0303200 – Probabilidade – Aula 03

Magno T. M. Silva

Escola Politecnica da USP

Marco de 2017

Sumario

Teorema de Bayes

2.5 Independencia

Teorema de Bayes

Sejam A1, · · · ,Ak uma particao de S (eventos disjuntos) comprobabilidade a priori P (Ai), i = 1,2, · · · , k. Entao, paraqualquer outro evento B em S para o qual P (B) > 0, aprobabilidade a posteriori de Aj dado que B ocorreu, e

P (Aj |B) =P (Aj ∩B)

P (B)=

P (B|Aj)P (Aj)

P (B)=

P (B|Aj)P (Aj)k∑

i=1

P (B|Ai) · P (Ai)

j = 1,2, · · · , k

Teorema de Bayes – Exemplo 20 (2.31 do Devore)

Apenas 1 em 1000 adultos e acometido por uma doenca rara paraa qual foi desenvolvido um teste de diagnostico. O teste funcionade tal forma que, se o indivıduo tiver a doenca, o resultado doteste sera positivo em 99% das vezes e, se nao a tiver, serapositivo em apenas 2% das vezes. Se um indivıduo selecionadoaleatoriamente for testado e o resultado for positivo, qual aprobabilidade de ele ter a doenca?

Teorema de Bayes – Exemplo 2.31 do Devore

Resolucao:Vamos considerar os seguintes eventos:

A1 = indivıduo tem a doenca ⇒ P (A1) = 0,001

A2 = indivıduo nao tem a doenca ⇒ P (A2) = 0,999

B = resultado do teste positivo

Do enunciado, obtemos P (B|A1) = 0,99 e P (B|A2) = 0,02.Com esses dados, podemos calcular

P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) = 0,02097

P (A1|B) =P (A1 ∩B)

P (B)=

P (B|A1)P (A1)

P (B)=

0,00099

0,02097= 0,047

Como a doenca e rara e o teste e moderadamente confiavel, amaior parte dos resultados positivos provem de erros e nao deindivıduos doentes.

Exemplo 21 (Exercıcio 49 do Devore)Uma imobiliaria de casas de veraneio solicita que qualquer pessoainteressada em fazer uma compra va primeiramente ao local deinteresse. Dados historicos indicam que

20% de todos os compradores potenciais escolhem ir duranteo dia

50% escolhem visitas de uma noite e

30% optam por visitas de duas noites.

Alem disso,

10% dos visitantes diurnos compram uma unidade

30% dos visitantes de uma noite compram uma unidade e

20% dos visitantes de duas noites decidem comprar.

Um visitante foi selecionado aleatoriamente e constatou-se que elefez uma compra.Perguntas:Qual a probabilidade desta pessoa ter feito uma visita durante odia? Uma visita de uma noite? Uma visita de duas noites?

Exemplo 21 (Exercıcio 49 do Devore)Resolucao: Sejam os eventos

A = visitante diurno ⇒ P (A) = 0,2

B = visitante de uma noite ⇒ P (B) = 0,5

C = visitante de duas noites ⇒ P (C) = 0,3

D = comprador de uma casa

Do enunciado, sabe-se que

P (D|A) = 0,1, P (D|B) = 0,3, P (D|C) = 0,2

Do teorema da PROBABILIDADE TOTAL, obtemos

P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) + P (D|C)P (C) = 0,23

Do teorema de BAYES, obtemos

P (A|D) =P (D|A)P (A)

P (D)= 0,087, P (B|D) =

P (D|B)P (B)

P (D)= 0,652

P (C|D) =P (D|C)P (C)

P (D)= 0,261

Independencia

Dois eventos A e B sao independentes se

P (A|B) = P (A).

Caso contrario, sao dependentes.Note que se A e B forem independentes:

Entao P (A|B) = P (A) e

P (B|A) =P (A|B)P (B)

P (A)=

P (A)P (B)

P (A)= P (B)

Ac e B serao independentes

A e Bc serao independentes

Ac e Bc serao independentes

Independencia – Exemplo 22 (2.32 do Devore)Considere um posto de gasolina com 6 bombas numeradas1,2, · · · ,6 sendoEi o evento simples em que um cliente selecionado aleatoriamenteusa a bomba i (i = 1,2, · · · ,6). Suponha que

P (E1) = P (E6) = 0,10

P (E2) = P (E5) = 0,15

P (E3) = P (E4) = 0,25

Vamos definir os eventos

A = 2,4,6

B = 1,2,3

C = 2,3,4,5

Entao P (A) = P (B) = 0,5, P (C) = 0,8, P (A|B) =0,3, P (A|C) = 0,5.Portanto, A e B sao dependentes e A e C saoindependentes. Note que a divisao relativa da probabilidade entrebombas pares e ımpares nos eventos A e C e a mesma entre asbombas 2,3,4,5 e entre todas as seis bombas.

Independencia – Exemplo 23 (2.33 do Devore)

Sejam A e B dois eventos disjuntos com P (A) > 0. Por exemplo,para um automovel escolhido aleatoriamente, seja

A = o carro possui um motor de quatro cilindros

B = o carro possui um motor de seis cilindros

Como os eventos sao disjuntos, se ocorrer B, A nao pode terocorrido, de forma que P (A|B) = 0 6= P (A).Conclusao: Se dois eventos forem disjuntos, nao podem serindependentes.Note que a informacao da ocorrencia de B neste caso indica que A

nao pode ter ocorrido e por isso, os eventos nao sao independentes.

Independencia – Regra da multiplicacao para P (A ∩ B)

A regra da multiplicacao e dada por

P (A ∩B) = P (A|B) · P (B).

Os eventos A e B sao independentes se, e somente se,

P (A ∩B) = P (A) · P (B).

Esse conceito pode ser estendido para n eventos A1, A2, · · · , An

mutuamente independentes. Neste caso, considerando umsubconjunto de ındices i1, i2, · · · , ik desses n eventos, obtemos:

P (Ai1 ∩Ai2 ∩ · · · ∩Aik) = P (Ai1) · P (Ai2) · . . . · P (Aik)

Independencia – Exemplo 24 (2.34 do Devore)

Em uma determinada empresa,

30% das lavadoras de roupa requerem manutencao enquantoestiverem na garantia e

10% das secadoras de roupa precisam de manutencaoenquanto estiverem na garantia.

Perguntas: se alguem comprar uma lavadora e uma secadora deroupas feitas por essa empresa,

a) qual a probabilidade de que ambas as maquinas precisem deconserto?

b) qual a probabilidade de que nenhuma maquina precise deconserto?

Independencia – Exemplo 24 (2.34 do Devore)

Resolucao: Sejam os eventos

A = lavadora precisa de manutencao em garantia ⇒P (A) = 0,30

B = secadora precisa de manutencao em garantia ⇒P (B) = 0,10

Supondo que as maquinas funcionem de forma independente umada outra, podemos calcular

a) P (A ∩B) = P (A) · P (B) = (0,30)(0,10) = 0,03

Analogamente,

b) P (Ac ∩Bc) = P (Ac) · P (Bc) = (0,70)(0,90) = 0,63

Independencia – Exemplo 25 (2.36 do Devore)

Considere as seguintes configuracoes para um sistema de celulassolares fotovoltaicas:

11 22 33

44 55 66

serie-paralelo cruzado

Suponha que

a vida util de cada celula e t0, e que

a probabilidade da duracao de uma celula ser maior que t0 e0,9.

Calcule a probabilidade de a vida util do sistema exceder t0 nasduas configuracoes.

Independencia – Exemplo 25 (2.36 do Devore)

Resolucao: Vamos considerar primeiramente a configuracaoserie-paralelo e sejam os eventos

Ai = a vida util da celula i excede t0, i = 1,2, · · · ,6.

Supondo que esses eventos sejam mutuamente independentes (aduracao de uma celula nao tem nenhuma relacao com a duracaodas outras), o sistema falhara se alguma celula do ramo superior edo ramo inferior falhar simultaneamente. Dessa forma,

P (vida util do sistema excede t0)=P [(A1 ∩A2 ∩A3)∪(A4 ∩A5 ∩A6)]

= P (A1 ∩A2 ∩A3) + P (A4 ∩A5 ∩A6)

− P [(A1 ∩A2 ∩A3) ∩ (A4 ∩A5 ∩A6)]

= 0,93 + 0,93 − 0,96 = 0,927

Independencia – Exemplo 25 (2.36 do Devore)

De forma alternativa

P (vida util do sistema excede t0)

= 1− P (vidas uteis de ambos os subsistemas ≤ t0)

= 1− [P (vida util do subsistema ≤ t0)]2

= 1− [1− P (vida util do subsistema > t0)]2

= 1− [1− (0,9)3]2 = 0,927

Independencia – Exemplo 25 (2.36 do Devore)

Vamos considerar agora a configuracao cruzada. O sistema falharase houver falha de uma coluna e a vida util excedera t0 apenas se avida util de cada coluna tambem exceder t0. Dessa forma,

P (vida util do sistema excede t0)

= [P (vida util da coluna > t0)]3

= [1− P (vida util da coluna ≤ t0)]3

= [1− P (vida util de ambas as celulas da coluna ≤ t0)]3

= [1− (1− 0,9)2]3 = 0,970

Exercıcios extras

Extra 1 Numa certa populacao foi feito um estudo estatıstico sobreo gosto por animais de estimacao e constatou-se que aprobabilidade de gostar de gato e 1/3 enquanto que a probabilidadede gostar de cachorro e 1/2. Determine a probabilidade de gostar

de gato e nao gostar de cachorro nos seguintes casos:

a) Gostar de gato e gostar de cachorro sao eventos disjuntos.

b) Gostar de gato e gostar de cachorro sao eventosindependentes.

c) Todos que gostam de gato, gostam de cachorro.

d) A probabilidade de gostar de gato e de cachorro ao mesmotempo e 1/8.

e) Dentre os que nao gostam de cachorro, a probabilidade denao gostar de gato e 3/4.

Exercıcios extras

Extra 2 Uma fabrica possui tres maquinas M1, M2 e M3 paraproduzir resistores de 1kΩ. Foi observado que 100p% (0 < p < 1)dos resistores produzidos por M1 tem tolerancia menor que 10%do valor nominal. A maquina M2 produz 50p% dos resistores comtolerancia menor que 10% do valor nominal. A porcentagem damaquina M3 e de 25p%. A maquina M1 produz N resistores porhora, M2 produz 2N resistores por hora e M3 produz N resistorespor hora. Todos os resistores sao misturados e colocados em umacaixa para envio.

Determine a probabilidade de que um resistor com toleranciamenor que 10% tenha sido produzido pela maquina M3.

Exercıcios extras

Extra 3 Uma caixa contem 10 bolas:

2 bolas totalmente brancas

1 bola branca com 1 faixa preta

1 bola branca com 2 faixas pretas

1 bola totalmente azul

1 bola azul com 1 faixa preta

2 bolas verdes com um faixa preta

1 bola verde com duas faixas

PPPP

PP

PPP

faixacor

B A V

0 2 1 0

1 1 1 2

2 1 1 1

Exercıcios extras

Extra 3 – continuacaoDetermine as seguintes probabilidades:

a) pegar uma bola azul.

b) pegar uma bola com uma faixa.

c) pegar uma bola azul ou uma bola com uma faixa

d) pegar uma bola com uma faixa se voce souber que a bola everde

Exercıcios extras

Extra 4 Um mıssil pode ser lancado acidentalmente se ambas aschaves A e B falharem. As probabilidades das chaves A e Bfalharem valem respectivamente 0,01 e 0,03. Sabe-se tambem quea probabilidade da chave B falhar dado que a chave A falhou vale0,06.

Determine a probabilidade da chave A falhar dado que achave B falhou.

Exercıcios extras

Extra 5 Uma fabrica de circuitos integrados produz chips que saoembalados em caixas com 15 unidades. Para aceitar o lote enviadopor essa fabrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteiauma caixa do lote. Dessa caixa, sorteia 6 chips, sem reposicao. Seencontrar no maximo 2 pecas defeituosas, aceita o lote fornecidopela fabrica.

Supondo que a caixa sorteada tenha 5 pecas defeituosas,determine a probabilidade de rejeitar o lote.

Exercıcios extras

Extra 5 Uma fabrica de circuitos integrados produz chips que saoembalados em caixas com 15 unidades. Para aceitar o lote enviadopor essa fabrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteiauma caixa do lote. Dessa caixa, sorteia 6 chips, sem reposicao. Seencontrar no maximo 2 pecas defeituosas, aceita o lote fornecidopela fabrica.

Supondo que a caixa sorteada tenha 5 pecas defeituosas,determine a probabilidade de rejeitar o lote.

Exercıcios extras

Extra 6 Um canal binario tem probabilidade de erro Pe. Aprobabilidade de se transmitir o dıgito “1” e Q e a probabilidadede se transmitir o dıgito “0” e 1−Q.

Se o receptor detecta um dıgito “1”, determine aprobabilidade de que o dıgito “1” tenha sido transmitido.

Exercıcios extras

Extra 7

Em um programa de televisao, a ideia e ganhar um carro.

O apresentador mostra tres portas a voce e diz que ha umcarro atras de uma delas e atras das outras duas ha cabras.

Ele pede para voce escolher uma porta e voce escolhe.

No entanto, essa porta nao e aberta de modo que voce naosabe o que esta atras dela.

Entao, o apresentador abre uma das portas que voce naoescolheu e mostra uma cabra (ele sabe o que ha atras dasportas).

Entao ele diz que voce tem uma ultima oportunidade demudar de opiniao antes que as portas sejam abertas.

Ele pergunta se voce quer mudar de ideia e escolher outraporta sem abrir.

O que voce deve fazer?

Exercıcios extras

Extra 7 – Resolucao

Vamos denotar as portas por X, Y e Z.

Vamos denotar CX caso o carro esteja atras da porta X eassim sucessivamente.

Vamos denotar AX caso o apresentador abra a porta X eassim sucessivamente.

Supondo que voce tenha escolhido a porta X, a probabilidade devoce ganhar o carro caso mude de porta e calculada como

P ((AZ ∩ CY ) ∪ (AY ∩ CZ)) = P (AZ ∩ CY ) + P (AY ∩ CZ)

= P (AZ |CY )P (CY ) + P (AY |CZ)P (CZ)

= 1 ·1

3+ 1 ·

1

3=

2

3

Exercıcios extras

Extra 7 – Resolucao

Figura extraıda do livro “The curious incident of the dog in the night-time” deMark Haddon, 2003 (versao espanhola, Ediciones Salamandra).

Resultados importantes de Probabilidade

a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

b) Probabilidade Condicional

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)

c) Probabilidade Total

P (B) =∑

k

P (B|Ak)P (Ak)

se os Ak formam uma particao de S

Resultados importantes de Probabilidade

d) Formula de Bayes

P (A|B) =P (B|A)P (A)

P (B)

e) Independencia Estatıstica

P (A ∩B) = P (A)P (B)