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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso: Licenciatura em Física / Matemática Componente: Cálculo Vetorial e Integral Prof. Álvaro Fernandes Serafim Aluno(a): ______________________________________
“A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza”. (Bertrand Russell)
1. Calcule as integrais triplas a seguir:
a) ( )
3 0 2
0 1 1x 2y 4z dxdydz
−+ +∫ ∫ ∫ . b) ( )
22 x x y 2
1 1 02x y dzdydx
+
−∫ ∫ ∫ .
2. Seja ( )z,y,xff = uma função contínua de três variáveis. Expresse*
Tf dV∫∫∫ , identificando os limites
de integração, sendo T a região do espaço:
a) Limitada pelo cilindro 9yx 22 =+ e pelos planos 0z = e 2z = . (1a integração em relação a z).
b) No primeiro octante, limitada pelo plano 6z3y2x =++ . (1a integração em relação a y).
c) Limitada pelo parabolóide 22 yx49z −−= e pelo plano 0z = . (1a integração em relação a z). * Apenas expresse, não é para calcular a integral tripla.
3. Use integral tripla para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies de equações:
a) 0y;4zy;4xz 2 ==+=+ e 0z = .
b) 4zx;zy;z2y 22 =+=−= e 0x = .
c) 2zyx;1zy 22 =++=+ e 0x = .
d) 1y;0z;x9z 2 −==−= e 2y = .
LLiissttaa ccoommpplleemmeennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss -- NNºº 22
2
� Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
( ) ( ) ( )( )
T T'
f x, y,z dV f r cos ,r sen ,z r drd dz= θ θ θ∫∫∫ ∫∫∫
onde T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas.
� Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
T T'f x, y,z dV f sen cos , sen sen , cos sen d d d= ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ⋅ρ φ ρ φ θ∫∫∫ ∫∫∫
onde T’ é a região T descrita em coordenadas esféricas. 4. Resolva as questões abaixo, esboçando os sólidos:
a) Calcule
T
3 dV∫∫∫ , onde T é a região simultaneamente interior ao cilindro 2 2x y 1+ = e a esfera
2 2 2x y z 4+ + = .
b) Calcule
2 2
Tx y dV+∫∫∫ , onde T é a região delimitada pelos parabolóides 2 2z x y 4= + − e
2 2z 4 x y= − − .
c) Calcule
T
x dV∫∫∫ , onde T é a região simultaneamente interior ao parabolóide ( )2 21z x y
4= + e a esfera
2 2 2x y z 5+ + = .
d) Calcule ( )
2 2 2
Tx y z dV+ +∫∫∫ , onde T é a região esférica 2 2 2x y z 9+ + ≤ .
e) Calcule ( )
2 2 2
Tx y z dV+ +∫∫∫ , onde T é a região interior a esfera 2 2 2x y z 9+ + = e exterior ao cone
2 2z x y= + .
f) Calcule
T
z dV∫∫∫ , onde T é o sólido acima do plano xy, abaixo do parabolóide ( )22 yx4z +−= e dentro
do cilindro 1yx 22 =+ .
g) Calcule
T
dV∫∫∫ , onde T é a região do espaço entre as esferas 9zyx 222 =++ e 16zyx 222 =++ .
5. Calcule o volume dos sólidos abaixo esboçando-os:
a) Acima do plano xy delimitado por 22 yxz += e 16yx 22 =+ ;
b) Acima do parabolóide 22 yxz += e abaixo do cone 22 yxz += ;
c) Região da esfera 9zyx 222 =++ entre os planos 1z = e 2z = .
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Aplicações Físicas Para os problemas abaixo, pesquise as fórmulas num livro de Cálculo.
6. Verifique que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea.
7. Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelas superfícies 2 2z 4 x y= − − e
z 0= , sabendo-se que a densidade de massa em um ponto ( )z,y,xP qualquer do sólido é o triplo da distância
de P ao plano xy. (Obs.: considere a unidade de massa em Kg e a unidade de comprimento em m).
8. Calcule a massa do sólido delimitado pelas superfícies 2 2z 4 x y= − − e 2 2z x y= + , considerando a
densidade de massa deste sólido igual a ( ) 3mKg 4x,y,zδ = .
Respostas 1. a) 39/2. b) 513/8.
2. a)
ou
2 2
2 2
3 9 x 2 3 9 y 2
3 9 x 0 3 9 y 0f dzdydx f dzdxdy
− −
− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .
b) ( ) ( ) ( )
ou
2 6 3z 6 x 3z 2 6 6 x 3 6 x 3z 2
0 0 0 0 0 0f dydxdz f dydzdx
− − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .
c)
ou
2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 9 4 x 9 4 x y 3 9 y 2 9 4 x y
3 2 9 4 x 0 3 9 y 2 0f dzdydx f dzdxdy
− − − − − −
− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .
3. a) 128/5 u.v. b) 32/3 u.v. c) 2π u.v. d) 108 u.v.
4. a) ( )4 8 3 3π − . b) 15
256π. c) 0. d)
5
972π. e)
( )5
22243 π+. f)
6
37π. g)
3
148π.
5. a) 128π u.v. b) π/6 u.v. c) 3
20πu.v.
7. 232π Kgm . 8. π Kg16 .