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Professora Ana Hermınia Andrade

Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais

Departamento de Economia e Analise

Perıodo 2016.2

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Voce reconhece algum desses experimentos?

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Alguns exemplos de experimentos aleatorios

Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar onaipe

Jogar uma moeda e observar sua face

Retirar com ou sem reposicao bolas de uma urna com bolaspretas e vermelhas

Jogar um dado de 6 faces e observar qual o numero obtido

retirar n pecas de um lote e observar o numero de pecasdefeituosas

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Espaco amostral e Eventos


Seja Ω o conjunto dos possıveis resultados de um experimentoaleatorio, este e chamado de Espaco Amostral.

Evento =⇒ Experimento =⇒ Sub-conjunto de Ω

Definicao: Seja Ω o espaco amostral do experimento. Todosubcojunto A ⊂ Ω sera chamado de evento.

Ω e o evento certo

φ e o evento impossıvel

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Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos =⇒ Eventos

Considere os eventos A e B contidos em Ω

A ∪ B⇔ A OU B

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A ∩ B⇔ A E B

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Ac ⇔ A nao ocorre

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Se A ⊂ B e A ocorre ⇒ B ocorre

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Se A ∩ B = φ entao A e B sao mutualmente excludentes

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Para mais de dois eventos:

Se A1, . . . ,An e uma colecao finita de eventos contidos emΩ:⋃ni=1 Ai ocorre se ao menos um Ai ocorre⋂ni=1 Ai ocorre se todos os Ai ocorrem

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Definicao Classica de Probabilidade


Pergunta: A que eventos devemos atribuir probabilidade?

Exemplo: Considere o lancamento de um dado nao-viciado de seisfaces. Seja A um evento contido em Ω, entao podemos atribuiralguma probabilidade a A. Logo:

P(A) =#A

6=

numeros de casos favoraveis a A

numero de casos possıveis

Esta e a Definicao Classica de Probabilidade baseada no conceitode resultados equiprovaveis. Neste caso, comoΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, entao P(i) = 1

6∀i ∈ Ω.

Chamamos de Evento Aleatorio todo evento ao qual se atribui umaprobabilidade.

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Exemplo: Uma carta e selecionada aleatoriamente de um baralhode 52 cartas. Sejam A: a carta e de espadas e B: a carta e umafigura. Calcule: P(A),P(B) e P(A ∩ B).

Solucao:Ω = A, 2, 3, . . . , J,Q,K : 52 cartas

Existem 13 cartas de cada naipe e 12 cartas sao figuras

P(A) =#A

#Ω=

13

52, P(B) =

#B

#Ω=

12

52

e P(A ∩ B) =#A ∩ B

#Ω=

3

52

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Axiomas

Axiomas de Probabilidade

Seja A ⊂ Ω, os axiomas de probabilidade propostos porKolmogorov sao:

Axioma 1: P(A) ≥ 0

Axioma 2: P(Ω) = 1

Axioma 3 (aditividade finita): Se A1, . . . ,An ⊂ Ω e saomutualmente excludentes, entao

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai)

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Axiomas

Axiomas de Probabilidade

Exemplo: Tres cavalos A, B e C estao em uma corrida. A e duasvezes mais provavel de ganhar que B e B e duas vezes mais do queC. Quais sao as probabilidades de vitoria de cada um?

Solucao:

P(A) = 2P(B), P(B) = 2P(C) e P(C) = p

P(A) = 2(2p) = 4p e P(B) = 2p

Sabemos que P(A) + P(B) + P(C) = 1. Logo,4p + 2p + p = 1⇒ 7p = 1⇒ p = 1

7Entao, P(A) = 4

7 , P(B) = 27 e P(C) = 1

7 .

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Propriedades

Propriedades de Probabilidade

Sejam os eventos A, B e C ⊂ Ω:

P(φ) = 0

P(Ac) = 1− P(A)

Se A ⊂ B, entao P(A) ≤ P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩ B)− P(A ∩C)− P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

P(A ∪ B)c = P(Ac ∩ Bc)

P (⋃n

i=1 Ai) ≤∑n

i=1 P(Ai)

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Propriedades

Propriedades de Probabilidade

Exemplo: Em uma selecao para engenheiro de uma empresa, dos100 candidatos 40 tinham experiencia e 30 possuıamespecializacao. 20 dos candidatos possuıam tanto experienciacomo tambem especializacao. Escolhendo um candidato ao acaso,qual a probabilidade de que:

Ele tenha experiencia ou especializacao?

Ele nao tenha experiencia nem especializacao?

Solucao: Sejam A: ter experiencia e B: ter especializacao.Sabemos que P(A) = 40

100 = 0, 4, P(B) = 30100 = 0, 3 e

P(A ∩ B) = 20100 = 0, 2.

P(A ∪ B) = 0, 4 + 0, 3− 0, 2 = 0, 5P(Ac ∩ Bc) = P(A ∪ B)c = 1− P(A ∪ B) = 0, 5

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Probabilidade Condicional

Sera que vai chover?

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Definicao: Sejam A e B ⊂ Ω. A probabilidade condicional de Adado B e

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

Exemplo: Dois dados nao viciados sao lancados em sequencia aoacaso. Qual a probabilidade da soma das faces ser 6 dado que aprimeira face foi menor que 3?

Solucao:A: soma igual a 6 = (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)B: 1 menor que 3 = (1,1),. . . ,(1,6),(2,1),. . . ,(2,6)Ω = (1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6) e (A ∩ B) = (1, 5), (2, 4)

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

2/36

12/36=

2

12=

1

6

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Teorema de Bayes

Teorema da Bayes

Definicao: Dizemos que A1, . . . ,An representam uma particao deΩ quando:

Ai ∩Aj = φ ∀i 6= j⋃ni=1 Ai = Ω

P(Ai) > 0 ∀i

Seja B ⊂ Ω, tal que B = B ∩A1 ∪ B ∩A2 ∪ · · · ∪ B ∩An, que saodisjuntos dois a dois.

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Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Temos entao

P(B) = P(B ∩A1) + P(B ∩A2) + · · ·+ P(B ∩An)

Pela probabilidade condicional pode ser escrito como

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + · · ·+ P(B|An)P(An)

Teorema da probabilidade Total: Se a sequencia (finita ouenumeravel) de eventos aleatorios A1, . . . ,An, . . . formar umaparticao de Ω, entao

P(B) =∑i

P(Ai)P(B|Ai), ∀ B ⊂ Ω.

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Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Podemos agora calcular a probabilidade de Ai dada a ocorrencia deB.

P(Ai|B) =P(Ai ∩ B)

P(B)=

P(Ai)P(B|Ai)∑j P(Aj)P(B|Aj)

Esse e o Teorema de Bayes, ele e util quando conhecemos asprobabilidades dos Ai e a probabilidade de B dado Ai, mas naoconhecemos P(B).

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Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Exemplo: Em uma turma 60% dos estudantes sao homens e 40%sao mulheres. Sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres temmenos de 1, 60 metros de altura. Dado que um estudante commenos 1, 60 metros de altura foi sorteado ao acaso, qual aprobabilidade de ser mulher?

Solucao:Eventos: H: Ser homem; M: Ser mulher e A: ter menos de 1, 60metros.P(M|A) = P(M∩A)

P(A) = P(M∩A)P(M∩A)+P(H∩A) =

P(A|M)P(M)P(A|M)P(M)+P(A|H)P(H) = 0,04×0,40

0,04×0,40+0,01×0,60 = 0, 727

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Independencia

Independencia

Definicao: Considere dois eventos A e B quaisquer contidos emΩ. Estes sao independentes quando a probabilidade de ocorrer umdeles nao e modificada pela ocorrencia do outro, isto e,P(A) = P(A|B) ou P(B) = P(B|A). Neste caso, dizemos queP(A ∩ B) = P(A)P(B).

Exemplo: Um numero e escolhido ao acaso no conjunto1, 2, 3, . . . , 20. Verifique se os eventos A e B sao independentesquando A: O numero escolhido e par e B: O numero escolhido emultiplo de 3.

Solucao:A : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 e B : 3, 6, 9, 12, 15, 18P(A) = 10

20 = 12 ;P(B) = 6

20 = 310 ;P(A ∩ B) = 3

20 ;P(A)P(B) = 1

2 ×3

10 = 320

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