1 Teoria Dos Conjuntos

7/25/2019 1 Teoria Dos Conjuntos

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MATEMTICA DISCRETA

TEORIA DOS CONJUNTOS

PROFESSOR

WALTER PAULETTE

FATEC SP

2009 02

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. CONCEITO DE CONJUNTOS


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2

A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemtico Georg Cantor ( 1845-1918).

Como na Geometria Euclidiana adota-se onto! reta e lano como conceitos rimiti"os es#o aceitas sem de$ini%#o! assim tam&'m s#o conceitos rimiti"os

Conjunto! elemento e a rela%#o de ertinncia.

*odemos descre"er um conjunto! citando um a um seus elementos! ou aresentando

uma roriedade caracter+stica dos mesmos.

*ara dar nome aos conjuntos usamos as letras mai,sculas A!B! C! etc. e colocamosseus elementos entre ca"es. s o&jetos /ue com0em os conjuntos s#o denominados

elementos.

Eemlo 1

Camamos de A o conjunto dos n,meros ares e indicamos or A 3!2!4!!8!...6 e

reresentamos elo diagrama de 7enn (on 7enn!(184: 192)! matemtico e l;gico

ingls)! como

A

0 2 4

6 8 ...

*ara indicarmos /ue um elemento a ertence a um conjuntoAescre"emos

a A ( leia a ertence aA) caso contrrio a A ( leia a n#o ertence aA)

Eemlo 2e$ini%#o 1

>i?emos /ue um conjunto A ' su&conjunto de um conjunto @ se! e somente se! todoelemento de A ' tam&'m um elemento de @.

=ota%#o A @ ( A ' su&conjunto de @ )! caso contrrio A@ .

Eemlo

a)


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>ois conjuntos A e @ s#o iguais se! e somente se! tm os mesmos elementos.


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4

a) A

&) A3a6c) A 3a! &6

d) A 3a! &! c6

esolu%#o

(a) A ! *(A) 36 ! logo n(*(A)) 1 2F

(&) A 3a6! *(A) 3! 3a66! logo n(*(A)) 2 2

(c) A 3a! &6! *(A) 33a6!3&6!3a! &6!6. logo n(*(A)) 4 2H

(d) A3a!&!c6!*(A)33a6!3&6!3c6!3a!&6!3a!c6!3&!c6!A! 6! logo n(*(A))8 2I.>essa maneira odemos escre"er


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5

Eemlo 9

istri&uti"a)

6.3 - DI,ERENA #-$

>e$ini%#o D

>ados os conjuntos A e @! denominamos conjunto di$eren%a de A em rela%#o a @! ao

conjunto dos elementos @ /ue n#o s#o elementos de A.

Em s+m&olos{ }CB A x x B e x A =

5


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Eemlos 11)


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D

4. A A U=U

5. A B A B =

6.5 - DI,ERENA SIMTRICA

>e$ini%#o 9>e$inimos di$eren%a sim'trica e indicamos or A B ao conjunto

A B=( AB ) ( BA)=( AB )(A B)*roriedades

1. A A=2. A B=B A. A =A

6.6 N/MERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS ,INITO

=,mero de elementos de dois conjuntos ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B= + U I

=,mero de elementos ara trs conjuntos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C = + + +U U I I I I I

Eemlo 1

Prs Cursos uni"ersitrios s#o os mais rocurados! ara o "esti&ular! elos alunosde em uma Escola de Ensino O'dio! s#o eles Administra%#o (A)! @iologia (@) e Cont&eis

(C). A;s a es/uisa $oram aresentados os seguintes resultados.

Cursos A @ C A e @ A e C @ e C A e @ e C*re$erncia 9 1 1D 2 4 1

>eterminar

a) Quantos alunos consultados re$erem s; o Curso de Administra%#o (A)R

&) Quantos alunos consultados re$erem s; dois CursosRc) Quantos alunos consultados re$erem Administra%#o (A) ou Cont&eis (C) R

d) Quantos alunos consultados re$erem Administra%#o (A) e n#o Cont&eis (C)R

esolu%#o sando a reresenta%#o de 7enn odemos escre"er o n,mero de alunoscom suas re$erncias.

41192 1 1

AB

C*ortanto!

a) s alunos consultados /ue re$erem s; o Curso de Administra%#o s#o 4.&) s alunos consultados /ue re$erem s; dois Cursos s#o .

D


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8

c) s alunos consultados /ue re$erem Administra%#o (A) ou @iologia(@) s#o 2.

d) s alunos consultados /ue re$erem Administra%#o e n#o Cont&eis s#o 5.

Exerccios de aplicao 2:

1. eterminara) Quantas essoas consultadas consomem s; o roduto AR

&) Quantas essoas consultadas consomem s; dois rodutosR

c) Quantas essoas consultadas consomem A ou @ R

d) Quantas essoas consultadas consomem A e n#o consomem C R

4. >e um torneio de atletismo! tem-se as in$orma%0es no /uadro so&re as ro"enincias e

seos dos articiantes. >etermine o n,mero de muleres de io *ardo.

Cidades V a &

L @A=C 8 &

PPAN 2& 1D

5. /uadro indica o resultado de uma es/uisa $eita so&re as essoas /ue $re/Xentam

cinema (C)! teatro (P)! e soYs musicais ao "i"o (


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9


1)) (E) 4

5) /uadro indica o resultado de uma es/uisa com essoas /ue lem os jornais A! @ eC

ornais A @ C A!@

A!C @!C A!@!C

Neitores 1

9 11

15 2 5

=estas condi%0es odemos di?er /ue lem

9


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1

(A) s; A D5 essoas. (@) s; @ 5D essoas (C) s; C 4 essoas (>) dois jornais

5 essoas (E) os trs jornais 1 essoas

) se a no%#o de ertence e a de$ini%#o de su&conjunto e colo/ue (7) se as senten%as$orem "erdadeiras e (B) se as senten%as $orem $alsas.

i)


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11

AB

C

AB

C


1.


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12

5.


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1

esanol. ) 11 (E) 2D5

2) Em um gruo 4 omens e 4 muleres. Z dos omens $umam e muleres

$umam. A orcentagem de $umantes no gruo '

(A) 2Z. (@) 24Z. (C) 2!25Z. (>) 22!5Z. (E) 28!5Z.

) Em um gruo de gatos! gatos &rancos e gatos retos.=esse gruo! eistem 2

gatos macos! 15 gatos retos! e sa&e-se /ue 4 $meas s#o &rancas. n,mero de macosretos '

(A) D. (@) 9. (C) 8. (>) 11. (E) 1.

4) s elementos dos dois conjuntos a seguir s#o n,meros naturais A 31!2!!...!486

@ 315!1!1D!...!6 . n,mero de elementos do conjunto A B '

(A) 48. (@)4. (C) . (>) . (E) 5.

5) >urante uma "iagem! co"eu cinco "e?es. A cu"a ca+a ela man# ou ] tarde! nunca

durante a man# e ] tarde no mesmo dia. Wou"e seis man#s e trs tardes sem cu"adurante a "iagem. Quantos dias duraram a "iagemR

(A) 1 (@) 9 (C) 8 (>) (E) D

) A;s uma es/uisa reali?ada numa cidade! constatou-se /ue as $am+lias /ue consomem

arro? n#o consomem macarr#o.


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14

consomem $eij#o. Calcule a ercentagem corresondente ]s $am+lias /ue n#o consomemnenum desses trs rodutos.

(A) 4Z (@) 5Z (C) Z (>) DZ (E) 8Z

D) m &anco de sangue catalogou doadores assim distri&u+dos 29 com sangue do tio

\ com $ator negati"o\ 14 com $ator ositi"o e tio sangu+neo di$erente de .Quantos doadores ossuem tio sangu+neo di$erente de e $ator negati"oR

(A) 19 (@) 18 (C) 2 (>) 21 (E)1D


1. Colo/ue (7) nas "erdadeiras e (B) nas $alsas. (usti$icando)

( ) a) ( ) ( )A B B B A A B A B =U U U U I

( ) &)( )A B A B A=U I U

( ) c) ( )B B A A B =U I

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15

2.( )A A BU

' igual a

a) A BI &) A BU c) A B

.Oostre /ue( ) ( )A B A B A B = =I U I

4. Oostre /ue( ) ( )A B A B A B U= =I U U

5. *ro"e /ue ara /uais/uer A e @! A B B A = U

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1

. Colo/ue (7) nas "erdadeiras e (B) nas $alsas. (usti$icando)

a) AB=AB

&)( ) ( ) ( )A B C A B A C = I U

c) A ( BC)=(A B )(A C)

d) A ( AB )=A B

D.


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1D

8. e Oorgan generali?ada.

1D


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A1 A2A n=A1 A2 An

4)Oostre /ue a senten%a ' "erdadeira

[A(BC)] (AC)=A

Respostas dos exerccios de aplicao 1.

1$ V0V0V0,0V0, 2$ V0V0,0V0V0V 2$ ! ! .


1$ &&&n%"( 2$ ,0V0, 3$ $ 5 $ 6 )$ 22 7$ 6

4$ 6 89&'&( 5$ )"n((%&n%&


1$ : 2$ D 3$ D 4$ D 5$ D 6$ $V0V0,0V0V $ ! ! !

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