Exercicios basicos conjuntos numéricos

EXERCÍCIOS BÁSICOS

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Exercícios resolvidos

Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo:

a)

Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas azuis.

Logo: = [3;7]

b)

Novamente analisando as retas, consta-se que a união entre A e B é

dada pela área compreendida entre as retas vermelhas, não contando

9, pois [3;9[

Logo: = [1;9[

Representar na reta real os intervalos:

a) [1;7]

b) [3;9[

Veja que o ponto 9 não estar incluído.



1) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine:

a)

b)

2) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine:

a)

b)

3) Represente na reta real os seguintes intervalos:

a) ]-3;4]

b) [1;4]

c) [2; [

d) ]- ;1]

CÁLCULO ALGÉBRICO

1) Calcular:

Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = x²+6x+1

a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c)

b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5)

c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b)

2) Efetue e simplifique:

Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3

a) (2a+3b).(5a-b)

b) (x-y).(x²-xy+y²)

c) (3x-y).(3x+y).(2x-y)

3) Simplifique:

Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy

a) 8a³b²/2ab²



b) 4a³-2a²+8a / 2a

c) 18x³y²/6x²y³

4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é:

(a) 100

(b) 50

(c) 250

(d) -150

(e) -200

5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a:

(a) -0,1

(b) 0,2

(c) -0,3

(d) 0,4

(e) -0,5 Respostas dos testes: 4)E, 5)E

PRODUTOS NOTÁVEIS

1) Calcule os produtos notáveis:

a) (a+2)(a-2)

b) (xy+3z)(xy-3z)

c) (x²-4y)(x²+4y)

d)

e) (x+3)²

f) (2a-5)²

g) (2xy+4)²

h)

i) (x+4)³

j) (2a+b)³

l) (a-1)³

Exercício resolvido: Calcule 41.39 usando um produto notável. (40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599

2) Calcule 101.99 usando um produto notável.



FATORAÇÃO

1) Fatorar, colocando os fatores comuns em evidência:

Exemplos: ax+2a = a(x+2)

a²-b² = (a+b)(a-b)

a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²

2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)

a) 3ax-7ay

b) x³ -x² + x

c) x³y² + x²y² + xy²

d) a²b² - ab³

e) a² + ab + ac + bc

f) x² - b²

g) x²-25

h) (x²/9 - y²/16)

i) x² + 4x + 4

j) a² + 6ab + 9b²

l) 144x²-1

m) ab + ac + 10b + 10c

n) 4a² - 4

o) x³y - xy³

p) x² + 16x + 64

q) 2x² + 4x + 2

r) ax³ + 2a²x² + a³x

Resolução do exercício (e) a² + ab + ac + bc = a.(a+b) + c.(a+b) = (a+b).(a+c)



FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de: a) (x²-9) e (x²+6x+9)

b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x)

c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4)

2) Simplificar:

a)

b)

c)

d)

3) Efetuar:

a)

b)

4) Efetuar as multiplicações:

a)

b)

c)

d)



e)

5) Efetuar as divisões:

a)

b)

c)

d)

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

1) Resolva as seguinte equações:

Exemplo: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1

Aplicando a propriedade distributiva:

4x+14+9x-15=12x+15-1

4x+9x-12x=15-1+15-14

x=15

Portanto V={15}

a) 2x-3=17

b) 4x+7=x-8

c) 3-7(1-2x)=5-(x-9)

d) 3-7(1-2x)=5-(x-9)

e)

[Sugestão]: Ache o mmc e elimine o denominador

f)

g)

Respostas: (e)1; f)2/7; g)15/2



SISTEMAS DE EQUAÇÕES

1) Resolver os seguintes sistemas:

a)

b)

c)

d)

2) Problemas com sistemas já montados:

a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés.

Quantas são as galinhas e os coelhos?

x+y=23

2x+4y=82

b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas

idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?

x+y=25 x-y=13

c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do

menor, menos 1. Quais são os números?

x+y=50 x=2y-1

d) Duas pessoas ganharam juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas

ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa?

x+y=50 x=1/4y

e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas

canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?

x=2y

x+y=30

3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da

água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?

(A) 20g



(B) 25g

(C) 35g

(D) 40g (E) 45g

4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do

número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a

diferença y-x é igual a:

(A) 18

(B) 25

(C) 30

(D) 45 (E) 60

Respostas dos testes: 3)C, 4)D

RAÍZES E RADICAIS

1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não exista, escreva: não existe.

a) h)

b) i)

c) j)

d) l)

e) m)

f) n)

g) o)

Não existem: (b), (h)



2) Aplicação das propriedades:

Exemplo 1:

a)

b)

c)

d) [Nota]: 25 = 5²

e)

Exemplo 2:

f)

g)

[Nota]:

h)

i)

j)

Exemplo 3:

l)

m)

n)



Exemplos 4: ;

o)

p)

q)

r)

Exemplo 5:

s)

t)

Exemplo 6:

u)

v)

x)

z)

Exemplo 7:

a`)

b`)



c`)

d`)

Exemplos 8:

e`)

f`)

g`)

h`)

i`)

POTENCIAÇÃO

1) Efetuar, observando as definições e propriedades:

a) (-2)³ i)

b) j) (0,5)³

c) 500¹ l) 15¹

d) 100º m)

e) 0³ n)

f) 0º o)

g) p)

h) q)



2) (Fuvest) O valor de , é:

(a) 0,0264

(b) 0,0336

(c) 0,1056

(d) 0,2568 (e) 0,6256

3) (Fei) O valor da expressão é:

(a) -5/6

(b) 5/6

(c) 1

(d) -5/3 (e) -5/2

4) (UECE) O valor de é

(a) -15/17

(b) -16/17

(c) -15/16

(d) -17/16

5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão , obtém-

se:

(a) 0,16

(b) 0,24

(c) 1,12

(d) 1,16 (e) 1,24

Respostas dos testes: 2) B; 3) E; 4)B; 5) D

RACIONALIZAÇÃO

1) Racionalize o denominador de cada fração:

a) p)

b) q)



c) r)

d) s)

e) t)

f) u)

g) v)

h) w)

i) x)

j) y)

k) z)

l) a`)

m) b`)



n) c`)

o) d`)

2) (Fuvest)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Resp: 2)D

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

1) Complete o quadro conforme o exemplo:

Equação Coeficientes

a b c 6x²-3x+1=0 6 -3 1 -3x²=5/2+4x y²=5y 6x²=0

2) Determine as raízes das seguintes equações:

a) x²-3x+2=0

b) 2y²-14y+12=0



c) -x²+7x-10=0

d) 5x²-x+7=0

e) y²-25=0

f) x²-1/4=0

g) 5x²-10x=0

h) 5+x²=9

i) 7x²-3x=4x+x²

j) z²-8z+12 = 0

2) Determine o valor de k nas equações, de modo que: a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais

b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais

c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais

d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes.

3) Complete o quadro:

Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -

b/a

Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a

Equação Soma das

raízes Produto das

raízes x² - 6x + 9 = 0 6 9 x² - 2x + 3 = 0 2x² + 5x - 8 = 0 x² + 5x -24=0 -5 24 5 -6 -6 -3

4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:

a)

b)

c)



d)

e)

f)

5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:

a) x² - (a+1) + x = 0

b) x² - (a+m) + am = 0

c) y² - by - 2b³ = 0

d) ax² - (a²+1) + a = 0

e) x² - 3rx + 2r² = 0

6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:

a)

b)

c)

d)

e)

7) Resolução de equações irracionais:

Primeiramente devemos eliminar o radical

Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical

Exemplo:

x - 1 = x² - 6x + 9



x² - 7x +10 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2

Verificação: Substitua os valores das raízes em ambos os membros

e verifiquem se a igualdade é satisfeita

Para x=5

1º membro:

2º membro: x-3 = 5-3 = 2

Como o 1º membro é igual ao 2º membro, X1=5 é solução da equação.

Para X2=2

1º membro:

2º membro: x-3 = 2-3 = -1

Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação

Portanto, V={5}

Nunca se esqueçam de fazer a verificação...

a)

b)

c)

d)

e)

8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?

Resposta: 8) 11



FUNÇÃO DO 1º GRAU

1) Represente graficamente a função definida por:

a) f(x) = 2x-1

b) f(x) = -1/2x+3

c) f(x) = 4x

d) f(x) = 1/3x+2

e) f(x) = -3x+6

2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações:

a) f(x) = 2x+5

b) f(x) = -x+2

c) f(x) = 1/3x+3

d) f(x) = 1-5x

e) f(x) = 4x

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:

Uma equação do 1º grau é definida por y=ax+b com

Pelo gráfico, conclui-se que:

Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2



Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função)

Substituindo os valores em y=ax+b:

0 = -4a + 2

a = 1/2

Logo, a expressão é y = 1/2x+2.

3) As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R em R, determine as expressões que as definem.

a)

b)

Respostas: 3: a) y= -1/2x+2; b) y = x-1



FUNÇÃO DO 2º GRAU

1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa:

a) f(x)= x² - 4x + 5

b) f(x)= x² +4x - 6

c) f(x)= 2x² +5x - 4

d) f(x)= -x² + 6x - 2

e) f(x)= -x² - 4x +1

2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes:

a) f(x)= 3x² - 7x + 2

b) f(x)= -x² + 3x - 4

c) f(x)= -x² + 3/2x + 1

d) f(x)= x² -4

e) f(x)= 3x²

Não existe zeros em (b)

3) Construa o gráfico das seguintes funções:

a) f(x)= x² - 16x + 63

b) f(x)= 2x² - 7x + 3

c) f(x)= 4x² - 4x +1

d) f(x)= -x² + 4x - 5

e) f(x)= -2x² +8x- 6

4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a

bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos,

de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.

a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice

b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?

c) Esboce o gráfico que represente esta situação.

Respostas: 4: a)4s; b) 16m]



PROBLEMAS

Exercício resolvido: O problema clássico das torneiras

Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B,

enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?

Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora:

A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque

A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6

Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t =

V

Portanto t = 6horas

1) (Fuvest) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a

sua quarta parte somam 31. Determine o número.

2) (Vunesp) Uma certa importância deve ser dividida entre 10

pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8

dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcule a importância.

3) (Unicamp) Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre

esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2.

Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente

revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse

número.

4) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a

57.

5) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um

comerciante pagou R$8.000,00 a naus do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preço do lote todo?

6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque.

Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque.

Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque?

Respostas: 1)12; 2)R$200.000,00; 3)9; 4)28 e 29; 5) R$30.000,00; 6) 4min

7) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?

8) Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?



9) A metade do quadrado de um número menos o dobro desse

número é igual a 30. Determine esse número.

10) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número?

11) O produto de um número positivo pela sua terça parte é igual a 12. Qual é esse número?

12) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto seja 195.

13) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um?

14) Qual é o número inteiro positivo cuja metade acrescida de sua

terça parte é igual ao seu quadrado diminuído 134?

15) Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e 15cm² de área.

16) A diferença de um número e o seu inverso é 8/3. Qual é esse número?

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