564.472,59. c) R$ 222.209,65.d) R$ 238.229,20.e) n.d.a.

12. Um agente fi nanceiro emprestou R$25.000,00 a serem pagos após sete meses à taxa de 3% ao mês. Qual é o juro recebido nesta operação, considerando o regime de capitali-zação composto?a) R$ 6.125,00. b) R$ 875,00. c) R$ 5.746,75. d) R$ 30.746,75.e) n.d.a.

13. Um agente de mercado aplicou em título de renda fi xa. O valor de resgate é R$95.000,00, sendo que tal resgate será feito daqui a nove meses. Sabe-se que o rendimento deste título é 2% ao mês. Qual é o valor aplicado?a) R$ 92.694,09. b) R$ 79.491,92. c) R$ 93.695,96. d) R$ 76.151,69. e) n.d.a.

14. Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante fi nal é: a) 30% superior ao capital inicial. b) 130% do valor do capital inicial. c) aproximadamente 150% do capital inicial.d) aproximadamente 133% do capital inicial. e) n.d.a.

15. A qual taxa de juro (ao mês) um capital quintuplica de valor no regime de capitalização composto no fi nal de 12 meses?a) 60% ao mês. b) 1,12% ao mês. c) 41,67% ao mês. d) 14,35% ao mês.e) n.d.a.

16. Você aplicou R$30.000,00 à taxa de juro composto de 14% ao ano. Quantos anos, aproximadamente, serão necessários para triplicar o valor? (Considere log 3 = 0,477 e log 1,14 = 0,06)a) 8 anos. b) 25 anos.

c) 2 anos. d) 10 anos.e) n.d.a.

17. Um investidor aplicou a quantia de R$ 100.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 4 meses? a) R$ 140.410,00. b) R$ 142.410,00. c) R$ 144.410,00. d) R$ 146.410,00. e) n.d.a.

18. O preço de uma mercadoria é R$ 2.400,00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar à vista, a loja dá um desconto de 20%. O mercado fi nanceiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção CORRETA: a) A melhor opção é o pagamento à vista. b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento. c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fi m do mês, R$ 192,00. d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fi m do mês, R$ 210,00. e) n.d.a.

GABARITO01. b 02. a 03. d 04. c 05. a

06. b 07. a 08. b 09. c 10. d

11. d 12. c 13. b 14. d 15. d

16. a 17. d 18. c

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO 01. Depositando mensalmente R$ 10,00 em um fundo que rende 1 % ao mês, o montante imediatamente após o 20° depósito será de: a) R$ 244,04. b) R$ 240,00. c) R$ 220,20. d) R$ 220,00.e) R$ 202,00.

02. Tomou-se um empréstimo de R$ 100,00, para pagamento em 10 prestações mensais sucessivas iguais, a juros de 1% ao mês, a primeira prestação sendo paga um mês após o em-préstimo. O valor de cada prestação é de, aproximadamente: a) R$ 10,80. b) R$ 10,60. c) R$ 10,40. d) R$ 10,20.e) R$ 10,00.

03. O preço de um automóvel é de R$ 500.000,00. Um com-prador ofereceu R$ 200.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a.m.. O valor de cada prestação, desprezados os centavos, é: a) R$ 36.847,00. b) R$ 25.847,00. c) R$ 31.847,00. d) R$ 33.847,00. e) R$ 30.847,00.

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Matemática

04. Uma roupa é vendida por R$ 4.000,00 à vista ou fi nancia-da em 5 prestações iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a., utilizando-se a “tabela price”. A 1ª prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termos anu-ais, são, respectivamente: a) R$ 848 e 24,8%. b) R$ 858 e 26,8%. c) R$ 878 e 26,8%.d) R$ 848 e 26,8%.e) R$ 858 e 24,8%.

05. Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000.000, mas pode ser fi nanciado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% a.a., “Tabela Price”. Sabendo-se que o fi nanciamento deve ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo comprador é de, aproximadamente: a) R$ 403.652. b) R$ 408.239. c) R$ 410.737.d) R$ 412.898.e) R$ 420.225.

06. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações men-sais, iguais e sucessivas no valor de $14,64 cada uma. A ins-tituição fi nanciadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nes-tas informações podemos afi rmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00. b) $ 76,83. c) $ 86,42.d) $ 88,00.e) $ 95,23.

07. Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e de-verá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações tri-mestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao fi nal do primeiro trimestre, segundo vencimento ao fi nal do segun-do trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00. b) $ 10.800,00. c) $ 11.881,00.d) $ 12.433,33.e) $ 12.600,00.

08. Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$ 137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas condições, julgue os itens seguintes e marque a alternativa CORRETA.a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros. b) A medida que a parcela referente aos juros diminui, a par-cela referente à amortização do capital aumenta. c) Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a R$ 522.235,57. d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de juros correspondentes aproximadamente a R$ 52.223,56. e) A parcela de amortização do capital, na sexta prestação, é igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta prestação.

GABARITO01. c 02. b 03. d 04. d

05. a 06. a 07. c 08. c

TÉCNICO BANCÁRIO - C.E.F.- 2008

Para responder às questões de nos 1 e 2, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

Idades (anos) Frequência Acumulada

14 2

15 4

16 9

17 12

18 15

19 18

20 20

01. Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a proba-bilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais?a) 8/14. b) 8/16. c) 8/20. d) 3/14. e) 3/16.

02. Uma das medidas de dispersão é a variância populacional,

que é calculada por . Sabendo-se que m é a

média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens?a) 0,15. b) 0,20. c) 1,78. d) 3,20. e) 3,35.

03.

Qual é o 70º termo da sequência de números (an) defi nida acima?a) 2. b) 1. c) – 1.d) – 2. e) – 3.

04. A tabela abaixo apresenta o fl uxo de caixa de um certoprojeto.

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Matemática

Valor (Milhares de reais) 50 35 22

Período (anos) 0 1 2

A taxa interna de retorno anual é igual a:a) 10%.b) 12%.c) 15%.d) 18%.e) 20%.

05. Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000?a) 90. b) 142. c) 220. d) 229. e) 232.

06. Considere um número N com exatamente dois algarismosdiferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por:a) 2. b) 3. c) 5. d) 7. e) 11.

07. Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestaçõesmensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o emprés-timo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortiza-ção Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será:a) 50,00. b) 55,00. c) 60,00. d) 65,00. e) 70,00.

08. Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros com-postos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadri-mestre, capitalizada bimestralmente?a) 75,0%. b) 72,8%. c) 67,5%. d) 64,4%. e) 60,0%.

09.O gráfi co a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades mone-tárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxade juros utilizada.

Analisando-se o gráfi co, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros: a) compostos, sempre.b) compostos, se o período do empréstimo for menor do quea unidade de tempo.c) simples, sempre.d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

10. Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontadodois meses antes do vencimento, com taxa composta de des-conto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A dife-rença D – d, em reais, vale:a) 399,00. b) 398,00.c) 397,00. d) 396,00.e) 395,00.

GABARITO01. b 02. d 03. d 04. a 05. c

06. e 07. c 08. b 09. e 10. b

TÉCNICO BANCÁRIO CARREIRA ADMINISTRATIVA -

C.E.F./200801. Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segun-da contém um número par?a) 15. b) 20. c) 23. d) 25. e) 27.

02. Após a data de seu vencimento, uma dívida é submeti-da a juros compostos com taxa mensal de 8%, além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dívida original. Sabendo-se que log102 = 0,30 e log103 = 0,48 e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida original.a) 24. b) 23,5. c) 13. d) 11,5. e) 10.

03.

Em um caminho retilíneo há um canteiro formado por 51 ro-seiras, todas enfi leiradas ao longo do caminho, como ilustra-

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Matemática

do. A distância entre quaisquer duas roseiras consecutivas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10,0 m da primeira roseira.

Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar 3 roseiras.

Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encami-nha-se para a 1ª roseira, molha-a, caminha até a 2ª roseira,

molha-a e, a seguir, caminha até a 3ª roseira, molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fi ca vazio, Gabriel volta à torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a última das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?a) 1666,0. b) 1581,0.c) 1496,0.d) 833,0.e) 748,0.

04. Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será:a) 1200,00.b) 1224,00.c) 1241,21. d) 1368,03.e) 2128,81.

05. A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros com-postos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é:a) 4. b) 5.c) 6.d) 7.e) 8.

06. A tabela abaixo apresenta o fl uxo de caixa de um certo projeto.

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser:a) 216,5. b) 217,5.c) 218,5.d) 219,5.e) 220,5.

07. Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestaçõesmensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o emprés-timo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será:

a) 50,00.b) 52,00.c) 54,00.d) 56,00.e) 58,00.

08. Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabili-dade de que N seja menor do que 4 é:a) 150/216. b) 91/216. c) 75/216. d) 55/216. e) 25/216.

09. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de ju-ros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívi-da 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?a) 110,00. b) 108,00. c) 106,00. d) 104,00. e) 102,00

10. Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?a) 481. b) 448. c) 420. d) 300. e) 289.

GABARITO01. c 02. d 03. b 04. d 05. a

06. e 07. d 08. b 09. e 10. b

TÉCNICO BANCÁRIO NOVO C.E.F. - CARREIRA ADMINISTRATIVA -

201001. Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa men-sal de desconto simples por fora será igual aa) 5%.b) 6%.c) 7%.d) 8%.e) 9%.

02. Uma dívida no valor de R$ 10.000,00, contraída pelo sistema francês de amortização (tabela Price), com juros de 1,29% ao mês, será paga em 4 prestações mensais. Nes-se caso, considerando-se 0,95 como valor aproximado de 1,0129-4, cada prestação será igual aa) R$ 2.620,00.b) R$ 2.610,00.c) R$ 2.600,00.d) R$ 2.590,00.e) R$ 2.580,00.

Matéria

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Matemática

03. Se a quantia de R$ 5.000,00, investida pelo período de 6 meses, produzir o montante de R$ 5.382,00, sem se des-contar a infl ação verifi cada no período, e se a taxa de infl ação no período for de 3,5%, então a taxa real de juros desse investimento no período será dea) 4,5%.b) 4%.c) 3,5%.d) 3%.e) 2,5%.

04. Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no fi -nanciamento desse computador correspondem a juros com-postos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para 1,07-8, se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual aa) R$ 2.050,00.b) R$ 2.060,00.c) R$ 2.070,00.d) R$ 2.080,00.e) R$ 2.090,00.

05. Na negociação de uma dívida no valor de R$ 10.000,00, o credor ofereceu as seguintes opções para o devedor. I. Pagar toda a dívida, no ato da negociação, com desconto de 1,8% sobre o valor da dívida.II. Pagar em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas,

sem desconto, com a primeira prestação vencendo depois de 2 meses da negociação.III. Pagar em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem desconto, com a primeira prestação vencendo um mês após a negociação.IV. Pagar em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem desconto, com a primeira prestação vencendo no ato da negociação.

Considerando 0,99, 0,98 e 0,97 como valores aproximados para 1,01-1, 1,01-2, 1,01-3, respectivamente, e supondo que o devedor poderá aplicar, no ato da negociação e a juros com-postos de 1% ao mês, quantias necessárias ao pagamento da dívida, assinale a opção correta.a) Para o devedor, a opção III é fi nanceiramente mais vanta-josa que a II.b) Para ter quantias sufi cientes para pagar as prestações ao escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da ne-gociação, R$ 9.750,00.c) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00 no ato da negociação.d) A opção mais vantajosa fi nanceiramente para o devedor é a I.e) A opção menos vantajosa fi nanceiramente para o devedor é a IV.

GABARITO01. d 02. e 03. b 04. e 05. e

ANOTAÇÕES_________________________________________________________________

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