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1
0
)()()( dttyetyLsY st
0
)()()( dttyetyLsY st
La transformada de Laplace
2
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
3
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
.iws
La transformada de Laplace
4
Observa que la transformada de Laplace es una
integral impropia, uno de sus límites es infinito:
0 0
( ) lim ( )h
s t s t
he f t dt e f t dt
( ) ( ),f t F sL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
L
L
Notación:
5
Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
),0[,|)(| tMetf at
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
0|)(|lim
bt
tetftqb
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe s > a.
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
6
00
1111
0
0
sRe,aeeee
se
sdte)s(FL
ibtatt)iba(st
stst
Calcula la transformada de f(t) = 1:
.sRe,s
)s(F)t(f 01
1
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
7
1
0
1
0
1
0
0 )(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
Calcula la transformada de f(t) = tn:
1
!)()(
nn
s
nsFttf
10
1
!
1
nn
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
0sRe
8
1
1
1
1
)(
0
1
0
1
0
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
ssFetf t 1sRe
9
asas
Ae
as
A
dtAedteAesFAeL
tas
tasstatat
,)(
)(
0
0
0
Calcula la transformada de f(t) = Aeat:
a}sRe{,as
A)s(FAe)t(f at
10
dteatsens
a
s
adt
s
eatsena
s
eat
s
a
dts
eata
s
eatsendteatsensFatsenL
ststst
ststst
0 22
0
0
0
0
0
)()()cos(
)cos()()()()(
Calcula la transformada de f(t) = sen(at):
22)()()(
as
asFatsentf
222
2
2
2
;1as
aI
s
aI
s
a
Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)
0sRe
11
222222
0 22
0
0
0
0
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
2
as
a
asi
iaiasias
asi
eiaseiasasi
ias
e
ias
e
iias
e
ias
e
i
dteei
dtei
ee)s(F)at(senL
i
ee)at(sen
tiastias
tiastiastiastias
tiastias
stiatiat
iatiat
Calculemos la transformada de f(t) = sen(at) de nuevo:
12
)()cos(
11
)(
)()cos(
2222
22
0
0
0
atseniLatLas
ai
as
s
as
ias
ias
ias
iase
ias
dtedteesFeL
atseniate
tias
tiasstiatiat
iat
Calculemos la transformada de f(t) = eiat:
13
c
1
t
0 if ( )
1 if
t cu t c
t c
La función Heaviside o escalón unidad:
c0
1
0
1 1
( ) ( ) lim
lim lim ( )
hs t s t
hc
h s cs t s h s cs sch h
u t c e u t c dt e dt
ee e e s
L
14
Función delta de Dirac
/1
a a
área = 1Sea la función parametrizada:
t
)(lim)( 0 tfat
s
ee
s
e
s
etfL
sas
saas
11
)()(
ass
ass
as es
see
s
eetfL
000 lim1
lim)(lim
)(tf
)()(1
)( atuatutf
Observemos que
15
ta
1)(
)(
tL
eatL as
)( at )(t
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
16
Funciones periódicas
Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces:
)(1
1)()( 1 sF
etfLsF
sT
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera.
T
st dttfesF0
1 )()(
t t
T
17
)()(
)()(
,)()(
)()(
)()(
0
00
0
)(
0
0
0
sFedttfe
dfeedttfe
TtdTfedttfe
dttfedttfe
dttfesF
sTT
st
ssTT
st
TsT
st
T
stT
st
st
Demostración
18
Ejemplo: onda cuadrada
a 2a
aT 2
)(1
1)( 12
sFe
sFas
asasa
a
sta
st ees
dtedttfesF 222
0
1
1)()(
)1(
1
)1()(
2
2
asas
asas
eses
eesF
19
Tabla de transformadas de Laplace
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n atn
ts
st
s
e ts a
s ae t
s a
nt e
s a
ase
s
nt
t
s
t
at
nn
1
!
s
1
1 1
1
1
2
20
21
22
23
24
25
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:
conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
2
1)()}({1
Transformada inversa de Laplace
26
Re(s)
Im(s)
γ
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
2
1)()}({1
γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.
Con condiciones de existencia:
)(lim)2(
0)(lim)1(
ssF
sF
s
s
27
Por ejemplo, determinemos:
Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura.
21
)1(
1
sL
Re(s)
Im(s)
γ=0-1
C1R
-R
ds
s
e
idsesF
i C
sti
i
st2)1(2
1)(
2
1
iR
iRC
stst
s
e
ids
s
e
i1
22 )1(2
1
)1(2
1
0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0.
21
121 )1(
1lim
)1(Res
2
2
sLtee
ds
d
s
e
i
i tst
s
st
s
Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:
28
Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) γ y |s| > R, tenemos que
ks
msF |)(|
).( de polos losson s,...,s,s donde
)(Res)}({
n21
1
1
sF
sFesFLn
k
st
ss k
Entonces si t > 0:
En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.
29
Ejercicio: Calcular, a partir de su definición, la transformada inversa de Laplace
de la función)2)(1(
)(
ss
ssg
Respuesta.
I
ib
ib
stdse)s(glimi
)s(gL
2
11
s=-1
s=-2 Re(s)
Im(s)
t > 0 t < 0
2
1
)()(
s
s
esgsf st
puntos singulares aislados de f(s).
s = -1; polo simple:
s = -2; polo simple:
t
-sesg
)(Res
1
t
-sesg 2
22)(Res
0 ,0
0 ,)(Res)(Res221
tI
tsfsfiI-s-s
0 ,0)(
0 ,2)(1
21
tsgL
teesgL tt
30
Ejemplo, determinar:
21
)1)(2(
1)(
ssLtf
.1sy 2s :doble otroy simple uno polos, dos posee
)1)(2()(
21
2
ss
esFe
stst
9
3
2lim
)1(lim
)1)(2(Res
)1)(2(Res)(
2
122
2122
tttst
s
st
s
st
s
st
s
etee
s
e
ds
d
s
e
ss
e
ss
etf
31
P2. Junio 2007
1. Emplear la integral de Bronwich para determinar
Respuesta.
2
1
)2)(1(
1
ssL
2
1
2
)2)(1()(
)(lim2
1)(
,)2)(1(
1)(
ss
esf
dsesgi
sgL
Csss
sg
st
ib
ib
st
s = -1, s = 2, puntos singulares aislados de f
32
1
1
)()()(
)(Res2)(
0, tde valoresPara2
1
C
Rs
dssfdssfdssf
sfidssfR
C
C
:
:
2
1
s=2s=-1 Re (s)
Im (s)
C
33
Residuo en s = -1
t
st
esf
sss
e
ssf
9
1)1()(Res
)(1
1
)2(1
1)(
-1s
2
Residuo en s = 2
tt
st
etesf
sss
e
ssf
22
2s
22
9
1
3
1)2()(Res
)()2(
1
1)2(
1)(
34
C
ttt
ttt
ss
tdssf
teeeidssf
teeeidssf
rfrfidssf
0 para ,0)(lim
39
12)(lim
3
1
9
12)(
)(Res)(Res2)(
1
1
1
22
22
21
35
ds
ss
edssf
ib
ib
st
2)2)(1(lim)(lim
0,39
1
)2)(1(
1 222
1
teteess
L ttt
36
Para valores de t < 0,
C
C
C
Rs
tdssf
dssfdssfdssf
dssfdssfdssf
sfidssfR
0 para ,0)(lim
)(lim)(lim)(lim
)()()(
0)(Res2)(
2
2
2
0,0)(1 tsgL
37
1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL
La transformada de Laplace es un operador lineal.
Propiedades
38
)()(
)()(
)()(
)()(
2211
0 22
0 11
0 2211
2211
tfLctfLc
dtetfcdtetfc
dtetfctfc
tfctfcL
stst
st
Demostración:
39
2. Desplazamiento temporal
)(
)(
)(
)()()(
)()(
0
0
0
0
0
0
0
00
0
sFe
tt
dfee
dtttfe
dtttuttfesX
dttfesF
st
sst
t
st
st
st
0
000 ,0
),()()()(
tt
ttttfttutftg
)()}()({
)()}({0
0 sFettutfL
sFtfLst
40
Ejemplo:
3
31
s
eL
s
3
2 2
stL
332 2
)3()3(s
etutL s
)3()3(2
1 23
31
tuts
eL
s
3t
41
)(
)()()(
)()(
0
)(
0
0
asF
dttfedttfeesX
dttfesF
tasatst
st
22 )(
11
asteL
stL at
3. Desplazamiento en frecuencias
Ejemplo:
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfLat
42
4. Cambio de escala en tiempo
)/()/1(
)(1
)()(
)()(
0
)/(
0
0
asFa
atdfea
dtatfesX
dttfesF
as
st
st
a
sF
aatfL
sFtfL
1)}({
)()}({
43
5. Derivada de la transformada de Laplace
)(
)(
)()(
)()(
0
0
0
ttfL
dtttfe
dttfeds
dsF
ds
d
dttfesF
st
st
st
)()(
)}({)(
ttfLsF
tfLsF
44
6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
)0()()}('{ fssFtfL
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL
45
En forma similar:
Demostración:
)0()0(')0()()}({ )1(21)( nnnnn ffsfssFstfL
)0()()()0(
)()()(')('
0
00
0
fssFdttfesf
dttfsetfedttfetfL
st
ststst
0)(lim
tfe st
t
46
Supongamos que:
)0()0(')0()()}({ )2(321)1( nnnnn ffsfssFstfL
)0()0(')0()(
)0()()()0(
)()()()(
)1(21
)1()(
0
)1()1(
0
)1(
0
)1(
0
)()(
nnnn
nnnstn
nstnstnstn
ffsfssFs
ftfsLdttfesf
dttfsetfedttfetfL
Entonces: 0)(lim )1(
tfe nst
t
47
Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función
usando la transformada de Laplace de
)cos()( attf
)(tf
22
222
22
2
2
2
)(
)()()(
01)()(
)0()0()()( :que Puesto
0(0)fy 1f(0)con )()(
)cos()(
)()(
)cos()(
:Tenemos
as
ssF
ssFssFatfLa
ssFstfaL
fsfsFstfL
tfatf
atatf
atasentf
attf
48
49
50
Emplear las propiedades correspondientes para determinar la
transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre, que se
definen como:
...2,1,0 ),(!
)()(
netdt
d
n
etL tn
n
nt
n
Respuesta.
11
)(
)1(
!
)1(
!)1()1()()1(
1)Re( ),(1
1
nn
nnnntn
t
s
n
s
nsgetL
ssgs
eL
51
...2,1,0 ,0)(
)0(...)0()0(
)()(
)(
0
)(
)1(21
)(
netdt
d
ffsfs
tfLstfdt
dL
ettf
t
tnn
n
nnn
nn
n
tn
52
)1(!
1)(
!
)()1(
!)(
)(
1
)(
shn
etdt
d
n
eL
shs
snet
dt
dL
tnn
nt
n
ntn
n
n
1)Re( ,)1(
)(! 1
)(
ss
set
dt
d
n
eL
n
ntn
n
nt
Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
en una ec. algebraica
Resolver paray(t)
Resolver para Y(s)
Ec. Diferencial
Transformada de Laplace
Ec. Algebraica
Si resolvemos la ec. algebraica:
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.
Ec. Algebraica
Solución de la Ec. Diferencial
Inversa de la Transformada
de Laplace
La transformada inversa de Laplace de:
es
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
es la solución de la ec. diferencial:
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
De modo que:
Para conseguirlo hemos aplicado:
Primero, que la TL y su inversa son lineales:
1 1 -1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
cf t g t c f t g t
cF s G s c F s G s
L = L +L
L = L +L
2
'( ) ( ) (0),
''( ) ( ) (0) '(0)
f t s f t f
f t s f t s f f
L = L
L = L
and
etc...
Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:
A este método se le conoce como cálculo de Heaviside.
Por ejemplo:
012
1
012
01
)0()0(')0()(
0)()}0()({)}0(')0()({
0)()(')(''
asas
fafsfsF
sFafssFafsfsFs
tfatfatf
Y antitransformando obtendremos la solución.
Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial
)4)0(y0()(2)(' 3 ftetftf t
tt
t
tt
eetfss
sF
ssFssF
ssFfssF
eLtfLtfL
etftfLetftf
32
3
33
5)(3
1
2
5)(
03
1)(24)(
03
1)(2))0()((
0}{)}({2)}('{
0})(2)('{;0)(2)('
62
Ejemplo
Resolver
2222 )1()1(
1)(
s
e
ssY
s
0)0()0(,0
0sin
yyt
ttyy
11
1
)sin()(sin
sin)(sin)()(
22
2
s
e
s
ttutL
ttutLsYsYs
s
tt
tttt
ttttutttty
cos
0cossin
)cos()()sin()(cossin)(
21
21
21
21
63
Ejemplo:
2
1
1
1
23
1)(
)(2)(3)(
2
2
sse
ssesY
esYssYsYs
ss
s
)1(2)1()1()( tt eetuty
Resolver 0)0()0(),1(23 yytyyy
64
7. Transformada de Laplace de la integral de una función
s
sFtfL
sduufL
t )()}({
1)(
0
)(1
)(11
)(
)()(
)()(
000
00
0
sFs
dttfes
es
df
dtdfesX
dttfesF
ststt
tst
st
Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces:
para Re(s) > p.
65
Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función:
du)usinh()ucosh(u)t(ft
860
3
Respuesta.
gLs
fL
duug
duuuutf
t
t
1
)(
)8sinh()6cosh()(
0
0
3
66
22)8sinh()6cosh()(
886633
tttt eeeetttttg
tttt eeeetg 142214
4
1)(
4444
1
)14(
!3
)2(
!3
)2(
!3
)14(
!3
4
1
)Re()Re( ,)(
!
ssssgL
zszs
netL
nztn
4444 )14(
1
)2(
1
)2(
1
)14(
1
2
3
sssssfL
67
s
sFduufL
t )()(
0
sduuF
t
tfL )(
)(
)()(con tfLsF
8. Transformada de Laplace de f(t)/t
68
Calcula la transformada de Laplace de t
ttf
sin)(
duuFt
tfL
ssF
sI
sI
s
dtetss
dts
et
s
et
s
dts
et
s
etdtetsFtL
s
I
ststst
ststst
)()(
:empleando Ahora,
1
1)(
1
1;
111
sin11
sincos1
cossin)(sin)(sin
2222
02200
000
suduut
tL
ssarctan
2arctan
1
1sin2
69
)cos()()(Si attftg
24
222
2222
0
4
2
222
2
)()()()(
)(1
)(
as
aaisa
aisa
i
aiasa
aiasa
i
dtet
atsensG
atsent
tg
st
2
)()()(
iasFiasFsG
acon
Ejemplo:
)()()(Si atsentftg
2
)()()(
iasFiasFisG
acon
9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
70
10. Teorema del valor final
Si existe, entonces:
11. Teorema del valor inicial
El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
)(lim tft
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st
71
Recordemos que
la operación se conoce
como la convolución de y y se denota como
La transformada de Laplace de esta operación está dada por:
dtff )()( 21
)(1 tf ),(2 tf
)}({)}({)}(*)({
)()()}(*)({
2121
2121
tfLtfLtftfL
sFsFtftfL
).(*)( 21 tftf
12. Integral de convolución
72
0,0
0,)()()(*)( 0
t
tdtgftgtft
Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:
Así que para estas funciones podemos definirla convolución como:
t
tdtgftgtf0
)0(,)()()(*)(
73
De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace:
1
1
11
)1(
1
0
21
21
tede
etss
Lss
L
tt
t
t
74
44
1
2
)()()(*)(
2
0
22
0
)(2
ttt
t t
etdee
dedtgftgtf
)}({)}({)}(*)({ 2121 tfLtfLtftfL Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e-2t
con valores 0 para t < 0.
)2(
1
)2(
1
4
11
4
11
2
1
}{4
1}1{
4
1}{
2
1
44
1
2
2
2
2
2
ss
sss
eLLtL
etL
t
t
)2(
1
)2(
11
)2(
1}{;
1}{
22
22
ssss
seL
stL t
75
Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la
solución del problema de Cauchy:
0)0(
1)0(
sin
y
y
tyy
Respuesta.
2
22
1
1sin
)()0()0(yL );(
stL
ssYsysyyLssYyL
76
• Transformada de la ecuación:
22
12
1222
22
1
1
1)(
1
1
1)(
1
1)1(sin
sL
s
sLty
ss
ssY
sssYtLyyL
ttss
Ls
L
ts
sL
sinsin1
1
1
1
1
1
cos1
221
22
1
21
77
tt
tduttu
duututt
t
t
cos2
sin2
1)cos)2(cos(
2
1
)sin(sinsinsin
0
0
tt
ttty cos2
sin2
1cos)(
78
1
1)(
41)(;
1
10)}(*{41)(
1
1)0()}({4)0()(
}{)(4)(;)()(4)(
)(1
)}({}{
)()(*
0
2
ssX
sssX
stxtLsssX
shthsLxssX
eLthdt
dLtx
dt
dLedssxst
dt
dtx
dt
d
sXs
txLtL
tt
thtxt
t
1)0(;)()(4)(0
xedssxsttx
dt
d tt
Resolver la ec.integro-diferencial:
79
ttt eeetx
ssssX
sss
ssX
ssX
sssX
22
2
3
1
3
1)(
2
1
3
1
2
1
1
1
3
1)(
)3)(2)(1()(
1
1)(
41)(
Antitransformando:
80
Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la
solución del problema de Cauchy
Respuesta.
0)0(
)3()()(0
)(3
x
tduuxetxdt
d t ut
)3()()(
)(
0
)(3
tduuxetx
dt
d
th
t ut
81
ss
t
etLetL
sXs
txLtfLthL
etfxfth
ssHhthsLthL
ssXxtxsLtxL
33
3
)()3(
)(3
1)()()(
)(,)(
)()0()()(
)()0()()(
82
44
1
4
3)(
44
14
3)(
)4(
)3()( ,
3)(
31
311
3
33
s
eL
s
eLsXL
ssesX
ss
essXe
s
sssX
ss
s
ss
)3(4
4
1)3(
4
3)( tetHtx
83
Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):
Caso I – Polos reales simples
Caso II – Polos reales múltiples
Caso III – Polos complejos conjugados
Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples
)( as 2)( as
))(( *asas
01
1
01
1
)(
)()(
bsbs
asasa
sD
sNsF
mm
m
nn
nn
Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
2*))(( asas
84
Caso I – Polos reales simples )( as
32
)3)(2(
1
6
1
)(
)()(
23
s
C
s
B
s
A
sss
s
sss
s
sD
sNsF
Ejemplo
as
A
85
15
2
)2(
1
3
10
3
)3(
1
2
6
1
)3)(2(
1
3
2
0
s
s
s
ss
s
s
C
ss
s
s
B
ss
s
s
A
32)3)(2(
1)(
s
C
s
B
s
A
sss
ssF
assD
sNasA
)(
)()(
86
)3)(2(
)2()3()3)(2(326
123
sss
sCssBsssAs
C
s
B
s
A
sss
s
)2()3()3)(2(1 sCssBsssAs
Ass
s
s
0)3)(2(
1
)6()23()(
)2()3()6(12
222
ACBAsCBAs
ssCssBssAs
16;123;0 ACBACBA
métodoalternativo
y resolver...
87
3
1
15
2
2
1
10
31
6
132
6
1)(
23
sss
s
C
s
B
s
Asss
ssF
La transformada inversa de Laplace es:
tt eetf 32
15
2
10
3
6
1)(
88
Otro ejemplo
2
1
1
2
1
1
211
)2)(1)(1(
372
)2)(1(
372)(
2
2
2
ssss
C
s
B
s
A
sss
ss
ss
sssF
1)1)(3(
3148
)1)(1(
372
2)3)(2(
372
)2)(1(
372
1)1)(2(
372
)2)(1(
372
2
2
1
2
1
2
s
s
s
ss
ssC
ss
ssB
ss
ssA Transformada inversa de Laplace:
ttt eeetf 22)(
89
Caso II – Polos reales múltiples 2)( as
12)1)(2(
44
)(
)()(
22
23
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
ss
sD
sNsF
Ejemplo
)()( 2 as
B
as
A
Polos realessimples
Polos realesmúltiples
90
3)1)(2(
44
2)1)(2(
44
0
230
23
2
s
s
ss
ss
ds
d
s
B
ss
ss
s
A
assD
sNasA
)(
)()( 2
assD
sNas
ds
dB
)(
)()( 2
)1)(2(
44)(
2
23
sss
sssF
91
Transformada inversa de Laplace:
tt eettf 232)(
1
1
2
113
12
12
)1)(2(
44)(
2
2
2
23
ssss
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sssF
92
En general, para polos reales múltiples:
sN
sDsF n
r pspspssD 21
n
nr
rr
r
ps
a
ps
a
ps
a
ps
b
ps
b
ps
bsF
3
3
2
2
1
11
1
1
1
1
1!
1
ps
r
j
j
jr pssFds
d
jb
ipsii pssFa
1
1
1
1
]))(([)!1(
1
]))(([!
1
]))(([
]))(([
11
1
1
1
11
1
ps
rr
r
ps
rj
j
jr
ps
rr
psr
r
pssFds
d
rb
pssFds
d
jb
pssFds
db
pssFb
93
Caso III – Polos complejos conjugados
ejemplo
))(( *asas
iaas
B
as
B
s
A
ss2,
)4(
4*
*
2
2
1
)2(
4
2
1
)2(
4
14
4
2
*
2
02
is
is
s
issB
issB
sA
conjugados complejos
*
11
2
11
asass
Transformada inversa de Laplace:
)2cos(1)( ttx
94
ejemplo
iaas
B
as
B
ss
s43,
256
4*
*
2
)4(8
1
43
4
)4(8
1
43
4
43
*
43
iis
sB
iis
sB
is
is
Transformada inversa de Laplace:
)cos(2)( teBtf t
245.0,4,3
,8
17),4(
8
1
BiB
)245.04cos(4
17)( 3 tetf t
donde
95
Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.
Caso IV – factores complejos conjugados múltiples
2*))(( asas
96
Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace.
2)0(;0)0(
23)2(2
2
2
uu
ttseneudt
du
dt
ud t
s
s
s
t
t
es
uLss
es
uLss
es
uLusLuLs
tLtseneLuLuLuL
ttseneLuuuL
22
22
2
22
2
341
2212
341
222
341
222
23)2(2
23)2(2
97
222
2
22
22
22
)2cos(26
3)2(
13
1
6
5
39
28)(
1
1
2
1
4126
3
41
2
13
1
1
1
6
5
2
1
39
28
12
3
1241
2
12
2
tttttt
ss
s
eetetseneeetu
es
es
s
s
sssuL
esssssss
uL
98
Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función )5()3()( 3 tshtchttf
4444
4444
43
83232383
82283
553333
8
1
2
1
2
1
8
1
2
3
8
!3
2
!3
2
!3
8
!3
4
1)(
!34
14
1
22)5()3(
ssss
sssstfL
asetL
etLetLetLetL
eeeetL
eeeetLtshtchtL
t
tttt
tttt
tttt
