06 Deflexão Em Vigas e Eixos

7/25/2019 06 Deflexo Em Vigas e Eixos

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Deflexo em Vigas e Eixos


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Deflexo em Vigas e Eixos

Em algumas vezes, precisamos limitar o grau de deflexo "" que

uma viga pode sofrer quando submetido a uma carga. Os mtodos para determinar essas deflexes e inclinaes em pontos espec

incluem o mtodo de integrao, de funes de descontinuidade, e

da superposio.


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A linha Elstica

Para determinar a inclinao ou o deslocamento em um ponto d

imaginaremos a forma dessa viga defletida quando carregada, de

visualizar os resultados calculados. O diagrama da deflexo do eix

longitudinal que passa pelo centroide de cada rea da seo transv

viga denominado linha elstica.


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Se a linha elstica de uma viga parecer difcil de se determinar pod

o diagrama de momento fletor da viga de modo a facilitar o entend


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Conveno de sinal.


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Se o diagrama de momento fletor for conhecido ser mais fcil rep

linha elstica.

em C o momento nulo


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Por exemplo temos uma viga engastada em A (em balano), a curv

deve ter deslocamento e inclinao nulos nesse ponto. O maior des

ocorrer em D, onde a inclinao nula, ou em C.


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Relao Momento Curvatura

Desenvolveremos uma importante relao entre o momento flet

na viga e o raio de curvatura da curva da linha elstica em um po

equao resultante ser utilizada para determinar da linha el

necessrio a utilizao a principio 3 coordenadas , ,


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Na figura o eixo x estendese na direo positiva para a direita

do eixo longitudinal inicialmente reto da viga. Ele usado para loc

elemento diferencial, cuja largura no deformada dx.


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O eixo estende-se na direo positiva para cima em relao ao

mede o deslocamentodo centroide da rea da seo transversal do

A coordenada Y localizada utilizada para especificar a posi

fibra no elemento da viga.


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Limitaremos anlise de uma viga deformada elasticamente no plano

.

A deformao da viga provocada tanto pela fora cortante como pel

fletor.

No entanto, voltaremos nossa ateno nos efeitos do momento.


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Quando o momento fletor interno M deformar uma viga, o ngu

sees transversais torna-se d.

O arco representa uma poro da linha elstica que intercepta

neutro para cada seo transversal. O raio de curvatura definido

distncia que medido do centro de curvatura O at .


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A deformao do arco localizada em uma posio y em relao ao

: =

. Todavia = = = e portanto

) ]/ 1

=

(1)

Alm disso a formula da flexo tambm se aplica: =

. Combinan

equaes temos:1

=

(2)

o raio de curvatura em um ponto especifico sobre a curva da linha elstica

M o momento fletor onde deve ser determinado.

E o mdulo de elasticidade

I o momento de inercia em torno do eixo neutro.

EI denominado rigidez flexo e sempre representa uma quantidade positiv


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Inclinao e deslocamento por integrao.

A curva da linha elstica pode ser expressa por = . Para s

equao temos que representar a curvatura 1/ em termos de e

dos livros mostra que essa relao :

1

=

/

[1+(

).]./

substitudo na equao 2 tem-se:

/

[1+(

).]./

=

(3)


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A equao 3 representa uma equao diferencial de segunda or

soluo denominada elstica d a forma exata da linha elstica qu

deflexes na vigas ocorrem por flexo.

De modo a simplificar a equao 3 a maioria dos cdigos e man

engenharia especifica limitaes para as deflexes e que para a m

vigas formam uma curva rasa.

Por consequncia a inclinao da linha elstica determinada por

ser muito pequena. Portanto, a equao 3 torna-se:

=

(4)


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Se diferenciarmos cada lado em relao a e substituirmos =

.

= () (5)

Se diferenciarmos mais uma vez usando =

temos:

.

= ()


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Na maioria dos problemas a rigidez a flexo ser constante ao lo

comprimento da viga. Logo, reordenando os resultados anteriores

= ; (6)

= ; (7)

= ; (8)

Obs: Utilizaremos a equao 8 nos clculos pois mais fcil. Apenas 2 i


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A soluo de qualquer uma dessas equaes requer integraes

para obter a da linha elstica. Em cada integrao introduzse

constante de integrao.

Se a equao 6 for utilizada teremos que avaliar 4 constante de

Caso o momento interno for conhecido podemos utilizar a equa

teremos que determinar apenas 2 constante de integrao. Dessa f

mais fcil determinar o momento em funo de = e

somente as duas constante de integrao.


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Considerando que

seja muito pequeno, o comprimento horiz

original da viga e o arco de sua linha elstica sero aproximadame

mesmos. Ou seja, ser . Consideraremos que pontos sobre

elstica so deslocados no sentido vertical e no horizontal.

Alm disso, o ngulo de inclinao ser muito pequeno e seu

radianos pode ser determinado diretamente por:

=

=

(9)


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Condio de contorno e continuidade

As constantes de integrao so determinadas pela avaliao da

para o cisalhamento, momento, inclinao ou deslocamento em umdeterminado ponto na viga no qual o valor da funo conhecido.

valores so denominados condies de contorno.

Veremos algumas condies possveis utilizadas para resolver p

deflexo.


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Condio de contorno e continuidade

=


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Resumo

A inclinao e o deslocamento so nulos em todos os apoios fixos;

O deslocamento nulo ocorre em todos os apoios de pinos e roletes;

X pode ter origem em qualquer ponto da viga;

Em todos os casos positivo orientado para cima;

Expresse o momento em funo de x;

Sempre considere que o momento aja na direo positiva para determi

Para determinar use a equao de momento, mais simples;

Considere as condies de contorno;


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Exerccio 01

A viga em balano est sujeita a uma carga P em sua extremidade.

a equao da linha elstica no ponto A utilizando uma coordenada

que EI constante.

Resposta: =

2

=


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Exerccio 02

Determine a equao da linha elstica e o deslocamento mximo p

EI constante.

: =5

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