1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CINCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMTICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MTODOS NUMRICOSEM ENGENHARIA MTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS:

, por Lucas Mximo Alves CURITIBA PARAN MARO 2007 2 LUCAS MXIMO ALVES MTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS:

, CURITIBA PARAN MARO 2007 3 LUCAS MXIMO ALVES MTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS:

, Apostilaorganizadacomoresultadodoestudodasaulas para obteno de crditos da Disciplina de MTODOS DOS ELEMENTOSFINITOSdocursodeDoutoradodo ProgramadePs-GraduaoemMtodosNumricosdo SetordeTecnologia/SetordeCinciasExatas, DepartamentodeEngenhariaCivil/Departamentode Matemtica da Universidade Federal do Paran Orientador: Prof. Dr. Jos Viriato Coelho Vargas Orientador: Prof. Dr. CURITIBA PARAN MARO 2007 4 Dedicatria Dedico, 5 Agradecimentos Agradeo a Deus pelo seu imenso amor e misericrdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero tambm agradecer: minha Famlia pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. ....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicao com que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 6 Epgrafe vidaumalgomultidimensionalcuja imprevisvelcurvaturatemporals conhecidaquandoseexperimentaosfatosa cadadiae,mesmoassim,noseconsegue prever com exatido a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvaturafutura)numavizinhanaemtorno do fato no instante presente (Lucas M. Alves) 7 Sumrio Apresentao ............................................................................................................................ 17 Captulo I ............................................................................................................................... 18 INTRODUO AOS MTODOS APROXIMADOS............................................................ 18 1. 1 Objetivos do captulo...................................................................................................... 18 1. 2 Introduo ............................................................................................................ 18 1. 3 Motivao e Conceitos Fundamentais............................................................................ 19 1. 4 Simplificao de um Problema Real .............................................................................. 19 1. 5 Tipos de Mtodos Numricos......................................................................................... 20 1. 6 Discretizao do Problema ............................................................................................. 20 1. 7 Exemplos e Aplicaes................................................................................................... 21 1. 8 Equaes Diferenciais e Algbricas do Problema.......................................................... 24 1. 9 Mtodo dos Elementos Finitos ....................................................................................... 25 1. 10 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 26 1. 11 Exerccios e Problemas................................................................................................. 27 Captulo II.............................................................................................................................. 28 O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D.......................... 28 2. 1 - Objetivos do captulo ...................................................................................................... 28 2. 2 - Introduo............................................................................................................ 29 2. 3 Variaes dos Modelos no Mtodo de Elementos Finitos ............................................. 31 2. 4 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo .................................................. 33 2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clssica) .................................................................... 38 2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) ............... 43 2. 7- Equivalncia de Formas Forte e Fraca; Condies de Contorno Naturais....................... 46 2. 8 - Mtodo de Aproximao de Galerkin ............................................................................. 52 2. 9- Equaes na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) ...................................................... 56 2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade ........................................................................... 61 2. 11 - Espao de Elementos Finitos Lineares.......................................................................... 73 2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K ............................................................................ 77 2. 13- Anlise Matemtica........................................................................................................ 80 2. 14- Interldio: Eliminao de Gauss; Verso do Clculo a Mo ......................................... 91 2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento...................................................................................... 99 2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Foras ............................................................... 103 2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Foras Globais ............................................................. 106 8 2. 18 Clculo Explcito da Matriz de Rigidez e do Vetor Foras........................................ 110 2. 19 - Exemplos e Aplicaes Tericas................................................................................. 116 2.20-ExerccioseProblemasTericos:TeoriadaVigadeEuler-BernoullieCbicas Hermticas.......................................................................................................... 120 2. 21 - Exemplos Prticos e Aplicaes ................................................................................. 127 2. 22 - Exerccios e Problemas Prticos ................................................................................. 143 Captulo III .......................................................................................................................... 149 O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D......................................................... 149 3. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 149 3. 2 Introduo .......................................................................................................... 149 3. 3 O problema 2D e 3D..................................................................................................... 150 3. 4 O Problema da Conduo de Calor Linear Clssica..................................................... 152 3. 5 O Problema da Elasticidade Linear .............................................................................. 158 3. 6 Estado de Tenses Planas e Deformaes Planas ........................................................ 163 3. 7 Anlise Acoplada.......................................................................................................... 168 3. 8 Apresentao do Cdigo FEAP.................................................................................... 169 3. 9 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 170 3. 10 Exerccios e Problemas............................................................................................... 172 Captulo IV.......................................................................................................................... 187 ELEMENTOS ISOPARAMTRICOS.................................................................................. 187 4. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 187 4. 2 Introduo .......................................................................................................... 188 4. 3 Elementos Isoparamtricos e o seu Conceito de Programao .................................... 190 4. 4 Elemento Quadrilateral Bilinear................................................................................... 192 4. 5 Elementos Isoparamtricos........................................................................................... 194 4. 6 Elementos Triangular Linear ........................................................................................ 196 4. 7 Polinmios de Lagrange 1D...................................................................................... 198 4. 8 Elementos com um Nmero Varivel de Ns .............................................................. 199 4. 9 Quadratura Gaussiana................................................................................................... 200 4. 10 Subrotinas de Funes de Interpolao e de Clculo de Rigidez Elementar.............. 201 4. 11 Exemplos e Aplicaes............................................................................................... 202 4. 12 Exerccios e Problemas............................................................................................... 203 Captulo V ........................................................................................................................... 204 MTODOS MISTOS E DE PENALIDADE......................................................................... 204 5. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 204 5. 2 Introduo .......................................................................................................... 204 9 5. 3 Mtodos Mistos e de Penalidade .................................................................................. 205 5. 4 Normas de Sobolev....................................................................................................... 206 5. 5 Melhor Aproximao e Estimativa de Erro.................................................................. 207 5. 6 Elasticidade Incompressvel ......................................................................................... 208 5. 7 Escoamento de Stokes .................................................................................................. 209 5. 8 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 210 5. 9 Exerccios e Problemas................................................................................................. 211 Captulo VI .......................................................................................................................... 212 PROBLEMAS TRANSIENTES ............................................................................................ 212 6. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 212 6. 2 Introduo .......................................................................................................... 212 6. 3 - Problemas Transientes................................................................................................... 213 6. 4 - Problemas Parablicos (Equao de Calor) .................................................................. 214 6. 5 - Problemas Hiperblicos (Elastodinmica e Dinmica Estrutural) ................................ 215 6. 6 Algoritmos Computacionais ......................................................................................... 216 6. 7 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 217 6. 8 Exerccios e Problemas................................................................................................. 218 Captulo VII......................................................................................................................... 219 INTRODUO A ANLISE NO-LINEAR TRMICA E ELSTICA........................... 219 7. 1 - Introduo.......................................................................................................... 219 7. 2 A Formulao do Problema Forte e Fraca de Problemas Trmicos No-Lineares ...... 220 7. 3 A Formulao do Problema Forte e Fraca de Problemas Elsticos No-Lineares....... 232 7. 3 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 245 7. 3 Exerccios e Problemas................................................................................................. 246 Captulo VIII ....................................................................................................................... 247 MECNICA DOS FLUIDOS................................................................................................ 247 8. 1 - Introduo.......................................................................................................... 247 8. 2 - Fundamentao Terica ................................................................................................ 249 8. 3 - Equao de Navier-Stokes para Escoamento Laminar ................................................. 250 8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes ........................................... 257 8. 4 Transferncia de Calor e Mecnica dos Fluidos........................................................... 262 8. 5 Projetos de Anlise No-Linear.................................................................................... 269 8. 6 Equao de Navier-Stokes em 3D................................................................................ 270 8. 7 Soluo Numrica da Equao de Navier-Stokes + Energia I ..................................... 274 8. 8 Formulao de Transferncia de Calor Fluido/Slido.................................................. 287 8. 9 Soluo Numrica da Equao de Navier-Stokes + Energia II .................................... 290 10 8. 10 Fluidos No-Newtonianos Inelsticos ........................................................................ 291 8. 11 Fluidos No-Newtonianos Viscoelsticos .................................................................. 292 8. 11 Exemplos e Aplicaes............................................................................................... 293 8. 11 Exerccios e Problemas............................................................................................... 294 Captulo IX.......................................................................................................................... 295 SOLUO GERAL DE EQUAES .................................................................................. 295 NO-LINEARES................................................................................................................... 295 9. 1 Introduo .......................................................................................................... 295 9. 2 O Mtodo do Ponto Fixo .............................................................................................. 296 9. 3 O Mtodo de Piccard de Susbtituio Sucessiva.......................................................... 298 9. 4 O Mtodo de Newton ................................................................................................... 299 9. 5 Mtodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton)................................................ 300 9. 6 Mtodos de Continuao .............................................................................................. 308 9. 6 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 321 9. 6 Exerccios e Problemas................................................................................................. 322 2 Prova................................................................................................................................... 326 TRANSFERNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL....................................................... 326 Soluo Por Newton-Raphson................................................................................................ 326 Soluo Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano calculado Numericamente ........ 331 Soluo Por Newton-Raphson com Line-Search ................................................................... 332 Soluo Por Newton-Raphson com estratgia de Comprimento de Arco.............................. 333 Captulo X ........................................................................................................................... 334 ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL.................................................................... 334 6. 9 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 349 6. 10 Enfoque Variacional ................................................................................................... 370 6. 11 Exemplos e Aplicaes............................................................................................... 378 6. 12 Um Caso Especial de Elementos Finitos.................................................................... 385 6. 13 Exerccios e Problemas............................................................................................... 392 Projeto Conduo de Calor em Placa Rugosa Fractal ............................................................ 393 Apndices ............................................................................................................................... 397 A. 1 Funes de Interpolao Local Lineares ..................................................................... 397 A. 2 Funes de Interpolao Local Quadrticas ................................................................ 402 A. 3 Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower Plugin ............................. 408 A. 4 Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server ................................................ 413 A. 5 Manual de Operao do Programa FEAP-Linux......................................................... 414 A. 6 Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux......................................... 420 11 A. 7 Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ........................... 424 A. 8 Exemplo de um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ................................ 431 A. 9 Procedimento para Anlise Estrutural 2D no Programa FEAP-Linux ........................ 434 A. 10 Algoritmo do Mtodo de Newton Raphson implementado no Maple IX ................. 435 A.11TableadeResultadosGeradopeloMtododeNewtonRaphsonimplementadono Maple IX.......................................................................................................... 437 Bibliografia............................................................................................................................. 438 12 Lista de Figuras Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real................................. 19 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tenso mecnica em uma placa com um furo circular no centro. ..................................................................................................................... 20 Figura - 1. 3. ............................................................................................................................. 21 Figura - 1. 4. ............................................................................................................................. 21 Figura - 1. 5. ............................................................................................................................. 22 Figura - 1. 6. Diagrama de substituio de um Modelo Contnuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. .............................................................................................................. 24 Figura - 1. 7. Diagrama de Transformao de Equaes Diferenciais em Equaes Algbricas equivalentes. ............................................................................................................................. 24 Figura - 1. 8. ............................................................................................................................. 25 Figura - 1. 9. ............................................................................................................................. 25 Figura - 2. 1. ............................................................................................................................. 39 Figura - 2. 2. Funo bolha....................................................................................................... 49 Figura - 2. 3. Funes para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funes so secretamente a mais simples funes de interpolao dos elementos finto no contexto de um elemento.)... 61 Figura - 2. 4. A soluo de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. ......................... 63 Figura - 2. 5. Comparao das solues particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii)................................................................................................................................................... 64 Figura - 2. 6. Comparao das solues particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (iii). ........................................................................................................................................... 65 Figura - 2. 7. Funes o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funes so secretamente as funes mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) .............. 66 Figura - 2. 8. Funo peso tpico e soluo tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade................................................................................................................................................... 67 Figura - 2. 9. Comparao das solues particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (ii). ............................................................................................................................................ 70 Figura - 2. 10. Comparao das solues particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (iii). ........................................................................................................................................... 71 Figura - 2. 11. Funes de base para um espao compacto de elementos finitos lineares ....... 74 Figura - 2. 12. Um membro tpico de h hw V e ......................................................................... 74 Figura - 2. 13. ........................................................................................................................... 75 Figura - 2. 14. Se1 B A > + , as partes no nulas de BNe ANno se sobrepem. ................. 77 Figura - 2. 15. ........................................................................................................................... 78 Figura - 2. 16. Funes generalizadas elementares. a) Parnthesis de MaCaulay b) Funo de Heaviside H(x-y) = ,x c) o(x-y) = H(x-y),x.................................................... 81 Figura - 2. 17. Funes de Green. ............................................................................................ 82 Figura - 2. 18. ........................................................................................................................... 85 Figura - 2. 19. ........................................................................................................................... 86 Figura - 2. 20. Descrio Local e Global do esimo elemento. ............................................ 102 Figura - 2. 21. ......................................................................................................................... 103 Figura - 2. 22. Xs indica termos no-nulos; todos os outros termos so zero....................... 105 Figura - 2. 23. arranjo LM para o problema exemplo ............................................................ 106 Figura - 2. 24. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito............... 108 Figura - 2. 25. Aproximao para f por uma interpolao linear de valores nodais............... 112 Figura - 1. 10. ......................................................................................................................... 121 13 Figura - 2. 26. Elemento quadrilateral de duas dimenses para o uso na gerao de malhas no FEAP. ..................................................................................................................................... 127 Figura - 3. 1. ........................................................................................................................... 150 Figura - 3. 2 ............................................................................................................................ 166 Figura - 6. 1. Rede de pontos nodais do Domnio,Oe dos Subdomnios, eO . .................... 29 Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulaes do Mtodo de Elementos Finitos.................................................................................................................................................. 32 Figura - 6. 2. Mudana do domnio contnuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas (i,j) ....................................................................................................................... 33 Figura - 6. 3. Rede de pontos nodais do Domnio,Oe dos Subdomnios, eO . .................... 35 Figura - 6. 4. Intervalo de aplicao do Mtodo de Galerkin................................................. 337 Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos. ......................................................... 398 Figura - 6. 6. Estruturao unidimensional dos Elementos Finitos. ....................................... 400 Figura - 6. 7. Intervalo de aplicao do Mtodo de Galerkin................................................. 362 Figura - 6. 8. ........................................................................................................................... 374 Figura - 6. 9. ........................................................................................................................... 378 Figura - 6. 10. Elemento Finito Quadrtico entre trs pontos ................................................ 402 Figura - 6. 11. Estruturao unidimensional dos Elementos Finitos Quadrticos.................. 407 Figura - A. 1. .......................................................................................................................... 409 Figura - A. 2. .......................................................................................................................... 412 Figura - A. 3. .......................................................................................................................... 416 Figura - A. 4. .......................................................................................................................... 419 Figura - A. 5. .......................................................................................................................... 420 Figura - A. 6. .......................................................................................................................... 422 Figura - A. 7. .......................................................................................................................... 424 Figura - A. 8. .......................................................................................................................... 433 Figura - A. 9. .......................................................................................................................... 433 14 Lista de Tabelas Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulaes do Mtodo de Elemntos Finitos................................................................................................................................................ 172 15 Lista de Siglas 16 Lista de Smbolos 17 Apresentao Estaapostilaresultadodadigitaodasaulasdoprof.Dr.Eng.JoseVriato CoelhoVargas,ministradasnocursodeAnliseTrmicaeEstruturalInoDepartamentode Engenharia Mecnica da Universidade Federal do Paran. 18 Captulo I INTRODUO AOS MTODOS APROXIMADOS RESUMO Neste captulo ser visto como a utilizao de mtodos aproximados pode ajudar a resolverproblemasdeequaesdiferenciais,quandoasoluoanalticainacessvel. Abordaremosotemadashiptesessimplificadoraseautilizaodeequaesalgbricasna substituio de equaes diferenciais complexas.1. 1 Objetivos do captulo i) Entender a problemtica dos Mtodos Aproximados aplicados a Engenharia. ii) Distinguir situaes onde a utilizao dos Mtodos Aproximados vivel. iii) Saber da existncia de diversos Mtodos Aproximados. 1. 2 Introduo A partir de agoraestudaremos diferentes mtodosde simplificao de problemas reais e de aproximao das solues das equaes diferenciais presentes na Engenharia. A motivao do uso de mtodos aproximados est em: Validaraprticaouoexperimentoatravsdoequacionamentomatemticoque modela um problema fsico qualquer. Porexemplo,odeslocamentomedidoporstraingauges,asmedidasde temperatura,asmedidasdevelocidadesemumtneldeventosoexemplosdemedidas experimentais que podem ser validadas atravs de uma simulao numrica, para execuo de um projeto futuro. 19 1. 3 Motivao e Conceitos Fundamentais Uma pergunta bsica : Por que usar Mtodos Aproximados? Pode-seutilizarmtodosnumricosparaaobtenodemediesinviveis economicamente, tais como tenso mxima, maxo , Temperatura mxima, maxTAs vantagens de se utilizar mtodos numricos so: 1) Tempo de projeto reduzido com reduo de custos. 2) Simula condies impossveis em experimentos 3) Proporciona informaes detalhadas e compreensveis 4) Viabiliza a OTIMIZAO (no h nada melhor dada os critrios utilizados) AimplementaodeMtodosNumricosestrelacionadacomascondiesde SOFTWAREeHARDWARE.OsmtodosNumricosrepresentamocaminhoparaa soluaodeumproblemafsico,eosoftwaredeveserdesenvolvidodeformaadequada. Contudo,ograndelimitantedasoluodoproblemaohardware.Porexemplo,Anlise Complexas em trs dimenses, 3D, requer processamentos mais eficazes. OstiposdeprocessamentosquepodemserutilizadossooEscalar:queutiliza umnicocomputador,eoVetorial,queutilizadoisoumaiscomputadoresprocessandoem paralelo, ou ainda um super-computador com diversas unidades de processamento. 1. 4 Simplificao de um Problema Real Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenmeno) fsico, ou seja,deseobterumaexpressomatemticaquecorrespondaaofenmenoemquesto, inicialmente o problema fsico real substitudo por um problema equivalente, mais simples. Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real Nestenovoproblemasoselecionadososparmetrosconsideradosfundamentais equepodemserdescritosmatematicamenteatravsdeumsistemadeequaesdiferenciais 20 vlidoemtodoodomniodoproblema.Aessesistemasoimpostascondiesdecontorno e/ou condies iniciais apropriadas. O prximo passo a busca da soluo para o problema. 1. 5 Tipos de Mtodos Numricos OsMtodosNumricossedividememLocaiseGlobais.Ossocaisso representados pelo Mtodos de Diferenas Finitas, Mtodos dos Elementos Finitos, Mtodos dos Volumes Finitos, etc. O Mtodos Globais so Representados pelos Mtodos Espectrais de Domnios Alternativos que utilizam Transformadas Integraisde Laplace e Fourier, etc. Todomtodonumricosprecisapassarporumaetapachamadadediscretizao seja do domnio ou do contorno. 1. 6 Discretizao do Problema DiscretizaoprocessodeconversodasEquaesDiferenciaisdeDomnio ContnuoparaEquaesAlgbricasdeDomnioDiscreto,conformemostraaexemploda Figura - 1. 2 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensomecnica em uma placa comum furo circular no centro. 21 1. 7 Exemplos e Aplicaes 1.7.1 - Domnio e Anlise Figura - 1. 3.1.7.2 - Mtodo Numrico 1) Obteno da Soluo nos Ns 2) Mecanismo de Interpolao da Soluo 0,1 No expresso exatamente no computador. Figura - 1. 4.22 1.7.3 - Natureza de um Problema Bem Posto 1) Existe Soluo 2) A Soluo nica Exemplo: Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.I.) c x y + = arctan(1. 1) 211x dxdy+= (1. 2) 0 ) 0 ( = = x y(1. 3) 3) Estabelecimento das Condies de Contorno Figura - 1. 5. 23 AF= o (1. 4) c o E = (1. 5) jiijoxuLLcc= = cAc(1. 6) 1.7.4 - Condies de Contorno 1) Dirichilet (u) 2) Neumann (ix u c c / ) 3) Mista ou de Robin ( k x u ui = c c + / ) 24 1. 8 Equaes Diferenciais e Algbricas do Problema Umsistemadeequaesdiferenciaisconstituiummodelocontnuo,quepossui infinitos graus de liberdade, uma vez que as variveis se distribuem continuamente em todo o domniodoproblema.Comexceodealgunscasosmaissimples,emgeralnopossvel encontrarsoluesanalticasparaoproblema.Recorre-se,ento,aosmodelosdiscretos(ou numricos), obtidos dos modelos contnuos atravs de hipteses simplificadoras: As variveis que constituem infinitos graus de liberdade, so expressos em termos de um nmero finito de grausdeliberdade.Essesgrausdeliberdadesoincgnitasdosmodelosdiscretosdos sistemasequivalentesesodeterminadosapartirdasoluodeumsistemadeequaes algbricas. Figura - 1. 6. Diagrama de substituio de um Modelo Contnuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. Resumidamente, quando o modelo contnuo substitudo por um modelo discreto, o problema matemtico da soluo de um sistema de equaes diferenciais substitudo pelo problema da soluo de um sistema de equaes algbricas. Figura - 1. 7. Diagrama de Transformao de Equaes Diferenciais em Equaes Algbricas equivalentes. 1.8.1 - Preciso da Soluo Aproximada 1) Comparao com soluo exata (se existir) Calibrao do Mtodo. 2) Refinamento Leva a uma Convergncia da Soluo3) Comparao com Resultados Experimentais -25 4)ReprodutibilidadedosResultados-Paraasmesmascondiesexperimentaiscomas consideraesdoserroseasvariaesestatsticassobreadispersodosvaloresobtidosem relao aqueles previstos pelo modelo. 1. 9 Mtodo dos Elementos Finitos Emgeral,oMtododeElementosFinitosenvolvedividirumsistemaem componentes menores por meio do processo de DISCRETIZAO. Considere a trelia que um objeto da engenharia. Figura - 1. 8. Figura - 1. 9. 26 1. 10 Exemplos e Aplicaes 27 1. 11 Exerccios e Problemas 28 Captulo II O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D RESUMO Neste captulo ser visto a origem do Mtodo dos Elementos Finitos. Este mtodo seapresentacomoumaalternativaaoMtodoVariacionaleaoMtododosResduos Ponderados e por sua vez deu origem ao Mtodo dos Elementos de Contorno. Aformulao unidimensional do mtodo dos elementos finitos. A formulao de Galerkin. A montagem da matrizderigidezelementar,adescriomatemticadeelementosfinitosunidimensionais lineares.Algunsteoremasfundamentaiseasoluodeexemplosacadmicosediscusso destes exemplos. 2. 1 - Objetivos do captulo i) Entender a origem do Mtodo dos Elementos Finitos ii) Capacitaraluno a resolver problemas fsicos lineares modelados por equaes diferenciais,peloMtododosElementosFinitos,comoporexemploaanlisede equipamentos sob solicitaes trmicas e mecnicas, independentes ou combinadas iii) Entender os conceitos fundamentais do Mtodo dos Elementos Finitos na sua verso unidimensional. iv) Saber formular matematicamente um problema unidimensional e saber montar a equao matricial elementar e global dos elementos finitos.v) Saber aplicar o Mtodo dos Elementos Finitos a problemas unidimensionais. vi) Saber aplicar o Mtodo dos Elementos Finitos nas suas mais diferentes formas vii) Resolver problemas de equaes diferenciais pertinentes ao mtodo. 29 2. 2 - Introduo OMtododosElementosFinitosummtododesoluoaproximadade equaesdiferenciaismuitoteisemcinciaeengenharia.Elepossibilitaasimulaode situaesreaisemumespaodiscreto,cujolimiteinfinitesimaltendeaocontnuo.A visualizaocomputacionaltambmtemseguidoaimplementaodosclculosporeste mtodopermitindoumaanlisevisualdassituaesdeterminadasatravsdoclculo numrico. AidiabsicadoMtododosElementosFinitosconsisteemsubdividir, inicialmente,odomniodoproblema,emsubdomniosdedimensesfinitastaisque,o conjuntodetodosossubdomniossejaigualaodomniooriginal.Emseguida,sobrecada subdomnio, isoladamente, adota-se um comportamento aproximado, local, para as incgnitas do problema, conforme esquematiza a Figura - 2. 1.Emgeral,essecomportamentolocaldescritocomoempregodefunes simples.Acaractersticaprincipaldesseprocedimento,ento,consisteemutilizar aproximaeslocaisnossubdomnios,nosquaisodomniooriginalfoidividido,emvezde utilizaraproximaesdecarterglobal.Paraaobtenoderespostascadavezmelhores, aumenta-se o nmero de subdomnios, mantendo-se o mesmo comportamento local j adotado em cada subdomnio, no lugar de se adotar funes de ordem maior na aproximao de carter global. Os subdomnios so denominados elementos finitos. Oselementosfinitossodefinidosporsuaformageomtrica,pelasfunesde aproximaoadotadasepelostiposdeproblemasparaosquaisforamdesenvolvidos.Cada elemento possui um nmero determinado de pontos nodais, ou ns, que podem ser internos ou externos. Os ns externos fazem a conexo com os elementos vizinhos. Figura - 2. 1. Rede de pontos nodais do Domnio,Oe dos Subdomnios, eO . 30 Nos ns comuns aos diferenteselementos, o valor das variveis do problema o mesmo, independentemente do elemento que esteja sendo considerado. Apsadefiniodamalhadeelementosfinitosedotipodeelemento(linear, triangular,quadrtico,etc),asmatrizescaractersticascorrespondentesacadaelemento podemserformadase,emseguida,agrupadas,formandoosistemaglobaldeequaes.A soluodestesistemaforneceosvaloresdasincgnitasnospontosnodais.Atravsdo comportamentoaproximadolocal,asincgnitasdoproblema,emqualquerpontodo elemento,socalculadasemfunodosvaloresnodaisdasmesmasincgnitasnospontos nodais j conhecidos, isto , as aproximaes locais so funes de interpolao, por meio dos quaisosvaloresdasincgnitasemqualquerpontopertencenteaoelementofinitoso calculados em funo dos valores nodais. 2.2.1 A origem do Mtodo dos Elementos Finitos O trabalho de Turner, Cough, Martin e Topp Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structurespublicadoem1956noJournalofAeronauticalSciences.Vol.23,pag. 805-823, reconhecido como um dos primeiros a apresentar os fundamentos doMtodo dos Elementos Finitos. As bases tericas do mtodo foram mais bem definidas no incio da dcada de 60 com o estudo mais aprofundado dos Mtodos Energticos e de Tcnicas Variacionais. 31 2. 3 Variaes dos Modelos no Mtodo de Elementos Finitos ParaproblemasdeMecnicadosSlidos,podemseridentificadosquatro formulaes, ou modelos bsicos, que pertencem ao Enfoque Variacional do mtodo: 2.3.1 - Modelo Compatvel Baseia-senoPrincpiodaEnergiaPotencialMnima.Sobrecadaelemento adotadoumcampodedeslocamento,escolhidosdetalmaneiraquehajacontinuidadede deslocamentos e, eventualmente, de suas derivadas, entre os elementos. As incgnitas so os deslocamentos nos pontos nodais. 2.3.2 - Modelo de Equilbrio Baseia-se no Princpio da Energia Complementar Mnima. Sobre cada elemento adotado um campo de tenses em equilbrio; o equilbrio entre elementos tambm mantido. As incgnitas so as tenses nos pontos nodais. um modelo pouco utilizado na prtica. 2.3.3 - Modelo Hbrido Hdoistipos.OprimeirotiposebaseiaemumPrincpiodeEnergia ComplementarMnimaModificado.Nointeriordecadaelementoadotadoumcampode tenses em equilbrio e, no contorno de cada elemento, um campo de deslocamento adotado, devendo haver compatibilidade de deslocamento entre elementos vizinhos. As incgnitas so osdeslocamentosnodais.AplicaesPrticas:Problemasdeestadoplanodetensoou deslocamento e de flexo de placas. OsegundotiposebaseiaemumPrincipiodeEnergiaPotencialMnima Modificado.Nointeriordecadaelementoadotadoumcampodedeslocamentose,no contornodecadaelemento,umcampodetensesadotado,devendohaverequilbriode tenses(forasdesuperfcies)entreelementosvizinhos.Asincgnitassoastenses,ou foras de superfcies nos pontos nodais. Esse modelo pouco utilizado. Vantagem do Modelo Hbrido: Os resultados so mais precisos. 2.3.4 - Modelo Misto Baseia-seemumPrincpioVariacionalGeneralizado,comooPrincpiode Reissner. Sobre cada elemento so adotados, simultaneamente e independentemente,campos detensesededeslocamentos.Asincgnitassoastenses(ouforasdesuperfcies)eos 32 deslocamentos nos pontos nodais. Vantagem do Modelo Misto: Deslocamentos e tenses so determinados com a mesma preciso. Nofinaldadcadade70foramintroduzidosformulaesbaseadasnaaplicao localizadadoMtododeGalerkin,oquepossibilitouqueoMtododosElementosFinitos fosseempregadonasoluodeproblemasquenopossuamFormulaoVariacional.De uma maneira geral, qualquer um dos Mtodos de Resduos Ponderados pode ser utilizado no clculo pelo Mtodo dos Elementos Finitos. Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulaes do Mtodo de Elementos Finitos Mtodo Principio Utilizado Elementos Incgnitas nos pontos nodais CondiesVantagens Aplicaes Prticas Compatvel Princpio da Energia Potencial Mnima Campo de Deslocamento Deslocamentos Continuidade nos Deslocamentos e suas derivadas Equilbrio Princpio da Energia Complementar Mnima Campo de Tenso em equilbrio TensoEquilbrio pouco utilizado Hbrido do 1 Tipo Princpio da Energia Complementar Mnima Modificado Campo de Tenso em equilbrio no domnio e campo de Deslocamentos no contornoDeslocamentos Compatibilidade nos Deslocamentos entre os elementos vizinhos Resultados mais precisos Problemas de flexes em placas Hbrido do 2 Tipo Princpio da Energia Potencial Mnima Modificado Campo de Deslocamentos no domnio e Campo de Tenses no contorno Tenses ou foras de superfcies Equilbrio de Tenses (ou foras de superfcies) entre elementos vizinhos Resultados Mais precisos Misto Princpio da Variacional Generalizado (Reissner) Campo Tenses e Deslocamentos no domnio Tenses (ou foras de superfcies) e os Delocamentos Deslocamentos e Tenses determinados com mesma preciso 33 2. 4 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo OMtododeElementosFinitostevesuaorigemnosMtodosVariacionais aproximados, mas a partir do Mtodo dos Resduos Ponderados, este vnculo passou a ser no maisnecessrio.Portanto,porserestaltimasituaodeabragnciamaisgeral,parao MtododeElementosFinitos,comearemosarepresent-lo,emprimeirolugar,apartirdo Mtodo de Resduos Ponderados, apesar de no ser a ordem histrica de evoluo do mtodo. Depois trataremos o Enfoque Variacional do Mtodo de Elementos Finitos. 2.4.1 Aproximao do Problema Contnuo pela Discretizao do Domnio Seja um problema unidimensional dado pela seguinte equao diferencial: L(u) = b em O ,(2. 1) sujeito as condies de contorno S(u) = g em I ,(2. 2) onde Le S so operadores lineares. Este problema ser aproximado por uma funo do tipo: +== ~11Mmm mN u u uem O , (2. 3) cujoodomniocontinuo,Osersubstitudopor umdomnioequivalente,discretoconforme mostra a Figura - 2. 2. Figura -2.2.Mudanadodomniocontnuodecoodenadas(x,y)paraodiscretodecoordenadas (i,j) 34 Logo, no domnio discretizado, teremos: L(u ) =bem O ,(2. 4) e no contorno discretizado, temos: S(u ) =gem I.(2. 5) Substituindo (2. 3) em (2. 4)e (2. 5) ficamos com: L +==11) (Mmm mb N uem O (2. 6) e, no contorno: S +==11) (Mmm mg N uem I. (2. 7) Como Le S so operadores lineares, no domnio, podemos escrever: +=11Mmmu Lb Nm = ) ( em O , (2. 8) e no contorno, +=11MmmuS( g Nm = ) ( ) em I. (2. 9) 2.4.2 - Definio dos Elementos Finitos Unidimensional SeodomnioOdivididooudiscretizadoemEsubdomnios,Oe,daseguinte forma: ==Eee1O O(2. 10) E, se em correspondncia a diviso do domnio, o contorno, I, dividido em B partes, Ib, da seguinte forma: ==Bbb1I I . (2. 11) 35 Figura - 2. 3. Rede de pontos nodais do Domnio,Oe dos Subdomnios, eO . Logo, teremos: =Ee 1L(+=11Mmem mN u ) =bem Oe , (2. 12) sujeito as condies de contorno =Bb 1S(+=11Mmem mN u ) =gem Ib . (2. 13) Como Le S so operadores lineares temos: += =11 1MmmEeu L (emN ) =bem Oe , (2. 14) sujeito as condies de contorno += =11 1MmmBbu S(emN ) =gem Ib. (2. 15) 2.4.3 Incluso do Mtodo dos Resduos Ponderados Unidimensional Asentenaderesduosponderadosdecarterglobal(ondeasfunesde aproximao so vlidas em Oe em I): 0 = +} }I c O cIO IOd w d wl l. (2. 16) Logo, os erros cometidos no domnio : 36 =Oc L(+=11Mmm mN u ) b = 0 em O (2. 17) E no contorno: =Ic S(+=11Mmm mN u ) g = 0em I (2. 18) Como Le S so operadores lineares temos: no domnio: +==11MmmueOc L (Nm) -b = 0em Oe (2. 19) e no contorno +==11MmmueIc S(Nm) -g = 0 em Ib (2. 20) SeodomnioOdivididoemEsubdomnios,Oe,ese,emcorrespondnciaa divisododomnio,ocontorno,I,divididoemBpartes,Ib.Asentenaderesduos ponderados de carter global substituda por: 01 1= +} } = =b lbBbe leEed w d wbe beI c O cIO IO, (2. 21) onde, as funes de aproximao so definidas localmente,sendo vlidassomente paraOe e Ib e no mais para O e I, da seguinte forma: 0 = +} }b le e led w d wbe beI c O cIO IO (2. 22) Portanto, temos: +==11MmmueOc L (Nm) -b = 0em Oe (2. 23) e no contorno 37 +==11MmmueIc S(Nm) -g = 0 em Ib (2. 24) Portanto, }+=11[Mmm leu weOL(Nm)}+=+ 11[ ]Mmm le eu w d beIO S(Nm)0 ] = bd g I(2. 25) OBS: Se as integrais em (2. 16) e (2. 21) contm derivadas de ordem s nos integrandos, deve-se assegurar que as funes de aproximao tenham derivadas de ordem superior a (s -1) contnuas. 38 2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clssica) Os principais constituintesde um mtodode elementos finitos para a soluo de um problema de valor de contorno so: i. O estabelecimento da forma variacional ou fraca do problema, e ii. A soluo aproximada das equaes variacionais atravs do uso de funes de elementos finitos Para esclarecer os conceitos ns comearemos com o seguinte exemplo. Suponha que ns estamos resolver a seguinte equao diferencial para u: 0 , = + f uxx (2. 26) ) (x u asoluo(incgnita)aserencontradaem] 1 , 0 [ e x ,ondeavrgulaestabelecea derivada (i. e. 2 2/ , dx u d uxx = ). Ns supomos que f uma funo suave dada. A qual uma funo de valor escalar definida no intervalo. Ns escrevemos: R f ] 1 , 0 [ :(2. 27) onde [0;1] se estabelece para o intervalo (i.e. a srie de pontos de x tal que0 1 x s s ) eR se estabeleceparanmeroreais.Emoutraspalavras,aequao(2.27)estabelecequeparaum dadoxem[0;1],f(x)umnmeroreal.(frequentementensusaremoseparadesignar emou um membro de. Ento para cada] 1 , 0 [ e x ,( ) f x eR.). Tambm, [0;1] dito ser o domniodef,eRseuespao.Dizemosque f umafunoprescritatendouma forma suave se pelo menos esta contnua e possui 1 derivada contnua, isto : ] 1 , 0 [1C f e (2. 28) Nstemosdescritoadadafunofcomosendosuave.Intuitivamentevoc provavelmentesabeoqueistosignifica.Rigorosamentefalando,sensesquematizamoso grfico da funo f, ns queremos que esta seja suave sem descontinuidades ou quebras. Ns fazemosistoparaevitardificuldadestcnicas.Certoqueagoransnodesejamoselaborar alm do que isto seja divergir-nos a partir do tema principal. Em algum ponto anterior para ir ao prximo captulo, o leitor pode desejar consultar o Apndice 1.I, Uma discusso Elementar daContinuidade,DiferenciabilidadeeSuavidade,paraobservaesposterioressobreeste importanteaspectodotrabalhodeelementosfinitos.OexerccionaSeco1.16jusaum pouco da linguagem descrita no Apndice 1.I. A terminologia pode ser algo no familiarpara 39 engenharia e estudantes de cincias fsicas, mas este agora largamente usado na literatura de elementos finitos e portanto correto tornar-se acostumado a isto. A equao (2. 26) conhecida governar o deslocamento transverso de uma corda sobtensoetambmodeslocamentolongitudinaldeumabarraelstica.Nestescasos, par6ametros fsicos, tais como a magnitude da tenso na corda, ou mdulo elstico no caso da barra,apareceem(2.26).Nstemosomitidoestesparmetrosparasimplificaros desenvolvimentos subseqentes. Antes de ns irmos em frente, ns introduzimos algumas notaes e terminologias adicionais. Seja ]0;1[ denota o intervalo unitrio sem pontos extremos (i. e. a srie de pontos x tal que0 1 x s s ).]0;1[ a[0;1]so referido como intervalos unitrios aberto e fechado, respectivamente. Para simplificar escritas subseqentes e tiras na notao empregadas depois em situaes multidimensionais, ns adotaremos as definies: Define-se o intervalo O como ]0;1[ O =(aberto)(2. 29) onde este um conjunto aberto e o intervaloO como[0;1] O =(fechado)(2. 30) onde este um conjunto fechado. Veja a Figura - 2. 4 Figura - 2. 4. Nesteponto,consideraestaiscomoestaspodemparecerpedantes.Nossa proposta,contudo,desenvolverumalinguagemparaaarticulaoprecisadoproblemade valor de contorno, o qual necessrio para um bom trabalho de elementos finitos. 2.5.1 - Forma Forte do Problema de Valor de Contorno (P.V.C.) Umproblemadevalordecontornopara(2.26)envolveimposiodecondies de contorno sobre a funo( ) u x . Existem uma variedade de possibilidades. Ns suporemos que( ) u x requerido satisfazer 40 g u = ) 1 ((2. 31) e h ux= ) 0 ( ,(2. 32) ondegehsoconstantesdadas.Asequaes(2.26)e(2.32)requerqueu tomevalores sobreovalorgemx=1eaderivadadeu (i.e.ainclinao)tomevaloreshemx=0, respectivamente.Estasriedecondiesdecontornonospossibilitardepoisparailustrar certosaspectosdaformulaovariacional.Porrazesobvias,condiesdecontornodotipo (2. 31) e (2. 32) leva ao to chamado problema de valor de contorno de dois pontos. A forma forte do problema de valor de contorno, (S), estabelecida como segue: Sejaoproblema(S),dadopor: f R O econstantes, g hdevemosencontrar : u R O como soluo da equao diferencial tal que: 0 , = + f uxxem O(2. 33) Sujeito as condies de contorno: g u = ) 1 ((2. 34) e h ux= ) 0 ( ,(2. 35) onde g e h so constantes dadas. Quandonsescrevemos0 , = + f uxxemO nsqueremosdizerque , ( ) ( ) 0xxu x f x + = paratodox O e .claro,asoluoexatade(S)trivialobter, notadamente ( ), ( )xxu x dx f x dx = } } (2. 36) integrando 00( ), ( )xxxu x f z dz = } (2. 37) logo 41 0, ( ) , (0) ( )xx xu x u f z dz = } (2. 38) Substituindo, (0)xu h = temos: 0, ( ) ( )xxu x h f z dz + = } (2. 39) Integrando mais uma vez 1 1 10, ( ) ( )xxx x xu z dz hdz f z dz dz| |= |\ .} } } } (2. 40) temos: 11 10( ) ( )xx xxu z hz f z dz dz| |= |\ .} } (2. 41) e 10(1) ( ) (1 ) ( )xxu u x h x z f z dz dz| | = |\ .} } (2. 42) Substituindog u = ) 1 ( , a soluo exata dada por; dy dz z f h x g x uxy} })`+ + =10) ( ) 1 ( ) ((2. 43) onde z usado para denotar variveis mudas. Contudo, este no o principal fato aqui. Ns estamos interessadosem desenvolver esquemas para obter solues aproximadas par (S) que ser aplicvel a situaes muito mais complexas no qual as solues exatas so possveis. Algunsmtodosdeaproximaocomeamdiretamentecomacondiofortedo problema. O exemplo mais notvel o mtodo de diferenas finitas (e.g., veja [1]). O mtodo de elementos finitos requer uma formulao diferente, a qual tratada na prxima seco. Observe que todos os pontos do contorno devem ser especificados e para qualquer problemasemprehaverumacondiodeDirichiletnocontorno,conformesedescreve abaixo (para que a soluo do problema seja nica). 42 Oproblema(S)podeserresolvidodiretamenteporDiferenasFinitas,onde aplica-se a discretizao diretamente em sua formulao forte. Por outro lado, no Mtodo dos Elementos Finitos no se aplica a discretizao diretamente a (S) mas usa-se a sua formulao fraca que chamado de problema equivalente (W). 43 2.6-FormaFracaouVariacionaldoProblemadeValorde Contorno 1D (P.V.C.) Aformavariacionalaplicadoemproblemasdetrocadoresdecalor,por exemplo, onde temos grandezas tais como, Calor,Q, Trabalho,W, e massa, M com restrio devolumefixoegostaramosdemaximizarouminimizaralgumparmetroougrandeza fsica. Nesta situao devemos alterar o problema para o caso onde: M w W w Q w F3 211+ + =(2. 44) cujasquantidadesfsicasonormalizadas,ousejapertencentesaointervalo] 1 , 0 [1eQ e 3 2 1, , w w wso pesos utilizados para equacionar o problema de forma ponderada. Na Formulao Variacional Fraca do PVC tem-se como objetivo: 1) Reduzir a ordem diferencial do problema 2)PermitirousodeFormasIntegraisdegraumaisbaixoaoinvsdeFormas Derivadas (formulao forte), isto para que seja possvel resolver o problema com elementos lineares na funes de interpolao para a aproximao localdo problema. 3) Simplificar o problema em relao a sua forma original, e por ltimo 4) Forma alternativa tenha as mesma soluo que a forma original. Paradefiniracontrapartidafraca,ouvariacionalde(S),nsnecessitamos caracterizar duas classes de funes tais que: 1)Aprimeiradevesercompostadecandidatas,ousoluestentativas.Apartirdo principio,nsrequereremosqueestaspossveissoluesdevemsatisfazerascondiesde contorno, ou seja, para as solues candidatasS ueexige-se que: g u = ) 1 ((2. 45) onde 1H ue . A outra condio de contorno ser requerida na definio. Alm do mais, para quecertasexpressessejamempregveisfazsentido,nsrequerermosqueasderivadasdas solues tentativas sejam quadrado integrveis.Isso seu uma soluo tentativa, entoas funes devem possuir suavidade tal que: } paratodo]0;1[ x O e = ;e(0) (1) 0 | | = = .Porexemplo,ns podemos tomar: ( ) ( ) 1 x x x | = (2. 69) A qual satisfaz todos os requerimentos estipulados (veja Figura - 2. 4). Figura - 2. 5. Funo bolha. Segue-se que0 ) 1 ( = we entow V e , assim (2. 68) defina um legtimo membro de V . Substituindo (2. 68) em (2. 69) resulta em: ( ) ( ) 0 , 0 ,10020= + + +}>>h u dx f ux xxem _ O| (2. 70) ou ( ) 0 0 ,10020= + +}>>dx f uxxem _ O| (2. 71) Uma vez que0 | >emO , segue-se de (2. 71) que (i) deve ser satisfeita. Portanto, 0 , = + f uxx

(2. 72) Agora que ns temos estabelecido (i), ns podemos usar este em (2. 68) para provar (ii),. 2.7.4 - Prova de ii) Notadamente, temos que: ( ) 0 , ) 0 (00= +== _ h u wx

(2. 73) 50 e quew V eno pe restrio sobre seu valor em0 x = . Portanto, ns podemos supor que o w em (2. 73) tal que(0) 0 w = . Ento (ii) tambm mostrado ser vlida, o que completa a prova da proposio. Observaes : 1.Acondiodecontornooufronteirah ux= ) 0 ( , noexplicitamente mencionada na afirmao de (W) condio de contorno natural.. Da prova precedente, nos vimosqueestacondiodefronteira,contudo,subentendidapelasatisfaodaequao variacional.Condiesdefronteiradestetiposoreferidascomocondiesdecontorno natural.Poroutrolado,soluestestesoexplicitamenterequeridasparasatisfazeras condies de contorno u(1) = g. Condies de contorno deste tipo so chamadas de condies decontornoessenciais.Ofatoqueassoluesdaequaovariacionalsatisfazemas condiesdecontornonaturaisextremamenteimportantesnasmaissituaescomplicadas que nos consideraremos mais tarde. 2. O mtodo usado para provar a parte (b) desta proposio leva o nome delema fundamental na literatura do clculo variacional. Naessncia, esta a metodologia que nos capacita a deduzir a equao diferencial e as condies de contorno impostas pela formulao fraca.Paradesenvolvercorretamenteaformafracaparaproblemascomplexos,problemas multidimensionais,essencialterumentendimentoprofundodestesprocedimentos. g u = ) 1 (porqueS ue uma condio de contorno essencial. Agora ns vemos que para obter solues aproximadas para o problemade valor de contorno original nos temos alternativos pontos de partida, isto , as afirmaesfortes ou fracasdoproblema.Osmtodosdeelementosfinitossobaseadosnoposterior. Grosseiramentefalando,aidiabsicaaproximarSeVporconvenientesconjuntosde funesdedimensofinita.(Claramente,SeVcontminfinitasfunes).Asequaes variacionais so ento resolvidas em um contexto de dimenso finita.Um exemplo explcito decomotrataremosissoestnaprximaseo.Contudo,nsintroduziremosalgumas notaes adicionais para simplificar a subseqente escrita.2.7.5 - Notao Abstrata O produto escalar de funes w e u ser denotado por: 51 }10) , ( wfdx f w (2. 74) O produto escalar da derivada de funes w e u ser denotado por: }10, , ) , ( dx u w u w ax x

(2. 75) Em termos de (2. 73) e (2. 74), a equao variacional toma a forma: h w f w u w a ) 0 ( ) , ( ) , ( + = (2. 76) tambmsatisfazacondiodesimetriaAqui) , ( - - a ,) , ( - - soexemplosdeformas bilineares,simtricas. O que a bilinearidade significa que: Seja 1ce 2cconstantes e seja u, v, e w seja funes. Ento a propriedade de simetrias em cada posio : ) , ( ) , ( u v v u = (2. 77) A bilinearidade significa que em cada um das posies, por exemplo ) , ( ) , ( ) , (2 1 2 1w v a c w u a c w v c u c a + = + (2. 78) e 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) c u c v w c u w c v w + = +(2. 79) o que obviamente linear na 2 posio tambm. Exerccio 1. Useadefiniodea(.,.)e(.,.)paraverificaraspropriedadesdesimetriae bilineariedade. Asnotaesacimasomuitoconcisas,eaomesmotempoelascapturama caracterstica matemtica essencial e portanto nosconduz para um entendimento matemtico dos mtodos de elementos finitos e variacional. Diversas classes de problemas fsicos podem serescritosessencialmentedemodosimilara(2.76).Portantoasidiasdesenvolvidase resultados obtidos so vistos imediatamente por terem uma aplicabilidade ampla. 52 2. 8 - Mtodo de Aproximao de Galerkin Nsagoradescreveremosummtododeobtersoluesaproximadaspara problemasdevalordecontornobaseadosnaformulaofraca.Nossaintroduoparaeste tpicotratadodemodoumtantoabstrato.Contudo,osignificadodevesersignificamente reforadopelas sees restantes deste captulo. Isto pode ser louvvel para o leitor consultar esta seo novamente antes de completar o resto do captulo para ter certeza de uma completa compreenso da matria est alcanada. Oprimeiropassonodesenvolvimentodomtodoconstruiraproximaesde dimensofinitadeSeV.EstascoleesdefunesserodenotadasporSheVh respectivamente. Os super-escritos referem-se a associao com a malha, ou discretizao, do domnio,oqualparametrizadoporumcomprimentodeescalacaracterstico,h .Ns desejamosacreditarque hS e hV sejamsubsequ6enciasdeSeV,respectivamente.Isto escrito como:Seja (i.e., se, ento)h h h hS S u S u S c e e(2. 80) E (i.e., se, ento)h h h hV V w V w V c e e(2. 81) ondeosignificadoprecisodadoemparntesis(2).Conseqnciasde(2.80)e(2.81)so respectivamente que se h hu S ee h hw V e , so as condies de contorno: g uh= ) 1 ((2. 82) e 0 ) 1 ( =hw(2. 83) Ascolees,S,V, hS ,e hV ,sofreqentementereferidascomofunesde espaos.Aterminologiaespaonamatemticausualmentedenotaumaestruturalinear.Isto possuioseguintesignificado:Se 1c e 2c soconstantesev ewestoemV ,ento 2 Esta condio pode ser considerada padro. Contudo, frequentemente violada na prtica. Strang [2] cunhou a terminoloogia crimes variacionais para aplicar a esta, e outras situaes nas quais as regras clssicas de mtodos variacionais so violadas. Muitos crimes variacionais tem sido dado um rigorosa base matemtica (e. g. veja [2]). Ns teremos mais a dizer sobre este assunto em captulos subseqentes. 53 1 2c v c w +est tambm emV . Ambos VehV so ento visto possuir a propriedade de um espao linear. Contudo, esta propriedade est claramente no dividida porSe hSdevido as condies de contorno no homogneas. Por exemplo, se 1ue 2uso membros deS , ento1 2u u S + e ,umavezque 1 2(1) (1) 2 u u g g g + = + = naviolaodadefiniodeS . Portanto, a terminologia da funo espao ainda (avulsamente) aplicado aS e hS2.8.1 - Mtodo de Bubnov-Galerkin Suponhaqueacoleo hV dada.Entoparacadamembro h hv V e ,ns construmos uma funo h hu S e, ou seja, para cada h h h hS u V v e eh h hg v u + =(2. 84) onde hg uma funo conhecida satisfazendo as condies de contorno essenciais, i. e. (1)hg g =(2. 85) Note que (2. 84) satisfaz tambm o requesito da condio de contorno:g g v ugh h h= + = _ ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (0

(2. 86) ou (1) 0hu g g = + =(2. 87) Ento(2.84)constituiumadefiniode hS ,isto, hS todafunodaforma(2.84).O pontochaveobservarque,amenosdafuno hg , hS e hV socompostadecoleo idnticadefunes.Estepropriedadesermostradadepoisparaterconseqncias significantes para certas classes de problemas. Nsagoraescrevemosaequaovariacional,daforma(2.76),emtermosde e h h h hw V u S e e .( , ) ( , ) (0)h h h ha w u w f w h = +(2. 88) 54 Estaequaodeveserpensadacomoumadefinioaproximada(soluofraca), hu . Substituindo (2. 84) em (2. 88) e a bilinearidade de( , ) a- - permite-nos escrever: h w f w g v w ah hADE BILINEARIDh h h) 0 ( ) , ( ) , ( + = + _

(2. 89) Essa bilinearidade implica em: ) , ( ) , ( ) , (h h h h h h hg w a v w a g v w a + = +(2. 90) Portanto, a partir de: ( , ) ( , ) ( , ) (0)h h h h h ha w v a w g w f w h + = +(2. 91) Logo ( , ) ( , ) (0) ( , )h h h h h hincgnitaa w v w f w h a w g = + (2. 92) Oladodireitodaequaoconsistedatotalidadedostermosassociadoscomos dados fornecidos (i. e. f, g e h). A equao (2. 92) deve ser definida hv , a parte desconhecida dehu . AformadeBubnov-Galerkindoproblema,denotadapor(G)definidada seguinte maneira: Dadosf,g,h,definidoscomoantes,encontramos h h hg v u + = onde h h h hV w para q t V v e e . . , temos: ) , ( ) 0 ( ) , ( ) , (h h h h h hg w a h w f w v w a + =(2. 93) Note que ( ) G apenas uma verso de( ) Wposta em termos de uma coleo de funes finitos dimensionais, notadamente, hV .Parafazeroassuntomaisespecifico, hg e hV temqueserexplicitamente definida.Antesdefazeristocorretomencionarqueumalargaclassedemtodosde aproximaes,chamadaMtodosdePetrov-Galerkin,nosquais hv estcontidoemuma coleodefunesdoqueoutrashV .Recenteatenotemsidoprestadaaosmtodosdesse tipo,especificamentenocontextodamecnicadosfludos.Porestavez,nostrataremos 55 exclusivamentecomoMtododeBubnov-Galerkin.OmtododeBubnov-Galerkin comumentereferidocomosimplesmenteomtododeGalerkin,terminologiaquenos adotaremosdeagoraemdiante.Aequao(2.92)algumasvezesreferidacomaequao de Galerkin. MtodosdeAproximaodessetipoconsideradosoexemplosdetochamadosmtodos dos resduos ponderados. A referncia padro que trata desse assunto Finlayson [3].Paraumaapresentaomaissucintacontendoumacontecimentohistricointeressante, veja Finlayson e Scriven [4]. 56 2. 9- Equaes na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) OmtododeGalerkinlevaaumsistemaacopladodeequaesalgbricas lineares.Paraveristonsprecisamosdarumaestruturaalmdadefiniode hV .Seja hVconsistindo de todas as combinaes lineares de funes denotadas por:AN O R, onde 1, 2,..., A n = .Porisssonsdizemosquese h hw V e ,entoexisteconstantes Ac , 1, 2,..., A n = , tal que: 1int1 1 2 2, ( ) , [0;1]...nhA A AAfunes deerpolaon nw c N N x xc N c N c N== e= + + +_

(2. 94) As AN ssoreferidascomofunesdeforma,funesdebaseoufunesde interpolao. Ns requeremos que ANsatisfaa: n A NA,..., 1 , 0 ) 1 ( = = (2. 95) Para o qual segue-se de (2. 94) que(1) 0hw = , como necessrio. hV dito ter dimenso n, por razes obvias. Para definir os membros de hSns precisamos especificar hg . Para este fim, ns introduzimosumaoutrafunodeforma, 1:nN O+R,aqualpossuiaseguinte propriedade: 1 ) 1 (1=+ nN

(2. 96) (Note que 1hnN V+ e .) Ento hg dado por: ) (1x gN gnh+=(2. 97) E ento (1)hg g =(2. 98) Com estas definies, um tpico h hu S epode ser escrito como: 57 11+=+ = + = nnAA Ah h hgN N d g v u (2. 99) onde as Ad s so constantes e do qual aparente que: (1)hu g =(2. 100) Substituindo (2. 94) e (2. 99) em dentro da equao de Galerkin (2. 93) temos: ) , ( ) 0 ( ) , ( ) , (11 1 1 1 1+= = = = = + =nnAA AnAA AnAA AnBB BnAA AgN N c a h N c f N c N d N c a

(2. 101) ou 0 ) , ( ) 0 ( ) , ( ) , (11 1=((

+ =+= = _ AGn A A A B B AnBnAAg N N a h N f N d N N a c

(2. 102) Pelo uso da bilinearidade de( , ) a- -e( , ) - - , (2. 101), como as funes NA so ortogonais no espao de funes temos que: 01==AnAAG c

(2. 103) temquevaler hw etemquevaler Ac ,e.g.todosos0 =Ac .Logoobrigatoriamente temos que: 0 =AG (2. 104) Donde resulta que 11( , ) ( , ) (0) ( , ) 0nA A B B A A A nBG a N N d N f N h a N N g+== = + =

(2. 105) AgoraaequaodeGalerkinmantidaparatodo h hw V e .Por(2.94),istosignificapara todo Ac s, 1, 2,..., A n = . Desde que os Ac s so arbitrrias em (2. 103), necessariamente segue que cada uma AG ,1, 2,..., A n = , deve ser identicamente zero, i. e. de (2. 105). 58 11( , ) ( , ) (0) ( , )nA B B A A A nBa N N d N f N h a N N g+== +

(2. 106) Note que todas as coisas conhecida em (2. 106) exceto os Bd s. Ento (2. 106) constitui um sistema de n equaes em n incgnitas, onde as incgnitas so oss dB' . Isto pode ser escrito de uma forma mais concisa como segue: Chamando de: ) , (B A ABN N a K = (2. 107) e g N N a h N f N Fn A A A A) , ( ) 0 ( ) , (1 + + = (2. 108) Ento (2. 106) torna-se e ficamos com a seguinte equao: A BnBABF d K ==11, 2,..., A n =(2. 109) Alm disso a simplicidade ganha pela notao matricial. Onde | |11 12 112 22 21 2......: _ : :...nnABn n nnK K KK K KKK K K ( ( (= = ( ( K

(2. 110) com { }12:AnFFF FF = = ` ),

(2. 111) e { }12:Bnddd dd = = ` ),

(2. 112) Portanto, a forma Matricial (M) para o problema (2. 109) pode ser escrita como: 59 F d, ,= K(2. 113) Asseguintesterminologiassofrequentementeaplicadas,especialmentequandooproblema sob considerao pertence a um sistema mecnico. K = Matriz de Rigidez F, = Vetor fora d,= Vetor deslocamento Uma variedade de interpretaes fsicas so claro possveis. Nesteponto,nspodemosestabeleceramatrizequivalente(M),dorpoblemade Galerkin. Dada a matriz coeficienteK e o vetorF,, ached, tal que: F d, ,= K(2. 114) A soluo de (M) , claro, apenas 1d F= K, , (suponde que a inversa deK, 1K , existe).Umavezqued,conhecido,asoluode(G)podeserobtidaemqualquerponto x O epelo emprego de (2. 99), viz., de posse da soluo ns podemos reconstruir a soluo: ) ( ) ( ) (11x gN x N d x unnAA Ah+=+ =

(2. 115) Destaforma,asderivadasde hu ,serequeridas,podemserobtidaspeladerivaotermoa termo.Deve-seenfatizarqueasoluode(G)umasoluoaproximadade(W). Consequentemente,aequaodiferencialeascondiesdecontornonaturaissosomente aproximadamentesatisfeita.Aqualidadedaaproximaodependeapenasdaescolha especfica dos AN s e do nmero n. Observaes: 1. A matrizK simtrica. Isto segue da simetria de( , ) a- -e do uso do mtodo deGalerkin(i.e.asmesmasfunesdeformasousadasparaasvariaeseassolues tentativas): ( )( ),,AB A BB ABAK a N Na N NK===

(2. 116) Na notao matricial60 T= K K (2. 117) OndeosuperscritoTdenotaamatriztransposta.AsimetriadeKpossuiconseqncias computacionais importantes: 2.Vamosrecuperarosesquematicamenteospassosquelevaramaoproblema matricial, como elas so tpicos do processo deve-se ir atravs do desenvolvimento do mtodo dos elementos finitos para um dado problema: ( ) ( ) ( ) ( ) S W G M ~ (2. 118) Anicaaproximaoaparentefeitaentoestemresolveraproximadamente(W)via(G). Nas situaes mais complicadas, encontradas na prtica, o nmero de aproximaes aumenta. Por exemplo, os dados f, g e h podem ser aproximados, bem como o domnioO , clculo de integraiseassimpordiante.Aprovadaconvergnciaeanlisedeerroenvolvea considerao de cada aproximao. 3. algumas vezes conveniente escrever: 11( ) ( )nhA AAu x d N x+==

(2. 119) onde 1 nd g+ = 61 2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade Nestaseconsrealizaremososclculosdetalhadosqueenvolvidosna formulaoesoluodoproblemadeGalerkin.Asfunesempregadassoextremamente simples,entodispensando-seacomputao,maselessotambmexemplosprimitivosde funes tpicas de elementos finitos. 2.10.1 - Exemplo 1 (1 Grau de Liberdade) Nestecason=1.Ento 1 1hw c N = e 1 1 2h h hu v g d N gN = + = + .Anica incgnita 1d .Oespaodefunesdevesatisfazer 1(1) 0 N = e 2(1) 1 N = (veja(2.95)e (2. 96)). Vamos tomar 1( ) 1 N x x = e 2( ) N x x = . Estas funes so ilustradas na Figura - 2. 6 e claramente satisfaz as condies requeridas. Figura-2.6.Funesparaoexemplode1graudeliberdade.(estasfunessosecretamentea mais simples funes de interpolao dos elementos finto no contexto de um elemento.) Uma vez que ns estamos tratando somente com 1 grau de liberdade, a parafernlia matricial colapsa como segue: | |11 11K K = = K (2. 120) { }1 1F F F = =,

(2. 121) 62 { }1 1d d d = =,

(2. 122) e ( )111 1 1 1 101 1, , , 1x xK a N N N N dx = = =}

(2. 123) e ( ) ( )1 1 1 1 21 11 10 01 110, (0) ,(1 ) ( ) , ,(1 ) ( )x xF N f N h a N N gx f x dx h g N N dxx f x dx h g = + == + == + +} }}

(2. 124) e 11 11 1d K F F= =(2. 125) Consequentemente 110( ) (1 ) ( ) (1 )hdu x y f y dy h g x gx ( ( (= + + + ( ( }_

(2. 126) Em (2. 126), y executa o papel de uma varivel muda. Uma ilustrao de (2. 126) aparece na Figura - 2. 7. 63 Figura - 2. 7. A soluo de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. Para se obter uma sensibilidade da natureza da aproximao, vamos comparar(2. 126) com a soluo exata (veja (2. 43)). til considerar formas especficas de f. i. Para0 f = . Ento ( ) ( ) (1 )hu x u x g x h = = + (2. 127) que , a soluo aproximada exata. De fato, isto est claro pela inspeo de (2. 126) e (2. 43) queasoluohomognea(isto,apartedasoluocorrespondenteaf=0)sempre representadaexatamente.Anicaaproximaoprpriaparaasoluoparticular(isto,a parte da soluo correspondente a f 0). ii. . Agora nos introduziremos uma funo no nula f. Suponha que f(x) = p, uma constante. Ento a soluo particular toma a forma 2(1 )( )2partp xu x= (2. 128) e (1 )( )2partp xu x= (2. 129) As equaes (2. 128) e (2. 129) so comparadas na Figura - 2. 8. Note que hpartu exata em x = 0 e x = 1 e ,hpart xu exata em x = . (Isto seria claro que impossvel dehpartuser exata em todososxnascircunstanciaspresentes.Asoluoexata(2.128),contmumtermo 64 quadrtico em x, Uma vez que a soluo aproximada limitada por uma variao linear em x pela definio de N1 e N2). Figura - 2. 8. Comparao das solues particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii). iii.Destavezsejaf(x)`=qx,ondequmaconstante.Estaescolhadefleva-nos para 3(1 )( )6partq xu x= (2. 130) e (1 )( )6partq xu x= (2. 131) as quais so comparadas na Figura - 2. 9. Novamente note que hpartu exata em x = 0 e x = 1. Existe um ponto 13x =na qual,hpart xu exata.Deixe-nos resumir o que nos observamos neste exemplo: a. A parte homognea de hu exata em todos os casos. b Na presena de uma funo f no nula, hu exata em x = 0 e x = 1. c. Para cada caso, existe pelo menos um ponto onde ,hxu exata. 65 Figura - 2. 9. Comparao das solues particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (iii). 2.10.2 - Exemplo 2 (2 Graus de Liberdade) Neste caso para n = 2 ento: 2 2 1 1N c N c wh+ = (2. 132) onde 0 ) 1 ( ) 1 (2 1= = N N(2. 133) e 3 2 2 1 1gN N d N d uh+ + = (2. 134) onde1 ) 1 (3= N . Defina-se AN s como se segue:s ss s =121; 0210 ; 2 1) 1 (1xx xN (2. 135) e 66 s s s s=121; ) 1 ( 2210 ; 2) 1 (2x xx xN (2. 136) e s s s s=121; 1 2210 ; 0) 1 (3x xxN (2. 137) AsfunesdeformailustradasnaFigura-2.10.Tpicos h hw V e e h hu S e e suas derivadas so mostradas na Figura - 2. 11. Figura-2.10.Funesoexemplopara2grausdeliberdade.(Estasfunessosecretamenteas funes mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) Para n = 2 a parafernlia matricial toma a seguinte forma:((

=22 2112 11K KK KK (2. 138) e 67 Figura - 2. 11. Funo peso tpico e soluo tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade. )`=21FFF (2. 139) e )`=21ddd (2. 140) Onde ( ) _ as descontnu serem funesdas derivadas as devido se - separa12 / 12 / 1010, , , , , , , dx N N dx N N dx N N N N a Kx B x A x B x A x B x A B A AB} } }+ = = =(2. 141) 68

Para 4 ; 2 ; 222 21 12 11= = = = K K K K (2. 142) Logo ((

=2 11 12 K (2. 143) e ( ) ( )dx N N h N dx f Ng N N a h N f N Fx x A A AA A A A, , ) 0 (, ) 0 ( ,312 / 1103} } + = + =

(2. 144) donde:( ) h dx x f x F + = }2 / 101) ( 2 1 (2. 145) e 1/ 2 120 1/ 22 ( ) 2 (1 ) ( ) 2 F xf x dx x f x dx g = + +} }

(2. 146) Notequedevidoaoformatodasdescontinuidadesdasfunesnatangenteem x=,convenienteexpressaraintegralemintegraisemsubintervalos[0,]e[,1](por exemplo,veja(2.141)e(2.144).Nsnoprecisamosnospreocuparsobreovalordas derivadasde AN emx=(sofreumadescontinuidadeleportantonobem-definidano modoclssico)desdequeistonotemefeitosobreasintegraisem(2.141).Istoequivalea aplicar a noo de uma derivada generalizada. Nos analisaremos novamente os trs casos considerados no exemplo 1. i. para f(x) = 0 temos:)`=ghF2

(2. 147) 69 E 1d F= K, ,

(2. 148) 11 1/ 21/ 2 1/ 2 2hd K Fg ( = = ` ( )

(2. 149) logo / 2g hdg h+ = `+ )

(2. 150) Este resulta em: 1 2 321 2 3 1( )2( )2hhu g h N g N gNNg N N N h N| |= + + + + = |\ .| |= + + + + |\ . (2. 151) logo 1(1 )hu g h x N = + (2. 152) ( ) (1 ) u x g h x = + (2. 153) Novamente,asoluohomogneaobtidaexata.(Arazoparaistoqueasoluoexata linear,enossasoluotestecapazderepresentarexatamentequalquerfunolinear.O mtodo de Galerkin d-nos uma resposta exata quando possvel que , quando quer que a coleo de solues triviais contem uma soluo exata atravs de seus membros). ParaproblemaslinearesosNslinearesserepetemexatamente.Asoluoexata homognea igual a do MEF.ii.Considerando f(x) = p: hpF + =41 (2. 154) e 70 gpF 222+ =(2. 155) Logo 1112 2 43 1 128 2 2 2 2p pg h hdK Fp h pg g ( + + + ( = = ( ` ` ( + + + ( ) )

(2. 156) cuja soluo toma a forma: ) ( ) 1 ( ) ( x u x h g x uhparth+ + = (2. 157) onde 2 1832) ( NpNpx uhpart+ = (2. 158) Asoluoparticularaproximadacomparadacomaexataconformemostraa Figura-2.12.,daqualnsvemosqueaconcordnciaalcanadaem 10, e 12x = ,eas derivadas coincide em 14x =e 34x = . Figura - 2. 12. Comparao das solues particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (ii). iii.( ) , constante f x qx q = =71 124qF h = + (2. 159) e 224qF g = + (2. 160) logo 6748 2qg hdq hg + + = ` + + ) (2. 161) Novamente hupode ser expresso na forma (2. 157), onde 1 276 48upartq qu N N = + (2. 162) UmacomparaoapresentadanaFigura-2.13.AsoluodeGalerkin compreendida para ser exata uma vez novamenteem x= 0,1/2 e 1, e a derivada exata nos dois pontos. Figura - 2. 13. Comparao das solues particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (iii). Deixe-nos resumir o que salientamos nas observaes do exemplo 2: 72 a.Apartehomogneade hu exataemtodososcasos,comonoexemplo1(a razo para isto dada depois da equao (2. 153)) b.AsolucodeGalerkinexataemcadapontofinaldecadasub-ntervalopara todos os casos. O que implica que a soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos exata nos ns. c.Emcadacaso,existe pelomenosumpontoonde ,hxu exata. xhu , exataem um ponto de cada elemento. Depoisgeneralizandoocasodensub-intervalosdanaseguinteseo,nos mostraremos na seo 1.10 que as observaes acima no so acidentais. Exerccio 1. Se o leitor no tem experincia com as contas que apareceram nesta seo, seria louvvel reproduzir todos os detalhes, desde que todos os detalhes foram omitidos. 73 2. 11 - Espao de Elementos Finitos Lineares Os exemplos da seo precedente aplicaram a definio de hVe hS que so casos especiais do espao dos elementos finitos lineares por partes. Para definirmos o caso geral nos quais hV um n-dimensional, nos particionaremos o dominio [0;1] dentro de n sub-intervalos nosobrepostos.Umsub-intervalotpicodenotadopor 1[ , ]A Ax x +,onde 1 A Ax x +< e A=1,2,.,n.Nostambmexigimosque 10 x = e 11nx + = .Os Ax ssaochamadosdepontos nodaisouns.(Aterminologiajuntaouextremostambmusada).Ossub-intervalosso algumasvezesreferidoscomodomniodoselementosfinitos,ousimplesmenteelementos. Notequeoscomprimentosdoselementos 1 A A Ah x x+= naoseexigequesejamiguais.O parmetrodamalha,h,geralmentetomadocomoocomprimentomximodosintervalos (isto , h = max Ah , A=1,2,,n). Quanto menor for o h, mais refinada a particao, ou malha. Se cada sub-intervalo tem o mesmo comprimento ento h = 1/n. A forma das funes so definidas como segue: associadas a um n tpico interno (isto ,2 A n s s ) ( )( )11111;( ) ;0 ;AA AAAA A AAx xx x xhx xN x x x xhelsewhere++ s s= s s

(2. 163) Onde nos pontos das fronteiras ns temos( )( )21 1 211 1( ) ;( ) ;nn n nnx xN x x x xhx xN x x x xh+ += s s= s s (2. 164) As funes de forma so desenhadas na Figura - 2. 14. Por razoes obvias, elas so referidas por vrios nomes como chapu, telhado . Note que( )A B ABN x o =onde ABo a funcao delta de Kronecker ( isto , ABo =1 se A=B e ABo =0 quando AB). Em outras palavras, 74 AN leva no 1 sobre o n A e zero nos outros ns. Alm disso, AN nao zero somente em cada sub-intervalo que contm Ax . Figura - 2. 14. Funes de base para um espao compacto de elementos finitos linearesUm membro tpico de h hw V e tem a forma 1nA AAc N=e aparecem na Figura - 2. 15.Noteque hw continua,mastemdescontinuidadenaderivadasobrecadaelementoda fronteira.Porestarazo, ,hxw ,aderivadageneralizadade hw ,seraconstanteporpartes,, experimentandodescontinuidadesatravsdoselementosdecontorno.(Umatalfuno algumas vezes chamada de funo degrau generalizada.) Restrita a cada um dos elementos do dominio, hw uma polinomial linear emx . Com relao as condies de contorno essenciais homogneas,(1) 0hw = .Claramente, hw identicamentezeroseesomentesecadaumdos 0, 1, 2,...,Ac A n = = . Figura - 2. 15. Um membro tpico de h hw V e . 75 Membrostpicosde hS soobtidosacrescentando 1hnq qN += paramembros tpicos de hV . Isto assegura que(1)hu g = . As funes por partes de elementos finitos lineares so as mais simples e as mais largamente usadas funes de lementos finitos de problemas unidimensionais. 2.11.1 - Funes de Interpolao Para funes de interpolao, usualmente utiliza-se polinmios. Exemplo: Lineares Figura - 2. 16.onde osns s xA 'e| |1;+ A Ax xe corresponde aos elementos. Note que o tamanho dos intervalos A A Ax x h =+1

(2. 165) no so necessariamente iguais ao parmetro da malha{ }Ah h max = . 2.11.2 - Definies das Funes de Interpolao ou de Forma Os ns internos so dados porn As s 2 , e a funes de interpolao so: s ss s++1111,,) (A AAAA AAAAx x xhx xx x xhx xx N

(2. 166) 76 Exerccio 1. Considere a formulao fraca do modelo do problema unidimensional: 1 10 0, , (0)x xw u dx wf dx w h = +} } (2. 167) ondeweW eueS sosupostossersuavessobreoselementosinteriores(i.e.sobre 1] ; [, 1, 2,...,eA Ax x A n O+= = maspodesofrerinclinaesdescontnuasatravsdos contornos dos elementos. (Funes desta classe contm um espao de elemento finito linear descritoanteriormente).Apartirdaequao(2.294)esupondoacontinuidadedasfunes, mostre que: 1120 ( , ) (0) , (0 )( ) , ( ) , ( )AAxnxx xAxnA x A x AAw u f dx w u hw x u x u x++=+ = (= + + + + (+ } (2. 168) Argumentando como na Seco. 1.4, pode ser concludo que as condies de Euler-Lagrange da equao (2. 294) so: i., ( ) ( ) 0xxu x f x + = , onde 1] ; [, 1, 2,...,A Ax x x A n+e = , ii., (0 )xu h+ = ; e iii., ( ) , ( ),onde2,3,...,x A x Au x u x A n += =Observe que (i) a equao diferencial restrita aos elementos interiores, e (iii) a condio de continuidade atravs dos elementos dos contornos. Este pode ser contrastado com ocasonoqualasoluosupostasuave.Nestecasoacondiodecontinuidade identicamentesatisfeitaeasomatriadasintegraissobreoselementosinteriorespodeser substituda por uma integral sobre todo o domnio (veja Seco. 1.4). Na formulao dos elementos finitos de Galerkin, uma soluo aproximada de (i)-(iii) obtida. 77 2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K Asfunesdeforma, 1, 2,..., 1AN A n = + ,sonulasdoladodeforada vizinhanadonA.Comoumresultado,muitasdasentradasdeKsonulas.Estepodeser visto como segue. Seja1 B A > + . Ento (vide Figura - 2. 17) a matriz de rigidez, K , dada por: dx x N x N Kx B x A AB) ( , ) ( ,10}=

(2. 169) A simetria de K implica, em adio, que (2. 169) permanece para1 A B > + . Dis-sequeKumamatrizdebanda(i.e.suasentradasnonulasestolocalizadasemuma bandasobreadiagonalprincipal).AFigura-2.18amostraestapropriedade.Matrizesde banda possuem significantes vantagens em que os elementos fora da banda no precisam ser armazenados nem operados sobre o computador. Esta matriz de rigidez que aparece na anlise porelementosfinitos,emgeral,bandasestreitas,permitemsuaformaoesoluo econmica . Figura - 2. 17. Se1 B A > + , as partes no nulas de BNe ANno se sobrepem. Para um certo A,1 , 1 , 0 ) ( , ) ( , < + > = A B A B se x N x Nx B x A

(2. 170) Logo se 0 =ABK (2. 171) A matriz de rigidez tridiagonal e simtrica. 78 11 1221 22 2332 33 2, 11, 2 1, 1 1,, 10 ... 0:0 0:0 ... 0n nn n n n n nn n nnK KK K KK K KK K KK K ( ( ( (=( ( ( K (2. 172) Figura - 2. 18. 2.12.1 - Definio Uma matrizn n dito ser positiva definida se i.0Tc c > A, , para todos os n-vetoresc,; e ii.0Tc c = A, , implica que0 c =, 2.12.2 - Observaes 1. Uma matriz simtrica positiva definida possui uma nica inversa. 2. Os autovalores de uma matriz positiva definida so reais e positivos. 2.12.3 - Teorema A matrizK n n definida por (2. 107) positiva definida. 2.12.4 - Prova i. Seja, 1, 2,...,Ac A n =as componentes dec, (i.e.{ }Ac c =,), um vetor arbitrrio. Use estes Ac s para construir um membro de hV , 1nhA AAw c N==, onde as ANso funes bases de hV . Ento , 1nTA AB BA Bc c c K c== K, ,

(2. 173) E pela definio de ABK79 , 1( , )nA A B BA Bc a N N c== (2. 174) Da bilinearidade de( , ) a- -temos: 1 1,n nA A B BA Ba c N c N= =| |= |\ . (2. 175) E da definio de hw( ),h ha w w =(2. 176) E por (2. 75) ( )1200,0hxw dx>=>}_ (2. 177) ii. Supondo0Tc c = K, ,. Pela prova da parte ii. ( )120, 0hxw dx = =} (2. 178) e consequentemente hwdeve ser constante. Uma vez que h hw V e ,(1) 0hw = . Combinando estes fatos, ns consideramos que( ) 0hw x =para todo[0;1] x e , o qual possvel somente se 0,1, 2,...,Ac A n== . Ento0 c = . Notequeaparte(ii)dependesomentedadefiniodeKedacondiode contorno essencial nula construda dentro da definio de hV . Resumo dos Resultados Matemticos Kdefinido por (2. 107), : i. Simtrica ii. Em Banda iii. Positiva definida A conseqncia prtica das propriedades acima que uma soluo computacional muito eficiente ded F = K, , pode ser executada. 80 2. 13- Anlise Matemtica Nestaseconsmostraremosqueasobservaesfeitascomrefernciaaos problemasexemplosdaSec.1.7so,defatoresultadosgerais.Paraestabelecerestesfatos rigorosamente somente se requer tcnicas matemticas elementares. Nosso primeiro objetivo estabelecer que a soluo finita de Galerkin hu exata nos ns. Para fazer isto nos devemos introduzir a noo de uma funo de Green. Seja( ) ( )yx x y o o = denota a funo delta da Dirac. A funo de Dirac no uma funo no senso clssico mas um tipo de operador definido por sua ao sobre funes contnuas. Seja w uma funo contnua e [0;1]; ento ns podemos escrever: ( )10, ( ) ( )( )yw w x x y dxw yo o = =} (2. 179) Por (2. 179), ns vemos porque a ateno restringida a funo ser contnua-yo , lana fora o valordewemy.Sewfossedescontnuaemy,seuvalorseriaambguo.Namecnica,ns pensamosde yo visualmentecomorepresentantedeumaforaconcentradadeuma amplitude unitria localizada em um ponto y. AfunodeGreendoproblemacorrespondentea(S)podeserestabelecida como segue:Ache a funo g (i. e. a funo de Green) tal que: , 0xx yg o + =em O (2. 180) (1) 0 g =(2. 181) , (0) 0xg =(2. 182) Noteque(2.180)-(2.182)sosimplesmente(S)emquefsubstitudopor yo egehso tomados nulos. Esteproblemapodeserresolvidopelaformadeclculosformaiscom distribuiesoufunesgeneralizadas,taiscomo yo .(Ateoriadedistribuiestratada 81 emStakgold[5]).Umaboacontaelementardosclculosformaiscomdistribuies apresentadas por Popov [9]. (Esta ltima referncia recomendada para leitores que no tenha tido experincia com este tpico.) Para este fim ns notamos que a integral (formal) de yo a funo de Heaviside, ou a funo de degrau unitrio: 0,( ) ( )1,yx yH x H x yx y (2. 183) A integral de yH o parntesis de MaCaulay: 0,,x yx yx y x ys = > (2. 184) As funes precedentes so mostradas na Figura - 2. 19. Figura-2.19.Funesgeneralizadaselementares.a)ParnthesisdeMaCaulayb)Funo de Heaviside H(x-y) = ,x c) o(x-y) = H(x-y),x. Para resolver o problema da fuo de Green, (2. 180) integrado, fazendo uso de (2. 183), para obter: 1,x yg H c + =(2. 185) onde 1c umaconstantedeintegrao.Umasegundaeusode(2.184)fornece(2.180) fornece: 1 2( ) g x x y c x c + = +(2. 186) onde 2c uma outra constante de integrao. O clculo 1ce 2c executado requerendo (2. 185) e (2. 186) parasatisfazer as condies de controrno. Este resulta em82 ( ) (1 ) g x y x y = (2. 187) (veja Figura - 2. 20) Figura - 2. 20. Funes de Green. Observe que g por parte linear. Ento se Ay x =(i. e. sey um n), hg V e . Na anlise ensuing ns precisamos de uma equao variacional correspondente ao problema das funes de Green. Este pode ser deduzido a partir de (W) substituindo u por g. f por yo , e g e h por 0, viz. () ( , ) ( , )ya w g w w y o = =(2. 188) Aequao(2.188)permaneceparatodasasfunescontnuasw V e realmenteimplicaa continuidadedetodow V e porumteoremabemconhecidoemanlsedevidoaSobolev. (Esteresultadoverdadeirosomenteemumadimenso.Ointegrabilidadequadrticadas segundasderivadastambmrequeridaasseguraracontinuidadedasfunesdefinidasem domnios bi e tridimensional.) 2.13.1 - Teorema Seja ( ) ( ), 1, 2,..., 1hA Au x u x A n = = + (2. 189) (i. e., hu exata nos ns). Para provar o teorema, ns precisamos estabelecer dois resultados preliminares. 83 2.13.2 - Lemma 1. ( ), 0h ha u u w = para todo h hw V e(2. 190) 2.13.3 - Prova Nstemosobservadopreviamenteque hV V c ,assimnspodemossubstituirw por hwna equao variacional ( ), ( , ) (0)h h ha w u w f w h = +(2. 191) Aequao(2.191)permaneceparatodo hw V e .ObservequaequaodeGalerkin idnticaaequao(2.191)excetoque hu apareceaoinvsdeu.Subtraindoaequaode Galerkindaequao(2.191)eusandoabilinearidadeeasimetriade( , ) a- - obtm-seo resultado desejado. 2.13.4 - Lemma 2. Seja ( )( ) ( ) ,h hu y u y a u u g = (2. 192) onde g a funo de Green. 2.13.5 - Prova Pela definio de yo( )( ) ( ) ,h hyu y u y u u o = (2. 193) Por (2. 188) ( )( ) ( ) ,h hu y u y a u u g = (2. 194) Note que a linha 2 verdade uma vez que hu u est em V . 84 2.13.6 - Prova do Teorema Comonstemosobservadopreviamente,se Ay x = ,umn, hg V e .Vamos tomar este como sendo o caso. Ento ( )( ) ( ) , ( 2)0 ( 1)h hA Au x u x a u u g LemaLema = = (2. 195) Oteoremavlidopara1, 2,..., 1. A n = + StrangeFix[6]atribuemeste argumentoaDouglaseDupont.Resultadosdestetipo,encorporandocaracterticasde excepcionalacuracidade,sofrequentementereferidascomoumfenmenoda superconvergncia. Contudo, o leitor apreciaria que em situaes mais complicadas, ns no seremoscapazesdenaprtica,garantirexatidonodal.Portanto,comonsveremosmais tarde, procedimentos de resduos ponderados provem um sistema de trabalho dentro do qual as propriedades de acuracidade tima de alguma sorte pode ser frequentemente garantida. 2.13.7 - Acuracidade das Derivadas Considerandoaspropriedadesdeconvergnciadasderivadas,certasnoeselementaresde anlise numrica surgem. O leitor deve est seguro que ele ou elapossuiumcompleto entendimentodestasidiasconformeelassubsequentementeaparecememoutroscontextos. Ns comeamos pela introduo de alguns resultados matemticos preliminares.2.13.8 - Taylors Frmula with Resduos Seja:[0;1] f Rpossuikderivadascontnuasesejayezdoispontosno intervalo [0;1]. Ento existe um ponto c entre y e z tal que: 22..1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )21( ) , ( ) ...3!1( ) , ( )!k vezesx xxxxxkxx xf z f y z y f y z y f x yz y f yz y f ck= + + + + ++ (2. 196) A prova desta frmula pode ser achada em [7]. A equao (2. 196) algumas vezes chamado de Expanso Finita de Taylor. 85 2.13.9 - Teorema do Valor Mdio O teorema do valor mdio um caso especial da equao (2. 196) a qual valido desde que1 k >(i. e., f contnuamente diferencivel)( ) ( ) ( ) , ( )xf z f y z y f c = + (2. 197) Figura - 2. 21. Considereumsubintervalotpico 1[ , ]A Ax x +.Nstemosjmostradoque hu exato nas extremidades (veja Figura - 2. 21). A derivada de huem 1] , [A Ax x + constante: 11( ) ( ), ( ) , ] , [h hhA Ax A AAu x u xu x x x xh++= e(2. 198) 2.13.10 - Teorema Suponha queu continuamente diferencivel. Ento existe no mnimo um ponto em 1] , [A Ax x + no qual (2. 197) exata. 1( ) ( ), ( )A AxAu x u xu ch+=(2. 199) 2.13.11 - Prova Pelo teorema do valor mdio, existe um ponto c e ]xA,xA+1[ tal que: 86 (Ns usamos (2. 197) com u, xA exA+1 no lugar de f,y e z respectivamente). Desde que u(xA) = uh(xA) e u(xA+1) = uh(xA+1), ns podemos reescrever (2. 200) como1( ) ( ), ( )h hA AxAu x u xu ch+=(2. 200) Comparao de (2. 200) com (2. 199) produz o resultado desejado. 2.13.12 - Observaes 1. Este resultado significa que o valor constantede hxu, deve coincidir com xu,

em algum lugar de ]xA,xA+1[, veja Figura - 2. 22. 2. Sem o conhecimento de u nos ns no temos nenhuma maneira de determinar a localizao nas quais as derivadas sero exatas. Os seguintes resultados sero muito teis em queelescontam-nosqueospontosmdiosso,numsentido,otimamenteexatos, independentes de u.Seja 1( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ) , ( )h hdefhA Ax x x xAu x u xe u u uho o o o+= = (2. 201) Oerro(absoluto)nasderivadas 1[ , ]A Ax x o+e .Paraestabelecerumasuperioridadedos pontos mdios no calculo das derivadas, nos precisamos de um resultado preliminar. Figura - 2. 22. 2.13.13 - Lema Suponha que u trs vezes continuamente diferencivel. Ento87 13 31 1 2, ( ) , ( )21( ) , ( ) ( ) , ( )3!A Ax xxA xxx A xxxAx xe ux u c x u cho o oo o+++| |= |\ . (+ (2. 202) onde 1ce 2cso em 1[ , ]A Ax x +. 2.13.14 - Prova Expanda 1( )Au x +e( )Au x emexpansofinitadeTayloremtornode 1[ , ]A Ax x o+e , viz., 21 1 131 1 121 1 132 2 11( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )21( ) , ( ), [ , ]3!1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )21( ) , ( ) [ , ]3!A A x A xxA xxx AA A x A xxA xxx Au x u x u x ux u c c xu x u x u x ux u c c xo o o o oo oo o o o oo o+ + +++ + ++= + + ++ e= + + + e (2. 203) Substraindo e dividindo por Ahfornece 1 13 31 1 2( ) ( ), ( ) , ( )21( ) , ( ) ( ) , ( )3!h hA A A Ax xxAA xxx A xxxAu x u x x xu uhx u c x u cho o oo o+ ++ +| |= + |\ . (+ (2. 204) Substituindou(xA+1)poruh(xA+1)eu(xA)poruh(xA)noladoesquerdodaequaoe rearranjando os termos completamos a prova.2.13.15 - Discusso Paradeterminaroque(2.202)noscontasobreaexatidodaderivada,nos desejamospensardasituaonaqualamalhaestsendosistematicamenterefinada(isto, nosdeixamoshAseaproximardezero).Nestecaso 2Ah devesermuitomenorquehA. 88 Portanto,paraumdadou,seoladodireitode(2.202)) (2Ah O3,oerronaderivadaser muitomenordoqueseoladodireitosomenteO(hA).Oexpoentedehchamadode ordemdeconvergnciaoordemdeexatido.Nocasoanteriornostnhamosaconvergncia desegundaordemdaderivada,umavezquenoltimocasonostemossomentea convergncia de primeira ordem.Por exemplo, assumindo que a xA, ento) ( ) (! 3) (2) (1 ,2, , A xxxAA xxAA xh O c uhx uhx e = + = (2. 205) como hA 0 o primeiro termo domina. (ns vemos dos clculos do exemplo na seo 1.8 que os pontos extremos de cada subintervalo no so muito exato