CONJUNTOS e

CONJUNTOS NUMÉRICOS

PARTE - 03/04

Prof. Mário Hanada

CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ][I

Um novo tipo de número: os IrracionaisConsidere um triângulo retângulo cujos catetos sejam iguais a 1 (Figura abaixo). O Teorema de Pitágoras nos diz que:

h portanto, podemos expressar que:

222 11 h 22 h

2hOu seja: h é aproximadamente igual a:

4,1h ou 41,1h 414,1h ou 4142,1hou

41421,1h ou 414213,1hou 4142135,1h ou 41421356,1hou

Ou seja, são números que não podem ser escritos na forma de razões ou decimais exatos ou, ainda, de dízimas periódicas.

Isto é, a medida h da figura acima ‘deve’ ser escrito assim: 2h

se tivermos uma calculadora com 35 digitos:2h ...097168872422073095048804142135623,1

Prof. Mário Hanada

...203040,0

...203040,1

...414213,12

...7320508,13

...141592,3

Lembrando: Um número irracional não pode ser escrito como razão entre dois inteiros.

Uma forma de representar TODOS os números irracionais é:

xxI / é dízima periódicanão

Prof. Mário Hanada

Quantidade de números IRRACIONAIS na reta

2 1 0 1 2 3

...203040,0

2

10

2

...1414213,0

32

5

...236067,2

...7320508,1

...141592,3

Quantos números IRRACIONAIS podemos imaginar na reta?

Onde está localizado o número ?2

2

2

2

...414213,1

...7071067,0

E o número ?3

2

3

2

...4714,0

E o número ?4

2 E o número ?100

2 E o número ?000.000.1

2

...3535,0 ...014142,0 ...0000014142,0

...203040,0 2

Prof. Mário Hanada

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Todo número natural é número real.

Todo número inteiro é número real.

Todo número racional é número real.

Todo número irracional é número real.

Ou seja:

Prof. Mário Hanada

Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.

IRQZIN

IQIR

IQ

QIRI

Vamos localizar alguns números reais na reta real.

Prof. Mário Hanada

Números Naturais também são números reais…

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Veja onde estão estes números reais na reta real

0 1 2 3 4 5 6 7

Então concluímos que: IRIN INIR

IN4IR4

IN7 IN2009

IR7 IR2009Prof. Mário Hanada

Números INTEIROS também são números reais…

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7123

Veja onde estão estes números reais na reta real

Então concluímos que: IRZ ZIR

IR4

Z 3 Z 16 Z198Z4

IR 3 IR 16 IR198

Prof. Mário Hanada

Veja onde estão “ALGUNS” destes números na reta real

2 1 0 1 2 34

3

2

1

4

12

3 2 10

2910

9

5,1

5,19,0

25,0 5,0 75,0

2

3 00,2 9,2

Então os Números RACIONAIS também são números reais…

2

0,2

2

5

5,2

Temos aqui números NATURAIS que são números reais…Temos aqui números INTEIROS que são números reais…Temos aqui números RACIONAIS que são números reais…

Então concluímos que: IRQ QIR

IR 2

Q 2 Q2

1

IR2

1

Q2

3

IR2

3

Q2

3

IR2

3

Q3

1

IR3,0 Para completar o conjunto dos REAIS falta o

conjunto dos IRRACIONAIS.Prof. Mário Hanada

Veja onde estão “ALGUNS” destes números vistos entre os racionais na reta real

2 1 0 1 2 34

32

1

4

12

3 2 10

2910

9

5,1

5,1 9,025,0 5,0

75,0

2

3 0,2

9,2

Assim, finalmente, os Números IRRACIONAIS também são números reais…

2

0,2

2

5

5,2

2

3

...414213,1 ...7320508,1

...141592,3

2

5

...236067,2

2

3

...866025,0

7

2

...2020305,0

Todos os números, em destaque, acima são números REAIS. Prof. Mário Hanada

2 1 0 1 2 3

Observe melhor alguns dos números REAIS, na reta real.Observe melhor alguns dos números REAIS, na reta real.

Dentre estes números REAIS, estão incluídos: NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS.

Prof. Mário Hanada

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRDesigualdade entre números reais

Dados dois números reais a e b, ocorre uma, e somente uma, das seguintes possibildades:

ba ba ba ou

ou

Geometricamente, a desigualdade a < b significa que a está a esquerda de b na reta real:

a

b

Geometricamente, a desigualdade a > b significa que a está a direita de b na reta real:

b a

ba

ba Prof. Mário Hanada

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR

Exemplos: ...189,3...195,2

22

05,005,0

,

6,006,0

42

Prof. Mário Hanada

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR

Algebricamente, a < b, se, e somente se, a diferença b – a é um número positivo.

53Exemplos: então 35 é positivo.

53Isto é: 035

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IR

Então, sempre que tivermos a e b, pertencente aos reais com ba podemos colocá-los ordenadamente na reta real.

Usamos também as seguintes notações:

ba

ab

Lê-se: “a é menor do que ou igual a b”

Lê-se: “b é maior do que ou igual a a”

ou: “a é menor ou igual a b”

ou: “b é maior ou igual a a”

Exemplo: 3x Lê-se: “x é maior do que ou igual a 3”

ou: “x é maior ou igual a 3”

CONJUNTOS e

CONJUNTOS NUMÉRICOSPARTE - 03/04

Prof. Mário Hanada

FIM da PARTE 03/04

VEJA a PARTE 04/04