Aula 02 - Conjuntos Numéricos Turm A

7/23/2019 Aula 02 - Conjuntos Numéricos Turm A

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CURSO PREPARATÓRIO PARA BOMBEIRO MILITAR DO PARÁ ORGANIZAÇ O: CB HARRISON E CB J NIOR.

CURSO PREPARATÓRIO PARA BOMBEIRO MILITAR DO PARÁ – PROF. MARCELO JR. 1

MATEMÁTICA – AULA 021. CONJUNTOS. 1.3. Conjuntos numéricos eOperações: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais eReais.

CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS ( ℕ )São elementos do Conjunto dos Naturais todos os

números inteiros positivos incluindo o zero. Representadopela letra maiúscula ℕ e seus elementos entre chaves,separados por vírgulas:

ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} O primeiro elemento desse conjunto é o zero e não

existe um último número, o conjunto é infinito.

Representação na reta numérica:

Alguns subconjuntos importantes de ℕ:- Conjunto dos números naturais não nulos:

ℕ∗ = {0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10, … } .- Conjunto dos números primos:

= {2,3,5,7,11,13, . . . }- Conjunto dos números pares:

ℕ = {2,4,6,8,10,12, . . .} - Conjunto dos números ímpares:

= {2, 3,5, 7, 11, 13, . . . }

Propriedades :Os números naturais apresentam a propriedade do

fechamento apenas para a adição e a multiplicação, ou sejase adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquernúmeros naturais entre si, o resultado será um númeronatural.

1) A soma de dois números naturais é um númeronatural.

Exemplo : 1+1=2 , que é número natural; 10+21=31 , que é número natural.

2) A multiplicação de dois números naturais é umnúmero natural.Exemplo : 2x2=4 , que é número natural; 9x9=81 , que é número natural.

Podemos descrever simbolicamente essaspropriedades:

∀, ∈ ℕ, ∈ ℕ ∈ ℕ.

3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessorde n e n é o antecessor de n+1.

Exemplo :

5+1=6 , n é igual a 5 que é antecessor de 6.

Com a subtração o caso é diferente, a subtraçãoentre números naturais pode ou não ser um número natural.

Exemplo : 5 – 1 = 4 , que é número natural; 1 – 5 = x ̧ Não existe no conjunto dos números

naturais, tal número x.

Então podemos dizer que ℕ não é fechado para asubtração, por esse motivo houve a necessidade daampliação desse conjunto, surgindo assim o conjunto dosnúmeros inteiros.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( ℤ )São elementos do conjunto dos números, todos os

números naturais e seus respectivos opostos (númerosnegativos), representado pela letra ℤ, o conjunto dosnúmeros inteiros é:

ℤ = {. . . , 5, 4, 3, 2,1, 0 , 1, 2 , 3 ,4 ,5 , … } O conjunto é ilimitado inferiormente e ilimitado

superiormente, ou seja, não existe um primeiro ou umúltimo número inteiro.

Representação na reta numérica:

Alguns subconjuntos importantes são pertencentesaos números inteiros:

- Conjunto dos números inteiros não nulos:ℤ∗ = {. . . , 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2 , 3 ,4 ,5 ,… }.

- Conjunto dos números inteiros não negativos:ℤ+ = {0, 1,2 ,3 ,4 , 5 , … } .

- Conjunto dos inteiros positivos:ℤ+

∗ = {1, 2 , 3 ,4 ,5 , … }

- Conjunto dos números inteiros não positivos:ℤ− = {.. . ,5,4,3,2,1,0}

Conjunto dos inteiros Negativos:ℤ−

∗ = {.. . ,5,4,3,2,1}.

Propriedades :Os números inteiros tem como subconjunto os

números naturais, note por exemplo, que o subconjuntoℤ+ = {0, 1, 2 ,3 ,4 ,5,… } é idêntico ao conjunto ℕ, entãopodemos escrever que ℕ ⊂ ℤ, (ℕ está contido no conjuntoℤ).

Da mesma maneira que os números naturais, o

conjunto dos números inteiros são fechados para a adiçãoe para a multiplicação, porém, podemos incluir também ofechamento para a subtração.

Exemplo : 5 – 1 = 4 , que é número inteiro;

MOTIVAÇÃ O

“ Nenhum obstáculo étão grande se a suavontade de vencerfor maior ” .PROF.

MARCELO JR.CONJUNTOS NUMÉRICOS

A partir da notação de conjunto, chamamos

Conjuntos Numéricos, os conjuntos cujos elementossão números que possuem algumas características emcomum. Estudaremos os conjuntos de números:naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.





1 – 5 = - 4 , que é um número inteiro.

Simbolicamente, temos:∀, ∈ ℤ, ∈ ℤ, ∈ ℤ ∈ ℤ .

Já na divisão entre dois números inteiros, podemosdefinir que, pode ou não ser um número inteiro.

Exemplo : 6 ÷3=2 , que é número inteiro;

- 6 ÷3= - 2 , que é número inteiro;

3 ÷6=x , de forma que não existe no conjunto de

números inteiros um valor que satisfaça a

equação.

Então, podemos concluir que ℤ não é fechado para adivisão, mas como podemos classificar o resultado dessasdivisões, se não são números inteiros?

Assim, foram classificados os números racionais.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONA IS ( ℚ )Representado pela letra ℚ, os elementos do conjunto dos números racionais são todos aqueles números quepodem ser expressos na forma de uma fração na qual onumerador e o denominador são números inteiros,simbolicamente temos:

ℚ = { I x =

, ∧ ∈ ℤ, ≠ 0}

ou

ℚ = {0, ±1, ±1

2, ±

1

3, ±

1

4, …, ±2, ±

2

3, ±

2

5, … , ±

, … }

ou ainda,

ℚ = {

I, ∈ ℤ, ∈ ℤ∗}

Todos os números que podem ser escritos na forma de fração são racionais, portanto são eles: inteiros,decimais exatos e dízimas periódicas.

Transformando números decimais f in i tos emfr ações

Uma das representações dos elementos do conjuntodos números Racionais, são os números decimais sendofinitos ou periódicos, temos como, por exemplo, de umnúmero decimal finito 1,32, esse número possui seuequivalente fracionário, ou seja, pode ser escrito comofração.

Para transformar os números decimais em frações,podemos mover a vírgula e dividir por uma potência de 10satisfatória, por exemplo, ainda utilizando o número 1,32,observe que após da vírgula temos duas casas decimais.

Então vamos mover a vírgula de forma que não fiquenenhuma casa decimal, nesse caso devemos movê-la porduas casas decimais e dividir por 10²:

1,32 =132

10²=

132

100

33

25

Obser vação : o valor da potência de 10 deverá serigual ao número de casas decimais após a vírgula.

Transf orm ando dízimas periódi cas em fraçõesNem sempre uma fração entre dois números inteiros

tem como resultado um número decimal exato, um exemplo

é a fração

= 0,33333 … a essa maneira de escrever

chamamos dízima periódica, sendo essa umarepresentação numérica, tanto decimal quanto fracionária,onde existe uma sequência finita de algarismos que serepetem indefinidamente, como por exemplo0,111111111…, assim como nos números racionais finitos,

as dízimas periódicas também podem ser dadas por meiode fração, por exemplo a dízima que utilizamos acima é

dada pela fração 1/9.Podemos classificar as dizimas periódicas em

simples e compostas, conforme abaixo:Dízimas periódicas simples: Quando o período

aparece logo após à virgula.Exemplos : 0,1111111… Período: 1.0,1212121212... Período: 12.

Dízimas periódicas compostas: Quando existe umaparte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica.

Exemplos :0,833333…. Período: 3. Parte não periódica: 8.0,277777…. Período: 7. Parte não periódica: 2.0,98111111…. Período: 1. Parte não periódica: 98.

Geratriz d e uma dízima per iódicaÉ possível determinar a fração (número racional) que

deu origem a uma dízima periódica. Denominamos estafração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz deuma dízima:

Dízima simples:

A geratriz de uma dízima simples é uma fração quetem para numerador o período e para denominador tantosnoves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos :1. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas

abaixo.a) 0, 222...Solução : a parte periódica é composta pelo número

2, que deverá estar no numerador da dízima periódica,sendo que o seu denominador será dado pelo número 9,aparecendo apenas uma vez, pois a parte periódica écomposta por um algarismo, então:

0,222 =2

9.

b) 0,32323232...Solução :

0,32323232 =32

99.

Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da

forma

, sendo a parte não periódica seguida da parte

periódica uma vez, menos a parte não periódica e b é amesma quantidade de noves quantos forem os algarismosdo período seguidos de tantos zeros quantos forem osalgarismos da parte não periódica.

0,1252525 =1 2 5 1

990=

124

990.





CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONA IS ( )Representado pela letra o conjunto dos números

irracionais é composto por números que não são possíveisde escrever na forma

, com ∈ .

De outar forma, um número é chamado de irracionalquando, escrito na forma decimal, apresenta um número

infinito de casas decimais sem apresentar períodos.Exemplos :Dízimas não periódicas: 1,456846154674... 1,4142135623730950488016887242097...

O número = 3,141592654 … =2,71828... As raízes não exatas. √ 2 = 1,414213562 … √ 6 = 2,449489743 …

Casos especia is

Nesses casos devemos sempre nos atentar a cadacaso, pois o resultado entre essas operações pode ou nãoser um número racional:

A d iferença de do is números irracion ais:Exemplo :√ 2 √ 2 = 0. É um número racional. Porém, também

temos que diferença entre dois irracionais pode serirracional, como: √ 3 √ 2.

O quoc iente de dois números ir racionais:Exemplo :√ 8 ÷ √ 2 = √ 4 = 2 e 2 é um número racional. Porém,

temos também: √ 6 ÷ √ 2 = √ 3 que é irracional.

O produto de dois números irracionais pode ser umnúmero racional.

Exemplo :√ 8 . √ 2 = √ 1 6 = 4 e 4 é um número racional, porém

podemos ter também √ 2 que é um número irracional.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REA IS ( ℝ ) A união do conjunto dos números irracionais com o

conjunto dos números racionais resulta num conjuntodenominado conjunto ℝ dos números reais.

Sendo assim, todo número Natural, Inteiro, Racionalou Irracional é considerado um número real.

ℝ = ℚ ∪ Rep resen tação n a re ta n uméri ca:

APLICAÇÕES

1. Resolva: (-2).(-5)+(-5).(+3) = A) 0. B) –10. C) –5. D) –4. E) –7.

2. O resultado de (-4).(50:10)+(-1) é: A) 20. B) –20. C) –21. D) 19. E) 25.

3. Resolva: (4).(1).(4).(1) : (16) : A) 1. B) –1. D) 2. C) 0. E) –2.

4. Se x = 4+2. 8 2.1 3.(4 : 2) então: A) x=1. B) x= -1. C) x=32. D) 0. E) –4.

5. Resolva: (2).(3) : (3).(2) : A) –1. B) 1. C) 2. D) –2. E) –3.

6. Considere as afirmações:

Quantas são verdadeiras? A) 0. B) 1. C) 2. D) 3.

7. (UFG) Sejam os conjuntos: Zn,n2 A e

Zn,1n2B . Analise as sentenças abaixo:I. B A ;

II. A e o conjunto dos números pares;III. ZB A

Está correto o que se afirma em:

A) I e II, apenas. B) II, apenas. C) II e III, apenas.D) III, apenas. E) I, II e III.

8. Seja R o conjunto dos números reais, N o conjunto dosnúmeros naturais e Q o conjunto dos números racionais.Qual a afirmativa falsa?

A) RNQ . B) RNQ . C) RNQ .D) QNQ . E) }{RQ .

9. (UFSJ 2012) Para os conjuntos

2

x

A x; x Z e 0 x 1 4 ,

B x; x Z e x 2x 3 0 e

C x; x Z e 10 10 2305 ,

é CORRETO afirmar que A) A – C = {2, 3, 4} .B) A B = . C) A B = C. D) A B = {1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. ___________________________________________________________________

GABARITO: 1)C. 2) C. 3) A.4) D. 5) A. 6) B. 7) E. 8) C. 9) B.

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