Aula 1 - Conjuntos Numéricos - 1 slide por folha - …sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7482aula_1... · Conjuntos Numéricos 1.Conjunto dos números naturais

Conjuntos Numéricos

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Conjuntos Numéricos

1.Conjunto dos números naturais

2.Conjunto dos números inteiros

3.Conjunto dos números racionais

4.Conjunto dos números reais

5.Intervalos

6.Conjunto dos números complexos

7.Resumo

3

Chama-se conjunto dos números naturais –símbolo – o conjunto formado pelos números

1. Conjunto dos números natu-rais

ℕ

{ }=ℕ …0,1,2,3,

ℕ*O conjunto é denotado por{ }−ℕ 0

{ }=ℕ …* 1,2,3,

OBS: De um modo geral, se A é um conjuntonumérico qualquer, tem-se

{ }= −* 0A A

4

Neste conjunto são definidas duasoperações fundamentais, a adição e amultiplicação, que apresentam as seguintespropriedades, onde :

1.1. Propriedades dos númerosnaturais

∈ℕ, ,a b c

5

[A.1] Associativa da adição

[A.2] Comutativa da adição

[A.3] Elemento neutro da adição


+ + = + +( ) ( )a b c a b c

+ = +a b b a

+ =0a a

6

[M.1] Associativa da multiplicação

[M.2] Comutativa da multiplicação

[M.3] Elemento neutro da multiplicação


=( ) ( )ab c a bc

=ab ba

⋅ =1a a

7

[D] Distributiva da multiplicação relativamente àadição


+ = +( )a b c ab ac

8

O conjunto é fechado para a adição e amultiplicação, ou seja, a soma dos números naturaisé sempre um número natural e o produto denúmeros naturais é sempre um número natural. Emsímbolos escrevemos:

Note que a subtração e a divisão nemsempre têm significado no conjunto dos númerosnaturais. Por exemplo, e .

Por isso, o conjunto não é fechado para asubtração e a divisão.

1.2. A adição e a multiplicaçãonos números naturais

∀ ∈ + ∈ ⋅ ∈ℕ ℕ ℕ, ,( ) ( )a b a b e a b

ℕ

− ∉ℕ5 7 ÷ ∉ℕ10 3

ℕ

9

Chama-se conjunto dos números inteiros –símbolo – o conjunto formado pelos números

2. Conjunto dos números intei-ros

ℤ

{ }= − − −ℤ … …, 3, 2, 1,0,1,2,3,

10

No conjunto distinguimos três subcon-juntos notáveis:

conjunto dos inteiros não negativos

conjunto dos inteiros não positivos

conjunto dos inteiros não nulos

2. Conjunto dos números intei-ros

ℤ

{ }+ = =ℤ … ℕ0,1,2,3,

{ }= − − −ℤ … …* , 3, 2, 1,1,2,3,

{ }− = − − −ℤ …, 3, 2, 1,0

11

Neste conjunto são definidas também asoperações de adição e multiplicação, queapresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1],[M.2], [M.3] e [D], a propriedade:

[A.4] Simétrico ou oposto para a adição

Para todo existe tal que

2.1. Propriedades dos númerosinteiros

∈ℤa − ∈ℤa

+ − =( ) 0a a

12

Devido à propriedade [A.4], podemosdefinir em a operação de subtração, estabele-cendo que

para todos

2.1. Propriedades dos númerosinteiros

ℤ

− = + −( )a b a b

∈ℤ,a b

13

O conjunto é fechado para a adição, amultiplicação e a subtração. Isto é, a adição, amultiplicação e a subtração de dois númerosinteiros resulta sempre num número inteiro. Emsímbolos escrevemos:

2.2. Operações no conjuntodos números inteiros

∀ ∈ + ∈ ⋅ ∈ − ∈ℤ ℤ ℤ ℤ, ,( ) , ( ) ( )a b a b a b e a b

ℤ

14

Os números inteiros podem serrepresentados sobre uma reta orientada por meiodo seguinte procedimento:

a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivoe um ponto O (origem), que representa o inteiro 0(zero) :

2.3. Os números inteiros e areta

0

15

b) A partir de 0, no sentido positivo, marcamos umsegmento unitário cuja extremidade re-presentará o inteiro 1:

c) para cada inteiro positivo n, a partir de 0,marcamos um segmento de medida nu no sentidopositivo cuja extremidade representará n emarcamos um segmento de medida nu no sentidonegativo cuja extremidade representará o inteiro–n.


0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

u uu u uu u u

0 1

u

≠ 0u

Exercício 1: Quais das proposições abaixo sãoverdadeiras?


( )( ) ( ) ( )

( )

2a) 0 f) 3

b) 2 3 g) 4 5

c) h) 0

d) i) 5 11

e)

−

+

−

−

+ −

∈ − ∈

− ∈ − − ∈

⊂ ∈

∪ = − ∈

∩ = ∅

ℕ ℤ

ℕ ℤ

ℕ ℤ ℤ

ℕ ℤ ℤ ℤ

ℤ ℤ

17

Exercício 2: Sabendo que um número inteiro p éprimo quando p ≠ 0, 1 e -1, e Dp = {1, -1, p e –p},pergunta-se: Quais dos elementos de Z, abaixorelacionados, não são primos?


{ }12, 13,0,5,31, 1,2, 4,1,49,53− − −

18

Dado um número inteiro , o inverso

de q não existe em . Por isso não podemos

definir em a operação de divisão, dando signifi-

cado ao símbolo . A superação dessa dificuldade

se dará com a introdução dos números racionais.

3. Conjuunto dos números ra-cionais

≠ −1 e 1q

∉ℤ ℤ1

:q

ℤ

pq

19

Chama-se conjunto dos números racionais

– símbolo – o conjunto dos pares ordenados (ou

frações) , em que , para os quais

adotam-se as seguintes definições:

1a) igualdade:

2a) adição:

3a) multiplicação:

3. Conjunto dos números ra-cionais

ℚ

∈ ∈ℤ ℤ* a e ba

b

a cad bc

b d= ⇔ =

a c ad bcb d bd

++ =

a c acb d bd

⋅ =

20

No conjunto destacamos os subconjuntos:

: conjunto dos racionais não negativos

: conjunto dos racionais não positivos

: conjunto dos racionais não nulos


ℚ

+ℚ

−ℚ

*ℚ

21

Na fração , a é o numerador e b o denomi-

nador. Se a e b são primos entre si, isto é, se

mdc(a, b) = 1, dizemos que é uma fração irredu-

tível. Assim, as frações , e são irredu-

tíveis, mas não é.


ab

ab2

337

7156

10

22

São válidas as mesmas propriedadesformais vistas para os números inteiros. Alémdessas, temos também a seguinte:

[M.4] Simétrico ou inverso para a multiplicação

Para todo e , existe

tal que


ab

∈ℚ 0ab

≠

ba

∈ℚ 1a bb a

⋅ =

23

Devido à propriedade [M.4], podemosdefinir em a operação de divisão, estabelecendoque

para e racionais quaisquer não nulos.


*ℚ

a c a db d b c

÷ = ⋅

ab

cd

24

Notemos que todo número racional pode

ser representado por um número decimal. Passa-se

um número racional para a forma de número

decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na

passagem de uma notação para outra podem

ocorrer dois casos:

3.1. Representação decimal

ab

ab

25

1o) o número decimal tem uma quantidade finita dealgarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimalexata.

Exemplos:


10,5

2=3

31

= 10,05

20= 27

0,0271000

=

26

2o) o número decimal tem uma quantidade infinitade algarismos que se repetem indefinidamente,isto é, uma dízima periódica.

Exemplos:


20,285714285714 0,285714 (período 285714)

7= =…

10,333 0,3 (período 3)

3= =…

111,8333 1,83 (período 3)

6= =…

27

Podemos notar também que todo número na

forma de decimal exata ou de dízima periódica

pode ser convertido à forma de fração e, por-

tanto, representa um número racional.


ab

28

Quando a decimal é exata, podemostransformá-lo em uma fração cujo numerador é onumeral decimal sem a vírgula e cujo denominadoré o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantasforem as casas decimais do numeral dado.

Exemplos:


370,37

100= 2631

2,6311.000

= 63459863,4598

10.000=

29

Quando a decimal é uma dízima periódica,devemos procurar sua geratriz, conforme oexemplo a seguir:

Como exemplo, vamos determinar a fraçãogeratriz do número 1,3212121…

Seja x a fração procurada. Então,

3.2. Determinação da fraçãogeratriz

1,3212121x = …

30

1o passo: Multiplicamos o número por uma potênciaconveniente de dez (isto é, 10, 100, 1000, etc…),com o propósito de deslocar a vírgula de modo aposicioná-la imediatamente antes do primeiroperíodo.

Neste exemplo, a vírgula deve deslocar-seuma casa para a direita. Para isso, basta multiplicaro número por 10.

(1)


10 13,212121x = …

31

2o passo: Multiplicamos o número obtido,novamente, por uma potência conveniente de dez,de modo que a vírgula se desloque e se posicioneimediatamente antes do segundo período.

No exemplo, a vírgula deve deslocar-se duascasas para a direita. Para isso, multiplicamos ambosos membros da igualdade (1) por 100, obtendo aigualdade (2):

(2)


1000 1321,2121x = …

100 10 100 13,212121x⋅ = ⋅ …

32

Subtraindo a igualdade (1) da igualdade (2),membro a membro, eliminamos todas as casasdecimais. Em seguida, é só isolar x e simplificar afração obtida.


1000 1321,212121

10 13,212121

x

x

=− = −

…

…

990 1321 13

990 1308

1308 218

990 165

x

x

x x

= −=

= ⇒ =

Exercício 3: Quais das seguintes proposições sãoverdadeiras?


4 11a) f) ,

7 3

b) g) 1

2c) 0 h)

7

d) 517

⊂ ⊂

⊂ ∈ −

∈ ∈ −

∈

ℕ ℚ ℚ

ℤ ℚ ℚ ℤ

ℚ ℚ ℤ

ℚ14

i) 221

e) 0,474747 j) é irredutível14

∈ −

∈

ℚ ℤ

… ℚ

Exercício 4: Colocar na forma de uma fraçãoirredutível os seguintes números racionais:


a) 0,444

b) 0,32

c) 0,323232

d) 54,2

e) 5,423423423

…

…

…

35

Números irracionais: Existem números cujarepresentação decimal com infinitas casasdecimais não é periódica. Por exemplo, o numeraldecimal 0,1010010001… (em que o número dealgarismos 0 intercalados entre os algarismos 1 vaicrescendo) é não periódico. Ele representa umnúmero não racional.

Outros exemplo de números irracionais:

1,234567891011…

6,202002000…

34,5678910112…

4. Conjunto dos números reais

36

Chama-se conjunto dos números reais - -aquele formado por todos os números comrepresentação decimal, isto é, as decimais exatasou periódicas (que são números racionais) e asdecimais não exatas e não periódicas (chamadasnúmeros irracionais).

Dessa forma, todo número racional é númeroreal, ou seja:


⊂ℚ ℝ

ℝ

37

Além dos racionais, estão em númeroscomo:

chamados números irracionais.


ℝ

2 1,4142136

3,1415926

1,010010001a

π===

…

…

…

38

Se quisermos outros números irracionais,

poderemos obtê-los, por exemplo, por meio da

expressão , em que p é primo e positivo. São

irracionais: , , , etc….


p

3 5 7

39

Outro recurso para construção de

irracionais é usar o fato de que, se α é irracional e

r é racional não nulo, então: α + r, α . r, α/r e r/α

são todos irracionais.

Exemplos:


3 32 1, 3 2, , são irracionais.

2 5+

40

No conjunto destacamos os subconjuntos:

: conjunto dos reais não negativos

: conjunto dos reais não positivos

: conjunto dos reais não nulos


ℝ

+ℝ

−ℝ

*ℝ

41

As operações de adição e multiplicação

em gozam das mesmas propriedades vistas para

o conjunto . Em é também definida a operação

de subtração e em é definida a divisão.

4.1. Operações no conjuntodos números reais

ℝ

ℚ ℝ

*ℝ

42

Já vimos que os números inteiros podem serrepresentados por pontos de uma reta:

4.2. Os números reais e areta

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1�

u

43

Analogamente, os números racionais nãointeiros também podem. Se queremos, porexemplo, representar o número ½ sobre a reta,marcamos a partir de 0 um segmento de medida½u no sentido positivo. A extremidade dessesegmento representa ½. Na figura abaixorepresentamos sobre a reta vários númerosracionais.


0 1 2 3-1-2-3

114

9

43

21

21−24−

3

5−3

5−2

44

Os números racionais, entretanto, não

preenchem completamente a reta, isto é, há pontos

da reta que não representam nenhum racional. Por

exemplo, entre os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto

que representa (irracional).


2 1,414215= …

45

Quando representamos também sobre areta os números irracionais, cada ponto da retapassa a representar necessariamente um númeroracional ou irracional (portanto, real), isto é, osreais preenchem completamente a reta.

Essa reta, que representa , é chamadareta real ou reta numérica.


ℝ

0 1 2 3-1-2-3

114

9

43

21

21−24−

3

5−3

5−2

3− 2 π

46

Na reta real os números estão ordenados.

Um número a é menor que qualquer número xcolocado à sua direita e maior que qualquer número

x à sua esquerda.


{ }/x x a∈ <ℝ { }/x x a∈ >ℝ

a

Exercício 5: Quais das proposições abaixo sãoverdadeiras?


( )3a) 3 f) 4

b) g) 2 3 3

3 2c) h)

5

1 3 2d) i)

2 5 2

e

∈ ∈ −

⊂ − ∈ −

⊂ ∈ −

∈ − ∈

ℝ ℝ ℚ

ℕ ℝ ℝ ℚ

ℤ ℝ ℝ ℚ

ℝ ℚ ℚ

) 4 ∈ −ℝ ℚ

Exercício 6: Mostrar que


4 2 3 1 3+ = +

49

Dados dois números reais a e b, com ,definimos:

a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto

que também pode ser indicado por a b.

5. Intervalos

a b<

] [ { }a, b /x a x b= ∈ < <ℝ

50

b) intervalo fechado de extremos a e b é oconjunto


c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto àdireita) de extremos a e b é o conjunto


5. Intervalos

[ ] { }a, b /x a x b= ∈ ≤ ≤ℝ

[ [ { }a, b /x a x b= ∈ ≤ <ℝ

51

d) intervalo fechado à direita (ou aberto àesquerda) de extremos a e b é o conjunto


Os números reais a e b são denominados,respectivamente, extremo inferior e extremosuperior do intervalo.

5. Intervalos

] ] { }a, b /x a x b= ∈ < ≤ℝ

52

Exemplos:

5. Intervalos

] [ { }1 ) 2, 5 / 2 5 é intervalo abertoo x x= ∈ < <ℝ

[ ] { }2 ) 1, 4 / 1 4 é intervalo fechadoo x x− = ∈ − ≤ ≤ℝ

2 23 ) , 7 / 7 é intervalo fechado à esquerda

5 5o x x = ∈ ≤ <

ℝ

1 14 ) , 2 / 2 é intervalo fechado à direita

3 3o x x − = ∈ − < ≤

ℝ

53

Também consideramos intervalos lineares os“intervalos infinitos” assim definidos:

que também podemos indicar por -∞ a

que também podemos indicar por -∞ a

5. Intervalos

] [ { }) , /a a x x a−∞ = ∈ <ℝ

] ] { }) , /b a x x a−∞ = ∈ ≤ℝ

54

que também podemos indicar por a +∞

que também podemos indicar por a +∞

que também podemos indicar por -∞ +∞

5. Intervalos

] [ { }) , /c a x x a+ ∞ = ∈ >ℝ

[ [ { }) , /d a x x a+ ∞ = ∈ ≥ℝ

] [) ,e −∞ + ∞ = ℝ

55

Os intervalos têm uma representaçãogeométrica sobre a reta real como segue:

5.1. Representação gráfica

a b

a

a

a

a

a

b

b

b

] [a, b

[ ]a, b

[ [a, b

] ]a, b

] ]- , a∞

] [a, + ∞

Exercício 7: Representar sobre a reta real, cadaum dos seguintes conjuntos

{ }{ }{ }{ }

A / 1 2

B / 0 3

C / 0 ou 2

D / 1 0 ou 3

x x

x x

x x x

x x x

= ∈ ≤ ≤

= ∈ < <

= ∈ ≤ >

= ∈ − < < ≥

ℝ

ℝ

ℝ

ℝ


Exercício 8: Descrever, conforme a notação dateoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:


[ ][ [] [] [[ [

a) 1,3

b) 0,2

c) 3,4

d) ,5

e) 1,

−

−

−∞

+∞

Exercício 9: Utilizando a representação gráficados intervalos sobre a reta real, determinarAWB e AUB sendo A = [0, 3] e B = [1, 4].


Solução:

Então: AWB = [1, 3] e AUB = [0, 4]


0 1 3 4

A

BAWB

AUB

Exercício 10: Descrever os seguintes conjuntos


[ [

[ ] [ ] [ ]

9a) 1, ,2

2

b) 1,2 0,3 1,4

− +∞ ∩ −

∩ ∩ −

Exercício 11: Determinar os seguintes conjuntos


] ] ] [[ ] [ ]

a) 2,1 0,5

b) 1,3 3,5

− ∪

− ∪

62

Vimos que , qualquer que seja o real a

não negativo. Assim, por exemplo, , , , ,

e são números reais.

Desde que o índice da raiz seja ímpar, os

radicais da forma , em que , também re-

presentam números reais. É o caso, por exemplo,

de , e .

6. Conjunto dos números com-plexos

n a ∈ℝ

2 3 5 4 85

172

6 π

n a− a +∈ℝ

3 1− 5 32− 7 3−

63

Se o radicando é negativo e o índice da raiz

é par, entretanto, o radical não representa

elemento de . Por exemplo, não é real, pois:

e isso é impossível, pois se , então .

6. Conjunto dos números com-plexos

n a−

ℝ 1−

21 1x x− = ⇒ − =

x ∈ℝ 2 0x ≥

64

Os conjuntos numéricos podem serrepresentados esquematicamente pela figuraabaixo:

Observamos que .

7. Resumo

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

ℕ ℤ ℝℚ ℂ

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