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Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 1 – Conjuntos Numéricos

Amintas Paiva Afonso

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Conjuntos

Amintas Paiva Afonso

Matemática Básica I

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1- Alguns Conceitos de Conjuntos Nesta seção vamos tratar conjuntos como uma ferramenta para

interpretação da informação. Nesse processo, vamos introduzir

algumas definições e conceitos importantes.

Os conjuntos (em geral) e os conjuntos numéricos em particular,

formam parte de nosso cotidiano e constituem uma ferramenta

importante na tomada de decisões em muitas atividades.

A foto a seguir mostra uma cena familiar para pessoas que gostam

do futebol. A cor da camisa nos dá uma “idéia intuitiva” de pertinência

a conjuntos diferentes e, portanto, poderíamos falar em um conjunto

“azul” e um conjunto “preto e branco”.

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Frequentemente lemos nos jornais artigos sobre a renda de

pessoas abaixo da linha de pobreza, ou sobre equipes do

Campeonato Brasileiro de Futebol.

Na faculdade, ouvimos falar sobre o conjunto de todos os cursos da

área de exatas, ou do conjunto de todos os números reais, tais que

x² - 16 = 0. Portanto, temos conjuntos por toda parte.

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1.1– Definição de Conjunto:

Conjunto pode ser definido como uma coleção de objetos. Veja

outros exemplos a seguir:

O conjunto dos estados da região Sudeste.

O conjunto de todos os cursos da área de exatas.

O conjunto de todos os números reais tais que x² - 25 = 0.

Em geral, um conjunto é denotado (em matemática) por uma letra

maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Podemos então dizer que E = {cursos da área de ciências exatas}.

É conveniente, se for possível, denotar os conjuntos com alguma

letra que ajude a identificar o que estamos querendo descrever.

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1.2– Definição de Elemento e Pertinência:

Elemento: Pode ser definido como cada um dos componentes

de um conjunto.

Ex: Pernambuco é um elemento do conjunto dos estados

brasileiros.

Pertinência: Um elemento pode (ou não) pertencer a um

determinado conjunto. Quando um elemento pertence ao

conjunto utilizamos o símbolo e quando ele não pertence

utilizamos o símbolo .

Ex: Pernambuco E. (E = conjunto dos estados brasileiros).

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1.3– Conjunto vazio O que acontece em um conjunto que não tem nenhum

elemento? Em matemática, esse conjunto é chamado de “conjunto

vazio” e é representado por { } ou Ø.

1.4– Conjunto universo É um conjunto que contém todos os elementos do contexto

no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos

desse contexto. O conjunto universo é representado pela letra U.

Ex: Se procuramos determinar os estados da Região Sudeste

banhados pelo mar, nosso conjunto universo U é igual aos 4

estados {ES, MG, RJ, SP}.

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Contido: Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B,

denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. O

conjunto A é chamado subconjunto de B. Veja alguns exemplos a seguir:

A = {faces do dado com número par} = {2, 4, 6}

B = {todas as faces do dado} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Então A B (A está contido em B).

A seguir veja algumas observações úteis para a prática com conjuntos:

Se A B e B A, então A = B.

Escreve-se A B (A não está contido em B) se A não for subconjunto

de B.

Os símbolos e são utilizados para relacionar conjunto com

conjunto enquanto que e relaciona elemento com conjunto.

Se A B (A contém B) então B A.

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Relação dos componentes Um conjunto é definido mediante a relação dos seus elementos dentro de duas chaves. Por exemplo:Conjunto dos números naturais menores do que 6: A = {0,1,2,3,4,5}

Conjunto descrito por uma ou mais propriedades. Um conjunto é definido pela(s) propriedade(s) mostradas por seus elementos. A = {x IN / x < 6} (lê-se: x tal que x pertence ao conjunto dos números naturais e x é menor que seis)

Representação geométrica. Um conjunto é denotado por figuras, diagramas ou desenhos. O mais conhecido é o Diagrama de Venn-Euler 1* (lê-se: "Venóiler") e é usado para mostrar conjuntos graficamente.

0 1 2

3 4 5

A

2- Notação de Conjuntos

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União de ConjuntosDados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por AB, formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B. Na linguagem matemática, escrevemos:

AB = {x A ou x B}.

Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 8}, então AB = {1, 2, 3, 4, 8}.

Representação da Relação AB

1

2

3

48

3- Operações entre Conjuntos

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Intersecção de ConjuntosDados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos

A e B ao conjunto representado por AB, formado por todos os

elementos pertencentes a A e B, simultaneamente. Na linguagem

matemática, escrevemos:

AB = {x / xA e xB}.

Exemplo 1: Se A = {1,2,3,4} e B = {3,4,8} então AB = {3,4}.

Representação da Relação AB

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Exemplo 2: Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6} então AB = { }.

Não há números comuns. Quando a interseção de dois conjuntos A e

B é um conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Diferença de ConjuntosDados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B

(nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos

os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

A - B = {x / x A e xB}.

Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 8} então A - B = { 1, 2 }

Representação dos Conjuntos A - B

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Complemento de Conjuntos

O complemento do conjunto A contido em B, denotado

por, é a diferença entre os conjuntos B e o conjunto A, ou

seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem

ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A. Na

linguagem matemática escrevemos:

O complementar de A em B = B - A = {x / xB e xA}.

Exemplo: Se A = {1,2,3,4} e B = {3,4} então CAB = { 1, 2 }

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Exercícios:

1) Se AB = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, AB = {2, 4} e A–B = {1, 5, 6},

então podemos dizer que o conjunto B é igual a

a) {2, 4}

b) {1, 2, 4, 6}

c) {1, 2, 3}

d) {0, 2, 3, 4}

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2) O resultado de uma pesquisa feita com 200 habitantes, escolhidos

dentre os habitantes de uma cidade, para analisar a aceitação de certo

projeto governamental, está demonstrado na tabela abaixo:

Utilizando as operações aprendidas, responda:

a) Quantos são os residentes urbanos favoráveis ao projeto do governo? Na linguagem formal matemática: quantas pessoas fazem parte da interseção entre o conjunto de favoráveis e o conjunto de residentes urbanos?

b) Quantas são as pessoas com opinião favorável ao projeto ou que

residem na zona rural?

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Resumo

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Resumo

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3) Utilizando as operações aprendidas, responda:

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4) Vamos participar de uma festa típica no interior, onde trabalharemos com uma barraquinha para arrecadação de fundos objetivando a construção de uma creche. Podemos montar uma barraquinha de bebidas, de doces ou de salgados. Antes de decidirmos, queremos saber como deverá ser o consumo dos três tipos de produtos oferecidos. Fizemos então uma pesquisa informal, entrevistando as pessoas com as quais nos encontramos na cidade no dia em que fomos visitar o local, obtendo as seguintes respostas:

Utilizando a tabela, responda:a) Quantas pessoas consomem salgados ou doces?b) Quantas pessoas consomem somente salgados?c) Quantas pessoas consomem bebidas e doces?d) Quantas pessoas foram entrevistadas?

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Conjunto dos Números Naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Z- = {..., -3, -2, -1, 0}

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

N Z (N está contido em Z)

Conjunto dos Números Racionais (Q)

Q = {a/b | a, b Z, b 0}

Z Q (Z está contido em Q)

4 – Conjuntos Numéricos

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Exemplos:

a) números decimais exatos:

b) dízimas periódicas ou infinitas: 0,666...

Conjunto dos Números Irracionais (I)

É o conjunto formado por números cuja

representação decimal é não exata e não

periódica.

Exemplo: = 3,141592653589...

Conjunto dos Números Reais (R)

É o conjunto formado pela união dos

conjuntos dos números racionais e

irracionais.

Matemática Básica IEngenharia Elétrica

R

Z

N

I

Q

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