1 Fundamentos de Matemática – 2010/2 | Prof. Jeferson Gomes Moriel Jr

Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum

Definição 1. [Múltiplos e divisores]

n = k.m, k ∈ Z → 𝑛 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑚

𝑚 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 (𝑜𝑢 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛) .

Exemplo 1. O número n = 7,5 pode ser escrito como o produto 3.2,5. Então, 7,5 = 3.2,5. Da Definição 1, temos que 7,5 é múltiplo de 2,5 e que, também, 2,5 é divisor de 7,5.

Exemplo 2. O número n = 120 pode ser escrito, por exemplo, como o produto 100.1,2. Então, 120 = 100.1,2. Da Definição 1, temos que 120 é múltiplo de 1,2 e que, também, 1,2 é divisor de 120.

Auto-avaliação 1. Escolha dois números a e b e mostre que a é múltiplo de b e que b é divisor de a.

Observação. Um número p é primo se for divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

Compreendendo “Mínimo Múltiplo Comum”

A pergunta “Qual é o mínimo múltiplo comum entre 10 e 6?” pode ser transformada em outra mais familiar (talvez): “Qual é o menor múltiplo que os números 10 e 6 tem em comum?” Vejamos como respondê-la.

Múltiplos de 10*:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...

Múltiplos de 6*:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

Percebe-se que os números 30 e 60 (além de outros) são múltiplos de 10 e 6 simultaneamente. Logo 30 e 60 são múltiplos em comum de 10 e 6. No entanto precisamos apenas do menor: 30. Assim, o número 30 é o menor múltiplo comum entre 10 e 6, também conhecido como mínimo múltiplo comum. Isto pode ser resumido da seguinte forma:

M.M.C. (10, 6) = 30.

Compreendendo “Máximo Divisor Comum”

A pergunta “Qual é o máximo divisor comum entre 10 e 6?” pode ser transformada em outra mais

familiar (talvez): “Qual é o maior divisor que os números 10 e 6 tem em comum?” Vejamos como respondê-la.

Divisores de 10*: 10, 5, 2, 1

Divisores de 6*: 6, 3, 2, 1.

Percebe-se que os números 2 e 1 são divisores de 10 e 6 simultaneamente. Logo, 2 e 1 são múltiplos em comum de 10 e 6. No entanto, precisamos apenas do maior: 2. Portanto, o número 2 é o maior divisor comum entre 10 e 6, também conhecido como máximo divisor comum (MDC). Isto pode ser resumido da seguinte forma:

M.D.C. (10, 6) = 2.

* Estamos considerando somente os valores positivos.

Método prático para obter MMC e MDC: decomposição simultânea

Qual é o MDC e o MMC entre 360 e 84?

360, 84 180, 42

90, 21 45, 21

15, 7 5, 7 1, 7 1, 1

2 ● 2 ● 2 3 ● 3 5 7

MDC (360, 84) = 22.3 = 12 (é o produto dos divisores comuns ●) MMC (360, 84) = 23.32.5.7 = 2520 (é o produto de todos os divisores)

Auto-avaliação 2. Usando o método prático da decomposição simultânea verifique que MMC (10, 6) = 30 e que MDC (10, 6) = 2.

Exercícios

1. Calcule o MDC e o MMC de:

a) 3 e 6 b) 11 e 7 c) 24 e 60 d) 24, 36 e 48 e) 72 e 120 Respostas.1

2. Escolha dois números diferentes cujo MMC é 24. Mostre que sua escolha é correta.

3. Escolha dois números diferentes cujo MDC é 10. Mostre que sua escolha é correta.

1 A) 3. 6. B) 1. 77. C) 12. 120. D) 12. 144. E) 24. 360.

2 Fundamentos de Matemática – 2010/2 | Prof. Jeferson Gomes Moriel Jr

Problemas de aplicação dos conceitos de MDC e MMC

P1. Em certa cidade existe três festas que acontecem periodicamente, quais sejam, a festa do milho, a festa da uva e a festa da soja. A festa do milho ocorre a cada quatro anos, a festa da uva ocorre a cada três anos e a festa da soja ocorre a cada seis anos. Se em 2010 estas festas ocorreram simultaneamente, qual será o próximo ano elas voltarão a ocorrer simultaneamente outra vez?

Solução. Calculando o MMC (4, 3, 6) = 12 encontramos o número de anos necessários para que as festas ocorram simultaneamente. Como as festas ocorreram juntas em 2010, então 2010 + 12 = 2022 é o próximo ano em que as festas ocorrerão outra vez simultaneamente.

P2. O cometa X passa perto da Terra a cada 100 anos, o cometa Y a cada 45 anos e o cometa K a cada 300 anos. Sabe-se que no ano 1.115 foi a última vez que esses três cometas estiveram próximos da Terra ao mesmo tempo. Faça uma previsão da próxima vez que eles estarão, simultaneamente, próximos à Terra. Resposta2.

P3. Em uma casa há quatro lâmpadas, a primeira acende a cada 27 horas, a segunda acende a cada 45 horas, a terceira acende a cada 60 horas e a quarta só acende quando as outras três estão acesas ao mesmo tempo. De quantas em quantas horas a quarta lâmpada vai acender? Resposta3.

P4. Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível?

Solução. Chamemos de n o número de livros que a bibliotecária vai colocar em cada estante. Então temos: 130/n = número de estantes para os livros de Matemática e 195/n = número de estantes para os livros de Português.

Isso mostra que n deve ser divisor comum de 130 e 195, pois o número de estantes utilizadas é

2 2015. 3 540 horas.

inteiro. Sabemos que quando aumentamos o denominador de uma fração, esta fração diminui (por exemplo, 27/10 é menor do que 27/8). Logo, quanto maior for o denominador n, menores serão as frações 130/n e 195/n, o que significa que menor será o número de estantes utilizadas. Vemos assim que n deve ser o maior divisor comum de 130 e 195. Fazendo os cálculos temos quem MDC(130, 195) = 65.

Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante. Portanto, o número de estantes para os livros de Matemática é de 130/65 = 2 e o número de estantes para os de Português é 195/65 = 3, o que dá um total de 2+3 = 5 estantes.

P5. Uma locadora adquiriu 220 DVDs de filme e 275 DVDs de show. Deve-se armazená-los em prateleiras, colocando igual quantidade de DVDs em cada prateleira, sem misturar os de filme com os de show na mesma prateleira. Quantos DVDs devem ser colocados em cada prateleira para que o número de prateleiras utilizadas seja o menor possível? Quantas prateleiras serão utilizadas neste caso? Resposta4.

4 55 livros. 4+5=9 prateleiras.