Profa. Patrcia Moreira Lima

FT 5 Aula 3

3-CONDUO DE CALOR

PERMANENTE

10/04/2013

2

Compreender o conceito de resistncia trmica e suas limitaes, e desenvolver redes de resistncia trmica para problemas prticos de

conduo

Resolver problemas de conduo permanente envolvendo geometrias retangulares, cilndricas e esfricas.

Desenvolver uma compreenso intuitiva de resistncia de contato e as circunstncias que ela pode ser significativa

Identificar aplicaes em que o isolamento pode realmente aumentar a TC.

Analisar superfcies aletadas e avaliar como elas aumentam TC

Objetivos

3

3.1- PAREDES PLANAS

Regime Permanente

sendo

Em regime permanente a taxa de TC atravs

da parede deve ser constante

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Regime Permanente:

dT/dx constante : T varia linearmente

atravs da parede

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Conceito de resistncia trmica

A equao para conduo de calor atravs de uma parede pode ser reorganizada como:

Resistncia de conduo da parede resistncia trmica da parede contra a

conduo: Depende da geometria e das

propriedades trmicas do meio

Taxa de TC corrente eltrica

Resistncia trmica resistncia eltrica

Diferena de temperatura diferena de tenso

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Lei de Newton do resfriamento

Resistncia de conveco:

Resistncia trmica da superfcie

contra a conveco

Quando h muito grande (h ), a resistncia de conveco torna-se nula e Ts T.

Essa superfcie no oferece resistncia a conveco, assim ela ela no

torna mais lento TC.

Esta situao abordada na prtica em superfcies onde ocorre ebulio e

condensao.

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Considerando os efeitos da radiao

Resistncia de radiao: resistncia

trmica da superfcie contra a radiao.

Coeficiente de TC por radiao

Coeficiente de TC combinado

Conveco e radiao simultaneamente

Quando

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Rede de resistncia trmica

Taxa de conveco de

calor para a parede Taxa de conduo de

atravs da parede

Taxa de conveco de calor

da parede = =

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A queda da temperatura

U- Coeficiente global

de TC

Um vez determinado o valor de Q a

temperatura da superfcie T1 pode ser

determinada. A queda de temperatura atravs de

uma camada proporcional sua

resistncia

10

Paredes planas multicamadas

A rede de resistncia

trmica para a TC

atravs de duas

camadas de parede

submetidas conveco

em ambos os lados

11

12

Exemplo 3.1: Perda de calor atravs de janela de

painel duplo

Considere uma janela de painel duplo de

0,8 m de altura e 1,5 m de largura

composta de duas placas de vidro (k= 0,78

W/m.K) de 4 mm de espessura, separadas

por um espao se ar estagnado (k= 0,026

W/m.K) de 10 mm de largura. Determine a

taxa de transferncia de calor permanente

atravs desta janela e a temperatura da

superfcie interna em um dia em que a

sala seja mantida a 20 oC, enquanto a

temperatura no exterior - 10 oC .

Considere os coeficientes de TC por

conveco sobre as superfcies interna e

externa como h1= 10 W/m2. oC e h2= 40

W/m2 .oC, que incluem os efeitos da

radiao.

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3.2- RESISTNCIA TRMICA DE CONTATO

Distribuio de temperatura e linhas de fluxo de calor ao longo de duas placas

slidas pressionadas uma contra outra para o caso de contato perfeito e imperfeito

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Quando duas superfcies so pressionadas uma contra a

outra os picos formam um bom

contato material mas os vales

formam vazios preenchidos

com ar.

Uma montagem experimental tpica

para determinao da resistncia

trmica de contato

Uma interface oferece alguma resistncia a TC e essa

resistncia por unidade de

rea chamada de resistncia

trmica de conato, Rc.

Essas lacunas de ar funcionam como um

isolamento devido a baixa

condutividade trmica do ar

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hc condutncia trmica

de contato

O valor da resistncia

trmica de contato

depende:

da rugosidade superficial

Das propriedades do material,

Da temperatura e presso na interface

Do tipo de fluido aprisionado na

interface

a resistncia diminui com a diminuio da

rugosidade da

superfcie com o

aumento de presso

Valores entre 0,000005 e 0,0005 m2oC/W

16

A resistncia trmica de contato pode ser

minimizada

Substituindo o ar com um melhor gas condutor na interface como hlio e

hidrognio

Aplicando uma folha metlica como estanho, prata, cobre

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A condutncia trmica de contato mais elevada portanto a resistncia

trmica de contato menor) para metais macios em superfcies lisas a alta

presso.

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Exemplo 3.2: Espessura equivalente para

resistncia de contato

A condutncia trmica de contato

na interface de duas placas de

alumnio (k= 237 W/m.K) de um

centmetro de espessura de

11.000 W/m2.K. Determine a

espessura da placa de alumnio

cuja resistncia trmica igual a

resistncia trmica da interface

entre as placas.

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3.3- REDE DE RESISTNCIA TRMICA

GENERALIZADA

Rede de resistncia trmica para

duas camadas paralelas

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Duas hipteses comumente utilizadas

na resoluo de problemas

multidimensionais tratando-os

como unidimensionais utilizando a

rede de resistncia trmica

(1)Qualquer parede plana normal ao

eixo x is isotrmica

(2) Qualquer plano paralelo ao eixo x

adiabtico

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Exemplo 3.3: Perda de calor atravs de uma parede

composta

Uma parede de 3 m de altura e 5 m

consiste de tijolos (k= 0,72 W/m. oC)

horizontais de 16 cm x 22 cm de seo

transversal, separados por camadas de

gesso (k= 0,22 W/m. oC) de 3 cm

espessura. Existem ainda gessos de 2 cm

espessura de cada lado do tijolo e uma

camada de 3 cm espessura de espuma

rgida (k= 0,026 W/m. oC) na face interna

da parede. As temperaturas internas e

externas so 20 oC, e - 10 oC ,

respectivamente ,e os coeficientes de TC

por conveco dos lados interno e externo

so h1= 10 W/m2. oC e h2= 25 W/m

2 .oC.

Assumindo TC unidimensional e ignorando

radiao, determinar a taxa TC atravs da

parede.

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3.4- CONDUO DE CALOR EM CILINDROS E

ESFERAS

A transferncia de calor pode ser modelada como permanente e

unidimensional

A temperatura do tubo depende de uma s direo(direo

radial) e pode ser expresso

como T = T(r).

A situao aproximada na prtica para longos tubos e para

esferas

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Um longo tubo cilndrico (ou uma

camada esfrica) com temperaturas

especificadas nas superfcies

internas e externa T1 e T2.

Resistncia de conduo da camada cilndrica:

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Uma camada esfrica) com temperaturas

especificadas nas superfcies internas e

externa T1 e T2.

Para esfera: A= 4r2

Resistncia de conduo da camada esfrica:

25

A taxa de TC permanente:

Para uma camada esfrica:

Para uma camada cilndrica:

Rede de resistncia trmica

para uma camada cilndrica

ou esfrica submetida

conveco de ambos os

lados interno e externo.

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Cilindros e esferas multicamadas

27

A razo T/R atravs de qualquer camada igual a Q

que permanece constante para

conduo unidimensional

Uma vez que o valor de Q seja

conhecido podemos determinar

qualquer temperatura intermediria Tj

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Exemplo 3.4: Perda de calor atravs de um tubo de

vapor isolado

O vapor a T1 = 320 oC) escoa em um

tubo de ferro fundido (k= 80 W/m. oC)

cujos dimetros interno e externo so

D1= 5 cm e D2 = 5,5 cm respectivamente.

O tubo tem isolamento de l de vidro (k=

0,05 W/m. oC) de 3 cm de espessura. O

calor perdido para o meio a T2 = 5 oC

por conveco natural e por radiao,

com um coeficiente de transferncia de

calor combinado h2= 18 W/m2. oC . Sendo

o coeficiente de transferncia de calor no

interior do tubo h1= 60 W/m2 .oC

determinar a taxa de perda de calor a

partir do vapor por unidade de

comprimento do tubo. Determinar

tambm a queda de temperatura da

tubulao e do isolamento.

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3.5- RAIO CRTICO DE ISOLAMENTO

A adio de isolamento a uma parede

sempre diminui a TC, pois a rea de TC

constante, aumentando o isolamento

sempre aumenta a resistncia trmica

da parede sem aumentar a resistncia

de conveco

Em um cilindro ou uma casca esfrica o

isolamento aumenta a resistncia de

conduo da camada, mas diminui a

resistncia de conveco da superfcie

devido ao aumento da superfcie

externa para conveco.

A TC a partir do tubo a partir do tubo

pode aumentar ou diminuir, dependendo

do efeito dominante.

30

Variao da taxa de TC com o

raio externo do isolamento r2

O valor de r2 em Q atinge um mximo determinado a partir da exigncia

de que dQ/d r2 =0. Fazendo a diferenciao e resolvendo para r2, obtemos:

O raio crtico de isolamento de um cilndrico:

O raio crtico de isolamento de uma esfera:

Podemos isolar tubo de vapor livremente

sem nos preocupar com a possibilidade de

aumentar a TC ao isolar tubos

O maior valor do raio crtico que

esperamos encontrar

31

Exemplo 3.5: Perda de calor a partir de um fio

eltrico isolado

Um fio eltrico de 3 mm de dimetro e 5

m de comprimento est recoberto com

uma cobertura plstica de 2 mm

espessura (k= 0,15 W/m. oC). Medies

eltricas indicam que uma corrente de 10

A passa atravs do fio e h uma queda

de tenso de 8 V ao longo do fio. Se o fio

isolado est exposto ao meio a T = 30oC

com um coeficiente de transferncia de

calor h= 12 W/m2. oC . Determinar a

temperatura na interface entre o fio e a

cobertura em funcionamento

permanente. Determinar tambm se, ao

duplicar a espessura da cobertura

plstica essa T da interface ir aumentar

ou diminuir.

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3.6- TC A PARTIR DE SUPERFCIES ALETADAS

Lei de Newton: A taxa de TC a partir de uma superfcie

a uma Temperatura TS para o meio a T

Quando Ts e T so fixadas, existem duas

formas de aumentar a taxa de TC.

Aumentar o coeficiente de transferncia de calor por conveco h. Pode exigir a

instalao de uma bomba ou ventilador,

ou substituio do equipamento

existente com um de maior dimenso,

mas esta abordagem pode no ser

prtica

Aumentar a rea da superfcie As anexando superfcies estendidas

chamadas de aletas feitas de materiais

altamente condutores.

33

Aletas

Aumento da rea superficial

34

Aletas

A escolha do material da aleta pode ter um grande efeito da TC.

Idealmente o material da aleta deveria ter uma condutividade

elevada para minimizar variaes de

T desde sua base at sua

extremidade.

No limite de condutividade trmica infinita, toda a aleta estaria a

mesma temperatura da superfcie

de sua base, fornecendo a mxima

taxa de TC.

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Aletas: Aplicaes

Dispositivo para resfriar o cabeote de motores de veculos, cortadores de grama, ou para resfriar transformadores de

potncia eltrica.

Tubos aletados para promover a troca de calor entre o ar e fluido de trabalho em um aparelho de ar condicionado.

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Aletas com seco uniforme

Para determinar a distribuio de T em uma aleta com rea de

seo transversal uniforme, deve-se assumir que:

A condutividade trmica varia muito pouco com a T (pode ser considerada constante).

Os gradientes transversais de T no interior da aleta so pequenos a ponto de se poder considerar que a T em

qualquer seo transversal da haste uniforme. T (x) apenas.

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Aletas

At o momento consideramos que a TC por conveco ou radiao nas fronteiras de um corpo slido ocorreria na mesma

direo da TC de calor no seu interior.

38

Aletas

Nas superfcies estendidas a direo da TC de calor nas fronteiras perpendicular direo principal de TC interior do

slido.

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Taxa de conduo

de calor para o

elemento em x

= Taxa de conduo

de calor do

elemento em x+x

+ Taxa de

conveco de

calor do elemento

40

Elemento de volume da aleta na

localizao x tendo comprimento x,

rea transversal Ac, e permetro p.

41

Aletas

Ac e K constantes a equao pode ser representada em termos de

excesso de temperatura,

onde

42

o Condio de contorno 1: na

base:

Essa uma equao diferencial de segunda ordem

linear e homognea, cuja soluo tema a forma:

Para avaliar C1 e C2 necessrio especificar as condies de contorno na

aleta na direo x.

x= 0, T= Tb

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o Condio de contorno 2: na base: depende da condio da

extremidade da aleta

A aleta muito longa e a temperatura na extremidade

se aproxima da T do fluido

A extremidade da aleta isolada

A ponta perde calor por conveco.

A T na extremidade da aleta fixa.

44

1- Aleta infinitamente comprida(Tponta aleta = T)

Condio de contorno na ponta da aleta

x= , T= T

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2- Perda de calor desprezvel a partir da ponta da aleta

(ponta da aleta adiabtica, Qponta aleta = 0)

Condio de contorno na ponta da aleta

x= L, dTdx= 0

46

3- Temperatura especificada na ponta da aleta(Tponta aleta = TL)

Condio de contorno na ponta

x= L, T= TL

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4- Conveco a partir da ponta da aleta

A condio na ponta da aleta pode ser obtida por um balano de energia na

ponta.

Condio de contorno na ponta

Lk

h

dx

Ld

)(

48

49

50

51

52

53

Eficincia de aletas de perfis retangulares, triangulares e

parablicos

54

Eficincia de aletas circulares de espessura constante t.

55

Exemplo 3.6: Efeito das aletas na transferncia

de calor em tubos de vapor.

Vapor dagua em um sistema de aquecimento fui atravs de tubos cujo dimetro externo D1 = 3 cm e cujas paredes so mantidas a uma

temperatura de 120 oC. Aletas circulares de uma liga de alumnio (k= 180

w/m.K) de dimetro externo D2 = 6 cm e espessura t = 2 mm so fixadas

ao tubo, o espao entre as aletas de 3 mm, e portanto h 200 aletas por

metro de comprimento do tubo. O calor transferido para o ar a T= 25 oC,

com um coeficiente combinado h = 60 W/m2.C.

Determinar o aumento da

transferncia de calor a partir

do tubo por metro de

comprimento, como resultado

da adio de aletas.

56

Sob condies permanente a TC a

partir das superfcies expostas da

aleta igual conduo de calor da

aleta da base.

A taxa de TC a partir da aleta tambm poderia

ser determinada considerando a TC a partir de

um elemento de volume diferencial da aleta e

integrando-a ao longo de toda sua superfcie.