1 Controlo por realimentação de variáveis de estado · de potência constitui a tensão a aplicar ao motor) e a referência a seguir pela saída do sistema (o ângulo de deflexão

J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 1

Controlo por Computador

2015/2016

Problemas – Parte B (Controlo)

J. Miranda Lemos

1 – Controlo por realimentação de variáveis de estado

P1. Considere o sistema de 2ª ordem descrito pelo modelo de estado

𝑥(𝑘 + 1) = [1,0 0,10,5 0,1

] 𝑥(𝑘) + [10] 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = [1 1]𝑥(𝑘)

a) Suponha que tem acesso ao estado. Projecte um controlador de

retroacção linear de variáveis de estado, da forma 𝑢(𝑘) = −𝐿𝑥(𝑘), tal que

os pólos da cadeia fechada estejam em 0,1 e 0,25.

b) Suponha agora que não tem acesso ao estado. Projecte um observador

de estado de tipo preditivo, tal que os pólos da dinâmica do erro de

observação estejam ambos em zero.


𝑥(𝑘 + 1) = [0,55 0,120 0,67

] 𝑥(𝑘) + [0,010,16

] 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = [1 1]𝑥(𝑘)

a) Suponha que tem acesso ao estado. Projecte um controlador de

retroacção linear de variáveis de estado, da forma 𝑢(𝑘) = −𝐿𝑥(𝑘), tal que

o polinómio característico da cadeia fechada seja

𝑧2 − 0,63𝑧 + 0,21

b) Suponha agora que não tem acesso ao estado. Projecte um observador

de estado de tipo preditivo, tal que os pólos da dinâmica do erro de

observação sejam as raízes do polinómio

𝑧2 + 0,3𝑧 + 0,02



𝑥(𝑘 + 1) = [0,9 + 𝛿 0

1 0.7] 𝑥(𝑘) + [

10] 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = [0 1]𝑥(𝑘)

a) Suponha que tem acesso ao estado. Nesta alínea considere que o

parâmetro 𝛿 = 0. Seja 𝑟 um sinal de referência constante. Calcule os

ganhos 𝑁 (escalar) e 𝐿 um controlador da forma 𝑢(𝑘) = 𝑁𝑟 − 𝐿𝑥(𝑘), tal

que o sistema em cadeia fechada tenha os p´los na origem e ganho

estático unitário.

b) Para o controlador que projectou na alínea a), determine a gama de

valores de 𝛿 tal que o sistema em cadeia fechada é estável.

c) Para o controlador que projectou na alínea a), determine o erro de

seguimento em função de 𝛿.

P4. O integrador duplo modela muitos sistemas de interesse prático, sendo

representado em tempo contínuo pela equação diferencial

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= 𝑢

a) Mostre que, quando se tomam variáveis de estado dadas por 𝑥1 = 𝑦 e

𝑥2 = �̇� , a amostragem com um retentor de amostras de ordem zero, e

com um intervalo de amostragem ℎ, permite obter o modelo de estadio

em tempo discreto dado por

𝑥(𝑘ℎ + ℎ) = [1 ℎ0 1

] 𝑥(𝑘ℎ) + [ℎ2

2⁄

ℎ

] 𝑢(𝑘ℎ)

𝑦(𝑘ℎ) = [1 0]𝑥(𝑘ℎ)

b) Suponha que tem acesso à medida directa do vector de estado. Calcule

os ganhos de um controlador de realimentação de variáveis de estado de

modo a que os pólos do sistema em cadeia fechada estejam todos na

origem. Represente os ganhos em função do intervalo de amostragem ℎ.


2 – Controlo de Colocação de Pólos com Técnicas Polinomiais

P1. Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:

Os sinais y, u e uc representam, respectivamente, a saída do sistema a

controlar, a variável manipulada e a referência a seguir pela saída do sisytema.

O símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a

dinâmica do sistema a controlar é dada pela função de transferência discreta:

B q

A q

q

q q

( )

( )

.

. .

0 6

15 0 62

Dimensione os polinómios R, S, T na lei de controlo digital

R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

por forma a serem cumpridas as seguintes especificações:

Ganho estático unitário do sistema em cadeia fechada;

Grau mínimo do polinómio observador, com todas as raízes na origem;

Cancelamento do zero do processo;

Atraso mínimo do sistema em cadeia fechada;

Sem inclusão de integrador no controlador;

Polinómio característico desejado para o sistema em cadeia fechada

A z zm( ) ( . ) . 05 0012

Para ajudar a recordar:

B B B

uc +

-

T 1/R B/A

S

u y


B B B

A A A B

T B A

z AR B S A A

S A

R A A A

R B R z

m m

o m

m o

o m

o m

'

'

'

'

'

( )

( )

2 1

1

1

P2.Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:





B q

A q

q

q q

( )

( )

.

. .

0 6

14 0 642


R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )







A z zm( ) ( . ) . 05 0012

uc +

-

T 1/R B/A

S

u y


P3.Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:





B q

A q q

( )

( )

12


R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )







( . )( . )q q 07 06

P4. Pretende-se projectar um controlador digital para o sistema de controlo de

posição de um braço flexível da fig. P4-1.

Este sistema é constituído por uma junta de um braço robot flexível actuada pelo

veio de um motor eléctrico. Os sinais y , u e uc representam, respectivamente,

a saída do sistema a controlar (deflexão da ponta da junta), a variável

manipulada (variável discreta que, depois da conversão D/A e da amplificação

de potência constitui a tensão a aplicar ao motor) e a referência a seguir pela

saída do sistema (o ângulo de deflexão desejado para a ponta do braço).

uc +

-

T 1/R B/A

S

u y


Fig. P4-1. Controlo Digital de um braço flexível.



81.041.26.2

25.0

)(

)(23

2

qqq

qq

qA

qB

a) Dimensione os polinómios R , S e T na lei de controlo digital

R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )




Cancelamento dos zeros do processo;




14.07.1)( 23 zzzzAm

b) O braço é operado mudando a referência bruscamente entre posições fixas

que se mantêm durante bastante tempo (isto é, aponta para uma direcção e

espera bastante tempo e só depois aponta para outra). Discuta a necessidade

de se incluir um integrador na cadeia fechada. Considere as duas hipóteses: i) O

amplificador de potência não tem off-set; ii) O integrador de potência tem off-set

constante (isto é, a saída do amplificador é proporcional à entrada adicionada de

uMotor

Braçoflexível

y

Veiodo motor

D/A

Amplificadorde potência

Sensor A/D


uma constante). Neste último caso dê a sua resposta com base num diagrama

de blocos. Sugestão: Calcule )1(A .

Ajuda:

)1(

)1(

12

''

'

'

'

zRBRAAAR

ASAASBARz

ABTBAAA

BBBBBB

mo

mo

ommo

mm

P5. Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:


controlar, a variável manipulada e a referência a seguir pela saída do sistema. O

símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a


qqA

qB 1

)(

)(

a) Dimensione os polinómios R, S, T na lei de controlo digital

R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )




Cancelamento do zero do processo;


Inclusão de 1 integrador no controlador;


uc +

-

T 1/R B/A

S

u y


mm zzA )(

b) Diga qual o intervalo de valores admissíveis para o valor especificado m por

forma a que, na resposta do sistema controlado a um escalão, não haja

saturação na variável de controlo. Designe por M o valor a que a variável de

controlo satura.

Ajuda:

)1(

)1(

12

''

'

'

'

zRBRAAAR

ASAASBARz

ABTBAAA

BBBBBB

mo

mo

ommo

mm

3– Predição Linear

P1. Considere o processo

)(4.02.1

5.04.12)(

2

2

teqq

qqty

em que e é ruído branco de média nula e variância unitária. Determine o preditor

óptimo m passos à frente e a variância do erro de predição quando 1m , 2 e 3.

P2. Determine o preditor m passos à frente do processo

)1()()1()( tcetetayty

Calcule também a variância do erro de predição como função de m .

P3. Considere o sistema modelado pelo modelo ARMAX

)2(2.0)1(5.0)()1()2(3.0)1(8.0)( kekekekukykyky

em que y é a saída, u é a entrada e e é um sinal aleatório branco, gaussiano,

de média nula e variância unitária.

a) Supondo que o sinal u é identicamente nulo, determine os filtros preditores 1

passo à frente e dois passos à frente do sinal y e as variâncias dos

respectivos erros de predicção.


b) Determine o controlo de variância mínima e a variância da saída que com ele

obtém em regime estacionário.

P4. Em meados do século passado, o famoso prof. Pardal, ao desenvolver

esforços para estar presente no Salão Mundial dos Inventores, concebeu uma

prodigiosa máquina de apanhar pirilampos, cujo funcionamento se pode ver

demonstrado na fig. 4-1, com o auxílio do ajudante Sr. Lampadinha.

Fig. 4-1. Uma demonstração do prodigioso invento do

Prof. Pardal para apanhar pirilampos (fotografia da época).

Como se pode ver na figura 4-1, a máquina (à esquerda), a partir de

observações do voo do pirilampo, prevê onde este insecto vai estar nos

próximos 2 segundos. O audaz sr. Lampadinha pode assim lançar-se na

direcção, não de onde o pirilampo está, mas de onde vai estar, apanhando-o.

Sabe-se hoje que o prof. Pardal conhecia pessoalmente Wiener e trocou uma

importante correspondência com o russo Kolmogorov, hoje infelizmente perdida.

Se bem que, quer Wiener, quer Kolmogorov, sejam muito menos conhecidos do

que o prof. Pardal, foram eles que lhe proporcionaram as ferramentas teóricas

que Pardal tão bem soube implementar com a tecnologia electromecânica então

disponível. Meio século depois, dispomos de poderosos recursos

computacionais e electrónicos, que eram então impensáveis. Assentes sobre os

ombros dos gigantes Wiener, Kolmogorov e Pardal, podemos, na nossa


pequenez vislumbrar sem dificuldade o emprego de teorias então complexas,

para resolver problemas do dia a dia (tais como apanhar pirilampos). Neste

problema pretendemos desenvolver um algoritmo que permita prever a posição

de pirilampos, recriando o trabalho de Wiener, Kolmogorov (e Pardal!).

Por simplicidade, assume-se que o pirilampo se desloca apenas numa direcção,

sendo o seu movimento descrito pelo modelo ARMA de ordem 1:

)()1()()1( kbekekayky

em que y é a distância em centímeros do pirilampo à origem de um referencial

e e é um sinal de ruído branco, de média nula e variância unitária, que não se

pode observar directamente, e a e b são parâmetros.

a) Suponha que 0b . Determine um estimador de mínimos quadrados do

parâmetro a dado um conjunto de N observações sequenciais da posição do

pirilampo, 0y , 1y , ..., Ny .

b) Suponha que 9.0a e 6.0b . Escreva as equações de um filtro linear que

permita, em regime estocástico estacionário, prever a posição 2 amostras à

frente, dadas as últimas observações da posição do pirilampo.

d) Sabe-se que a dinâmica do Lampadinha é tal que a sua posição L daqui a

duas amostras depende do impulso u dado agora às pernas, de acordo com a

seguinte equação:

)()1(5.0)2( kukLkL

Escreva uma lei de controlo que permita calcular )(ku por forma a que o

Lampadinha apanhe o pirilampo ao fim de dois intervalos de amostragem,

supondondo que ele conhece a posição do pirilampo até ao instante k . Suponha

ainda que 0)1( ku .

P5. Um alvo desloca-se ao longo de uma linha recta, sendo a sua abcissa y

modelada por


)(9.0

5.0)( te

q

qty

em que e é uma sucessão de ruído branco de média nula e variância unitária.

Determine o preditor óptimo 3 passos à frente para y e a variância do erro de

predição respectivo.

4 – Controlo de Variância Mínima

P1. Considere o sistema cujo modelo é:

y t y t y t u t u t e t e t e t( ) . ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( ) 2 08 1 04 1 05 2 0 7 1 01

em que {e} é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária.

a)Determine o controlador de variância mínima

b)Determine a potência da saída, em regime estacionário, quando é utilizado o

controlador de variância mínima.

P2. Considere o sistema cujo modelo é:

y t u t e t( ) ( ) ( ) 2 2

em que {e} é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária.

a) Determine o controlador que minimiza

J E y t w t I t ( ) ( )2 22

em que a referência w satisfaz

w t w t t( ) . ( ) . ( ) 08 1 0 2

sendo {} um sinal branco, de variância unitária e independente de {e}.

Admita que w(t) é apenas conhecida no instante t, não sendop conhecida com

antecipação.

b) Determine a potência do erro de seguimento, em regime estacionário, quando

é utilizado o controlador de variância mínima que dimensionou.

P3. Considere o sistema descrito pela equação

)()2(5.0)1()2(5.0)1(5.1)( tetututytyty


em que u é a variável manipulada, y a saída medida e e um sinal de ruído

branco com variância unitária. Responda às seguintes perguntas:

a) Determine a lei de controlo, dita de de variância mínima, que minimiza o custo

tVM ItyEJ |)1(2

em que ),2(),1(,),1(),( tututytyI t é o conjunto das observações

dos dados entrada/saída conhecidas até à amostra t .

b) Mostre que, com a lei de controlo da alínea a), em regime estacionário se tem

)()( tety

c) Calcule agora a lei de controlo que minimiza o custo quadrático com um peso

4 na acção de controlo:

tVM ItutyEJ |)()1( 22

c) As figuras P3-1 a P3-6 representam registos de entradas, saídas e auto-

covariância da saída do sistema controlado com a lei de controlo da alínea

anterior. Estas figuras foram obtidas com dois valores diferentes do peso .

Três figuras (uma auto-covariância, um registo da entrada e um registo da

saída) foram obtidas com 0 e as outras três com 4 (os valores

considerados nas alíneas a) e c) acima). Diga quais as figuras que

correspondem a 0 . Justifique a sua resposta.


Fig. P3-1 Entrada Fig. P3-2 Entrada

Fig. P3-3 Saída Fig. P3-4 Saída

Fig. P3-5 Covariância da saída Fig- P3-6 Covariância da saída

P4. Controlo de variância Mínima de um processo com perturbações acessíveis.

Há muitos exemplos em que algumas das perturbações que agem sobre o

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

u

Tempo [número de amostras]

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

u

Tempo [número de amostras]

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Auto

corr

ela

tio

n

Sample Autocorrelation Function (ACF)

0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Auto

corr

ela

tio

n

Sample Autocorrelation Function (ACF)


sistema a controlar podem ser medidas, facto de que se pode tirar partido para

melhorar o desempenho do controlo, tornando-o mais rápido1.

Um exemplo de muitos possíveis é fornecido pelo controlo do nível do barrilete

num grupo gerador de vapor de uma central termoeléctrica. O barrilete (fig. P4-

1) ´+e um cilindro de aço parcialmente preenchido por água e parcialmente por

vapor, do qual é extraído vapor para utilização nas turbinas. A fig. P4-2 mostra

um esquema do circuito de água/vapor em torno do barrilete. Por forma a

manter o nível da água em aproximadamente 50%, é injectada água.

Fig. P4 – 1. Aspecto do revestimento exterior de um dos topos do barrilete num

grupo gerador de vapor de dimensão média (150 MW).

1 A utilização do controlo antecipativo (em Inglês: feedforward control) é muito comum em

processos industriais, permitindo melhorar o desempenho, com reflexos directos no desempenho

financeiro. Historicamente, esta ideia remonta a Poncelet, engenheiro francês do séc. XIX mais

conhecido pela invenção de uma balança que tem o seu nome. Nesta altura, Watt tinha

patenteado o regulador de realimentação de máquinas a vapor que tem o seu nome e que

constituiu um grande sucesso comercial. Foi na tentativa de ter uma patente alternativa que

Poncelet sugeriu regulart o fluxo de vapor (variável manipulada) medidno não a velocidade

(saída), mas sim o binário resistente a vencer (perturbação). A inexistência de sensores

adequados, o facto de haver incerteza e perturbações não acessíveis (que o controlo antec

ipativo não pode rejeitar) e a inexistência de um corpo teórico adequado impediram a ideia de

funcionar na altura.


Fig. P4-2. Esquema do circuito de água/vapor junto ao barrilete.

A quantidade de água que é injectada é calculada por um controlador que

comanda uma válvula. Por forma a tornar a actuação mais rápida, o controlador

tem actuação antecvipativa (feedforward): Ainda antes que o nível desça, o

controlador abre a válvula por forma a deixar passar a quantidade de água de

alimentação (fig. P4-2) correspondente à massa de vapor (por unidade de

tempo) que saiu para a turbina.

Fig. P4-3. Diagrama de blocos do controlo de nível do barrilete

Incluindo uma acção antecipativa do cauidal de vapor.

u

Água dealimentação

Vapor para a turbina

Vapor

ChamaÁgua

Tubagemdescendente

Painéis de água

h Água

Vapor

uBarrilete/Evaporador

ControladorRealiment.

Contr.Antecip.

Nível

Outras perturbações(não acessíveis)

Caudal de vaporpara a turbina(perturbação acessível)

+

+


Como, devido a erros de modelação e a outras perturbações não medidas este

equilíbrio não é perfeito, existe uma acção de controlo por retroacção que se

adiciona a esta, o que resulta no esquema da fig. P4-3. O controlo de

antecipação destina-se assim a aumentar a rapidez de resposta na rejeição das

perturbações no nível causadas por variações do caudal de vapor pedido pela

turbina, e o controlo por retroação destina-se a estabilizar o sistema e eliminar

os erros residuais.

Este exemplo motiva o problema seguinte: Considere o sistema modelado por

)()()()( 1* dtvtudtyqA (1)

em que 1d é o atraso do sistema (conhecido) e )( 1* qA é um polinómio no

operador atraso 1q dado por

n

nqaqaqA 1

1

1* 1)(

em que os coeficientes naa ,,1 são conhecidos.

A saída do sistema é y , a entrada u e v é uma perturbação. No instante t , )(tv

é conhecida, mas )( dtv não. Sabe-se no entanto que v pode ser modelada

como ruído branco de variância unitária filtrado apenas com com pólos, ou

seja:

)()()( 1* ttvqH

em que

p

pqhqhqH 1

1

1* 1)(

Determine a lei de controlo que permite calcular )(tu por forma a minimizar o

funcional de variância mínima

t

VM IdtyEtuJ )())(( 2

As observações disponíveis no instante t , tI , são y até t , u até 1t e v até t .


Sugestão: Escreva a perturbação )( dtv como a soma de um preditor d

passos à frente e um erro de predição, e use esta soma no modelo (1).

P5. Considere o sistema descrito pelo modelo ARMAX

)()1()()()1( tcetetutayty

a) Usando a técnica baseada em polinómios obtenha o controlo de variância

mínima.

b) Suponha que o controlo aplicado ao sistema é definido por uma retroacção da

saída da forma

)()( tKytu

Obtenha a variância da saída em regime estacionário em função do ganho K e

dos parâmetros a e c .

Sugestão: Comece por escrever uma equação de diferenças para )1(2 tyE e

depois calcule o regime estacionário.

Solução:

2

22

)(1

)(21)(lim

aK

caKctyE

t

c) Obtenha uma equação para o ganho que minima a variância derivando em

ordem ao ganho a expressão que obteve em b). Mostre que o controlador que

obteve na alínea a) é uma das soluções desta equação.

d) Tome agora 6.0a e 4.0c . Usando o MATLAB, represente graficamente a

variância da saíuda em função do ganho K , usando a expressão deduzida na

alínea b) para este caso particular. Observe que a expressão fornece valores da

variância inferiores ao correspondente ao ganho de variância mínima calculado

em a). Explique o paradoxo.


)()1()2(5.0)1(5.1)( tetutytyty

em que u é a variável manipulada, y é a saída medida e e é um sinal de ruído




tVM ItyEJ |)1(2



b) Calcule a variância da saída com o controlo de variância mínima.

c) Calcule a variância da entrada 𝑢 com o controlo de variância mínima.

d) Calcule agora a lei de controlo que minimiza o custo quadrático com um peso

5,0 na acção de controlo:

t

VM ItutyEJ |)()1( 22


)()2(5.0)1()2(5.0)1(5.1)( tetututytyty

em que u é a variável manipulada, y a saída medida e e um sinal de ruído



tVM ItyEJ |)1(2



b) Calcule a variância da saída com o controlo de variância mínima.

c) Mostre que, com a lei de controlo da alínea a), em regime estacionário se tem

)()( tety

d) Calcule agora a lei de controlo que minimiza o custo quadrático com um peso

4 na acção de controlo:

tVM ItutyEJ |)()1( 22

P8. Considere o sistema descrito pelo modelo ARMAX

)()1()()()1( tcetetutayty ,


em que 𝑢 é a variável manipulada, 𝑦 a saída, 𝑎 e 𝑐 parâmetros positivos e

estritamente menores do que 1, 𝑡 o tempo discreto e 𝑒 uma sequência branca,

de média nula e variância unitária.

a) Suponha nesta alínea que a variável manipulada 𝑢 é nula. Calcule uma

expressão, em função do parâmetro 𝑎, o preditor 2 passos à frente e a

respectiva variância do erro de predição.

b) Usando a técnica baseada em polinómios obtenha o controlo de variância

mínima e a variância mínima atingível para a saída.

c) Suponha que o controlo aplicado ao sistema é definido por uma retroacção da

saída da forma

)()( tKytu

Obtenha a variância da saída em regime estacionário em função do ganho K e

dos parâmetros a e c .

P9. O incremento y em relação ao valor de equilíbrio da altitude de uma

aeronave está sujeita a uma perturbação estocástica devida a turbulência

atmosférica e é modelado por

)1()()(8.0)1( tetutyty

em que e é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária e u é

a variável manipulada que permite actuar sobre a altitude.

a)Determine o controlador de variância mínima

b)Determine a potência da saída, em regime estacionário, quando é utilizado o

controlador de variância mínima.

c)Determine a potência, em regime estacionário, quando a variável manipulada

é 0)( tu , correspondendo à situação em que não há controlo. Diga se há ou

não vantagem em usar o controlo de variância mínima.

P10. Mata-moscas robótico. A coordenada da posição (num mundo uni-

dimensional) do centro de um mata-moscas robotizado satisfaz o modelo

)2()()1(5.0)2( tetutyty


em que {e} é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária e u

é a variável manipulada do mata-moscas

a) Determine o controlador que minimiza

J E y t w t I t ( ) ( )2 22

em que a posição da mosca w satisfaz

)()1(9.0)( ttwtw

sendo {} um sinal branco, de variância 2

e independente de {e}.

Admita que no instante t apenas se conhece )(tw e o seu passado, não sendo

este sinal conhecido com antecipação, quer dizer, )2( tw e )1( tw não são

conhecidos no instante t .

b) Determine a potência do erro de seguimento, em regime estacionário, quando

é utilizado o controlador de variância mínima que dimensionou.

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1 Controlo por realimentação de variáveis de estado · de potência constitui a tensão a aplicar ao motor) e a referência a seguir pela saída do sistema (o ângulo de deflexão