Fenômenos de Transporte I

Teorema de Transporte de Reynolds

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Programa da aula

Revisão Propriedade intensivas e extensivas; Regime permanente e estacionário; Referencial Lagrangiano e Euleriano;

Sistema, volume de controle e superfície de controle;

Teorema do Transporte de Reynols.

Propriedade intensivas e extensivas

Grandeza intensiva é qualquer grandeza associada a uma substância que seja independente da sua massa (ex. temperatura, velocidade);

Grandeza extensiva é aquela que depende da massa da substância (i.e. do tamanho do sistema);

Toda a grandeza extensiva tem uma intensiva a ela associada, denominada grandeza específica:

Propriedade intensivas e extensivas

Sistema

É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de estudo;

Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através da qual não há fluxo de massa.

Volume de controle

É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de matéria é observada.

Exemplo:

Superfície de controle

É a fronteira (contorno geométrico) de um volume de controle.

Superfície de controle s.c.

Quanto à variação no tempo: Permanente:

As propriedades médias estatísticas das partículas fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes.

Não PermanenteQuando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento;

Classificação do Escoamento

Descrição do problema

Lagrangeana (sistema): consiste em identificar certas partículas do fluido e a partir daí observar variações de propriedades ao longo do tempo;

Euleriana (volume de controle): consiste em fixar o tempo e observar as propriedades do fluido em vários pontos pré-estabelecidos podendo-se assim obter uma “visão” do comportamento do escoamento naquele instante.

Tipos de Balanços

Globais (abordagem euleriana);

Diferenciais (abordagem lagrangeana)

Balanços Globais (abordagem euleriana)

o volume de controle delimita uma caixa preta;

as equações de balanço são aplicadas através da envoltória do volume de controle;

o volume de controle pode incluir paredes sólidas, e

não fornece informações sobre o comportamento ponto a ponto do sistema, apenas valores

globais (ou seja, entradas e saídas).

Balanços Diferenciais (abordagem lagrangeana)

o elemento de volume é infinitesimal; está dentro da caixa preta;

permite ao observador “observar” variações das grandezas no interior do volume de controle;

o balanço é aplicado geralmente sobre uma única fase, e

o balanço é integrado até os limites da fase com o auxílio de condições de contorno para

encontrar a solução particular do problema.

Leis da dinâmica dos fluidos

Conservação da massa; Conservação da energia (1a lei da

termodinâmica); Conservação da quantidade de movimento (2a

lei de Newton).

Conservação da massa

Sistema

0dVDt

D

Da definição de sistema, as fronteiras não permitem entrada e/ou saída de massa.

Conservação da Energia

gz2

u.intenergiae

dVeDt

DWQ

2

Sistema

Conservação da quantidade de movimento

Sistema

dVuDt

DF

Da definição de sistema, as fronteiras não permitem entrada e/ou saída de massa.

E em um volume de controle? Como ficam essas equações?

Teorema do Transporte de Reynolds

Este teorema tem como premissa transformar as equações válidas para um sistema em equações válidas para um volume de controle. (i.e. converte do sistema Lagrangeano para o Euleriano)

Por que a formulação em um volume de controle?

É extremamente difícil identificar e seguir a mesma massa de fluido em todos os instantes, como deve ser feito para aplicar a formulação do sistema;

O que nos interessa, geralmente, não é o movimento de uma dada massa de fluido, mas sim o efeito do movimento global de fluido sobre algum dispositivo ou estrutura.

SistemaSistema

dVdVm

NN

onde η é uma propriedade intensiva.

Teorema do Transporte de Reynolds

Usaremos o símbolo N para representar qualquer uma das propriedades extensivas do sistema, então:

A

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

ou

Teorema do Transporte de Reynolds

Com base nas equações de sistemas e por meio de uma comparação entre sistema e volume de controle, obtemos uma relação fundamental:

SCVC

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

Teorema do Transporte de Reynolds

udAn̂ Avaliação do produto vetorial :

Teorema do Transporte de Reynolds

Interpretação de cada termo do TTR: