CONJUNTOS NUMÉRICOS

O conceito de númerofoi evoluindo aolongo dos tempos, tendo-se criadonovosnúmeros para responder a problemasentretantosurgidos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NATURAIS

INTEIROS

RACIONAIS

REAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

7

6

5

2

CONJUNTOS NUMÉRICOS

431

NÚMEROS NATURAIS

A representação matemática deste conjunto é:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS INTEIROS

• Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 3 - 4 era impossível.

• A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.

• A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

NÚMEROS REAIS

Os pitagóricos ao determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida, surgindo dessa forma os números reais.

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA

• Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos.

• Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.

• Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).

Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.

O r1

+-

REPRESENTAÇÃO NA RETA

Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.

Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

+- O +1 +5

A

+- O +1-3

B

REPRESENTAÇÃO NA RETAO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.

+5A

+- O +1-3

B

A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3

A origem tem abcissa zero.

ORDENAÇÃO

•Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.

•Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

2 3 4 50 1-1-2-3

Cada vez maior

ORDENAÇÃO

Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:

2 3 4 50 1-1-2-3

+ 5 > + 2

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:

+ 2 < + 5

Isto é, se a > b então b < a

• •

ORDENAÇÃO

Da observação da posição relativa de dois números numeixo resultam algumas regras para comparar dois númerosdiferentes:

•Qualquer número positivo é maior do que zero.

•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.

+ 0,012 > 0

0 > - 35

+1 > - 35 + 0,5 > - 100;

•Zero é maior que qualquer número negativo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.

A distância do ponto B à origem é 2.

A distância do ponto A à origem é 3.

2 3

A

4 50 1-1-2

B

-3

2 3

A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:

Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número.

Portanto, temos ainda que

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,

- 4 = 4

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

NÚMEROS SIMÉTRICOS

•Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto.

Exemplos de números simétricos:

- 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque

1 e - 1 porque 1 = -1

Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

0 = 0

NÚMEROS SIMÉTRICOS

•Observação

1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).

Exemplos:

+ 100 > + 40

+ 0,5 > + 0,1

2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).

Exemplos:

- 0,01 > - 10

- 3 > - 50

Números Simétricos

Simplificação da escrita

Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...

+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8

Também:

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Não é obrigatório escrever o sinal +

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

-2 é maior que - 4 - 2 > - 4

2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2

2 > - 1 - 1 < 2

> maior < menor

ou

Conjuntos numéricosFormas de representação de um

conjunto numérico.

Extenso: A={2,3,4,5,6}

Algébrica: A={x∈N/1<x<7}

Diagrama:

Conjuntos importantes

• Conjunto vazio:

• Conjunto unitário:

• Conjunto Universo (U)– Formado por todos os elementos com os quais

estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.

∅== CouC {}

}78{=B

Conjuntos/relações

1 pertence a A

{1} está contido em A

{3} não está contido em B

B está contido em A

A não está contido em B

O conjunto vazio está contido em BB

BA

AB

B

A

A

CouC

B

A

⊂∅⊄⊂⊄⊂

∈∅==

==

}3{

}1{

1

{}

}2,1{

}4,3,2,1,0{

Conjunto das partes

• É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado.– B={1, 2, 3}

– P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Conjunto das partes

• Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes:– Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento

– {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos

– {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos

Operações com conjuntos:Intersecção

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A ∩ B = {x/x∈A e x ∈ B} (Intersecção)

• A ∩ B = {0, 2}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:União

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A ∪ B = {x/x∈A ou x ∈ B} (União)

• A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:Diferença

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A - B = {x/x∈A e x∉B} (Diferença)

• A - B = {1, 3, 4}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:Complementar

• Caso especial: um conjunto está contido no outro:

• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:

A B

0 1 25 6

• O complementar de B em relação a A:

}6,5{=−= ABC AB

A ∪ B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A ∩ B = {0, 1, 2} = A

A-B={ } B-A={5, 6}

Operações com conjuntos:Produto cartesiano

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A x B = {(x,y)/x∈A e y∈B} (Produto cartesiano)

• AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6);(1,0); (1,2); (1,5); (1,6);(2,0); (2,2); (2,5); (2,6);(3,0); (3,2); (3,5); (3,6);(4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}

• Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20

• Par ordenado: (2, 0)≠(0, 2)

Representação no plano cartesiano

A={0, 1 ,2, 3, 4}B={0, 2, 5, 6}

A

B

Atenção para:

•AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical

• (0,2) e (2,0) são pontos distintos

• Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!

Exercícios/Problemas

Problemas/Exemplo

Numa pesquisa realizada com 52 alunos sobre a preferência de disciplinas apontou os seguintes dados:I. 32 alunos gostam de matemática;II. 30 alunos gostam de português;III. 10 alunos não gostam de nenhuma dessas disciplinas.De acordo como o exposto acima, responda:A) Quantos alunos gostam de matemática e português?

B) Quantos alunos gostam de apenas matemática?

C) Quantos alunos gostam de matemática ou português?

Problemas

Uma pesquisa realizada com professores de matemática sobre suas referências musicais descobriu que 458 gostam de Sertanejo, 112 gostam de Samba, 62 gostam de ambos e 36 não gostam de nenhum dos dois gêneros musicais. Sendo assim, o número de professores que participaram da entrevista foi:

A. 668

B. 544

C. 508

D. 632

E. N.d.a.

Problemas

– (FCC-BA) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV aque habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistema outros canais distintos de A e B. o número de pessoas queassistem a A e não assistem a B é:

a. 100

b. 150

c. 180

d. 200

e. 210

Problemas(ENEM – 2003) Os acidentes de trânsito, no Brasil, em sua maior parte são causados por erro do motorista.

Em boa parte deles, o motivo é o fato de dirigir após o consumo de bebida alcoólica. A ingestão de uma lata de cerveja provoca uma concentração de aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue.

A tabela abaixo mostra os efeitos sobre o corpo humano provocados por bebidas alcoólicas em função de níveis de concentração de álcool no sangue:

Concentração de álcool no sangue (g/L) Efeitos0,1 - 0,5 Sem influência aparente, ainda que com alterações clínicas.0,3 - 1,2 Euforia suave, sociabilidade acentuada e queda da atenção.0,9 - 2,5 Excitação, perda de julgamento crítico, queda da sensibilidade e das reações motoras.1,8 - 3,0 Confusão mental e perda da coordenação motora.2,7 - 4,0 Estupor, apatia, vômitos e desequilíbrio ao andar.3,5 - 5,0 Coma e morte possível.

(Revista Pesquisa FAPESP no 57, setembro 2000)

Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja provavelmente apresenta

a) queda de atenção, de sensibilidade e das reações motoras.

b) aparente normalidade, mas com alterações clínicas.

c) confusão mental e falta de coordenação motora.

d) disfunção digestiva e desequilíbrio ao andar.

e) estupor e risco de parada respiratória.

Problemas

Num universo de 800 alunos, é sabido que 300 delas gostam dematemática. 400, de português e 130, de matemática e português.Quantas não gostam nem de matemática nem de português?

A.800.

B.230.

C.670.

D.430.

E.N.d.a..

Problemas

Problemas(ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes

catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Comoalguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupamuma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir osgastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão,respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos decada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum;C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas emcomum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculoscorrespondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dostrês catálogos, necessitará de um total de originais de impressãoigual a:

(A) 135. (B) 126. (C) 118. (D) 114. (E) 110.

Problemas

(UEPA) – A Câmara dos Deputados reuniu-se extraordinariamente paradecidir sobre a instalação de duas CPIs ( Comissões Parlamentares deInquérito): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 deputadospresentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL;200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 80 votaram a favor da duasCPIs e X Deputados foram contrários à instalação das duas CPIs. Onúmero X de Deputados que votaram contra a instalação das CPIs é:

A. 10.

B. 90.

C. 70.

D. 20.

E. N.d.a.

Intervalos numéricos (reais)

-3

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, +∞) = ]-3, +∞) ={x ∈ ℜ / x > -3}

[-3, +∞) = [-3, +∞) ={x ∈ ℜ / x ≥ -3}

-3

4

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x ∈ ℜ / -3 < x < 4}

(-3, 4] = ]-3, 4] ={x ∈ ℜ / -3 < x ≤ 4}

-3 4

-3

Operações com intervalos

Exemplo.(UFV) Sejam os conjuntos A = {x ∈IR 1/ < x < 5 } e B =

{x ∈IR / 2 ≤ x ≤ 6 }. Então A ∩ B é:

a) {2 ,3 4 }

b) {x ∈IR 2/ ≤ x ≤ 5 }

c) {x ∈IR 2/ < x < 5 }

d) {x ∈IR 2/ < x ≤ 5 }

e) {x ∈IR 2/ ≤ x < 5 }

Exemplo

(PUC – MG) Sendo IR o conjunto dos números reais e sendo os conjuntosA = {x ∈IR /− 5 < x ≤ 4 } e B = {x ∈IR /− 3 < x < 7 }, o conjunto A −B é:

a) {x ∈IR /− 5 < x≤ −3 }

b) {x ∈IR /− 3 ≤ x ≤ 4 }

c) {x ∈IR /− 5 < x < −3 }

d) {x ∈IR / 4 < x ≤ 7 }

Exercícios1. (Mack – SP) Sejam os conjuntos A = {x∈ IR /0 ≤ x ≤ 3 }, B = {x ∈ IR / x ≤ 3 }

e C = {x ∈ IR /− 2 ≤ x ≤ 3 } O conjunto (B − A)∩ C é igual a:

a) ∅

b) {x ∈ IR /x < 0 }

c) {x ∈ IR /x > −2}

d) {x ∈ IR/ − 2 ≤ x < 0 }

e) {x ∈IR /− 2 < x≤ 3 }

2. (PUC – RS) M = ( −∞ , 3 ), N = [ − 1 ,+∞ ) e P = [− 2 ,10 ) são intervalos.Então P − (M∩ N) é igual a:

a) [ − 1,2 )

b) [ − 2 , 3 )

c) [− 2 , 10 )

d) ( −∞, −1]∪ ( 3 , +∞ )

e) [ − 2 , −1)∪ [ 3 , 10 )

Exercícios

3. Sejam os conjuntos A = {x∈ IR /-1 < x ≤ 3 }, B = {x ∈ IR / 0 < x ≤ 7 } e C ={x ∈ IR / x ≤ 3 }, determine:

A ∩ C

A ∩ B ∩ C

A U B

A – B

B – C

(A U B) – C

Exercícios

4. Para os intervalos A = {x∈ IR /-1 < x}, B = {x ∈ IR / -5 < x < 5 } e C = {x ∈IR / x ≤ 3 }, determine:

a) A∩ B ∩ C

b) A – B

c) B – C

d) C – A

EXERCÍCIOS DO LIVRO

1 AO 8 DA PÁGINA 28.