05. Dois ângulos adjacentes são complementares. … · Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua ... C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:14 Página 44

1 www.ruilima.com.br | facebook/RuiLima

Ângulos, polígonos e triângulos

GEOMETRIA

01 01. Sejam A, B e C respectivamente as medidas do complemento, suplemento e replemento do ângulo de 40°, têm-se a) A = 30°; B = 60°; C = 90° b) A = 30°; B = 45°; C = 60° c) A = 320°; B= 50°; C = 140° d) A = 50°; B = 140°; C = 320° e) A = 140°; B = 50°; C = 320° 02. O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádruplo do seu complemento, é: a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68° 03. Determine x, y, z nas figuras a seguir:

04. Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.

O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a a) 144° b) 128° c) 116° d) 82° e) 54°

05. Dois ângulos adjacentes são complementares. Então, o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos é: a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 50° 06. Dois ângulos consecutivos não adjacentes medem 138º e 40º, quanto mede o ângulo formado pelas suas bissetrizes? a) 45º b) 46º c) 47º d) 48º e) 49º 07. Observe a figura D 1 cm 1 cm 1 cm C E 1 cm F B s 1 cm A r Em relação aos segmentos de reta não é correto afirmar que: a) AB e BC são consecutivos, colineares e adjacentes b) AB e CD são colineares e congruentes c) BD e DF são consecutivos e congruentes d) AD e CD são consecutivos, colineares e adjacentes e) AC e CD são consecuitivos, colineares e adjacentes 08. As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura a seguir, é: a) 40° b) 45° c) 50° d) 65° e) 130o


09. Na figura a seguir temos r//s e t//u//v.

Com base nos estudos dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal pode-se afirmar que: I) O ângulo X mede 127° 30'. II) O ângulo Y mede 117°. III) O ângulo Z mede 64° 30'. Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmações I e II estão corretas. b) Somente as afirmações I e III estão corretas. c) Somente a afirmação I está correta. d) As afirmações I, II e III estão corretas. e) As afirmações I, II e III estão incorretas. 10. Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG.

Qual é o valor, em graus, do ângulo x? a) 80° b) 90° c) 100° d) 110° e) 120° 11. As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

12. Na figura a seguir, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas. Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a: a) 70. b) 60. c) 45. d) 40. e) 30. 13. Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o valor do ângulo Â da figura a seguir:

Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a construção localizada no número: a) 990. b) 261. c) 999. d) 1026. e) 1260. 14. Uma peça de mosaico é confeccionada a partir do corte de um azulejo quadrado. Os lados do quadrado são paralelos e os ângulos feitos pelos cortes são representados conforme desenho abaixo 120º y 50º A medida, em graus, de y é: a) 10º b) 40º c) 50º d) 70º e) 80º


15. Um raio de luz monocromática incide sobre a superfície de um líquido, de tal mode que o raio refletido R forma um ângulo de 90º com o raio refratado R’. O ângulo entre o raio incidente I e a superfície de separação dos meios mede 37º, como mostra a figura.

Os valores do ângulo de incidência (i) e do ângulo de refração (r), são respectivamente iguais a: a) 53º e 37º b) 53º e 53º c) 37º e 37º d) 53º e 43º e) 43º e 53º 16. Na figura abaixo considere CDACAB ≅≅ e AC bissetriz do ângulo BÂD determine a medida do ângulo α A α D C B a) 30º b) 36º c) 40º d) 45º e) 60º 17. Observe a figura A 70º E 65º 70º 55º B C D Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o maior segmento é: a) AB b) AE c) EC d) BC e) ED

18. O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC de 90º no sentido anti-horário ao redor de C, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que α é igual a: a) 55o b) 65o c) 70o d) 80o e) 85o 19. (UPE) No retângulo ABCD, figura abaixo, E é o ponto médio do lado BC, e F é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G. O ângulo EAF mede 20º. Quanto mede o ângulo EGB ?

a) 32° b) 25° c) 15° d) 30° e) 20° 20. Da figura abaixo sabe-se que: Ø r//s Ø AM ≅ AP Ø BM ≅ BQ s r P Q α A M B Então, α vale:

C

60º

40º

α

A

B

D

E


21. Na figura a seguir determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento. 22. (UFPE) Na ilustração abaixo, os segmentos DC, DE, EA têm mesma medida. O ângulo CDB mede 23o. Qual a soma dos dígitos da medida em minutos do ângulo EAD?

A D B

C

E23o

23. (UFPE) Determine a medida em graus do ângulo α na ilustração a seguir.

122°

121°

123°

α

QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS DE GEOMETRIA PLANA

24. As lentes são formadas por materiais transparentes (meio refringente) de tal forma que pelo menos uma das superfícies por onde passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana. Nas lentes esféricas, uma das super- fícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e, consequentemente, caracterizadas por um raio de curvatura. As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua construção, como lentes convergentes e divergentes. Quando a lente está no ar ou em qualquer meio menos refringente que o seu material, as lentes convergentes são mais grossas na parte central que nas bordas. O contrário ocorre nas divergentes, que são delgadas no seu centro e mais grossas nas extremidades. Exemplos de lentes convergentes são lupas e lentes para corrigir hipermetropia. Lentes divergentes são encontradas em olho-mágico de portas e em óculos para correções da miopia. Outra classificação é feita em termos da geometria da lente. Caso as duas superfícies sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava. Se as duas superfícies são convexas, tem-se uma lente biconvexa. Sendo uma superfície plana e outra convexa, tem-se uma lente plano- convexa e assim por diante. Existem seis tipos de lentes, que são representadas pelas figuras a seguir.

Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a quantidade de regiões não convexas é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

MATEMÁTICA44

Os ângulos mO^

r e rO^

s são adja centes.

ObservaçãoDois ângulos adjacentes são sem pre dois ângulos

con se cutivos, porém dois ângulos con secutivos nemsem pre são adjacentes.

15. Congruência de ângulosDois ângulos são congruentes se, e somente se,

eles têm mesma medida.

Simbolicamente:

16. Ângulo retoDuas retas são chamadas concorrentes se, e so -

mente se, elas possuírem um único ponto em comum.

Observe que duas retas concorrentes determinamquatro regiões angulares adjacentes.

Quando duas dessas regiões angulares adjacentesforem congruentes, dizemos que qualquer uma delasdefine uma região de ângulo reto.

ObservaçãoQuando duas retas r e s são con correntes e deter -

minam ân gulos adjacentes con gruen tes, elas são cha -madas per pen di cu lares.

Sim bolica mente: r ⊥ s.

A

r

sB

O

AOB é reto^

O

s

r

m

A^BC ≅ D ÊF ⇔ med (A ^BC) = med (D ÊF)

B

A

C

ED

F

! As lentes são formadas por materiaistrans parentes (meio refrin gente) de tal formaque pelo menos uma das superfícies por ondepassa a luz (ao entrar ou sair da lente) não éplana. Nas lentes esféricas, uma das super -fícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e,con sequen temente, caracterizadas por um raiode curvatura.As lentes podem ser classificadas, de acordocom sua cons tru ção, como lentes conver gen -tes e divergentes. Quando a lente está no ar ouem qualquer meio menos refringente que o seuma terial, as lentes convergentes são mais gros -sas na parte central que nas bordas. O contrárioocorre nas divergentes, que são delgadas noseu centro e mais grossas nas extremi dades.Exemplos de lentes convergentes são lupas elentes para cor rigir hipermetropia. Lentes diver -gentes são encon tradas em olho-mágico deportas e em óculos para correções da miopia.Outra classificação é feita em termos dageometria da lente. Caso as duas superfíciessejam côncavas, a lente é chamada bicôncava.Se as duas superfícies são convexas, tem-seuma lente biconvexa. Sendo uma superfície

plana e outra convexa, tem-se uma lente plano-convexa e assim por diante.

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br

Existem seis tipos de lentes, que são represen -tadas pelas figuras a seguir.

Das seis figuras que representam os tipos delentes, a quan tidade de regiões não convexasé:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5ResoluçãoSomente as duas primeiras não são regiõesnão convexas.

Resposta: D

" Quando falamos em figuras iguais,intuitivamente nos vêm à mente figuras demesmo tamanho e forma. Isto significa que,executando-se alguns movimentos, as figurasse “encaixam” exatamente umas sobre asoutras. Observemos que a palavra “iguais”está sendo usada de forma um tanto imprópria,já que os conjuntos de pontos que formamcada uma das figuras são diferentes. Tornamosmais precisa nossa linguagem usando aexpressão "figuras congruentes".

http://penta.ufrgs.br/edu

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:14 Página 44


24. Nas regiões próximas à linha do Equador, todas as estrelas nascem e se põem quatro minutos mais cedo, a cada dia que passa. Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará um total de 24 horas. Por isso, se você observar o céu todas as noites, sempre à mesma hora, notará que seu aspecto irá modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de ser visíveis, enquanto outras vão surgindo no horizonte no lado Leste. E se voltar a observar o céu daqui a três meses, verá que tal modificação será bem mais sensível. Ao término de seis meses, você poderá verificar que todas as constelações visíveis serão diferentes, pois você estará vendo o outro lado do céu estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.

Na figura acima, o astrônomo observou que as estrelas A, B e C estão posicionadas de tal modo que BD é bissetriz do ângulo ADC. Se ADB = 3x–10°e CDB = 2x+8°, então a medida do ângulo ADC é: a) 80° b) 82° c) 84° d) 86° e) 88° 25. Castelos e palácios eram residências majestosas para nobres e reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres e fossos. Embora os palácios fossem grandes residên- cias e pudessem ter muros ao seu redor, não tinham muros altos de proteção e não eram projetados para finalidades militares.

O fosso – um grande dique ou trincheira ao redor do muro externo do castelo – era a primeira linha de defesa. Ele poderia ser cheio de água ou seco (um fosso seco poderia ser forrado com estacas pontiagudas de madeira). Normalmente, havia uma ponte elevadiça que permanecia erguida quando o castelo era atacado. Vários fossos eram também locais para depósito de lixo e detritos. A existência de um fosso dependia do terreno – nem todos os castelos tinham fossos. Alguns eram construídos no alto de uma rocha e não precisavam deles. Os castelos de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto de uma encosta rochosa. Vários castelos alemães ao longo do Rio Reno foram cons- truídos nas áreas montanhosas do vale. Durante um ataque a um castelo medieval, os sentinelas ergueram a ponte levadiça, até que ela formasse um ângulo α com a horizontal. Se a medida do ângulo α é a metade da medida do seu suplemento, então, o complemento de α vale: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

26. Uma folha retangular de papel ofício de medidas 287 x 210 mm foi dobrada conforme a figura.

Os ângulos resultantes da dobradura medem, respectivamente, em graus a) 40 e 90. b) 40 e 140. c) 45 e 45. d) 45 e 135. d) 35 e 145. 27. Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. a) 60 km b) 65 km c) 66 km d) 68 km e) 72 km 28. Na pista de kart da figura seguinte, temos:AB paralelo a DE e também paralelo a FG. Assim, a soma das medidas dos ângulos x e y vale:

a) 140o b) 160o c) 180o d) 200o e) 220o 29. Antônio Carlos levou seu filho Fernando Antônio para fazer um passeio no “Rio do Peixe” cujas margens são paralelas. No local aonde eles foram, havia uma ponte que ligava a margem r com um ilha localizada pelo ponto B e uma outra ponte ligando a ilha com o ponto C na outra margem, como mostra a figura seguinte. Se o ângulo agudo que a margem forma com AB mede 18° e ABC = 92°, então, a medida do ângulo obtuso que a margem s forma com a ponte BC é:

a) 102° b) 104° c) 106° d) 108° e) 110°

MATEMÁTICA48

! Nas regiões próximas à linha do Equador,todas as estrelas nascem e se põem quatrominutos mais cedo, a cada dia que passa. Aofinal de 365 dias, esse adiantamento dará umtotal de 24 horas. Por isso, se você observar océu todas as noites, sempre à mesma hora,notará que seu aspecto irá modifi cando-se. Al -gu mas estrelas e constelações deixam de servisíveis, enquanto outras vão surgindo nohorizonte no lado Leste. E se voltar a observaro céu daqui a três meses, verá que tal mo -dificação será bem mais sensível. Ao términode seis meses, você poderá verificar que todasas constelações visíveis serão diferentes, poisvocê estará vendo o outro lado do céuestrelado, que era invisível em virtude da luzsolar.

Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro

Publicações S/A

Na figura acima, o astrônomo observou que as

estrelas A, B e C estão posicionadas de tal

modo que —BD é bissetriz do ângulo A

^DC. Se

A^DB = 3x – 10° e C

^DB = 2x + 8°, então, a

medida do ângulo A^DC é:

a) 80° b) 82° c) 84°d) 86° e) 88°

Resolução

I) 3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°

II) C^DB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°

III) A^DC = 2 . 44° = 88°

Resposta: E

" Castelos e palácios eram residênciasmajestosas para nobres e reis, mas apenascastelos tinham muros altos, torres e fossos.Embora os palácios fossem grandes residên -cias e pudes sem ter muros ao seu redor, nãotinham muros altos de proteção e não eramprojetados para finalidades militares.O fosso – um grande dique ou trincheira aoredor do muro externo do castelo – era aprimeira linha de defesa. Ele poderia ser cheiode água ou seco (um fosso seco poderia serforrado com estacas pontiagudas de madeira).Normalmente, havia uma ponte elevadiça quepermanecia erguida quando o castelo eraatacado. Vários fossos eram também locaispara depósito de lixo e detritos. A existência deum fosso dependia do terreno – nem todos oscastelos tinham fossos. Alguns eramconstruídos no alto de uma rocha e não preci -savam deles. Os castelos de Edinburgo e deStirling na Escócia, por exemplo, estão no alto

de uma encosta rochosa. Vários castelosalemães ao longo do Rio Reno foram cons -truídos nas áreas mon tanhosas do vale.

www.spectrumgothic.com.br

Durante um ataque a um castelo medieval, ossentinelas er gueram a ponte levadiça, até queela formasse um ângulo α com a horizontal. Sea medida do ângulo α é a metade da medida doseu suplemento, então, o complemento de αvale:

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

Resolução

α = ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°

Logo, o complemento de α é 30°.

Resposta: A

A

B

C

D

180° – α–––––––––

2

! Calcular x na figura, sabendo-se que OC→

é bissetriz do

ângulo AO^

B.

RESOLUÇÃO:

3x – 20° = x + 11°

2x = 31°

x = 15,5°, ou seja,

x = 15°30’

" (ESCOLA TÉCNICA FEDERAL-RJ) – As medidas do com -

plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de

40° são, respec tiva mente, iguais a

a) 30°, 60° e 90° b) 30°, 45° e 60°

c) 320°, 50° e 140° d) 50°, 140° e 320°

e) 140°, 50° e 320°

RESOLUÇÃO:1) complemento: 90° – 40° = 50°2) suplemento: 180° – 40° = 140°3) replemento: 360° – 40° = 320°Resposta: D


MATEMÁTICA48

! Nas regiões próximas à linha do Equador,todas as estrelas nascem e se põem quatrominutos mais cedo, a cada dia que passa. Aofinal de 365 dias, esse adiantamento dará umtotal de 24 horas. Por isso, se você observar océu todas as noites, sempre à mesma hora,notará que seu aspecto irá modifi cando-se. Al -gu mas estrelas e constelações deixam de servisíveis, enquanto outras vão surgindo nohorizonte no lado Leste. E se voltar a observaro céu daqui a três meses, verá que tal mo -dificação será bem mais sensível. Ao términode seis meses, você poderá verificar que todasas constelações visíveis serão diferentes, poisvocê estará vendo o outro lado do céuestrelado, que era invisível em virtude da luzsolar.

Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro

Publicações S/A

Na figura acima, o astrônomo observou que as

estrelas A, B e C estão posicionadas de tal

modo que —BD é bissetriz do ângulo A

^DC. Se

A^DB = 3x – 10° e C

^DB = 2x + 8°, então, a

medida do ângulo A^DC é:

a) 80° b) 82° c) 84°d) 86° e) 88°

Resolução

I) 3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°

II) C^DB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°

III) A^DC = 2 . 44° = 88°

Resposta: E

" Castelos e palácios eram residênciasmajestosas para nobres e reis, mas apenascastelos tinham muros altos, torres e fossos.Embora os palácios fossem grandes residên -cias e pudes sem ter muros ao seu redor, nãotinham muros altos de proteção e não eramprojetados para finalidades militares.O fosso – um grande dique ou trincheira aoredor do muro externo do castelo – era aprimeira linha de defesa. Ele poderia ser cheiode água ou seco (um fosso seco poderia serforrado com estacas pontiagudas de madeira).Normalmente, havia uma ponte elevadiça quepermanecia erguida quando o castelo eraatacado. Vários fossos eram também locaispara depósito de lixo e detritos. A existência deum fosso dependia do terreno – nem todos oscastelos tinham fossos. Alguns eramconstruídos no alto de uma rocha e não preci -savam deles. Os castelos de Edinburgo e deStirling na Escócia, por exemplo, estão no alto

de uma encosta rochosa. Vários castelosalemães ao longo do Rio Reno foram cons -truídos nas áreas mon tanhosas do vale.

www.spectrumgothic.com.br

Durante um ataque a um castelo medieval, ossentinelas er gueram a ponte levadiça, até queela formasse um ângulo α com a horizontal. Sea medida do ângulo α é a metade da medida doseu suplemento, então, o complemento de αvale:

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

Resolução

α = ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°

Logo, o complemento de α é 30°.

Resposta: A

A

B

C

D

180° – α–––––––––

2

! Calcular x na figura, sabendo-se que OC→

é bissetriz do

ângulo AO^

B.

RESOLUÇÃO:

3x – 20° = x + 11°

2x = 31°

x = 15,5°, ou seja,

x = 15°30’

" (ESCOLA TÉCNICA FEDERAL-RJ) – As medidas do com -

plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de

40° são, respec tiva mente, iguais a

a) 30°, 60° e 90° b) 30°, 45° e 60°

c) 320°, 50° e 140° d) 50°, 140° e 320°

e) 140°, 50° e 320°

RESOLUÇÃO:1) complemento: 90° – 40° = 50°2) suplemento: 180° – 40° = 140°3) replemento: 360° – 40° = 320°Resposta: D


^ ^X e Y

MATEMÁTICA 51

! (UNICAMP) – Para calcular acircunferência terrestre, o sábio Eratóstenesvaleu-se da distância conhecida de 800 kmentre as localidades de Alexandria e Siena noEgito (A e S, respectivamente), situadas nomesmo meridiano terrestre. Ele sabia que,quando em Siena os raios solares caíamvertical mente, em Alexandria eles faziam umângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, comesses dados, a circunferência terrestre, isto é,o comprimento de uma volta completa emtorno da Terra.

ResoluçãoSeja x o comprimento da circunferência daTerra.De acordo com o enunciado, tem-se:

x = . 800 km ⇔ x = 50 . 800 km ⇔

⇔ x = 40 000 km

Resposta: 40 000 km

" Nelson Piquet, três vezes campeão domundo, se tornará um dos donos da equipeBMW, em 2010, junto com o suíço PeterSauber – proprietário hoje de cerca de 20% daorganização. Assim, o futuro de NelsinhoPiquet estará prati camente assegurado naFórmula 1. O piloto já não disputa o GP daEuropa, no dia 23, em Valência, pela Renault,mas no ano que vem sua vaga estariareservada no Mundial.Quando escreveu no twitter que poderia “quemsabe correr no seu próprio time”, há dois dias,e depois disse que estava “brin cando”, narealidade Nelsinho falou a verdade. Nelson, seupai, tenta dar sequência ao que sempre fez como filho: competir em sua escuderia. Foi assimno kart, na Fórmula 3, na GP2 – Nelsinhosempre obteve sucesso – e pro vavelmente seráagora também na Fórmula 1.

O Estado de São Paulo – 03/08/2009

Na pista de kart da figura seguinte, temos: —AB

paralelo a —DE e também paralelo a

—FG. Assim, a

soma das medidas dos ângulos x e y vale:

a) 140° b) 160° c) 180°

d) 200° e) 220°

Resolução

Assim, x + 60° = 180° ⇒

⇒ x = 120°, y = 60° + 20° = 80° e, portanto,

x + y = 120° + 80° = 200°

Resposta: D

A B

C

DE

FG

H

I

60º45º

20º

30º

50º

135º

x20º

60º

150º

60º

y

105º

A B

C

DE

FG

HI

60º

50º

135º

x

150º

y 105º

360°–––––7,2°

7,2ºA

800 km

raiossolares

S

Nos exercícios ! e ", determinar o valor de x, associan do-o com:a) 20° b) 25° c) 40° d) 50° e) 80°

!

RESOLUÇÃO:

x + 10° = 50°

x = 40°

Resposta: C

"

RESOLUÇÃO:

x = 30° + 50°

x = 80°

Resposta: E


MATEMÁTICA52

! Antônio Carlos levou seu filho Fernando Antônio para fazer

um passeio no “Rio do Peixe” cujas margens são paralelas. No

local aonde eles foram, havia uma ponte que ligava a margem

r com um ilha localizada pelo ponto B e uma outra ponte

ligando a ilha com o ponto C na outra margem, como mostra a

figura seguinte. Se o ângulo agudo que a margem forma com—AB mede 18° e A

^BC = 92°, então, a medida do ângulo obtuso

que a margem s forma com a ponte —BC é:

a) 102° b) 104° c) 106° d) 108° e) 110°

RESOLUÇÃO:

α + 74° = 180° ⇒ α = 106°

Resposta: C

" Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

O valor de y é:

a) 55° b) 60° c) 65° d) 70° e) 75°

RESOLUÇÃO:

I) x + 135° = 180° ⇔ x = 45°

II) x +y + 70°= 180° ⇔ 45°+ y + 70°= 180° ⇔ x = 65°

Resposta: C

# (UFPE) – Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

As medidas dos ângulos α e β são, respectivamente:

a) 65° e 115° b) 70° e 110° c) 65° e135°

d) 60° e 135° e) 45° e 145°

RESOLUÇÃO:

I) α + 70°+ 45° = 180° ⇔ α = 65°

II) 45° + β = 180° ⇔ β = 135°

Resposta: C



30. Uma folha de papel determina um triângulo ABC (figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo que o lado AB fique contido no lado AC (figura 2), DAC = 49° e ABD = 60°.

A medida do ângulo BCD é: a) 22o b) 21o c) 20o d) 19o e) 18o 31. Pedro Afonso pretendia fazer um bumerangue como o que aparece na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro e acabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2. Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nas figuras é:

a) 235° b) 240° c) 245° d) 250° e) 255° 32. Cada estrutura lateral de uma torre metálica, em forma de uma pirâmide regular de base quadrada, consiste de um triângulo isósceles ABC, de base BC, conforme representado na figura adiante. Para minimizar o número de peças de tamanhos distintos na fabricação da torre, as barras metálicas BC, CD, DE, EF e FA têm comprimentos iguais. Assinale a medida do ângulo BÂC.

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 33. O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados elementos gráficos geométricos elementares.

Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são a) retas e círculos. b) retas e circunferências. c) arcos de circunferências e retas. d) coroas circulares e segmentos de retas. e) arcos de circunferências e segmentos de retas. 34. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.

Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.

MATEMÁTICA54

! (ESPM–MODELO ENEM) – Uma folha de papel determina um

triângulo ABC (figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo

que o lado AB fique contido no lado AC (figura 2), DA^

C = 49° e

AB^

D = 60°.

A medida do ângulo BC^

D é:

a) 22° b) 21° c) 20° d) 19° e) 18°

Resolução

I)—AD é bissetriz do ângulo B’

ÂC ⇒ B’

ÂD = 49°

II) No triângulo AB’C, temos:

B^CD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ B

^CD = 22°

Resposta: A

" Arthur pretende encontrar um tesouro que está escondido no

Parque do Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu mapa, ele primeiro

deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B e C que aparecem

na figura seguinte. Depois, ele deve localizar o ponto S onde a bissetriz

do ângulo BÂC encontra o lado

—BC do triângulo ABC. Finalmente, ele

encontrará o tesouro no ponto T onde a bissetriz do ângulo A^SC

encontra o lado —AC. Se A

^BC = 62° e A

^CB = 34°, então, a medida do

ângulo S^TC é:

a) 94° b) 95° c) 96° d) 97° e) 98°

Resolução

Assim, S^TC + 52° + 34° = 180° ⇒ S

^TC = 94°

Resposta: A

A

B C

Tún Ayrtel on SennaTún Ayrtel on Senna

Praça dasEsculturas

T

S

62º

42º

52º 34º

52º

42º

A

B C

Tún Ayrtel on SennaTún Ayrtel on Senna

Praça dasEsculturas

49º

60º

A

B

CD

49º

60º

B’

A

B

CD

(figura 2)

A

B CD

(figura 1)

! Demonstre que a soma das medidas dos ângulos internosde um triângulo é igual a 180°.

RESOLUÇÃO:Sejam α, β e γ os ângulos internos do ∆ABC. Traçando r //

—BC, temos:

⇒ α + β + γ = 180°α + b + c = 180°β = b (alternos internos)γ = c (alternos internos)

!


MATEMÁTICA 55

! (PUC) – Na figura abaixo, a = 100° e b = 110°. Quantomede o ângulo x?

a) 30°

b) 50°

c) 80°

d) 100°

e) 150°

RESOLUÇÃO:a = x + (180° – b) ⇔ x = a + b – 180° ⇔ x = 30°Resposta: A

Nos exercícios " e #, calcule x, associando-o com:a) 40° b) 60° c) 70° d) 90° e) 100°

"

RESOLUÇÃO:x + 50° = 120°x = 70°Resposta: C

#

RESOLUÇÃO:3x = 80° + x2x = 80°x = 40°Resposta: A

$ Pedro Afonso pretendia fazer um bumerangue como o queaparece na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro eacabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2.Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nasfiguras é:a) 235° b) 240° c) 245° d) 250° e) 255°

RESOLUÇÃO:

I) α = 90° + 30° = 120°

II) β = 80° + 35° = 115°

Logo, α + β = 120° + 115°= 235°

Resposta: A



Gabaritos

35. Durante uma prova de rally aquático num rio de margens paralelas o piloto da lancha seguiu as instruções do navegador para deslocamento entre dois pontos A e B situados em margens opostas deste rio que orientava: - Partir do ponto A sob um ângulo de 10o na direção oeste; - Após 1km de navegação mudar a direção em 20o no sentido anti-horário; - Após mais 1km de navegação mudar a direção em 30o no sentido anti-horário; - Seguir por mais 1 km para atingir o ponto B.

Determine a medida x, em graus, do ângulo que a trajetória da lancha fez ao com a direção leste ao atingir o ponto B. a) 10o b) 30o c) 45o d) 50o e) 60o 36. Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela seguinte estrutura: - duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o

ângulo DÂE igual a 45 ;° - uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca em seu ponto médio M; - um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade; - nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes. Observe o esquema que representa essa estrutura:

Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada. Calcule ,α supondo que o ângulo AÊD mede 85 .°

a) 67o 30’ b) 37o 30’ c) 27o 30’ d) 17o 30’ e) 12o 30’ 01. D 02. C 03. a) x = 15° b) x = 50°; c) y =110°; d) z = 70° c) x = 38° 04. A 05. D 06. E 07. D 08. A 09. A 10. E 11. E 12. A 13. C 14. D 15. A 16. B 17. A 18. A 19. E 20. 90 21. 58 22. 10 23. 06 24. D

25. E 26. A 27. D 28. A 29. D 30. C 31. A 32. a 33. b 34. E 35. B 36. E 37. D

Documents

05. Dois ângulos adjacentes são complementares. … · Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua ... C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:14 Página 44