11:43 Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior

11:43

Elementos de Análise Numérica

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior

11:45

Solução de problemas de Engenharia Sem computador Com computador

Formulação

Solução

Interpretação

Formulação

Solução

Interpretação

Tópicos

Interpolação Ajuste de equações Integração numérica Derivadas numéricas Raízes de equações Sistemas de equações lineares Sistemas de equações não lineares

Aplicações em Recursos Hídricos Raizes da equação de manning

Canal prismático Canal com seção dada em tabela

Equação de remanso Solução da equação para encontrar dx ideal para

muskingun cunge (propagação de vazões) Solução da propagação de reservatório usando

Newton

Interpolação linear

A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta

Interpolação numérica

cota

volu

me

)()()(

)()( 001

010 xx

xx

xfxfxfxf

x

Interpolação quadrática

Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos


cota

volu

me

)()( 102010 xxxxbxxbbxf

x

Splines

Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1.

Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau)

Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas.

Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos.


Splines

Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos.


30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

Splines

Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.


35

37

39

41

43

45

47

0 5 10 15 20 25

Splines

Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.


35

37

39

41

43

45

47

0 5 10 15 20 25

Rotinas para interpolação

Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines.

Calculadora, Matlab, Excel, etc…


Ajuste de equações Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam

razoavelmente um conjunto de dados. Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário

respeitar todos os pontos. A idéia é minimizar os erros com uma função simples.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25

Ajuste – exemplo em simulação Relação entre largura de

um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA

Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados.

Ajuste de equações

0.4106baciario A3.2466 B

0

50

100

150

200

250

300

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Área da bacia (km2)

Larg

ura

do r

io (

m)

Ajuste – exemplo em simulação

Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.

Ajuste de equações

11:45

Introdução – Integral Numérica Em determinadas situações integrais ou derivadas

são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.

Forma de obtenção de uma aproximação para a integral ou diferencial de f(x) Métodos Numéricos.

0

)(xx

b

a dx

dfoudxxf

Integração numérica

Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y.

Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140


11:46


Idéia básica da integração numérica substituição da função f(x) por uma função que aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].

11:48

Integração numérica Substituição da função por uma função.

Polinômio de Newton:

funçãoaéxponde

dxxpdxxfb

a

b

a )()(

1201

20

2

100

00

xxxxxhh!2

xfxxxx

h!1

xfxxxfxp

11:49


O uso desta técnica decorre do fato de: por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de

integrar, contrariamente a um polinômio;

a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

11:50

Métodos de integração numérica mais utilizados Fórmulas de Newton-Cotes.

Regra do Trapézio simples, x0=a e xn=b;

Regra do Trapézio composta, x0=a e xn=b;

Regra de Simpson , x0=a e xn=b.

11:51

Regra do trapézio simples

x

f(x)

x0 x1

f(x1)

f(x0)

2ba ff

abI

Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio

1

0

102

x

x

xfxfh

dxxf )()()(

11:52

Regra do trapézio simples Intervalo [a, b] relativamente pequeno.

aproximação do valor do integral é aceitável.

Intervalo [a, b] de grande amplitude. aproximação inadequada; pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em

cada um a função é aproximada por uma função linear.

11:53

Regra do trapézio composta Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual

definido pelo seu sub-intervalo.

11:54

Regra do trapézio composta Fórmula:

Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim:

)()(...

)()()()()(

NN

x

x

xfxfh

xfxfh

xfxfh

dxxfm

1

2110

2

220

Nx

xNN xfxfxfxfxf

hdxxf

0

1210 22

)()(...)()()()(

11:58

Regra do trapézio composta

Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e x1=4,0)

I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508 Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1

=2,0,x2 =4,0)

I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) = 2,1369

Regra do Trapézio Composta: 9 pontos

I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2,0936

x y=(1+x²)-1/2

0.0 1,00000

0.5 0,89445

1.0 0,70711

1.5 0,55475

2.0 0,44722

2.5 0,37138

3.0 0,31623

3.5 0,27473

4.0 0,24254A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947.

Exemplo: Estimar o valor de 4

0

2121 dxx /)(

11:59

Regra do trapézio composta

11:59

Regra do trapézio - Erro

x

f(x)

x0 x1

f(x1)

f(x0)

ERRO! Erro:

E = I – T

T - valor da integral numérica.

I - valor da integral obtida pela integração de f(x).

12:01

Regra do trapézio - ErroErro da Regra do Trapézio Simples

Erro da Regra do Trapézio Composta

b[ ]a, certo um para ),´´()´´()(

)(

fh

fab

fE1212

33

1212

3

1

3 )´´()´´()( i

i

N

iN

fNhf

hfE

12:02

Regra do trapézio - Erro

Exemplo: Seja ,

calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.

1

0

dxeI x

101 abh

1

0

102

x

x

xfxfh

dxxf )()()(

859141,11

0

dxeI x

eedxeI x 01

0 2

1

12:03

Regra do trapézio - ErroEstimativa do erro cometido:

226523012

1

1012

1

10

3

,

),( ,)(

][máx

:Portanto

x

,xTR

TR

eE

eE

x

,xee

][máx

10

1

12:05

Regra de Simpson

x

f(x)

x0 x1

f(x1)

f(x0)

Aproxima a área sob a curva pela área de um polinômio de grau dois.

x2

f(x2)

12:06

Regra de Simpson

2x

0x

210 )x(f)x(f4)x(f3

hdx)x(f

Fórmula:

Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):

nx

x

nnn xfxfxfxfxfxfh

dxxf0

)()(4)(2)(2)(4)(3

)( 12210

12:07

Regra de Simpson

12:08

Regra de Simpson

Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos:

h=1/6 Regra de simpson

S =1/18[1+4(6/7+2/3+6/11)+2(3/4+3/5)+1/2] = 0,69317

Valor da integral I = ln(2) = 0,69315

x y=(1+x)-1

0.0 1,00000

1/6 6/7

2/6 3/4

3/6 2/3

4/6 3/5

5/6 6/11

1 1/2

Exemplo: Estimar o valor de

1

0 x1

dx

12:09

Regra de Simpson- ErroErro da Regra de Simpson

b[ ]a, certo um para ),(fh180

)ab()f(E IV4

12:11

Diferenciação numérica

Idéia básica da diferenciação numérica Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos.

Utilizando principalmente na solução de equações diferenciais

x

)x(f)xx(f

x

f

x

flim

dx

df0x

12:12

Diferenciação numérica

1xxdx

df

x

f

01

01

xx

ff

x

f

x0 x1

12:13

Diferenciação numéricaErros de truncamento

As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas.

t

f

dt

df

É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor

12:13

Séries de Taylor

A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

Onde h é a diferença entre xi+1 e xi. A série de Taylor é infinita. A aproximação da derivada numérica é finita

12:14

Diferenciação numéricaSéries de Taylor O resto

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

11

)!1(

)(

nn

hn

fRn

O resto é dado por

Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 eé um valor entre xi+1 e xi

12:15

Séries de Taylor e derivadas

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

11 )()()( Rhxfxfxf iii

h

R

h

xfxfxf ii

i11 )()(

)(

A derivada numérica tem erro de truncamento dado por Rn/h

12:16

Séries de Taylor e derivadas

h

R

h

xfxfxf ii

i11 )()(

)(

O valor do erro R1/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menoro passo (incremento), menor o erro da aproximação.

12:16

Erros de arredondamento

Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes pararepresentar os números reais.

12:16

Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento

arredondamento

truncamento

totalerro

Incremento

12:16

Tipos de derivadas numéricas

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

)(2

)()()( 211 hO

h

xfxfxf ii

i

Progressivaforward

Regressivabackward

CentradaCentered

Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.

12:16


)()()(2)(

)(' 22

11 hOh

xfxfxfxf iii

i

Derivada segunda:

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

Rn...h!3

)x(fh

!2

)x(fh)x(f)x(f)x(f 3i2i

ii1i

12:17


x

f

regressiva

analítica

progressiva

x0 x1 x2centrada

12:17


Exemplo derivada numérica

A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por:

onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal

dA

dQc


Considerando uma seção prismática regular: dA

dQc

n

SRAQ

21

32

hdh

dAdh

dQc


Considerando uma seção prismática regular: dA

dQc

n

SRAQ

21

32

hdh

dAdh

dQc

h

AAh

QQ

chhh

hhh


Considerando uma seção qualquer

dA

dQc

n

SRAQ

21

32

dhdA

dhdQ

c

h

AAh

QQ

chhh

hhh

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

h

Tabelas deA; R e Q em função de h

interpolação

Raízes de equações

Em recursos hídricos surgem muitas equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares.

Métodos numéricos são úteis para este tipo de problema.

Métodos numéricos para encontrar raízes de equações Bissecção Falsa posição Newton-Raphson Secantes


f(x)

x

raiz

Método de bissecção

No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais de valor de x que “cercam” a raiz.

Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:


2lu

r

xxx


F(x)

x



2lu

r

xxx

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja exatamenteentre xu e xl


Método de bissecção Raízes de equações

2lu

r

xxx

F(x)

x

Se f(xr).f(xl) negativo, entãoBusca entre xr e xl

Se não, busca entre xr e xu

Método de bissecção Raízes de equações

2lu

r

xxx

F(x)

x

Busca entre xr e xu

Busca termina de acordoCom critério de parada


Critérios de parada Incremento de x menor que um dado limite Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é

menor do que um dado limite


Método de falsa posiçãoRaízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos


F(x)

x



F(x)

x



F(x)

x


Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados

Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função


Problemas dos métodos anteriores

Método de Newton-Raphson


F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicial


F(x)

x


Tentativa inicialderivada



F(x)

x


Tentativa inicialderivada



F(x)

x


derivadaRaízes de equações


F(x)

x




Novamente a série de Taylor

Rnhxf

hxf

hxfxfxf iiiii

...

!3

)(

!2

)()()()( 32

1

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

ii xxh 1se então



Novamente a série de Taylor

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(

0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)

)(

)(1

i

iii xf

xfxx


Problemas do método de Newton-Raphson

É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz

x


Problemas do método de Newton-Raphson

É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz

x






Método das Secantes

Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.

Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(


Método das Secantes Um possível problema do método de

Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.

Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

f(x)

xTentativa inicial

secante

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx


Método das Secantes

f(x)

xTentativa inicial

secante

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx



Comparação de métodos

Newton-Raphson é mais rápido, seguido do método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção.

Newton-Raphson e Secantes podem divergir. Secantes pode ser aplicado para funções em

que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica).


Exemplo

Calcule o nível da água h se: n

SRAQ

21

32

h

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 m

B0)(

21

32

n

SRAQhG


Exemplo

Calcule o nível da água h se:

n

SRAQ

21

32

h

B

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 mm=1,5

m

1

0)(2

13

2

n

SRAQhG


Exemplo

Calcule a vazão de um vertedor

2

3

22

2

2

gLh

QhLCQ

h g=9,81 m/s2

H=20 cmL=10 mC=2


Exemplo Calcule o nível h para uma dada vazão Q

n

SRAQ

21

32

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

h

Tabelas deA; R e Q em função de h

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02

0)(2

13

2

n

SRAQhG

Simples busca e interpolação da tabela


Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor

)(

)(

)(

hgV

hfO

tfI

OIdt

dV

Equação de vertedor

)(

)(

)(

hgV

hfO

tfI

OIdt

dV

2/3shhLCQ


Supondo um reservatório

2

3020030200

3020030200

30200

2/32/313856,03856,011

3856,03856,011

3856,0

st

sttttt

tttt

hhLChhLCI

t

hhhh

t

hhhh

dt

dV

hhV

Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?


Como encontrar raízes de equações implícitas

2

30200302002/32/313856,03856,011

st

sttttt hhLChhLC

It

hhhh

Método de bissecçãoMétodo de Newton-RaphsonMétodo das secantes

E se houver operação de comportas durante uma cheia?


Exemplo

Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação abaixo:

2,08,00

00

0 8,0 xtccSB

Qx

Aplique considerando: Q0=100 m3/s c0=1,0 m/s B = 30 m S0=0,001 m/m t = 1 hora (3600 s)

00

05,2

cSB

Qx

Use a equação abaixo paraa estimativa inicial


Solver do Excel

O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações.

Não está claro que método que Solver utiliza. Chute inicial deve estar relativamente próximo da

raiz.


Problema comum em engenharia; A utilização do método está liga a dois

condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b) eficiência da solução;

Classificação: Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear; Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss),

(b) iterativa (ex. Gauss-Seidel); Quanto à solução: (a) compatível e determinada;

(b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.

Sistemas de equações - Introdução

Sistemas de equações lineares Pode ser definido como:

nnnn33n22n11n

3nn3333232131

2nn2323222121

1nn1313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

Sistemas de equações lineares Em forma matricial:

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Matriz do coeficientes

n

3

2

1

x

x

x

x

Vetor das incógnitasou vetor solução

n

3

2

1

b

b

b

b

Vetor das constantes

BXA

Sistemas de equações lineares Classificação quanto à solução:

Possível e determinado → Possui uma única solução. Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0; Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0

Possível e indeterminado → Possui infinitas soluções Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A

Impossível → Não possui soluções Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhuma

coluna de A

Soluções de sistemas de equações lineares Método de Gauss (direto) Método de Gauss-Seidel (iterativo)

Método de Gauss

Consiste em transformar a matriz A em uma matriz triangular equivalente através das seguintes operações: Subtração de uma linha por outra multiplicada por

uma constante; Formação de uma matriz diagonal superior.

nnnn

nn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

~~...........

~~.......~

~~.......~~.......

33333

22323222

11313212111

Método de Gauss

3

7

5

Be

x

x

x

X,

922

294

242

A

3x9x2x2

7x2x9x4

5x2x4x2

3

2

1

321

321

321

Considere,

onde:

3922

7294

5242

Ae,

Método de Gauss

1o passo: Definir um multiplicador para cada linha baseado na primeira m2 = a21/a11; m3 = a31/a11

2o passo: Subtrair o produto do multiplicador da 2a e 3a linha pela 1a linha a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3

Método de GaussO multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1

3x9x2x2

7x2x9x4

5x2x4x2

321

321

321(x 2)

(-

5x2x4x2 321 3x2x 32 8x7x2 32

(x -1)(-)

Método de Gauss

3527bmbb

2222amaa

1429amaa

0aa

aaamaa

122'2

13223'23

12222'22

1111

212111221

'21

2a linha:

Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1

3a linha:

8513bmbb

7219amaa

2412amaa

0aa

aaamaa

133'3

13333'33

12332'32

1111

313111331

'31

Método de Gauss

Após estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:

8720

3210

5242

'b'a'a0

'b'a'a0

baaa

A

33332

22322

1131211

Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando comobase a linha 2:

Método de GaussCalculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2

8x7x2

3x2x

5x2x4x2

32

32

321

(x 2)(-)

5x2x4x2 321 3x2x 32

14x3 3

Método de Gauss

14328bmbb

3227amaa

0aa

aaamaa

'2

'3

'3

''3

'23

'3

'33

''33

'22'

22

'32'

32'22

'3

'32

''32

3a linha:

Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2

Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:

14300

3210

5242

ba00

baa0

baaa

A''

3''33

'2

'23

'21

1131211

Método de Gauss

Equivalente a:

14x3

3x2x

5x2x4x2

3

32

321

Resolvendo o novo sistema, obtem-se:

83,31x

33,12x

67,4x

1

2

3

Método de Gauss

Exercício para casa:

- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método direto de Gauss.

Método iterativo de Gauss-Seidel É um dos métodos mais comum e simples de

ser programado; O método converge somente sob certas

condições e normalmente conduz a um número maior de operações quando comparado com métodos diretos.

Método iterativo de Gauss-Seidel

n

1ij

kjj,i

1i

1j

1kjj,ii

i,i

1ki xaxab

a

1x

A equação utilizada para iterações é a seguinte:

Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processode convergência:

n

1ij

kjj,i

1i

1j

1kjj,ii

i,i

1ki xaxab

ax


Seja o sistema de equações:

nnnn33n22n11n

3nn3333232131

2nn2323222121

1nn1313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

Método iterativo de Gauss-SeidelObtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a

partir da segunda equação e assim sucessivamente:

1k1n1nn

1k33n

1k22n

1k11nn

nn

1kn

knn3

k434

1k232

1k1313

33

1k3

knn2

k424

k323

1k1212

22

1k2

knn1

k414

k313

k2121

11

1k1

xaxaxaxaba

1x

xaxaxaxaba

1x

xaxaxaxaba

1x

xaxaxaxaba

1x

Método iterativo de Gauss-Seidel Ponto de partida

Conjunto de valores iniciais

Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado

valor m; A seguinte condição atenta uma precisão adotada:

n

1j

n

1ijj,ii xab

Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método:

É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida

Inspeção da diagonal principal (necessária):

Domínio da diagonal (suficiente):

Método dos menores principais (necessária e suficiente):

jipara,0a j,i

ij

i,ji,iij

j,ii,i aaeaa

0Ri


3x9x2x2

7x2x9x4

5x2x4x2

321

321

321Considere,

Aplicando o método, tem-se:

1k2

1k1

1k3

k3

1k1

1k2

k3

k2

1k1

x2x239

1x

x2x479

1x

x2x452

1x

Método iterativo de Gauss-SeidelConsiderando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),

a primeira iteração fica:

815,0333,025,2239

1x

333,0025,2479

1x

5,2020452

1x

1k3

1k2

1k1

Adotando ɛ = 0.0001, após 244 iterações a solução converge para:

67,4x

33,12x

83,31x

3

2

1



- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.

Sistemas de equações não lineares Pode ser definido como:

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf

n321n

n3213

n3212

n3211

onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn.

Sistemas de equações não lineares Método iterativo de Newton

Se baseia no método Newton-Rapson para solução de equações não lineares.

Método iterativo de Newton

Um sistema de equações não lineares:

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf

n321n

n3213

n3212

n3211

pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:

Método iterativo de Newton Resultando em um sistema de equações lineares:

0xx

fx

x

fx

x

fx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf

0xx

fx

x

fx

x


0xx

fx

x

fx

x


0xx

fx

x

fx

x


n

k

n

n2

k

2

n1

k

1

nkn321n

1kn321n

n

k

n

32

k

2

31

k

1

3kn3213

1kn3213

n

k

n

22

k

2

21

k

1

2kn3212

1kn3212

n

k

n

12

k

2

11

k

1

1kn3211

1kn3211

onde Δxi = xik+1- xi

k

Método iterativo de Newton Em forma matricial:

n

n

2

3

2

2

1

n

n

3

3

3

2

3

1

3

n

2

3

2

2

2

1

2

n

1

3

1

2

1

1

1

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

fx

f

x

f

x

f

x

fx

f

x

f

x

f

x

f

Jacobiano (k)

n

3

2

1

x

x

x

x

Vetor das incógnitasou vetor solução (k+1)

nn

n2

2

n1

1

nn

nn

32

2

31

1

33

nn

22

2

21

1

22

nn

12

2

11

1

11

xx

fx

x

fx

x

ff

xx

fx

x

fx

x

ff

xx

fx

x

fx

x

ff

xx

fx

x

fx

x

ff

Vetor das Constantes (k)

k1kk BXJ

Método iterativo de Newton Ponto de partida

Conjunto de valores iniciais

Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado

valor m; Verifique se a seguinte condição atenda uma

precisão adotada:

n

1i

ki

1ki ff

Método iterativo de Newton Convergência do método:

É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida

Inspeção da diagonal principal (necessária):

Domínio da diagonal (suficiente):

Método dos menores principais (necessária e suficiente):

jipara,0a j,i

ij

i,ji,iij

j,ii,i aaeaa

0Ri

Método iterativo de Newton


- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas não lineares pelo método iterativo de Newton.

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11:43 Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior