Conjuntos Numéricos
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Conjuntos Numéricos
1.Conjunto dos números naturais
2.Conjunto dos números inteiros
3.Conjunto dos números racionais
4.Conjunto dos números reais
5.Intervalos
6.Conjunto dos números complexos
7.Resumo
3
Chama-se conjunto dos números naturais –símbolo – o conjunto formado pelos números
1. Conjunto dos números natu-rais
ℕ
{ }=ℕ …0,1,2,3,
ℕ*O conjunto é denotado por{ }−ℕ 0
{ }=ℕ …* 1,2,3,
OBS: De um modo geral, se A é um conjuntonumérico qualquer, tem-se
{ }= −* 0A A
4
Neste conjunto são definidas duasoperações fundamentais, a adição e amultiplicação, que apresentam as seguintespropriedades, onde :
1.1. Propriedades dos númerosnaturais
∈ℕ, ,a b c
5
[A.1] Associativa da adição
[A.2] Comutativa da adição
[A.3] Elemento neutro da adição
1.1. Propriedades dos númerosnaturais
+ + = + +( ) ( )a b c a b c
+ = +a b b a
+ =0a a
6
[M.1] Associativa da multiplicação
[M.2] Comutativa da multiplicação
[M.3] Elemento neutro da multiplicação
1.1. Propriedades dos númerosnaturais
=( ) ( )ab c a bc
=ab ba
⋅ =1a a
7
[D] Distributiva da multiplicação relativamente àadição
1.1. Propriedades dos númerosnaturais
+ = +( )a b c ab ac
8
O conjunto é fechado para a adição e amultiplicação, ou seja, a soma dos números naturaisé sempre um número natural e o produto denúmeros naturais é sempre um número natural. Emsímbolos escrevemos:
Note que a subtração e a divisão nemsempre têm significado no conjunto dos númerosnaturais. Por exemplo, e .
Por isso, o conjunto não é fechado para asubtração e a divisão.
1.2. A adição e a multiplicaçãonos números naturais
∀ ∈ + ∈ ⋅ ∈ℕ ℕ ℕ, ,( ) ( )a b a b e a b
ℕ
− ∉ℕ5 7 ÷ ∉ℕ10 3
ℕ
9
Chama-se conjunto dos números inteiros –símbolo – o conjunto formado pelos números
2. Conjunto dos números intei-ros
ℤ
{ }= − − −ℤ … …, 3, 2, 1,0,1,2,3,
10
No conjunto distinguimos três subcon-juntos notáveis:
conjunto dos inteiros não negativos
conjunto dos inteiros não positivos
conjunto dos inteiros não nulos
2. Conjunto dos números intei-ros
ℤ
{ }+ = =ℤ … ℕ0,1,2,3,
{ }= − − −ℤ … …* , 3, 2, 1,1,2,3,
{ }− = − − −ℤ …, 3, 2, 1,0
11
Neste conjunto são definidas também asoperações de adição e multiplicação, queapresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1],[M.2], [M.3] e [D], a propriedade:
[A.4] Simétrico ou oposto para a adição
Para todo existe tal que
2.1. Propriedades dos númerosinteiros
∈ℤa − ∈ℤa
+ − =( ) 0a a
12
Devido à propriedade [A.4], podemosdefinir em a operação de subtração, estabele-cendo que
para todos
2.1. Propriedades dos númerosinteiros
ℤ
− = + −( )a b a b
∈ℤ,a b
13
O conjunto é fechado para a adição, amultiplicação e a subtração. Isto é, a adição, amultiplicação e a subtração de dois númerosinteiros resulta sempre num número inteiro. Emsímbolos escrevemos:
2.2. Operações no conjuntodos números inteiros
∀ ∈ + ∈ ⋅ ∈ − ∈ℤ ℤ ℤ ℤ, ,( ) , ( ) ( )a b a b a b e a b
ℤ
14
Os números inteiros podem serrepresentados sobre uma reta orientada por meiodo seguinte procedimento:
a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivoe um ponto O (origem), que representa o inteiro 0(zero) :
2.3. Os números inteiros e areta
0
15
b) A partir de 0, no sentido positivo, marcamos umsegmento unitário cuja extremidade re-presentará o inteiro 1:
c) para cada inteiro positivo n, a partir de 0,marcamos um segmento de medida nu no sentidopositivo cuja extremidade representará n emarcamos um segmento de medida nu no sentidonegativo cuja extremidade representará o inteiro–n.
2.3. Os números inteiros e areta
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
u uu u uu u u
0 1
u
≠ 0u
Exercício 1: Quais das proposições abaixo sãoverdadeiras?
2.3. Os números inteiros e areta
( )( ) ( ) ( )
( )
2a) 0 f) 3
b) 2 3 g) 4 5
c) h) 0
d) i) 5 11
e)
−
+
−
−
+ −
∈ − ∈
− ∈ − − ∈
⊂ ∈
∪ = − ∈
∩ = ∅
ℕ ℤ
ℕ ℤ
ℕ ℤ ℤ
ℕ ℤ ℤ ℤ
ℤ ℤ
17
Exercício 2: Sabendo que um número inteiro p éprimo quando p ≠ 0, 1 e -1, e Dp = {1, -1, p e –p},pergunta-se: Quais dos elementos de Z, abaixorelacionados, não são primos?
2.3. Os números inteiros e areta
{ }12, 13,0,5,31, 1,2, 4,1,49,53− − −
18
Dado um número inteiro , o inverso
de q não existe em . Por isso não podemos
definir em a operação de divisão, dando signifi-
cado ao símbolo . A superação dessa dificuldade
se dará com a introdução dos números racionais.
3. Conjuunto dos números ra-cionais
≠ −1 e 1q
∉ℤ ℤ1
:q
ℤ
pq
19
Chama-se conjunto dos números racionais
– símbolo – o conjunto dos pares ordenados (ou
frações) , em que , para os quais
adotam-se as seguintes definições:
1a) igualdade:
2a) adição:
3a) multiplicação:
3. Conjunto dos números ra-cionais
ℚ
∈ ∈ℤ ℤ* a e ba
b
a cad bc
b d= ⇔ =
a c ad bcb d bd
++ =
a c acb d bd
⋅ =
20
No conjunto destacamos os subconjuntos:
: conjunto dos racionais não negativos
: conjunto dos racionais não positivos
: conjunto dos racionais não nulos
3. Conjunto dos números ra-cionais
ℚ
+ℚ
−ℚ
*ℚ
21
Na fração , a é o numerador e b o denomi-
nador. Se a e b são primos entre si, isto é, se
mdc(a, b) = 1, dizemos que é uma fração irredu-
tível. Assim, as frações , e são irredu-
tíveis, mas não é.
3. Conjunto dos números ra-cionais
ab
ab2
337
7156
10
22
São válidas as mesmas propriedadesformais vistas para os números inteiros. Alémdessas, temos também a seguinte:
[M.4] Simétrico ou inverso para a multiplicação
Para todo e , existe
tal que
3. Conjunto dos números ra-cionais
ab
∈ℚ 0ab
≠
ba
∈ℚ 1a bb a
⋅ =
23
Devido à propriedade [M.4], podemosdefinir em a operação de divisão, estabelecendoque
para e racionais quaisquer não nulos.
3. Conjunto dos números ra-cionais
*ℚ
a c a db d b c
÷ = ⋅
ab
cd
24
Notemos que todo número racional pode
ser representado por um número decimal. Passa-se
um número racional para a forma de número
decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na
passagem de uma notação para outra podem
ocorrer dois casos:
3.1. Representação decimal
ab
ab
25
1o) o número decimal tem uma quantidade finita dealgarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimalexata.
Exemplos:
3.1. Representação decimal
10,5
2=3
31
= 10,05
20= 27
0,0271000
=
26
2o) o número decimal tem uma quantidade infinitade algarismos que se repetem indefinidamente,isto é, uma dízima periódica.
Exemplos:
3.1. Representação decimal
20,285714285714 0,285714 (período 285714)
7= =…
10,333 0,3 (período 3)
3= =…
111,8333 1,83 (período 3)
6= =…
27
Podemos notar também que todo número na
forma de decimal exata ou de dízima periódica
pode ser convertido à forma de fração e, por-
tanto, representa um número racional.
3.1. Representação decimal
ab
28
Quando a decimal é exata, podemostransformá-lo em uma fração cujo numerador é onumeral decimal sem a vírgula e cujo denominadoré o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantasforem as casas decimais do numeral dado.
Exemplos:
3.1. Representação decimal
370,37
100= 2631
2,6311.000
= 63459863,4598
10.000=
29
Quando a decimal é uma dízima periódica,devemos procurar sua geratriz, conforme oexemplo a seguir:
Como exemplo, vamos determinar a fraçãogeratriz do número 1,3212121…
Seja x a fração procurada. Então,
3.2. Determinação da fraçãogeratriz
1,3212121x = …
30
1o passo: Multiplicamos o número por uma potênciaconveniente de dez (isto é, 10, 100, 1000, etc…),com o propósito de deslocar a vírgula de modo aposicioná-la imediatamente antes do primeiroperíodo.
Neste exemplo, a vírgula deve deslocar-seuma casa para a direita. Para isso, basta multiplicaro número por 10.
(1)
3.2. Determinação da fraçãogeratriz
10 13,212121x = …
31
2o passo: Multiplicamos o número obtido,novamente, por uma potência conveniente de dez,de modo que a vírgula se desloque e se posicioneimediatamente antes do segundo período.
No exemplo, a vírgula deve deslocar-se duascasas para a direita. Para isso, multiplicamos ambosos membros da igualdade (1) por 100, obtendo aigualdade (2):
(2)
3.2. Determinação da fraçãogeratriz
1000 1321,2121x = …
100 10 100 13,212121x⋅ = ⋅ …
32
Subtraindo a igualdade (1) da igualdade (2),membro a membro, eliminamos todas as casasdecimais. Em seguida, é só isolar x e simplificar afração obtida.
3.2. Determinação da fraçãogeratriz
1000 1321,212121
10 13,212121
x
x
=− = −
…
…
990 1321 13
990 1308
1308 218
990 165
x
x
x x
= −=
= ⇒ =
Exercício 3: Quais das seguintes proposições sãoverdadeiras?
3.2. Determinação da fraçãogeratriz
4 11a) f) ,
7 3
b) g) 1
2c) 0 h)
7
d) 517
⊂ ⊂
⊂ ∈ −
∈ ∈ −
∈
ℕ ℚ ℚ
ℤ ℚ ℚ ℤ
ℚ ℚ ℤ
ℚ14
i) 221
e) 0,474747 j) é irredutível14
∈ −
∈
ℚ ℤ
… ℚ
Exercício 4: Colocar na forma de uma fraçãoirredutível os seguintes números racionais:
3.2. Determinação da fraçãogeratriz
a) 0,444
b) 0,32
c) 0,323232
d) 54,2
e) 5,423423423
…
…
…
35
Números irracionais: Existem números cujarepresentação decimal com infinitas casasdecimais não é periódica. Por exemplo, o numeraldecimal 0,1010010001… (em que o número dealgarismos 0 intercalados entre os algarismos 1 vaicrescendo) é não periódico. Ele representa umnúmero não racional.
Outros exemplo de números irracionais:
1,234567891011…
6,202002000…
34,5678910112…
4. Conjunto dos números reais
36
Chama-se conjunto dos números reais - -aquele formado por todos os números comrepresentação decimal, isto é, as decimais exatasou periódicas (que são números racionais) e asdecimais não exatas e não periódicas (chamadasnúmeros irracionais).
Dessa forma, todo número racional é númeroreal, ou seja:
4. Conjunto dos números reais
⊂ℚ ℝ
ℝ
37
Além dos racionais, estão em númeroscomo:
chamados números irracionais.
4. Conjunto dos números reais
ℝ
2 1,4142136
3,1415926
1,010010001a
π===
…
…
…
38
Se quisermos outros números irracionais,
poderemos obtê-los, por exemplo, por meio da
expressão , em que p é primo e positivo. São
irracionais: , , , etc….
4. Conjunto dos números reais
p
3 5 7
39
Outro recurso para construção de
irracionais é usar o fato de que, se α é irracional e
r é racional não nulo, então: α + r, α . r, α/r e r/α
são todos irracionais.
Exemplos:
4. Conjunto dos números reais
3 32 1, 3 2, , são irracionais.
2 5+
40
No conjunto destacamos os subconjuntos:
: conjunto dos reais não negativos
: conjunto dos reais não positivos
: conjunto dos reais não nulos
4. Conjunto dos números reais
ℝ
+ℝ
−ℝ
*ℝ
41
As operações de adição e multiplicação
em gozam das mesmas propriedades vistas para
o conjunto . Em é também definida a operação
de subtração e em é definida a divisão.
4.1. Operações no conjuntodos números reais
ℝ
ℚ ℝ
*ℝ
42
Já vimos que os números inteiros podem serrepresentados por pontos de uma reta:
4.2. Os números reais e areta
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1�
u
43
Analogamente, os números racionais nãointeiros também podem. Se queremos, porexemplo, representar o número ½ sobre a reta,marcamos a partir de 0 um segmento de medida½u no sentido positivo. A extremidade dessesegmento representa ½. Na figura abaixorepresentamos sobre a reta vários númerosracionais.
4.2. Os números reais e areta
0 1 2 3-1-2-3
114
9
43
21
21−24−
3
5−3
5−2
44
Os números racionais, entretanto, não
preenchem completamente a reta, isto é, há pontos
da reta que não representam nenhum racional. Por
exemplo, entre os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto
que representa (irracional).
4.2. Os números reais e areta
2 1,414215= …
45
Quando representamos também sobre areta os números irracionais, cada ponto da retapassa a representar necessariamente um númeroracional ou irracional (portanto, real), isto é, osreais preenchem completamente a reta.
Essa reta, que representa , é chamadareta real ou reta numérica.
4.2. Os números reais e areta
ℝ
0 1 2 3-1-2-3
114
9
43
21
21−24−
3
5−3
5−2
3− 2 π
46
Na reta real os números estão ordenados.
Um número a é menor que qualquer número xcolocado à sua direita e maior que qualquer número
x à sua esquerda.
4.2. Os números reais e areta
{ }/x x a∈ <ℝ { }/x x a∈ >ℝ
a
Exercício 5: Quais das proposições abaixo sãoverdadeiras?
4.2. Os números reais e areta
( )3a) 3 f) 4
b) g) 2 3 3
3 2c) h)
5
1 3 2d) i)
2 5 2
e
∈ ∈ −
⊂ − ∈ −
⊂ ∈ −
∈ − ∈
ℝ ℝ ℚ
ℕ ℝ ℝ ℚ
ℤ ℝ ℝ ℚ
ℝ ℚ ℚ
) 4 ∈ −ℝ ℚ
49
Dados dois números reais a e b, com ,definimos:
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
que também pode ser indicado por a b.
5. Intervalos
a b<
] [ { }a, b /x a x b= ∈ < <ℝ
50
b) intervalo fechado de extremos a e b é oconjunto
que também pode ser indicado por a b.
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto àdireita) de extremos a e b é o conjunto
que também pode ser indicado por a b.
5. Intervalos
[ ] { }a, b /x a x b= ∈ ≤ ≤ℝ
[ [ { }a, b /x a x b= ∈ ≤ <ℝ
51
d) intervalo fechado à direita (ou aberto àesquerda) de extremos a e b é o conjunto
que também pode ser indicado por a b.
Os números reais a e b são denominados,respectivamente, extremo inferior e extremosuperior do intervalo.
5. Intervalos
] ] { }a, b /x a x b= ∈ < ≤ℝ
52
Exemplos:
5. Intervalos
] [ { }1 ) 2, 5 / 2 5 é intervalo abertoo x x= ∈ < <ℝ
[ ] { }2 ) 1, 4 / 1 4 é intervalo fechadoo x x− = ∈ − ≤ ≤ℝ
2 23 ) , 7 / 7 é intervalo fechado à esquerda
5 5o x x = ∈ ≤ <
ℝ
1 14 ) , 2 / 2 é intervalo fechado à direita
3 3o x x − = ∈ − < ≤
ℝ
53
Também consideramos intervalos lineares os“intervalos infinitos” assim definidos:
que também podemos indicar por -∞ a
que também podemos indicar por -∞ a
5. Intervalos
] [ { }) , /a a x x a−∞ = ∈ <ℝ
] ] { }) , /b a x x a−∞ = ∈ ≤ℝ
54
que também podemos indicar por a +∞
que também podemos indicar por a +∞
que também podemos indicar por -∞ +∞
5. Intervalos
] [ { }) , /c a x x a+ ∞ = ∈ >ℝ
[ [ { }) , /d a x x a+ ∞ = ∈ ≥ℝ
] [) ,e −∞ + ∞ = ℝ
55
Os intervalos têm uma representaçãogeométrica sobre a reta real como segue:
5.1. Representação gráfica
a b
a
a
a
a
a
b
b
b
] [a, b
[ ]a, b
[ [a, b
] ]a, b
] ]- , a∞
] [a, + ∞
Exercício 7: Representar sobre a reta real, cadaum dos seguintes conjuntos
{ }{ }{ }{ }
A / 1 2
B / 0 3
C / 0 ou 2
D / 1 0 ou 3
x x
x x
x x x
x x x
= ∈ ≤ ≤
= ∈ < <
= ∈ ≤ >
= ∈ − < < ≥
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
5.1. Representação gráfica
Exercício 8: Descrever, conforme a notação dateoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
5.1. Representação gráfica
[ ][ [] [] [[ [
a) 1,3
b) 0,2
c) 3,4
d) ,5
e) 1,
−
−
−∞
+∞
Exercício 9: Utilizando a representação gráficados intervalos sobre a reta real, determinarAWB e AUB sendo A = [0, 3] e B = [1, 4].
5.1. Representação gráfica
Exercício 10: Descrever os seguintes conjuntos
5.1. Representação gráfica
[ [
[ ] [ ] [ ]
9a) 1, ,2
2
b) 1,2 0,3 1,4
− +∞ ∩ −
∩ ∩ −
Exercício 11: Determinar os seguintes conjuntos
5.1. Representação gráfica
] ] ] [[ ] [ ]
a) 2,1 0,5
b) 1,3 3,5
− ∪
− ∪
62
Vimos que , qualquer que seja o real a
não negativo. Assim, por exemplo, , , , ,
e são números reais.
Desde que o índice da raiz seja ímpar, os
radicais da forma , em que , também re-
presentam números reais. É o caso, por exemplo,
de , e .
6. Conjunto dos números com-plexos
n a ∈ℝ
2 3 5 4 85
172
6 π
n a− a +∈ℝ
3 1− 5 32− 7 3−
63
Se o radicando é negativo e o índice da raiz
é par, entretanto, o radical não representa
elemento de . Por exemplo, não é real, pois:
e isso é impossível, pois se , então .
6. Conjunto dos números com-plexos
n a−
ℝ 1−
21 1x x− = ⇒ − =
x ∈ℝ 2 0x ≥