1. Flambagem

1.1. Introduo

Flambagem ou encurvadura um fenmeno que ocorre em peas

esbeltas (peas onde a rea de seco transversal pequena em relao ao

seu comprimento), quando submetidas a um esforo de compresso axial. A

flambagem acontece quando a pea sofre flexo tranversalmente devido

compresso axial. A flambagem considerada uma instabilidade elstica,

assim, a pea pode perder sua estabilidade sem que o material j tenha

atingido a sua tenso de escoamento. Este colapso ocorrer sempre na

direo do eixo de menor momento de inrcia de sua seo transversal. A

tenso crtica para ocorrer a flambagem no depende da tenso de

escoamento do material, mas da seu mdulo de Young.

1.2. Definies

Os sistemas mecnicos e estruturas em geral quando esto submetidos

a carregamentos, podem falhar de vrias formas, o que vai depender do

material usado, do tipo de estrutura, das condies de apoio, entre outras

consideraes. Quando se projeta um elemento, necessrio que ele satisfaa

requisitos especficos de tenso, deflexo e estabilidade.

Definio: Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma fora axial de

compresso so chamados de colunas e a deflexo lateral que sofrem

chamada de flambagem. Em geral a flambagem leva a uma falha repentina e

dramtica da estrutura.

1.3. Clculo da carga Crtica (Pcr)

a carga axial mxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer

a flambagem. Qualquer carga adicional provocar flambagem na coluna.

Para compreender melhor esse tipo de instabilidade, considere um

mecanismo formado por duas barras sem peso, rgidas e acopladas por pinos

nas duas extremidades.

Tipos de equilbrio

: Equilbrio estvel

: Equilbrio instvel (1)

: Equilbrio neutro (Carga Crtica)

Os estados de equilbrio apresentados na expresso (1) esto

mostrados na Figura 31.

As trs condies de equilbrio representadas pela Figura 31 so

similares quelas de uma bola colocada sobre uma superfcie lisa, como na

Figura 32.

Colunas com apoios simples (pinos)

A coluna da Figura 33 carregada por uma fora vertical P que

aplicada atravs do centride da seo transversal da extremidade. A coluna

perfeitamente reta e feita de um material elstico linear que segue a lei de

Hooke. Uma vez que se considera que a coluna no tem imperfeies, ela

chamada de coluna ideal.

Comportamento da Coluna Ideal:

Se P < Pcr , a coluna est em equilbrio estvel na posio reta.

Se P = Pcr , a coluna est em equilbrio neutro tanto na posio reta

quanto na posio levemente flexionada.

Se P > Pcr , a coluna est em equilbrio instvel na posio retilnea e ir

flambar sobre a menor

Equao diferencial para flambagem de coluna:

Para determinar os carregamentos crticos correspondentes s formas

defletidas para uma coluna real apoiada por pinos, usamos as equaes

diferenciais da curva de deflexo de uma viga. Essas equaes so aplicveis

a uma coluna flambada porque a coluna flete como se fosse uma viga. Tem-se

a seguinte equao:

Elv = M (2)

Onde,

M = -Pv (3)

E se a coluna flambar para a direita?

A equao diferencial da curva se torna

Elv = - Pv (4)

A eq. (4) uma equao diferencial linear homognea de segunda

ordem com coeficientes constantes.

Soluo da equao diferencial

A soluo geral da equao (4) :

As duas condies de contorno so determinadas pelas condies de contorno

nas extremidades da coluna. Como V = 0 em x = 0. E como V = 0 em x = L,

ento:

A equao (7) satisfeita se:

Ou

O menor valor de P obtido quando n=1, e a carga crtica para a coluna,

portanto:

P Carga crtica ou carga axial mxima na coluna imediatamente antes da

flambagem, essa carga no deve permitir que a tenso na coluna exceda o

limite de proporcionalidade.

E mdulo de elasticidade do material

I O menor momento de inrcia da rea da seo transversal.

L Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades so apoiadas por

pinos.

P cr Denomina-se tambm de carga de Euler em homenagem ao matemtico

suo Leonhard Euler, que solucionou o problema em 1757.

Em projeto se utiliza a eq. (10) em funo do raio de girao, onde o momento

de inrcia :

Onde A e a rea da seo transversal e r o raio de girao da rea da seo

transversal. Dessa forma tem-se:

(

)

( )

Dessa forma,a tenso critica e dada pela seguinte expresso:

( )

Onde

cr - Tenso critica que a tenso media na coluna imediatamente antes de a

coluna flambar, essa tenso uma tenso elstica e, portanto, cr E

E - mdulo de elasticidade do material

L - comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades so presas por

pinos

R - o menor raio de girao da coluna, determinado por , onde I e o

menor momento de inrcia da rea da seo transversal A da coluna.

A forma fletida correspondente e definida pela equao.

Aqui a constante C1 representa a deflexo mxima, max , que ocorre no

ponto mdio da coluna como apresenta a Figura 35. Valores para C1 no

podem ser obtidos, pois se desconhece a forma fletida exata da coluna. Por

exemplo, se n=2 aparecero duas ondas na forma flambada como na Figura

35.c.

Representa-se o comportamento carga-deflexao da coluna ideal pelo

grfico mostrado na Figura 36.

A carga crtica expressa em (10) independe da resistncia do material

dependendo apenas das dimenses da seo e comprimento da coluna (I e L)

e mdulo de elasticidade E do material que compe a coluna.

medida que o momento de inrcia sobe, a capacidade de carga da

coluna sobe. As colunas eficientes so projetadas de tal forma que a

quantidade de material fique mais distante possvel dos eixos principais.

Nota-se tambm que a coluna sofrer flambagem em torno do eixo

principal da seo transversal de menor momento de inrcia (o eixo mais

fraco), por exemplo, uma coluna de seo retangular sofre flambagem em torno

do eixo a-a como apresenta a Figura 37.

Os engenheiros tentam construir colunas onde os momentos de inrcia

em relao x e a y sejam iguais, por isso que colunas na forma de tubo ou

quadradas so ideais.

1.4. Exerccios

O elo de ao ferramenta L-2 usado em uma mquina de forja acoplado

aos garfos por pinos nas extremidades. Determinar a carga mxima P que ele

pode suportar sem sofrer flambagem. Usar um fator de segurana para

flambagem de F.S. = 1,75. Observar, na figura da esquerda, que as

extremidades esto presas por pino para flambagem e, na da direita, que as

extremidades esto engastadas.

Soluo:

A carga mxima que o elo pode sofrer sem flambagem de P = 17,7 kip.

Referncias Bibliogrficas

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Resistncia dos materiais.

3. ed. So Paulo: Makron Books, 1995. 652 p.