1 – Controlo Sistemaswebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_text02p.pdf · 1.2 – Alguns exemplos de Controlo de Sistemas 5 ... subsistemas: o sistema circulatório, o sistema

J. A. M. Felippe de Souza 1 – Controlo de Sistemas

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1 – Controlo Sistemas

1.1 – Introdução ao Controlo Sistemas 2

1.2 – Alguns exemplos de Controlo de Sistemas 5

1.3 – Classificação de Sistemas 7

Natureza física 8

Continuidade no tempo 9

Linearidade 10

Exemplo 1.1 12

Variância no tempo 14

Exemplo 1.2 14

Natureza aleatória 15

Exemplo 1.3 15

Memória 15

Exemplo 1.4 16

Inversibilidade 16

Exemplo 1.5 17

Causalidade 18

Exemplo 1.7 19

Exemplo 1.8 19


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Controlo de Sistemas

1.1 – Introdução ao Controlo Sistemas A palavra “sistema” (system) tem um significado muito amplo e portanto Controlo de Sistemas também tem uma abrangência muito grande e pode significar muitas coisas. Coisas muito diferentes: desde o relógio no nosso pulso até um automóvel, ou mesmo um avião, todos são exemplos de sistemas. O ser humano tem um desejo natural de controlar tudo. Quando se carrega em algum botão, como por exemplo para chamar o elevador, está-se a exercer algum tipo de controlo. Quando se conduz um veículo, seja uma moto, um carro, um helicóptero ou uma aeronave, também está-se a exercer algum tipo de controlo. Logo, Controlo de Sistemas é a arte de se guiar, conduzir, manobrar, comandar, dirigir, gerir ou controlar um dispositivo, um aparelho, uma ferramenta, uma máquina, uma estrutura, um processo, ou seja, um sistema. Em engenharia o homem controla dispositivos há muitos séculos. Por exemplo, o dispositivo ilustrado (em dois desenhos) na figura 1.1 é chamado regulador centrífugo. Dispositivos similares a este foram usados na Grécia antiga pelos sacerdotes para abrirem e fecharem as pesadas portas dos templos. Depois, no século XVII em moinhos, e mais tarde, no século XVIII, em motores a vapor (James Watt, escocês, 1736 – 1839), para bombear água de um poço, para impulsionar embarcações ou para puxar comboios (a máquina a vapor). Mesmo nos dias de hoje este tipo de dispositivo está presente seja no motor de um automóvel ou de uma locomotiva. Através dos séculos o homem vem aperfeiçoando técnicas de controlar sistemas. Em particular, no século XX o homem construiu muitos tipos de máquinas ou dispositivos que ele é capaz de controlar cada vez mais eficientemente.


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Fig. 1.1 – Duas ilustrações de um dispositivo controlador ou regulador centrífugo.

Fig. 1.2 – Mars rover, um robô que andou na superfície de Marte (à esquerda) e um vaivém espacial (space shuttle) na hora do lançamento.

Os veículos que o homem construiu no século passado são um grande exemplo de Controlo de Sistemas. São máquinas controladas de todos os tipos e cada vez mais sofisticadas: veículos de 2 rodas, de 4 rodas, que anda na água, ou debaixo da água, que voam ou que vão no espaço. Chegou-se à Lua, e, teleguiados, chegou-se também a outros planetas. Hoje existem até mesmo naves (como por exemplo as Pioneer 10 e 11 e as Voyager 1 e 2, figura 1.3) que já saíram do sistema solar e vão a caminho de alguma estrela onde só deverão chegar daqui a muitos milhões de anos quando este nosso planeta Terra já nem mais existirá.


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Já neste século XXI, em 2004, o homem então chegou a Marte através do veículo espacial robótico Mars rover Spirit (figura 1.2) que pesa 185 kg e andava cerca de 100 metros por dia. O Mars rover Spirit foi até lá compactado dentro da nave não tripulada Mars Surveyor na viagem de 480 milhões de quilómetros que o levou até Marte quando então, lá, se abriu. O Mars rover Spirit andou durante 591 dias marcianos por uma região em Marte, explorando, fotografando e enviando sinais para Terra, e chegando até três quilómetros distante do ponto onde aterrou.

Fig. 1.3 – Spacewalker usado por astronautas do space shuttle, a veste robótica que permite o astronauta a deslocar-se, ou ‘andar’ no espaço (à esquerda) e o encontro da Pioneer 10 com Júpiter, 3 Dezembro 1973 (à direita). A Pioneer 10 hoje já se encontra fora dos limites do sistema solar.


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1.2 – Alguns exemplos de Controlo de Sistemas A noção de sistemas é intuitiva. Quase tudo que nos rodeia é algum tipo de sistema. Qualquer mecanismo, ou dispositivo, que funcione como a interconexão de componentes físicos é um sistema. Uma alavanca ou um circuito eléctrico (como os ilustrados na figura 1.4) podem ser exemplos simples de sistemas. O primeiro sendo um sistema de natureza puramente mecânica e o segundo sendo um sistema de natureza puramente eléctrica.

Fig. 1.4 – Uma alavanca (à esquerda) e um circuito eléctrico (à direita). Por outro lado, um mecanismo mais complexo como o motor de um carro ou o circuito de uma televisão ou outro aparelho electrónico, são também exemplos de sistemas. Indo mais além, um automóvel, um avião, um robô (figura 1.5) ou um membro artificial (figura 1.5), são outros exemplos de sistema. São sistemas mais complexos, sistemas electromecânicos, pois dentro deles têm muitos circuitos eléctricos e electrónicos assim como muitos mecanismos. Ou seja, são sistemas que possuem dentro outros sistemas, ou subsistemas.

Fig. 1.5 – Um robô humanóide (à esquerda) e um membro artificial (à direita).


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Fig. 1.6 – Órgãos do corpo humano.

O corpo humano (figura 1.6) é também um exemplo excelente de sistemas, e de um sistema bastante sofisticado, cheio de subsistemas: o sistema circulatório, o sistema respiratório, o aparelho digestivo, o sistema nervoso, etc. Na verdade, o corpo humano de cada pessoa é um sistema diferente, pois as pessoas são diferentes umas das outras. Umas são atléticas, outras são obesas; umas são altas, outras são baixas; etc. Além disso, dado o corpo humano de uma determinada pessoa, cada órgão deste, seja o cérebro, ou o coração, ou os pulmões, ou o fígado, ou os rins, ou o intestino, ou o pâncreas, etc., também é um sistema por si só, ou seja, é um subsistema do mesmo.

Em engenharia deseja-se controlar todos estes sistemas. Seja na engenharia electrotécnica ou mecânica (no caso dos robôs, veículos, etc.) ou na engenharia biomédica (no caso do corpo humano, órgãos, etc.), o desejo é de controlar estes sistemas. Mas há muitos outros sistemas menos palpáveis como por exemplo:

o aquecimento de uma casa; o funcionamento dos elevadores de um edifício (ilustrado na figura 1.7); a automação de uma fábrica (também ilustrado na figura 1.7); a gestão da economia de uma casa, ou de uma loja, ou de um país; etc.

E novamente, todos estes exemplos são de sistemas os quais deseja-se controlar.

Fig. 1.7 – O sistema de elevadores de um prédio grande (à esquerda), o sistema de

automação de uma indústria (à direita), exemplos de sistemas complexos.


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1.3 – Classificação de Sistemas A entrada de um sistema (“input” em inglês) às vezes também é chamado de o ‘controlo’ ou mesmo a ‘excitação’ do sistema. Por outro lado, a saída de um sistema (“output” em inglês) às vezes também é chamado de a ‘resposta’ ou a a ‘observação’ do sistema. É comum se representar sistemas esquematicamente através de uma caixa preta (black box), como vemos na figura 1.8. entrada saída

(“input”) (“output”)

controlo resposta

excitação observação

Fig. 1.8 – Caixa preta (black box) de um sistema e os vários nomes dados para a entrada e a saída do mesmo.

Na realidade muitos sistemas têm não apenas uma entrada e uma saída mas múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas.

Fig. 1.9 – Caixa preta (black box) de um sistema com múltiplas

entradas e/ou múltiplas saídas. Existe uma forma de representar sistemas usando blocos e por isso chamada de “diagrama de blocos”, que será visto no capítulo 4. Na realidade a caixa preta (black box) é um diagrama de blocos com apenas um bloco. Há muitas maneiras possíveis de se classificar os sistemas. Nesta secção veremos algumas das principais.

Sistema entradas saídas

Sistema


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Natureza física Quanto a natureza física, sistemas podem ser classificados de muitas formas diferentes. Abaixo citamos algumas das principais formas de sistemas que lidamos em engenharia e tecnologia:

eléctricos; informáticos;

electrónicos; aeronáuticos;

mecânicos; aeroespaciais;

electromecânicos; biológicos;

térmicos; biomédicos;

hidráulicos; económicos;

ópticos; sociológicos;

acústicos; sócio-económicos;

químicos; etc.

Entretanto, a maioria dos sistemas complexos são combinações de vários subsistemas de naturezas diferentes. Veículos (carros, motocicletas, comboios, aviões, helicópteros, etc.) são exemplos de sistemas electromecânicos pois claramente ele tem partes eléctricas e electrónicas nos seus comandos assim como partes mecânicas para os seus movimentos. Sistemas complexos combinam mais de uma natureza das mencionadas acima: computadores (figura 1.10); antenas parabólicas (figura 1.10) para receber emissões de satélites artificiais; robôs em geral, seja um braço manipulador robótico (figura 1.11) encontrados em processos de manufactura nas indústrias ou seja um robô humanóide (que imita o homem, figura 1.5) ou mesmo um robô antropomórfico (que imita algum ser vivo, figura 1.11).

Fig. 1.10 – Um computador portátil e uma antena parabólica.


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Fig. 1.11 – Um braço manipulador mecânico e um robô antropomórfico (o robô AIBO da

SONY, que imita um cão).

Fig. 1.12 – Equipamentos médicos numa sala de cirurgia, exemplos de sistemas desenvolvidos na engenharia biomédica.

Na campo da saúde também encontramos muitos sistemas de bioengenharia, ou seja, sistemas biológicos e biomédicos em simultâneo com sistemas mecânicos, eléctricos ou electrónicos.

Um membro artificial (figura 1.5), ou cada aparelho utilizados em cirurgias são alguns exemplos de sistemas biomédicos (figura 1.10).

Continuidade no Tempo Quanto a continuidade no tempo, sistemas podem ser classificados como:

contínuos

discretos

discretizados


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Fig. 1.13 – Ilustração do comportamento de um sistema contínuo (à esquerda) e de um

sistema discreto (à direita). Sistemas podem ser naturalmente contínuos, naturalmente discretos, ou contínuos que são tornados discretos e neste caso são chamados de discretizados.

Fig. 1.14 – Sistema contínuo que foi discretizado tornando-se um sistema discreto.

Quando o sistema que foi digitalizado é armazenado em “bits” (sequências de “zeros” e “uns”) então diz-se que o sistema foi digitalizado. Isso é o caso sistemas digitais de áudio (música em mp3) ou de vídeo, e até mesmo os exames de electrocardiogramas e electroencefalogramas que são armazenados digitalmente no computador. A digitalização não é o mesmo que a discretização. Normalmente são usados muitos “bits” para armazenar cada posição discreta.

Linearidade Quanto a Linearidade, sistemas podem ser classificados como:

lineares

não lineares


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Fig. 1.15 – Ilustração do comportamento de um sistema linear (à esquerda) e não linear

(à direita). Sistemas contínuos são lineares se satisfazem duas propriedades: homogeneidade e aditividade:

homogeneidade: quando a entrada �� é multiplicada por um valor k; então a saída �� fica também multiplicada por este mesmo valor k; e além disso,

aditividade: quando a entrada é a soma de �� e ��, que produzem individualmente as saídas �� e �� respectivamente; então a saída é a soma das saídas �� e ��.

Fig. 1.16 – Diagramas de blocos ou caixas preta (black boxes) esquemático de um sis-

tema linear. Ilustração das propriedades da homogeneidade e da aditividade. Caso do sistema contínuo.

No caso discreto a definição de sistemas lineares é semelhante. Sistemas lineares são aqueles que:

quando a entrada �� é multiplicado por um valor k; então a saída �� fica também multiplicada por este mesmo valor k; e além disso,

quando a entrada é a soma de �� e ��, que produzem individualmente as saídas �� e �� respectivamente; então a saída é a soma das saídas �� e ��.

Novamente aqui, estas duas propriedades acima são chamadas respectivamente de: homogeneidade e aditividade.


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Fig. 1.17 – Diagramas de blocos ou caixas preta (black boxes) esquemático de um sis-

tema linear. Ilustração das propriedades da homogeneidade e da aditividade. Caso do sistema discreto.

Exemplo 1.1: Vamos classificar quanto à continuidade no tempo (contínuo ou discreto) e quanto à linearidade (linear ou não linear), os sistemas abaixo descritos por uma equação de diferença, por uma equação diferencial ordinária (EDO), por uma equação diferencial parcial (EDP) ou por uma equação de retardo.

Sistema A: Descrito por uma equação de diferença

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]142217 −−=−+−+ nxnxnynyny (sistema discreto e linear)

Sistema B: Descrito por uma equação de diferença

[ ] [ ]14 −−= nxny (sistema discreto e linear)

Sistema C: Descrito por uma equação de diferença

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnxnynny 2115 −+=−− (sistema discreto e linear)

Sistema D: Descrito por uma equação de diferença

[ ] [ ]( ) [ ]nxnxny 42 2 −= (sistema discreto e não linear)

Sistema E: Descrito por uma equação de diferença

[ ] [ ]3 2nxny =

(sistema discreto e não linear)

Sistema F: Descrito por uma equação diferencial ordinária (EDO)

xdt

dxy

dt

dy

dt

yd34

2

2

+=−+

(sistema contínuo e linear)


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Sistema G: Descrito por uma equação diferencial ordinária (EDO)

x)t(dt

dxy

dt

dyt

dt

yd46

2

2

−−=++


Sistema H: Descrito por uma equação diferencial ordinária (EDO)

)t(xdt

dxy

dt

dy

dt

yd325

2

2

+−=++


Sistema I: Descrito por uma equação diferencial ordinária (EDO)

xxyyy ′=+′−′′ 23 (sistema contínuo e não linear)

Sistema J: Descrito por uma equação diferencial ordinária (EDO)

xeyyy =−′+′′ 210 (sistema contínuo e não linear)

Sistema K: Descrito por uma equação diferencial ordinária (EDO)

02

2

=++ ydt

dyx

dt

yd

(sistema contínuo e não linear)

Sistema L: Descrito por uma equação diferencial parcial (EDP)

)uuu(kz

u

y

u

x

uk

t

uzzyyxx ++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2


Sistema M: Descrito por uma equação diferencial parcial (EDP)

)uuu(kz

u

y

u

x

uk

t

uzzyyxx ++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2


Sistema N: Descrito por uma equação com retardo

δ) x(ty(t) −= (sistema contínuo e linear)


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Sistema O: Descrito por uma equação com retardo

x(t)τ)y(t y(t)y'(t) =−−+ 3 (sistema contínuo e linear)

�

Variância no tempo Quanto a Variância no Tempo, sistemas podem ser classificados como:

variantes no tempo

invariantes no tempo

Fig. 1.18 – A variância no tempo de um sistema está associada às características dinâ-micas do mesmo, se elas se alteram ou não com o tempo.

Suponha que para uma entrada qualquer ��, a saída é ��. Um sistema invariante no tempo é aquele que, sempre que a entrada �� é aplicada, a saída será ��. Não importa quando esta entrada é aplicada que a saída é sempre a mesma. Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o passar do tempo. Na realidade nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática consideramos como invariante no tempo muitos sistemas cuja variação no tempo é muito lenta.

Exemplo 1.2:

Os sistemas C e G, já vistos no exemplo 1.1, são ambos variantes no tempo, pois um ou mais de seus coeficientes variam com o tempo (seja ‘t’ ou ‘n’).

Sistema C: [ ] [ ] [ ] [ ]nxnxnynny 2115 −+=−−

Sistema G:

x)t(dt

dxy

dt

dyt

dt

yd46

2

2

−−=++

�


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Natureza aleatória

Quanto a natureza aleatória, sistemas podem ser classificados como:

determinísticos

estocásticos

Fig. 1.19 – A natureza aleatória de um sistema está associada às incertezas e perturba-ções aleatórias na dinâmicas do mesmo.

Um sistema determinístico é aquele que não sofre a influência de nenhuma perturba-ção aleatória, ou seja, não tem incerteza. A saída �� para uma entrada �� pode ser calculada (ou “determinada”) com precisão quando se conhece o modelo do sistema. Na realidade, aqui novamente, nenhum sistema é determinístico. Todos os sistemas têm algum tipo de incerteza ou carácter aleatório e portanto chamados de estocásticos. Na prática entretanto consideramos como determinísticos muitos sistemas cujas perturbações aleatórias são pequenas ou desprezíveis. Exemplo 1.3:

Todos os sistemas do exemplo 1.1 são descritos por modelos matemáticos determinísticos: equações de diferenças e equação diferenciais determinísticas. No caso de sistemas estocásticos, estas equações apresentariam variáveis adicionais de natureza aleatória que descreveriam estatisticamente as incertezas associadas à dinâmica do sistema. �

Memória Quanto a Memória, sistemas podem ser classificados como:

sem memória

com memória Um sistema sem memória é aquele que: se a sua saída no instante t1 depende apenas da entrada daquele instante t1.


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Exemplo 1.4:

Os sistemas D e E (do exemplo 1.1), assim como os sistemas P, Q, R e S abaixo são sistemas sem memória pois a saída ��, ou ��, depende da entrada ��, ou ��, apenas nos instantes de tempo ( t ou ‘n ). Os demais são sistemas com memória pois dependem da entrada �� nos instantes � � 1�, � � 2�, etc.; ou de derivadas em relação ao tempo ‘t’.

Sistema D: [ ] [ ]( ) [ ]nxnxny 42 2 −=

Sistema E:

[ ] [ ]3 2nxny =

Sistema P:

72 x(t) y(t) −=

Sistema Q:

652 ++= x(t) (t) x y(t)

Sistema R: x[n] y[n] 2−=

Sistema S:

502 ,x[n])π(cos y[n] +⋅= � Inversibilidade

Quanto a Inversibilidade, sistemas podem ser classificados como:

inversíveis

não inversíveis Sistemas são inversíveis se entradas distintas levam a saídas distintas. Desta forma, para um sistema S com entrada ��, ou ��, que produz de saída ��,

ou ��, respectivamente, é possível achar um sistema inverso S-1 cuja entrada ��, ou ��, produz a saída ��, ou ��, respectivamente. Através de um esquema em que os sistemas S e S-1 são postos em cascata, (isto é, a saída �� do sistema S é a entrada do sistema S-1), podemos recuperar ��, a entrada aplicada em S, na saída de S-1.


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Fig. 1.20 – Diagrama de bloco esquemático de um sistema inversível S em cascata com

o seu inverso S-1. Exemplo 1.5:

Os sistemas P e R do exemplo 1.4 são inversíveis.

Sistema P: 72 x(t) y(t) −=

Sistema R: x[n] y[n] 2−=

Obviamente, nestes dois sistemas, cada entrada �� produz uma saída �� exclusiva diferente das saídas das outras entradas. Por isso a entrada �� pode ser expressa em termos da saída �� como:

))t(y()t(x 72

1 +⋅=

no caso do sistema P, e

2/)t(y)t(x −= no caso do sistema R. � Exemplo 1.6:

O sistema N acima também é inversível.

Sistema N: δ) x(ty(t) −=

Este é o chamado sistema com retardo (“time delay system”) pois a saída reproduz a entrada com um atraso de δ unidades de tempo. Alternativamente, podemos ver o sistema com retardo (“time delay system”) como sendo uma translação (“shift”) para a direita de δ unidades de tempo. Pode-se facilmente verificar que para este sistema, entradas �� distintas produzem saídas �� distintas. Além disso, a entrada �� expressa em termos da saída �� é de facto:


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)t(y)t(x δ+= que é conhecido como sistema em avanço (“time advance system”) pois neste caso a saída �� reproduz o que será a entrada �� em δ unidades de tempo depois. Podemos ver também o sistema em avanço (“time advance system”) como sendo uma translação (“shift”) para a esquerda de δ unidades de tempo que obviamente também é a operação inversa translação (“shift”) para a direita do sistema com retardo. No caso discreto o sistema com retardo (“time delay system”) tem a forma:

[ ] [ ]δ−= nnxny Alternativamente, podemos ver o sistema com retardo (“time delay system”) como sendo uma translação (“shift”) para a direita de nδ unidades de tempo. O sistema inverso, o sistema em avanço (“time advance system”) que expressa �� em função de �� é

[ ] [ ]δ+= nnynx Podemos ver também o sistema em avanço (“time advance system”) como sendo uma translação (“shift”) para a esquerda de nδ unidades de tempo que obviamente também é a operação inversa translação (“shift”) para a direita do sistema com retardo. � Causalidade Quanto a Causalidade, sistemas podem ser classificados como:

causais (ou não antecipativos)

não causais (ou antecipativos) Um sistema é causal (ou não antecipativo) se a saída no instante t1 depende da entrada apenas nos instantes � � ��. É claro que se a saída no instante t1 dependesse da entrada em instantes � � �� então este sistema anteciparia o que ia acontecer e portanto seria “antecipativo” ou não causal. No nosso mundo físico real, se a variável ‘�’ (ou ‘n’ no caso discreto) representa o tempo, então tem uma dinâmica que evolui no tempo e portanto não é possível se ter um sistema não causal pois não é possível se prever o futuro.


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Entretanto, há casos que a esta variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) pode representar outro parâmetro ou uma outra grandeza física (que não seja o tempo) e desta forma já é possível ocorrer sistemas causais. Exemplo 1.7:

O sistema C é não causal (ou antecipativo) pois a saída �� depende da entrada �� no instante de tempo � � 1�.

Sistema C: [ ] [ ] [ ] [ ]nxnxnynny 2115 −+=−−

Exemplo 1.8:

Os sistemas em avanço (“time advance systems”) vistos no exemplo 1.6 são também claramente sistemas não causais ou antecipativos.

Sistema T: Um sistema em avanço (“time advance system”)

[ ] [ ]δ+= nnxny

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