Caderno rq1 teoria-dos-conjuntos (1)

Caderno RQ1

Teoria dos Conjuntos

Conjuntos Numéricos

Prof. Milton Araujo

INSTITUTO INTEGRAL

Caderno RQ1



. Milton Araujo

INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br

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Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog:

Sumário

1 INTRODUÇÃO ................................

2 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUN

2.1 POR ENUMERAÇÃO DOS EL

2.2 POR COMPREENSÃO ................................

2.3 POR DIAGRAMA DE EULER

3 SUBCONJUNTOS ................................

3.1 NÚMERO DE SUBCONJUNTO

4 RELAÇÃO ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO

5 RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

6 OPERAÇÕES ................................

6.1 UNIÃO ................................

6.1.1 Palavras-chave: "ou", "pelo menos"

6.1.2 Símbolo: ∪ ................................

6.2 INTERSEÇÃO ................................

6.2.1 Palavra-chave: "e"

6.2.2 Símbolo: ∩ ................................

6.3 DIFERENÇA ................................

6.3.1 Palavras-chave: "somente", "apen

6.3.2 Símbolo: ................................

6.4 COMPLEMENTO DE UM CON

6.4.1 Símbolo: A' ................................

7 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................

7.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS


7.2.1 Conjunto dos números Inteiros Não negativos

7.2.2 Conjunto dos números Inteiros Positivos

7.2.3 Conjunto dos números Inteiros Não positivos

7.2.4 Conjunto dos números Inteiros Negativos


7.3.1 Transformando número decimal em fração decimal

7.3.2 Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica



7.6 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS

7.7 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NOS

8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................

9 TÓPICOS ESPECIAIS ................................

9.1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

9.1.1 Aplicações do MMC

9.2 MÁXIMO DIVISOR COMUM

Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

................................................................................................................................

ÇÃO DE UM CONJUNTO ................................................................

OR ENUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS ................................................................................................

................................................................................................

ULER-VENN ................................................................................................

................................................................................................

ÚMERO DE SUBCONJUNTOS ................................................................................................

TO E CONJUNTO ................................................................

CONJUNTOS ................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

chave: "ou", "pelo menos" ................................................................

..............................................................................................................................

................................................................................................................................

chave: "e" ................................................................................................

..............................................................................................................................

................................................................................................................................

chave: "somente", "apenas" ................................................................

...............................................................................................................................

OMPLEMENTO DE UM CONJUNTO ................................................................................................

............................................................................................................................

................................................................................................

ÚMEROS NATURAIS ................................................................................................

ÚMEROS INTEIROS ................................................................................................

Conjunto dos números Inteiros Não negativos ................................................................

Conjunto dos números Inteiros Positivos ................................................................

Conjunto dos números Inteiros Não positivos ................................................................

Conjunto dos números Inteiros Negativos ................................................................

ÚMEROS RACIONAIS ...............................................................................................

ndo número decimal em fração decimal ............................................................

Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica ................................

ÚMEROS IRRACIONAIS ............................................................................................

ÚMEROS REAIS: ................................................................................................

ONJUNTOS NUMÉRICOS POR DIAGRAMAS DE EULER-VENN ................................

RITMÉTICAS NOS CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................

................................................................................................

................................................................................................

OMUM (MMC) ...............................................................................................

Aplicações do MMC ................................................................................................

OMUM (MDC) ................................................................................................

1

http://profmilton.blogspot.com.br/

................................ 3

......................................... 4

.................................... 4

......................................................... 4

........................................ 4

............................ 4

............................................. 5

..................................................... 6

........................................ 6

................................... 7

........................................... 7

....................................................... 7

.............................. 7

.................................... 8

.................................................. 8

.............................. 8

..................................... 9

.................................................... 9

............................... 9

.................................... 10

............................ 10

............................................ 12

................................ 12

................................. 12

..................................... 12

.............................................. 12

...................................... 12

............................................ 12

............................... 13

............................ 13

...................................................... 14

............................ 16

..................................... 16

..................................... 16

....................................... 17

............................................. 17

...................................................... 23

............................... 23

.............................................. 23

.................................. 25


9.2.1 Aplicações do MDC

9.3 QUANTIDADE DE DIVISORES

9.4 DIVISIBILIDADE ................................

9.4.1 Por 2 ................................

9.4.2 Por 3 ................................

9.4.3 Por 4 ................................

9.4.4 Por 5 ................................

9.4.5 Por 6 ................................

9.4.6 Por 9 ................................

10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................

12 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA


Aplicações do MDC ................................................................................................

IVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO ................................................................

..............................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

DITORA - CATÁLOGO ................................................................

2


............................................... 26

....................................... 28

.............................. 29

...................................... 29

...................................... 29

...................................... 29

...................................... 30

...................................... 30

...................................... 30

............................................. 30

.............................................. 32

............................................... 45


1 Introdução

A Teoria dos conjuntos é o ramo da

Conjuntos são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa

ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das

vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria

dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos

matemáticos.

O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por

Richard Dedekind em 1870. Esta

ou teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos)

associados à ideia central da própria teoria

numerosos sistemas de axiomas no início do século XX.

Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é fenas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado! Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/ Cadastre-se também aqui http://integral.klicksite.com.br/anpadhttp://mga960.klicksite.com.br/prequentes em primeira mão. Participe do nosso projeto: corrente-do-bem.html


“Cuidado com quem tem a língua doce e espada na cintura.

Inimigo declarado é perigoso, mas falso amigo é

é o ramo da matemática que estuda conjuntos.


reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das



teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor

em 1870. Esta teoria ficou conhecida como "teoria ingênua"

teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos)

associados à ideia central da própria teoria, que levaram à proposição de

numerosos sistemas de axiomas no início do século XX.

Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é fenas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente.

Mantenha seu material didático sempre atualizado!

onsulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é http://www.facebook.com/groups/souintegral/.

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língua doce e espada na cintura.

Inimigo declarado é perigoso, mas falso amigo é bem pior.”

[Chinês]

conjuntos.


reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das



Georg Cantor e

como "teoria ingênua"

teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos)

que levaram à proposição de

Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base

onsulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é

ou aqui mail, informações

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2 Formas de Representação de um Conjunto

Um conjunto é nomeado por uma letra maiúscula e deve ser representado por

uma das três formas mostradas a seguir.

2.1 Por enumeração dos elementos

Exemplo: A = 0, 1, 2, 3

2.2 Por compreensão

Exemplo: A = x ∊ N / x

2.3 Por diagrama de Euler

Exemplo:

3 Subconjuntos

Exemplo:

Dado o conjunto: C = a, b, c, tem

; a; b; c; a, b; a, c; b, c; a, b, c

Observações:

(1) O conjunto vazio, representado como ou

conjunto.

(2) O próprio conjunto é subconjunto de si mesmo.


Formas de Representação de um Conjunto


mostradas a seguir.

Por enumeração dos elementos

Exemplo: A = 0, 1, 2, 3

Por compreensão

≤ 3

Por diagrama de Euler-Venn

Subconjuntos

Dado o conjunto: C = a, b, c, tem-se os seguintes subconjuntos:

; a; b; c; a, b; a, c; b, c; a, b, c

(1) O conjunto vazio, representado como ou ∅ é subconjunto de qualquer

(2) O próprio conjunto é subconjunto de si mesmo.

4


Formas de Representação de um Conjunto


é subconjunto de qualquer


3.1 Número de subconjuntos

O número de subconjuntos

expressão

onde:

k é o número de subconjuntos

n é o número de elementos do conjunto.

Exemplo 1:

Quantos subconjuntos tem o

Solução:

O conjunto C tem 3 elementos, isto é,

2

2 8

Resposta: O conjunto C tem 8 subconjuntos.

Exemplo 2:

Com as frutas abacaxi, banana, maçã, laranja e pera, deseja

de frutas. Quantas saladas distintas se podem fazer, desde que cada uma delas

tenha pelo menos duas frutas distintas?[Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários:

São 5 frutas, ou seja, n = 5

Se desejássemos formar todos os subconjuntos (todas as saladas possíveis, com

qualquer quantidade de frutas), teríamos:

2

2 32


Número de subconjuntos

O número de subconjuntos de um conjunto qualquer sempre será dado pela

2

é o número de subconjuntos, e

é o número de elementos do conjunto.

Quantos subconjuntos tem o conjunto: C = a, b, c?

O conjunto C tem 3 elementos, isto é, n = 3

Resposta: O conjunto C tem 8 subconjuntos.

Com as frutas abacaxi, banana, maçã, laranja e pera, deseja-se preparar saladas


duas frutas distintas? [Fonte: banco de questões do autor]

= 5


qualquer quantidade de frutas), teríamos:

5


de um conjunto qualquer sempre será dado pela

se preparar saladas




Como o enunciado da questão cita que deve haver pelo menos duas frutas

distintas em cada salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes

subconjuntos:

, abacaxi, banana, maçã, laranja, pera

Assim: 32 - 6 = 26.

Resposta: com as cinco frutas disponíveis é possível fazer 26 saladas de frutas

com pelo menos das frutas distintas em cada uma.

Há uma outra forma de se resolver esta questão, que envolve Análise

Combinatória (capítulo que será visto mais adiante).

4 Relação entre elemento e conjunto

A relação entre elemento e conjunto é estabelecida

∈ (pertence)

∉ (não pertence)

Exemplo:

Dado o conjunto C = a, b, c, tem

a ∈ C

b ∈ C

c ∈ C

d ∉ C

5 Relação entre conjuntos

Entre conjuntos, usam-se os símbolos

⊂ (está contido);

⊄ (não está contido);

⊃ (contém);

⊅ (não contém)



da salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes

, abacaxi, banana, maçã, laranja, pera


as distintas em cada uma.


Combinatória (capítulo que será visto mais adiante).

lação entre elemento e conjunto

A relação entre elemento e conjunto é estabelecida somente através dos símbolos

Dado o conjunto C = a, b, c, tem-se:

Relação entre conjuntos

se os símbolos

6



da salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes



através dos símbolos


Exemplo:

Dado o conjunto C = a, b, c, tem

a ⊂ C

c ⊂ C

a, b, k ⊄ C

C ⊃ a, b

Observação:

(1) A “boca” dos símbolos

maior conjunto.

6 Operações

6.1 União

Consiste em reunir TODOS os

conjunto.

6.1.1 Palavras-chave: "ou", "pelo menos"

6.1.2 Símbolo: ∪

Exemplo:

Determine a união dos conjuntos:

Solução: A ∪ B = 3, 4, 5, 6, 7

Em diagrama de Euler-Venn:


Dado o conjunto C = a, b, c, tem-se:

(1) A “boca” dos símbolos mostrados acima sempre ficará aberta para o lado do

Consiste em reunir TODOS os elementos dos conjuntos envolvidos em um só

chave: "ou", "pelo menos"

conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7.

B = 3, 4, 5, 6, 7

Venn:

7


acima sempre ficará aberta para o lado do

elementos dos conjuntos envolvidos em um só

.


A região sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B.

outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que

pertencem ao conjunto A

6.2 Interseção

Consiste em se tomar os elementos comuns de todos os

operação.

6.2.1 Palavra-chave: "e"

6.2.2 Símbolo: ∩

Exemplo:

Determine a interseção dos

Solução: A ∩ B = 5, 6



sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B.


pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Consiste em se tomar os elementos comuns de todos os conjuntos envolvidos na

chave: "e"

dos conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7

Venn:

8


sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B. Em


conjuntos envolvidos na

A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7.


A região sombreada na figura acima identifica a

e B. Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos

que pertencem ao conjunto A

6.3 Diferença

Consiste em se tomar elementos que pertencem exclusivamente a um dos

conjuntos envolvidos na operação.

6.3.1 Palavras-chave: "somente", "apenas"

6.3.2 Símbolo:

Exemplo 1:

Dados os conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7

Solução: A B = 3, 4


A região sombreada da figura acima identifica a diferença A palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem

somente ao conjunto A

Exemplo 2:

Dados os conjuntos: A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7

Solução: B A = 7


A região sombreada na figura acima identifica a interseção entre os conjuntos A

Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos

que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.


os na operação.

chave: "somente", "apenas"

A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7. Determine: A B

Venn:

A região sombreada da figura acima identifica a diferença A palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem

A = 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6, 7. Determine: B A

9


terseção entre os conjuntos A

Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos


A B.

A região sombreada da figura acima identifica a diferença A B. Em outras

palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem

B A.



A região sombreada da figura acima identifica a diferença B palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem

somente ao conjunto B

6.4 Complemento de um conjunto

Tomam-se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto

universo.

6.4.1 Símbolo: A'

[Nota] O símbolo da operação de Complemento é um

símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é

pelas bancas do Teste ANPAD.

Observação: A operação de Complemento só estará definida quando o conjunto a

ser complementado for subconjunto de outro. O conjunto que contém aquele que

será complementado é chamado de

Exemplo:

Dados os conjuntos: Ω =

B = 5, 6, 7, determine o complemento do conjunto A (

[Nota] Representou-se o conjunto universo através da letra grega ômega:

Solução:

Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto

universo Ω.


Venn:

A região sombreada da figura acima identifica a diferença B palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem

plemento de um conjunto

se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto

[Nota] O símbolo da operação de Complemento é um apóstrofe

símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é

pelas bancas do Teste ANPAD.



será complementado é chamado de conjunto universo.

= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, A = 3, 4, 5, 6 e

, determine o complemento do conjunto A (A’).

se o conjunto universo através da letra grega ômega:

Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto

10


A região sombreada da figura acima identifica a diferença B A. Em outras

palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem

se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto

apóstrofe. Há outro

símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é adotado



A = 3, 4, 5, 6 e

se o conjunto universo através da letra grega ômega: Ω

Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto do conjunto


O complemento do conjunto A é dado por:

A’= -3, -2, -1, 0, 1, 2


A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento

[Nota] Em havendo a operação de complemento, ocorrerá que

Observação: O conjunto B do exemplo acima não tem complemento, visto que


⊂ Ω

O complemento do conjunto A é dado por:

Ω

Venn:

A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento

[Nota] Em havendo a operação de complemento, ocorrerá que


⊄

11


A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento A’.

Ω



7 Conjuntos Numéricos

7.1 Conjunto dos Números Naturais

Ν = 0, 1, 2, 3, ...

Ν* = 1, 2, 3, ...

Observação: o asterisco (*)

[Nota] No blog http://profmilton.blogspot.com.br/

título de "Pílulas"). Uma dessas

zero. Vale a pena conferir!

7.2 Conjunto dos N

Ζ = ...,−3, −2, −1, 0, 1, 2,

Ζ* = ..., −3, −2, −1, 1, 2,

[Nota] Ζ* = Ζ −0

7.2.1 Conjunto dos números Inteiros

= 0, 1, 2, 3, ...

7.2.2 Conjunto dos números Inteiros Positivos

∗ = 1, 2, 3, ...

7.2.3 Conjunto dos números Inteiros

= ..., -3, -2, -1, 0

7.2.4 Conjunto dos números Inteiros Negativos

∗ = ..., -3, -2, -1



Conjunto dos Números Naturais

(*) exclui o zero do conjunto: N* = N− 0

http://profmilton.blogspot.com.br/ há uma seção com dicas (sob o

título de "Pílulas"). Uma dessas Pílulas traz importantes observações sobre o

. Vale a pena conferir!

Conjunto dos Números Inteiros

2, 3, ...

2, 3, ...

Conjunto dos números Inteiros Não negativos

Conjunto dos números Inteiros Positivos

Conjunto dos números Inteiros Não positivos

Conjunto dos números Inteiros Negativos

12


0

com dicas (sob o

traz importantes observações sobre o


7.3 Conjunto dos Números Racionais

, ∈ , ∈ ∗

Observação: um número racional é aquele que pode ser representado por meio de

uma razão matemática números decimais.

Exemplos:

25

0,125

0,131313. .. 27

etc.

7.3.1 Transformando número decimal em fração decimal

Exemplo:

Transformar o número decimal 0,125 em fração decimal.

Solução:

(1) Retire a vírgula do número: 125. Tem

(2) O denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas

forem as casas decimais do número. No caso do exemplo, o denominador será

1000, pois o número 0,125 tem três casas decimais;

(3) Simplifique a fração, até torná

0,125 1251000

25200

Resposta: 0,125


Conjunto dos Números Racionais

um número racional é aquele que pode ser representado por meio de

. Neste conjunto se incluem as dízimas periódicas e os

Transformando número decimal em fração decimal

Transformar o número decimal 0,125 em fração decimal.

(1) Retire a vírgula do número: 125. Tem-se aqui o numerador da fração decimal;

denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas


1000, pois o número 0,125 tem três casas decimais;

(3) Simplifique a fração, até torná-la irredutível.

540

18

13


um número racional é aquele que pode ser representado por meio de

. Neste conjunto se incluem as dízimas periódicas e os

Transformando número decimal em fração decimal

se aqui o numerador da fração decimal;

denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas



7.3.2 Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica

Primeiramente, devemos aprender a identificar uma dízima periódica!

Exemplo:

O número 0,131313. .. pontinhos à sua direita. Esta dízima é

pontinhos há um fator (13), chamado de

vezes. Veja que nem toda dízima é periódica! Veremos e

adiante...

Para encontrar a fração geratriz

seguinte modo:

(1) Colocamos o período no numerador da fração geratriz;

(2) No denominador da fração geratriz colocamos um nove para cada algarismo

do período

Assim:

0,131313. . . 1399

Resposta: é a fração geratriz da dízima periódica

Observações:

(1) O número 0,131313 é decimal! Veja que não há nele os três pontinhos, logo,

não pode ser considerado uma dízima...

(2) O número 0,1313... é uma dízima, pois tem os três pontinhos. Entretanto, esta

dízima não é periódica pois, à esquerda dos três pontinhos não há

repita pelo menos três vezes

período da dízima.

Outro exemplo:

Encontrar a fração geratriz da dízima 0,12324324324...


Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica


é uma dízima, pois há nele uma vírgula e os três

pontinhos à sua direita. Esta dízima é periódica, pois, à esquerda dos três

pontinhos há um fator (13), chamado de período, que aparece pelo menos três

. Veja que nem toda dízima é periódica! Veremos essa sutil diferença mais

fração geratriz de uma dízima periódica procedemos do

(1) Colocamos o período no numerador da fração geratriz;


é a fração geratriz da dízima periódica 0,131313. ..


não pode ser considerado uma dízima...


dízima não é periódica pois, à esquerda dos três pontinhos não há um fator que se

repita pelo menos três vezes. Em outras palavras, não se pode identificar o

Encontrar a fração geratriz da dízima 0,12324324324...

14


Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica


é uma dízima, pois há nele uma vírgula e os três

, pois, à esquerda dos três

pelo menos três

ssa sutil diferença mais

procedemos do




um fator que se

. Em outras palavras, não se pode identificar o


Solução:

A dízima é periódica. O período é 324.

Mas há um 12 entre a vírgula e o início da dízima!

O que fazer?

O modo correto para se resolver é o seguinte:

Separe o número: 0,12 + 0,

0,12 12100

0, 324324324. . . 324999

12100

32499900

1231299900

Um atalho para se chegar, rapidamente, à solução

seguinte:

(1) a partir da vírgula selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o

período. No exemplo acima seria: 0,

(2) subtraia deste número o "estranho" ao período:

(3) no passo anterior determinamos o numerador da fração

(4) o denominador da fração geratriz e formado por um nove para cada algarismo

do período, seguidos de um zero para cada algarismo do "estranho" ao período.

No exemplo acima: 99900(5) chegamos, assim, à fração geratriz:

1231299900

Lembre-se de que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo,

no qual a resposta final será

307824975


A dízima é periódica. O período é 324.

Mas há um 12 entre a vírgula e o início da dízima!

O modo correto para se resolver é o seguinte:

0,12 + 0,00324324324...

324999

Um atalho para se chegar, rapidamente, à solução do exemplo

selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o

período. No exemplo acima seria: 0,12324324324..., ou seja, 12324deste número o "estranho" ao período: 12324 - 12 = 12312

(3) no passo anterior determinamos o numerador da fração geratriz;



99900

(5) chegamos, assim, à fração geratriz:

que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo,

no qual a resposta final será:

15


do exemplo acima é o

selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o

12324;

12 = 12312;

geratriz;



que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo,


7.4 Conjunto dos Números Irracionais

O conjunto dos números irracionais reúne todas as dízimas

Dízimas não periódicas são as raízes

√2, √5, , , . ..

Observações:

(1) 3,14159265358(2) 2,718281828. .. (3) e é o número de Euler.

(4) Nenhum número irracional pode ser representado na forma

outras palavras, os conjuntos dos númerditos disjuntos.

7.5 Conjunto dos N

O conjunto dos números Reais

Racionais e Irracionais:

7.6 Representação dos Conjuntos Numéricos por

Diagramas de Euler


Conjunto dos Números Irracionais

O conjunto dos números irracionais reúne todas as dízimas não periódicas

são as raízes não exatas e outros números, tais como

14159265358. ..

é o número de Euler.

Nenhum número irracional pode ser representado na forma

outras palavras, os conjuntos dos números racionais (Q) e irracionais (

∩

Números Reais:

O conjunto dos números Reais surge da união entre os conjuntos dos números

∪

Representação dos Conjuntos Numéricos por

Diagramas de Euler-Venn

16


não periódicas.

e outros números, tais como:

Nenhum número irracional pode ser representado na forma . Em

) e irracionais (I) são

surge da união entre os conjuntos dos números

Representação dos Conjuntos Numéricos por


7.7 Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos

Não abordaremos aqui as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação

e divisão) nos Conjuntos Numéricos, por se tratar de

dominado pelo leitor.

Havendo dúvidas sobre

tratada pontualmente, ou por meio de uma das

assunto, consulte o seguinte link:

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas

8 Exercícios Resolvidos

1) ANPAD-2004. A Empresa DoenVax

contraíram três tipos de

levantamento realizado na empresa com todos

seguintes resultados:

Doença D1 D2 D3

Número de

funcionários 95 70 200

A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das

três doenças é

a) 33%

b) 35%

c) 40%

d) 63%

e) 68%

Solução:

Em questões desse tipo, a melhor forma para se resolver é através de diagramas

de Euler-Venn

O preenchimento do diagrama começa pela região sombreada na figura a seguir,

isto é, pela interseção de todos os conjuntos.


Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos


e divisão) nos Conjuntos Numéricos, por se tratar de assunto conhecido e já

Havendo dúvidas sobre esse assunto, o leitor poderá encaminhá

tratada pontualmente, ou por meio de uma das Pílulas no blog. A propósito deste

assunto, consulte o seguinte link:

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo

Exercícios Resolvidos

A Empresa DoenVax detectou que seus funcionários

doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num

levantamento realizado na empresa com todos os funcionários, constataram

D3 D1 e D2 D1 e D3 D2 e D3 D1, D2 e

D3

200 30 40 25 5




isto é, pela interseção de todos os conjuntos.

17


Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos


assunto conhecido e já

assunto, o leitor poderá encaminhá-las para ser

no blog. A propósito deste

quantitativo-3.html

detectou que seus funcionários

doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num

os funcionários, constataram-se os

D1, D2 e

D3

Nenhuma

das três

5 125





Caso essa informação não esteja presente, insere

diagramas. No exemplo dado, este valor

Como ambos os valores foram fornecidos, eles foram inseridos juntos. A cor

vermelha é para dar destaque e para lembrar o lei

solução da questão.

A seguir, preenchem-se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre

o leitor de que já inserimos 5 em todas elas.


Caso essa informação não esteja presente, insere-se, primeiro o valor externo aos

diagramas. No exemplo dado, este valor é 125.


vermelha é para dar destaque e para lembrar o leitor do ponto de partida para a

se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre

o leitor de que já inserimos 5 em todas elas.

18


se, primeiro o valor externo aos


tor do ponto de partida para a

se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre-se


Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que

há valores inseridos em cada diagrama.

Na união dos diagramas D1, D2 e D3 da figura acima, contam

Somando-se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem

total de funcionários da empresa DoenVax, que é 400.

Assim, a resposta da questão será:


Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que

há valores inseridos em cada diagrama.

Na união dos diagramas D1, D2 e D3 da figura acima, contam-se 275 elementos.

se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem

total de funcionários da empresa DoenVax, que é 400.

sim, a resposta da questão será:

275400 ≅ 68%

19


Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que já

se 275 elementos.

se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem-se o


Resposta: alternativa E.

2) ANPAD-2003. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:

I. Se X ∩Y = X , ent

II. X ∪ ∅ = ∅.

III. Se A ⊂ X e A ⊂ Y , então A

O valor lógico de cada afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequ

a) V, V, V

b) V, F, V

c) V, F, F

d) F, V, V

e) F, F, V


I. Se X ∩Y = X , ent

A região sombreada identifica a interseção entre os conjuntos X e Y.

II. X ∪ ∅ = ∅. (FALSO)

Correção: X ∪ ∅ = X.

[Nota] O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.


03. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:

Y = X , então X ⊂ Y.

Y , então A ⊂ X ∩Y

afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequ

Y = X , então X ⊂ Y. (VERDADEIRO)


(FALSO)

[Nota] O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

20


03. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:

afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequência



III. Se A ⊂ X e A ⊂ Y , então A

Resposta: Alternativa B.

3) ANPAD-2002. Sejam os conjuntos definidos por:

A = pessoas que trabalham na empresa XX;

B = pessoas que trabalham como diretor na empresa XX;

C = pessoas que trabalham como secretária na empresa XX;

D = pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX.

Sabendo-se que:

• Maria é faxineira e secretári

• Ricardo é diretor da empresa XX;

• Paula é secretária da empresa XX.

Analise as afirmativas abaixo:

I. Maria ∈ D.

II. Ricardo ⊂ A.

III. B ∩ A = B.

IV. Maria, Paula ⊂ C.

V. Maria ∈ C.

VI. Paula ∉ A.

Sobre a veracidade das afirmativas acima, pode

a) todas são verdadeiras.

b) somente a última é falsa


Y , então A ⊂ X ∩Y (VERDADEIRO)

Sejam os conjuntos definidos por:

trabalham na empresa XX;

B = pessoas que trabalham como diretor na empresa XX;

C = pessoas que trabalham como secretária na empresa XX;


• Maria é faxineira e secretária da empresa XX;

• Ricardo é diretor da empresa XX;


Analise as afirmativas abaixo:

C.

afirmativas acima, pode-se afirmar que

b) somente a última é falsa

21




c) II, IV e VI são falsas

d) III, IV e V são verdadeiras

e) todas são falsas


I. Maria ∈ D. (FALSO)Justificativa:

D = pessoas que trabalham

• Maria é faxineira e secretár

(Revise as palavras-chave

II. Ricardo ⊂ A. (FALSO)Justificativa: Ricardo é um elemento do conjunto A.

Correção: Ricardo ∈ A.

(Revise os símbolos relacionais

III. B ∩ A = B. (VERDADEIROJustificativa:

A = pessoas que trabalham na empresa XX

B = pessoas que trabalham como diretor na empresa XX

B ⊂ A, logo, B ∩ A = B.

IV. Maria, Paula ⊂ C.

Justificativa:

C = pessoas que trabalham

• Maria é faxineira e secretária da empresa XX.


V. Maria ∈ C. (VERDADEIRO)Justificativa:

C = pessoas que trabalham

• Maria é faxineira e secretária da empresa XX

VI. Paula ∉ A. (FALSO)Justificativa:

A = pessoas que trabalham na empresa XX


d) III, IV e V são verdadeiras

(FALSO)


• Maria é faxineira e secretária da empresa XX.

chave das operações com conjuntos!)

(FALSO) Justificativa: Ricardo é um elemento do conjunto A.

símbolos relacionais dos tópicos 4 e 5.)

VERDADEIRO)

as que trabalham na empresa XX

ham como diretor na empresa XX

C. (VERDADEIRO)

C = pessoas que trabalham como secretária na empresa XX

eira e secretária da empresa XX.


(VERDADEIRO)

trabalham como secretária na empresa XX

eira e secretária da empresa XX.

(FALSO)

as que trabalham na empresa XX

22


como faxineira na empresa XX.



Resposta: Alternativa D.

9 Tópicos Especiais

[Nota] Número primo é aquele que tem apenas dois divisores positivos: 1 e o

próprio número.

Conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

9.1 Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Dado um conjunto de números, o menor múltiplo

dado pela decomposição simultânea

Exemplo:

Encontrar o MMC do conjunto

Solução:

O processo é encerrado pela multiplicação de

empregados: 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360

Resposta: MMC(24, 30, 36) = 360

9.1.1 Aplicações do MMC

• Aplica-se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em

operações de adição ou subtração.



Tópicos Especiais


Conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Dado um conjunto de números, o menor múltiplo comum desse conjunto

decomposição simultânea desses números em fatores primos.

Encontrar o MMC do conjunto 24, 30; 36

24 30 36 2

12 15 18 2

6 15 9 2

3 15 9 3

1 5 3 3

1 5 1 5

1 1 1 360

O processo é encerrado pela multiplicação de todos os fatores primos

empregados: 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360

Resposta: MMC(24, 30, 36) = 360

Aplicações do MMC

se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em

operações de adição ou subtração.

23



desse conjunto será

em fatores primos.

todos os fatores primos

se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em


Exemplo:

13

25

14

MMC(3, 4, 5) = 60

13

25

14

20 24 1560

Operações: divide-se o MMC pelo antigo denominador

multiplica-se o resultado pelo antigo numerador.

• Aplica-se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de

tempo).

Exemplos:

(1) Uma pessoa precisa tomar

Remédio A: de 2 em 2 horas

Remédio B: de 3 em 3 horas

Remédio C: de 5 em 5 horas

Remédio D: de 6 em 6 horas

Remédio E: de 8 em 8 horas

Se essa pessoa toma todostomará todos juntos novamente?[Fonte: banco de questões do autor

Solução:

MMC(2, 3, 5, 6, 8) = 120 horas = 5 dias

Resposta: A pessoa tomará todos os cinco remédios juntos novamente às 10

horas de domingo.


15 5960

se o MMC pelo antigo denominador de cada fração

se o resultado pelo antigo numerador.

se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de

(1) Uma pessoa precisa tomar 5 remédios, da seguinte forma:

Remédio A: de 2 em 2 horas

Remédio B: de 3 em 3 horas

Remédio C: de 5 em 5 horas

Remédio D: de 6 em 6 horas

Remédio E: de 8 em 8 horas

todos os remédios às 10 horas de uma terça

s juntos novamente? [Fonte: banco de questões do autor]

MMC(2, 3, 5, 6, 8) = 120 horas = 5 dias


24


de cada fração e

se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de

os remédios às 10 horas de uma terça-feira, quando



(2) Numa estação rodoviária há três ônibus estacionados

prontos para partirem. Do box A parte um ônibus a cada 12 horas; do box B parte

um ônibus a cada 15 horas; do box C parte um ônibus a cada 18 horas. Se os três

partem juntos às 10 horas de uma terça[Fonte: banco de questões do autor]

Solução:

MMC(12, 15, 18) = 180 horas =

Resposta: Os três ônibus partirão juntos novamente

feira.

(3) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada

72 segundos e um carrinho azul

carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o

em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10 [Fonte: banco de questões do autor]

Solução:

Precisamos encontrar o MMC entre 72 e 80.

MMC(72, 80) = 720

O carrinho mais lento é o

Resposta: Alternativa D.

9.2 Máximo Divisor Comum (MDC)

Dado um conjunto de números, o m

pela decomposição simultânea


(2) Numa estação rodoviária há três ônibus estacionados nos boxes A, B e C,



partem juntos às 10 horas de uma terça-feira, quando partirão juntos novamen[Fonte: banco de questões do autor]

0 horas = 7,5 dias

Os três ônibus partirão juntos novamente às 22 horas da próxima terça

circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada

72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois

carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento

em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?

co de questões do autor]

MMC entre 72 e 80.

O carrinho mais lento é o azul. Assim, 720/80 = 9 voltas.

Máximo Divisor Comum (MDC)

Dado um conjunto de números, o maior divisor comum desse conjunto será dado

decomposição simultânea desses números em fatores primos.

25


nos boxes A, B e C,



feira, quando partirão juntos novamente?

a próxima terça-

circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada

dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois

mais lento até o momento

desse conjunto será dado

em fatores primos. Neste caso, só


podem ser usados fatores primos que dividam todos os números do conjunto,

simultaneamente.

Exemplo:

Encontrar o MDC do conjunto

Solução:

Observação: Como não fator primo que divida simultaneamente os números 4, 5

e 6, encerra-se o processo, multiplicando

Resposta: MDC(48, 60, 72) = 12

9.2.1 Aplicações do MDC

MDC se aplica a toda situação em que se deseja

quantidades em proporções menores e

as quantidades menores sejam de

Exemplos:

(1) Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de

60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando

embalá-los em sacas menores

sofrer qualquer perda, então

a) 6.

b) 8.

c) 10.

d) 12.

e) 14.


Note o leitor que destacamos as palavras



C do conjunto 48, 60; 72

48 60 72 2

24 30 36 2

12 15 18 3

4 5 6 12


se o processo, multiplicando-se todos os fatores primos empregados.

Resposta: MDC(48, 60, 72) = 12

Aplicações do MDC

MDC se aplica a toda situação em que se deseja dividir, distribuir, ou separar

quantidades em proporções menores e de mesmo valor, com a exigência de que

as quantidades menores sejam de maior valor possível.

se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de


los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as qualidades e sem

, então o maior peso possível para essas sacas é

Note o leitor que destacamos as palavras-chave no enunciado da questão:

26




se todos os fatores primos empregados.

, distribuir, ou separar

, com a exigência de que

se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de


, sem misturar as qualidades e sem

para essas sacas é

chave no enunciado da questão:


embalá-los em sacas menores

de igual peso = comum

o maior peso possível = máximo

Devemos calcular o MDC(48, 60, 72)

Resposta: cada saco terá 12 kg. Alternativa D.

(2) Num orfanato há 35 crianças. Pedro deseja distribuir balas para todas elas. No

supermercado, Pedro encontra pacotes de balas de três marcas: a marca A vem

em pacotes contendo 48 balas, a marca B vem em pacotes com 60 balas, e a

marca C tem pacotes com

pacotes menores, com igual quantidade em cada um e o maior número de balas

possível em cada pacotinho

de cada uma das três marcas.

pacotes de cada uma das [Fonte: banco de questões do autor]


Observe o leitor que os dados são praticamente os mesmos da questão anterior. A

solução também não ficará longe do que fizemos na

Pedro deverá encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a

quantidade máxima de balas que cada pacote terá, ou seja,

MDC(48, 60, 72):

Agora Pedro já sabe que cada

outras palavras, cada criança do orfanato receberá um pacotinho com 12 balas.


los em sacas menores = dividir

máximo

Devemos calcular o MDC(48, 60, 72)

48 60 72 2

24 30 36 2

12 15 18 3

4 5 6 12

Resposta: cada saco terá 12 kg. Alternativa D.




marca C tem pacotes com 72 balas. Pedro deverá colocar todas as balas em


pacotinho. Sabe-se que Pedro comprou pelo menos um pacote

de cada uma das três marcas. Para que não faltem nem sobrem balas, quantos

pacotes de cada uma das três marcas ele comprou? [Fonte: banco de questões do autor]


solução também não ficará longe do que fizemos na questão (1) acima.

encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a

quantidade máxima de balas que cada pacote terá, ou seja,

48 60 72 2

24 30 36 2

12 15 18 3

4 5 6 12

que cada pacotinho de balas conterá 12 balas cada um. Em


27





72 balas. Pedro deverá colocar todas as balas em


se que Pedro comprou pelo menos um pacote

em balas, quantos


questão (1) acima.

encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a

pacotinho de balas conterá 12 balas cada um. Em



O problema é que a situação acima só atende 15 crianças. Senão, vejamos:

Com um pacote da marca A, podemos atender 48/12 = 4

Com um pacote da marca B, podemos atender 60/12 = 5 crianças

Com um pacote da marca C, podemos atender

Mas o orfanato tem 35 crianças...

Se Pedro adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C,

conseguirá atender 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não

sobrem nem faltem balas,

Agora Pedro tem a solução para o seu problema

pacotes da marca B e 2 pacotes da marca C será

12 balas para cada criança do orfanato, e não haverá sobras nem faltarão balas.

9.3 Quantidade de

Para se encontrar a quantidade total de divisores positivos de um número natural,

procede-se do seguinte modo:

• decompõe-se o número em fatores primos;

• escreve-se o número sob a forma de potências de números primos;

• soma-se 1 a cada expoente;

• multiplicam-se os resultados encontrados no passo anterior.

Exemplo:

Quantos divisores positivos tem o núme

Solução:



Com um pacote da marca A, podemos atender 48/12 = 4 crianças.

Com um pacote da marca B, podemos atender 60/12 = 5 crianças.

Com um pacote da marca C, podemos atender 72/12 = 6 crianças.

Mas o orfanato tem 35 crianças...

adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C,

r 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não

sobrem nem faltem balas, Pedro deverá adquirir mais um pacote da marca B.

gora Pedro tem a solução para o seu problema: com 2 pacotes da marca A, 3

pacotes da marca B e 2 pacotes da marca C será possível dar um pacotinho com


Quantidade de Divisores Positivos de um Número


seguinte modo:

se o número em fatores primos;

se o número sob a forma de potências de números primos;

se 1 a cada expoente;

se os resultados encontrados no passo anterior.

Quantos divisores positivos tem o número 600?

600 2

300 2

150 2

75 3

25 5

5 5

1

28



adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C,

r 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não

mais um pacote da marca B.

: com 2 pacotes da marca A, 3

possível dar um pacotinho com


Divisores Positivos de um Número


se o número sob a forma de potências de números primos;

se os resultados encontrados no passo anterior.


600 2 ∙ 3 ∙ 5

Os expoentes são: 3, 1 e 2

Somando-se 1 em cada um deles:

(3 + 1) = 4

(1 + 1) = 2

(2 + 1) = 3

Multiplicando-se os resultados encontrados: 4 . 2 . 3 = 24

Resposta: O número 600

9.4 Divisibilidade

9.4.1 Por 2

Todo número par é divisível por 2.

Exemplo: 4832.

9.4.2 Por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 3.

Exemplo: 57324 é divisível por 3, pois 5 + 7 +

múltiplo de 3.

9.4.3 Por 4

Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um

número divisível por 4.

Exemplo: os dois últimos exemplos 48


Os expoentes são: 3, 1 e 2

se 1 em cada um deles:

se os resultados encontrados: 4 . 2 . 3 = 24

Resposta: O número 600 tem 24 divisores positivos.

Todo número par é divisível por 2.


Exemplo: 57324 é divisível por 3, pois 5 + 7 + 3 + 2 + 4 = 21, que é um número


Exemplo: os dois últimos exemplos 4832 e 57324 são números divisíveis por 4.

29



que é um número


são números divisíveis por 4.


9.4.4 Por 5

Um número será divisível por 5 quando

número for 0 ou 5.

Exemplos: 48370, 7835.

9.4.5 Por 6

Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2

Exemplo: 57324 é um número par, portanto, é divisível por 2. A

5 + 7 + 3 + 2 + 4 = 21, que é um número múltiplo de 3.

Assim sendo, o número 57324 é divisível por 6.

9.4.6 Por 9


Exemplo: 45738 é divisível por 9, pois 4 + 5 + 7 + 3 + 8 =

múltiplo de 9.

10 Exercícios Resolvidos

1) O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo

número por 6, tem-se como resto da divisão

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 5.


Um número será divisível por 5 quando o algarismo da casa da unidade

Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3.

Exemplo: 57324 é um número par, portanto, é divisível por 2. Além disto,

, que é um número múltiplo de 3.

Assim sendo, o número 57324 é divisível por 6.


Exemplo: 45738 é divisível por 9, pois 4 + 5 + 7 + 3 + 8 = 27, que é um número

Exercícios Resolvidos

O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo

se como resto da divisão

30


o algarismo da casa da unidade desse

por 3.

lém disto,


, que é um número

O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo-se este



O número 88888...8888 é par, portanto, é divisível por 2. Entretanto, a soma dos

algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende

resto da divisão não é zero.

Note que 8 não é divisível por

88 também não é divisível por 6, pois 8 + 8 = 16, que não é múltiplo de 3.

Mas 888 é divisível por 3, pois 8 + 8 + 8 = 24.

Desse modo, a cada 3 algarismos 8, teremos resto zero na divisão. Como há 33

"trincas" de 8 no número dado, vê

divisão exata. Fica apenas o último 8 para ser dividido, resultando um resto igual

a 2.

Resposta: Alternativa C.

2) Dividindo-se por 9 o número 1234567812345678...12345678

por 10 sequências iguais

a) 0.

b) 1.

c) 3.

d) 5.

e) 8.


O número 12345678 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36,

que é um número múltiplo de 9. Assim, o número dado é divisível por 9 e o resto

da divisão é 0.

Resposta: Alternativa A.



algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende

resto da divisão não é zero.

Note que 8 não é divisível por 6, pois dá resto 2.


Mas 888 é divisível por 3, pois 8 + 8 + 8 = 24.


"trincas" de 8 no número dado, vê-se que até o 99º algarismo 8 tínhamos uma


o número 1234567812345678...12345678, que é formado

por 10 sequências iguais a 12345678, tem-se como resto da divisão



31



algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende-se que o



se que até o 99º algarismo 8 tínhamos uma


, que é formado

se como resto da divisão




11 Exercícios Propostos

1) ANPAD-2009. Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em

exatamente dois turnos, não necessariamente consecutivos. Sejam dados os

seguintes conjuntos:

M = x é funcionário da Empresa EMGar

T = x é funcionário da Empresa EMGar

N = x é funcionário da Empresa EMGar

A = x é funcionário da Empresa EMGar

tarde

B = x é funcionário da Empresa EMGar

tarde

Logo, pode-se afirmar que

a) A ∩ B = x é funcionário da Empresa EMGar

b) A – B = x é funcionário da Empresa E

da tarde.

c) M – T = x é funcionário da Empresa EMGar

manhã.

d) M ∪ A = x é funcionário da Empresa EMGar

e da noite.

e) T ∩ A = x é funcionário da Empresa EMGar

da noite.

2) ANPAD-2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram

emprego de enfermeiro em um hospital, 30 possuíam formação universitária em

Enfermagem, 45 possuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam

tanto formação universitária quanto formação técnica em Enfermagem. A

probabilidade de um candidato escolhido aleatoriamente não possuir formação

técnica nem formação universitária em Enfermagem é igual a

a) 40%.

b) 30%.

c) 20%.

d) 10%.

e) 5%.


Propostos

Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em


M = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da manh

T = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da tarde

N = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite

A = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite e da

B = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da manh

se afirmar que

B = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite.

B = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da noite e

T = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha somente no turno da

A = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da manh

A = x é funcionário da Empresa EMGar x trabalha no turno da tarde ou

2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram


ssuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam



técnica nem formação universitária em Enfermagem é igual a

32


Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em


x trabalha no turno da manhã

x trabalha no turno da tarde

x trabalha no turno da noite

no turno da noite e da

x trabalha no turno da manhã e da

x trabalha no turno da noite.

x trabalha no turno da noite e

x trabalha somente no turno da

x trabalha no turno da manhã

x trabalha no turno da tarde ou

2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram


ssuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam




3) ANPAD-2009. Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas

extras de Raciocínio Lógico, e destes, 17 também participam das aulas extras de

Raciocínio Quantitativo. Logo, pode

a) pelo menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.

b) pelo menos 17 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.

c) pelo menos 10 alunos participam somente das aulas extras de Raciocínio

Quantitativo.

d) somente 27 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de

Raciocínio Quantitativo.

e) somente 17 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Quantitativo

ou de Raciocínio Lógico.

4) ANPAD-2009. Sobre os conjuntos A, B e C, têm

A, b ∈ A, c ∈ B, f ∈ B, g

#X é o número de elementos de X. Assim, pode

a) os conjuntos A e B são disjuntos.

b) o complemento de A é o conjunto B.

c) o conjunto A está contido no complemento de B.

d) o conjunto C não pode ser escrito como A

e) o conjunto C está contido na união de A com B.

5) ANPAD-2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de

concurso composta de dois problemas, X e Y:

• 923 candidatos acertaram o problema X.

• 581 erraram o problema Y.

• 635 acertaram X e Y.

O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é

a) 183.

b) 293.

c) 342.

d) 635.

e) 689.


Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas


Raciocínio Quantitativo. Logo, pode-se afirmar que

menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.



unos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de


ou de Raciocínio Lógico.

Sobre os conjuntos A, B e C, têm-se algumas afir

g ∈ B, , , , ⊂ C, #A = 5, #B = 8 e #C = 4, em que

#X é o número de elementos de X. Assim, pode-se garantir que

a) os conjuntos A e B são disjuntos.

b) o complemento de A é o conjunto B.

contido no complemento de B.

d) o conjunto C não pode ser escrito como A ⋂ B.

e) o conjunto C está contido na união de A com B.

2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de

concurso composta de dois problemas, X e Y:

candidatos acertaram o problema X.

• 581 erraram o problema Y.

O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é

33


Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas


menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo.



unos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de


se algumas afirmações a ∈

C, #A = 5, #B = 8 e #C = 4, em que

2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de


6) ANPAD-2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calça

jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número

de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é

a) 5.

b) 17.

c) 18.

d) 23.

e) 30.

7) ANPAD-2006. Num grupo de pessoas, detectou

tomam café e todos os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite

porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não

fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é

a) 8.

b) 16.

c) 18.

d) 21.

e) 37.

8) ANPAD-2005. Os estudantes praticantes

foram classificados, segundo seus hábitos desportivos, em quatro grupos,

identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue

pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que pr

natação. Com essa classificação, obteve

A partir do estudo deste diagrama, pode


2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calça


de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é

06. Num grupo de pessoas, detectou-se que 19 são fumantes, 37

s os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite


fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é

2005. Os estudantes praticantes de esportes da Escola Aprender (EA)


identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue

pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que pr

natação. Com essa classificação, obteve-se o seguinte diagrama:

A partir do estudo deste diagrama, pode-se concluir que

34


2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calças


se que 19 são fumantes, 37

s os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite


de esportes da Escola Aprender (EA)


identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue-

pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que praticam


a) se a região preenchida por traços representa um conjunto vazio, então nenhum

praticante de futebol é, também, praticante

b) se a sentença “Todo estudante da EA que pratica futebol pratica também

pingue-pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do

diagrama representa um conjunto vazio.

c) se a região do diagrama preenchida por círculos represen

vazio, então todo estudante que pratica futebol e vôlei pratica, também, natação.

d) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,

conjuntos nãovazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratic

pingue-pongue pratica, também, vôlei ou natação”.

e) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas,

conjuntos nãovazios, então algum estudante que pratica natação pratica também

pingue-pongue.

9) ANPAD-2004. Em uma festa,

vinho e cerveja. Sabe-se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15

tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. Sabe

uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que

tomaram vinho é

a) 5.

b) 10.

c) 15.

d) 20.

e) 25.

10) ANPAD-2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e

600 mulheres, mostrou os seguintes resultados:

• Do total de pessoas entrevistadas:

650 assinam o jornal A.

430 têm curso superior.

300 assinam o jornal A e têm curso superior.

• Do total de mulheres entrevistadas:

300 assinam o jornal A.

270 têm curso superior.




praticante de futebol é, também, praticante de vôlei.


pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do

diagrama representa um conjunto vazio.

c) se a região do diagrama preenchida por círculos representar um conjunto



conjuntos nãovazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratic

pongue pratica, também, vôlei ou natação”.



2004. Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas:

se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15

tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. Sabe-se que todos tomaram

uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que tomaram cerveja, mas não

2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e

600 mulheres, mostrou os seguintes resultados:

• Do total de pessoas entrevistadas:


• Do total de mulheres entrevistadas:


35




pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do

tar um conjunto



conjuntos nãovazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratica



foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas:

se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15

se que todos tomaram

tomaram cerveja, mas não

2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e


Portanto, o número de homens entrevistados que não

têm curso superior é

a) 40.

b) 80.

c) 120.

d) 180.

e) 200.

11) ANPAD-2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por

Se o raio de ambos os círculos da figura dada é 6 u. c. (unidades de

comprimento) e a área da interseção dos dois círculos é 26

área), então a área da região hachurada é

a) 10π u. a.

b) 20π u. a.

c) 36π u. a.

d) 46π u. a.

e) 56π u. a.

12) ANPAD-2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que

a) Se (A ∪ B) = B, então A

b) Se (A ∪ B) = A, então A

c) Se (A ∩ B) = ∅, então (A

d) Se (A ∩ B) = ∅, então A =

e) Se (A ∩ B) = B, então A

13) ANPAD-2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam

italiano e 65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois

idiomas, sendo um deles o português, e apenas 10% falam os quatro idiomas,

então posso afirmar que


Portanto, o número de homens entrevistados que não assinam o jornal A e não

2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por


a da interseção dos dois círculos é 26π u. a. (unidades de

área), então a área da região hachurada é

2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que

B) = B, então A ⊂ B.

B) = A, então A ⊂ B.

, então (A ∪ B) = ∅.

, então A = ∅ ou B = ∅.

ão A ⊂ B.

2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam

65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois


36


assinam o jornal A e não

2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por .


π u. a. (unidades de

2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que

2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam

65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois



a) exatamente 55% do grupo falam somente português e inglês.

b) no máximo 40% do grupo fa

c) no máximo 5% do grupo falam francês e italiano.

d) exatamente 15% do grupo falam inglês, italiano e francês.

e) no mínimo 55% do grupo falam português e francês.

14) ANPAD-2002. Sendo o conjunto universo

, 0, , 5, √2, 4√2, , 0 ; 5

sentenças:

I. A ∩ B possui elementos que s

II. (A ∪ B) ∩ C possui só elementos que s

III. A − B = 0, π.

IV. (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)

Então, a respectiva sequência formada pelos valores verdades (V, se verdadeira;

F, se falsa) dessas sentenças é

a) F, F, F, F.

b) V, F, V, F.

c) F, F, V, V.

d) V, V, V, V.

e) F, F, V, F.

15) ANPAD-2002. Dados os conjuntos A, B e C,

abaixo, e sabendo-se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o

complementar de B e C’ o complementar de C.


a) exatamente 55% do grupo falam somente português e inglês.

b) no máximo 40% do grupo falam somente português e italiano.

c) no máximo 5% do grupo falam francês e italiano.

d) exatamente 15% do grupo falam inglês, italiano e francês.

e) no mínimo 55% do grupo falam português e francês.

2002. Sendo o conjunto universo

;

5, , √2, 4 ; e , 4 ; considere as seguintes

B possui elementos que são números racionais.

∩ C possui só elementos que são números irracionais.

∩ C) , 4


F, se falsa) dessas sentenças é

2002. Dados os conjuntos A, B e C, representados pelo diagrama

se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o

complementar de B e C’ o complementar de C.

37


considere as seguintes

ão números irracionais.


representados pelo diagrama

se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o


Então a área hachurada representa o conjunto

a) A ∪ B − C.

b) B ∪(A ∩ C).

c) B ∩ A'.

d) A' ∩ B' ∩ C'.

e) (B ∩ C) − A.

16) ANPAD-2002. O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição

1, 2 ⊂ A ⊂1, 2, 3, 4 é

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

17) ANPAD-2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes

proposições:

I. Se A ∩ B = A, ent

II. A ∪ ∅ = ∅

III. Se x ∈ A e x ∈ B, então x

IV. Se y ∈ (A ∪ B), então y

Pode-se afirmar que as proposições VERDADEIRAS são:

a) I e II.

b) III e IV.

c) I e III.

d) I, II e IV.

e) II, III e IV.

18) ANPAD-2002. Cem pessoas responderam um questionário formado por 3

perguntas. Cada pergunta devia ser respondida por sim ou não, sendo que apenas

uma das respostas era correta.

Sabendo que


Então a área hachurada representa o conjunto

O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição

1, 2, 3, 4 é

2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes

B = A, então A ⊂ B.

B, então x ∈ (A ∩ B).

B), então y ∈ A e y ∈ B.

se afirmar que as proposições VERDADEIRAS são:

Cem pessoas responderam um questionário formado por 3


uma das respostas era correta.

38


O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição

2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes

Cem pessoas responderam um questionário formado por 3



• 8 pessoas responderam corretamente todas as perguntas;

• 9 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a segunda;

• 11 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a terceira;

• 6 pessoas responderam corretamente somente a segunda e a terceira;

• 55 pessoas responderam corretamente pelo menos a pri

• 32 pessoas responderam corretamente pelo menos a segunda pergunta;

• 49 pessoas responderam corretamente pelo menos a terceira pergunta.

Então o número de pessoas que não responderam corretamente a pergunta

alguma é

a) 0.

b) 6.

c) 8.

d) 16.

e) 26.

19) ANPAD-2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o

mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12 são, respectivamente,

a) 2, 1 e 12.

b) 4, 2 e 12.

c) 4, 1 e 24.

d) 12, 2 e 24.

e) 12, 4 e 48.

20) ANPAD-2003. Ao corrigir uma prova

professor constatou que dos seus 43 alunos, 28 acertaram a primeira questão, 13

acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão.

Quantos alunos erraram todas as questões?

a) 2.

b) 8.

c) 15.

d) 28.

e) 30.


• 8 pessoas responderam corretamente todas as perguntas;

soas responderam corretamente somente a primeira e a segunda;



• 55 pessoas responderam corretamente pelo menos a primeira pergunta;




2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o


2003. Ao corrigir uma prova com apenas duas questões, um



Quantos alunos erraram todas as questões?

39


soas responderam corretamente somente a primeira e a segunda;



meira pergunta;




2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o


com apenas duas questões, um




21) ANPAD-2002. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles

jogam basquete, 300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei.

Quantos associados jogam basquete e

a) 65.

b) 70.

c) 130.

d) 270.

e) 300.

22) ANPAD-2001. Considere as seguintes proposições:

I. Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é

limitada.

II. Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é

limitada.

II. Se dois conjuntos R e S são ilimitados,

ser limitada.

IV. Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é

sempre ilimitada.

A sequência de valores verdades dessas proposições é, respectivamente:

a) F, F, F, F.

b) F, F, V, V.

c) V, V, V, F.

d) V, V, F, V.

e) V, V, F, F.

23) ANPAD-2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos:

I. Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente

B .

II. Seja A um subconjunto de B . A união de A com B é

III. Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um

subconjunto do complemento de B , B'.

IV. Seja A um subconjunto de B . A união de A e de (B

As proposições VERDADEIRAS são


02. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles

300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei.

Quantos associados jogam basquete e vôlei?

Considere as seguintes proposições:

Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é

Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é

Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a união desses conjuntos pode

Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é


2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos:

Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente

Seja A um subconjunto de B . A união de A com B é precisamente B .

Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um

subconjunto do complemento de B , B'.

Seja A um subconjunto de B . A união de A e de (B − A) é precisamente B.

As proposições VERDADEIRAS são

40


02. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles

300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei.

Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é

Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é

então a união desses conjuntos pode

Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é


2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos:

Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente

precisamente B .

Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um

− A) é precisamente B.


a) II e IV.

b) I e III.

c) III e IV.

d) I e IV.

e) II e III.

24) ANPAD-2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C .

Suponha que a ∈ A, b ∈ B e c


I. a ∈ C.

II. b ∈ A.

III. d ∈ B.

IV. c ∉ A.

V. e ∉ A.

VI. f ∉ A.

A(s) proposição(ões) sempre VERDADEIRA(S) é(são):

a) I, II e V.

b) I, III e VI.

c) II, III e IV.

d) I, V e VI.

e) somente I.

25) ANPAD-2009. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma

pessoa para o cargo de se

superior em Secretariado Bilíngüe, 180 têm curso de Informática e 120 possuem

os dois, ou seja, têm formação em Secretariado Bilíngüe e em Informática. Se

um, dentre os 500 candidatos, for escolhido ao

não possua nenhum dos dois cursos, isto é, não tenha curso em Secretariado

Bilíngüe nem curso de Informática, é de

a) . b) . c) .


2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C .

B e c ∈ C, e, ainda, que d ∉ A, e ∉ B , f ∉


A(s) proposição(ões) sempre VERDADEIRA(S) é(são):

. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma

pessoa para o cargo de secretário executivo. Dos 500 candidatos, 240 têm curso



um, dentre os 500 candidatos, for escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele


Bilíngüe nem curso de Informática, é de

41


2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C .

∉ C.

. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma

cretário executivo. Dos 500 candidatos, 240 têm curso



acaso, a probabilidade de que ele



d) e) .

26) ANPAD-2009. Em uma pesquisa, constatou

pelo Flamengo e 40% são torcedoras do Corinthians. Sabe

torcem pelos dois times. Então, a razão do número de pessoas que não torcem

pelo Flamengo para o número de pessoas que não torcem pelo Corinthians é

a)

b)

c)

d)

e)

27) ANPAD-2010. Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q

e dos Reais R. Então, pode

a) igual ao conjunto dos números Irracionais.

b) um conjunto enumerável (contável).

c) um conjunto do qual os Irracionais são subconjuntos.

d) um subconjunto dos Irracionais.

e) igual ao conjunto dos números Inteiros.

28) ANPAD-2004. Deseja

cada um. Se os pedaços de fita devem ser todos de mesmo

maior possível, então a soma da

a) 18.

b) 20.

c) 22.

d) 24.

e) 36.

29) ANPAD-2004. Comprou

veio em sacas de 60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o

kg. Desejando embalá-los em


Em uma pesquisa, constatou-se que 48% das pessoas torcem

pelo Flamengo e 40% são torcedoras do Corinthians. Sabe-se ainda que 12%



Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q

e dos Reais R. Então, pode-se afirmar que o conjunto (R – Q) ∪ Z é

a) igual ao conjunto dos números Irracionais.

b) um conjunto enumerável (contável).

junto do qual os Irracionais são subconjuntos.

d) um subconjunto dos Irracionais.

e) igual ao conjunto dos números Inteiros.

Deseja-se dividir dois rolos de fita medindo 72 m e 104 m,

pedaços de fita devem ser todos de mesmo comprimento e o

maior possível, então a soma da quantidade de pedaços dos dois rolos é

Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro

60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72

los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as

42


pessoas torcem

se ainda que 12%



Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q

Z é

se dividir dois rolos de fita medindo 72 m e 104 m,

comprimento e o

quantidade de pedaços dos dois rolos é

se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro

terceiro, em sacas de 72

sacas menores, de igual peso, sem misturar as


qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o

sacas é

a) 6.

b) 8.

c) 10.

d) 12.

e) 14.

30) ANPAD-2003. 03. Hoje A e B estã

tem folga de 6 e 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada

x dias, pode-se concluir que o valor

a) 4.

b) 6.

c) 10.

d) 12.

e) 18.

31) ANPAD-2003. Laura quer decorar toda a parede

4,40 m por 2,75 m, dividindo

número total desses quadrados que

a) 16.

b) 30.

c) 40.

d) 55.

e) 88.

32) ANPAD-2003. Dividir um número por 0,0125 equivale a

a) 1/125.

b) 1/8.

c) 12,5.

d) 80.

e) 125.


qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas

03. Hoje A e B estão de folga do trabalho. Sabendo

dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada

se concluir que o valor de x é

03. Laura quer decorar toda a parede retangular de dimensões

dividindo-a em quadrados de tamanhos iguais. Então o menor

número total desses quadrados que a parede poderá conter é

03. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá

43


maior peso possível para essas

o de folga do trabalho. Sabendo-se que A

dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada

retangular de dimensões

a em quadrados de tamanhos iguais. Então o menor

multiplicá-lo por


[Nota] Para outras questõespor Assunto no livro "500 questões resolvidas"

Baixe o caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou http://www.facebook.com/groups/souintegral/

Gabarito:

1-B 2-A 3-B 4-

11-D 12-A 13-B 14-

21-C 22-E 23-A 24-D

31-C 32-D

Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestões que Mantenha seu material didático sempre atualizado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay


[Nota] Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões por Assunto no livro "500 questões resolvidas".

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-E 5-B 6-D 7-B 8-C 9-D 10

-E 15-E 16-D 17-C 18-B 19-C 20

D 25-A 26-E 27-C 28-C 29-D 30

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, consulte o Índice de Questões

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10-A

20-C

30-D

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-do-bem.html


12 Instituto Integral Editora

1. Raciocínio Lógico Formal

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226115228543

3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos


452690272552/

5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira


923325725487/


Instituto Integral Editora - Catálogo

1. Raciocínio Lógico Formal


226115228543

2. Raciocínio Lógico Informal


478483703306/



452690272552/

4. Caderno RQ2 - Proporcionalidade


512393299915/

Matemática Financeira


923325725487/

6. Caderno de Testes ANPAD


788225172332/

45


2. Raciocínio Lógico Informal

ook.com/groups/souintegral/663

478483703306/ Proporcionalidade


512393299915/ 6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I


788225172332/


7. Caderno de Testes ANPAD


094236308396/

9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória


897222294764/

Acompanhe os lançamentos dhttp://profmilton.blogspot.com.br/2014/01/livroscolecao.html Próximos lançamentos: 10. Caderno RQ5 - Probabilidade 11. Caderno RQ6 - Estatística 12. Caderno RQ7 - Funções 13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões


ANPAD - Vol. II


094236308396/

8. 500 questões resolvidas


787848505703/

Análise Combinatória


897222294764/

os lançamentos da Série "Cadernos RQx": http://profmilton.blogspot.com.br/2014/01/livros-digitais-gratuitos

Probabilidade

Estatística

Funções

Sequências e Progressões

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. 500 questões resolvidas


787848505703/

gratuitos-


14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes 15. Caderno RQ10 - Geometrias Plana, Espacial e Analítica 16. Caderno RQ11 - Matemática Básica

Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!


Matrizes e Determinantes

Geometrias Plana, Espacial e Analítica

Matemática Básica


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Caderno rq1 teoria-dos-conjuntos (1)