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Proposta de Resoluo da Sociedade Portuguesa de Matemtica
para o Exame Nacional de Matemtica B
Prova 735, 1 fase21 de Junho de 2010
Grupo I
1. Na primeira tela, o raio do crculo 6.
Logo, a sua rea de .
Na segunda tela, h 4 crculos de raio 3; a rea total de e
portanto as duasreas referidas so iguais.
2. Considerando a tabela
verificamos que temos a considerar a sucesso dos quadrados
perfeitos, pelo que na 10 tela
haver crculos.
3. Vamos ignorar as sobreposies que se reduzem a pontos
(interseco de dois fios).
Consideremos ento a tabela
Constata-se que os primeiros factores do 1 membro das diversas
igualdades esto em
progresso aritmtica de razo 2. Assim, como o primeiro termo 4, o
10 termo ser
. O comprimento de fio a aplicar portanto
N da tela N de crculos
1 1
2 3 .
N da tela Comprimento de fio
1 2 3
.
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dm = 156 m.
Grupo II
1. O volume do cilindro original ;
o volume de cada um dos cones
o volume do cilindro a cinzento direita na figura 3 .
Do enunciado decorre que
Simplificando e resolvendo em ordem a vem , como queramos.
2.1 Seguindo as etapas recomendadas, vem
, uma vez que a altura no instante inicial coincide com a altura
do cilindro a
cinzento na figura 3;
, pelas duas etapas anteriores; , recorrendo-se igualdade
provada na questo anterior.
2.2 Basta resolver a equao
O reservatrio fica vazio ao fim de 3,2 horas, ou seja, 3h
12min.
2.3 A funo h decrescente no intervalo (ver grfico seguinte),
pelo que a suataxa de variao mdia negativa em qualquer intervalo
contido em . A afirmao falsa.
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GRUPO III
1.1 Devemos calcular ; recorrendo calculadora, este valor
aproximadamente igual a 9,365, o que corresponde a 9h 22min.
1. 2 Consideremos o grfico da funo definida em [1, 365] por
A sua interseco com a recta horizontal de equao constituda
pelospontos A e B, cujas abcissas podem ser determinadas recorrendo
funo Intersect da
calculadora grfica TI84PlusSE ; arredondadas s unidades, so,
respectivamente, 24 e 323.
Conclui-se que h dias nas condies pedidas.
1.3 Basta considerar o grfico seguinte. A abcissa arredondada s
unidades do Ponto C d a
ordem pedida: 174. Este valor foi determinado recorrendo
calculadora grfica.
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2.1 Introduzimos na lista L1 da calculadora os dados da
listaMulheres
(x) e na lista L2os dadosda lista Homens (y). Recorrendo
regresso linear obtemos a equao , com e (seis casas decimais).
Fazendo nesta equao, vem , com aproximao s dcimas.
2.2 Seja X a varivel aleatria vencimento mensal individual em
euros; sabe-se que
Recorrendo calculadora,
Conclui-se que mais provvel ganhar menos de 2000 euros.
GRUPO IV
Do enunciado, conclui-se que a funo M crescente e que a funo E
decrescente.
Alm disso, em Junho de 2010, e e . Assim:
A) falsa, pois implica Mdecrescente (a expresso dada , a menos
de um factor positivo, uma
exponencial de base 1/1.03, inferior a 1);
B) falsa pois implica que sempre maior que 0,8, o que falso j
que o seu valor actual inferior a 0,5;
C) falsa, pois implica que o nmero de milhafres em Junho de 2010
superior a 500.
FIM
