1Aula Mov Ret Ponto Material

CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL

Mecânica: estuda os movimentos dos objetos e as forças que os provocam. Divide em cinemática e dinâmica.

Cinemática: estuda o movimento dos objetos, relacionando posição, velocidade, aceleração e tempo, sem referência as causas do movimento.

Dinâmica: estuda a relação entre as forças que atuam em um corpo e o seu movimento. Pode-se prever o movimento causado pelas forças aplicadas em um corpo.

Mecânica clássica ou newtoniana: baseia-se nas leis de Newton.

Mecânica quântica ou ondulatória: estuda os fenômenos ocorrentes com partículas, moléculas e átomos.


Reologia: estuda as propriedades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos.

Galileu (1564-1642): primeira contribuição ao estudo do movimento (cinemática).


Newton (1642-1727): formulou as leis fundamentais do movimento (dinâmica).

Movimento do ponto material: dizer que um corpo é

analisado como ponto material significa que

apenas seu movimento, como um todo, é

considerado, isto é, a rotação é ignorada.

Movimento do corpo rígido: o movimento de rotação não pode ser desprezível. O corpo não pode ser considerado como um ponto material.


Grandeza física é o nome atribuído a tudo aquilo que pode ser medido por um instrumento. Exemplos: Temperatura; tempo, volume, etc..

Tipos de grandezas:

1) Grandezas escalares

2) Grandezas vetoriais


Grandezas escalares: são as grandezas que ficam determinadas quando se conhecem a sua intensidade (que é um número positivo acompanhado de uma unidade).

Exemplo: Temperatura, volume, densidade, etc.

Grandezas vetoriais: são as grandezas que ficam determinadas pela intensidade e por uma orientação espacial (que é a direção e sentido).

Exemplo: Força, deslocamento, velocidade, etc.


MOVIMENTO RETILÍNEO DE UM PONTO MATERIAL

POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO

No movimento retilíneo de um ponto material, as grandezas: posição, velocidade e aceleração têm uma direção conhecida e fixa, necessitando-se somente especificar o sentido e o módulo. Isto pode ser indicado usando-se uma quantidade escalar com sinal positivo (+) ou negativo (-).

Posição: depende de um referencial

Velocidade escalar média

s

m

t

xv

0: xinicialposiçãodeCoordenada

xfinalposiçãodeCoordenada :

0: xxxtoDeslocamen

Velocidade escalar instantânea

s

m

dt

dx

t

xvv

ti

0lim

0xx

P 'P



- A velocidade escalar “V” é representada por um número real, positivo, negativo ou nulo.

OBSERVAÇÕES

- Um valor positivo de “V” indica que “X” aumenta, isto é, que o ponto material se desloca no sentido positivo da trajetória.

- Um valor negativo de “V” indica que “X” diminui, isto é, que o ponto material se desloca no sentido negativo da trajetória.

P V > 0

X

PV < 0

X

Aceleração escalar média:

2s

m

t

va


Aceleração escalar instantânea:

20

lims

m

dt

dv

t

va

t

22

2

s

m

dt

xd

dt

dva

- A aceleração escalar “a” é representada por um número real, positivo, negativo ou nulo.

OBSERVAÇÕES


- Um valor positivo de “a” indica que “V” está aumentando, isto significa que: o ponto material se desloca cada vez mais rapidamente no sentido positivo da trajetória ou que ele se desloca dada vez mais lentamente no sentido negativo da trajetória.

PV

X

P’V’

a > 0

PV

X

P’V’

a > 0


- Um valor negativo de “a” indica que “V” está diminuindo, isto significa que: o ponto material se desloca cada vez mais lentamente no sentido positivo da trajetória ou que ele se desloca dada vez mais rapidamente no sentido negativo da trajetória.

PV

X

P’V’

a < 0

PV

X

P’V’

a < 0

Determinação do Movimento do Ponto Material


O movimento de um ponto material é conhecido se sua posição é conhecida para cada valor de “t”.

Na prática, o movimento de um ponto material é raramente definido por uma relação entre “posição” e “tempo”. Muitas vezes, o movimento é caracterizado pelo tipo de aceleração que o ponto material possui.

Exemplo:


Um corpo em queda livre possui aceleração constante (9,81m/s2) dirigida para baixo. Em geral, a aceleração de um ponto material pode ser expressa em função de uma das diversas variáveis “t”, “X” e “V”.

Investigação da aceleração de um ponto material em função de uma das diversas variáveis:

1. Aceleração em função do tempo

2. Aceleração em função da posição

3. Aceleração em função da velocidade


t

t

t

t

v

v

dttavvdttadvdttadv000

)()()( 0

Deve-se conhecer as condições iniciais

1. Aceleração em função do tempo: )(ta

t

t

t

t

x

x

dttvxxdttvdxdttvdx000

)()()( 0

00 xev


dxxadvvdx

dvvxa

dt

dx

dx

dv

dt

dvxa )()()(


2. Aceleração em função da posição )(xa

x

x

x

x

dxxavvdxxadvv000

)(2

1

2

1)( 2

02

00 xe

x

x

t

t xv

dxdttt

xv

dxdt

dt

dxxvComo

00)()(

)( 0


v

v

t

t va

dvdttt

va

dvdt

dt

dvva

00)()(

)( 0


3. Aceleração em função da velocidade )(a

v

v

x

x va

dvvdxxx

va

dvvdx

dx

dvvva

00)()(

)( 0

00 xev



OBSERVAÇÃO

Como a derivada de uma função mede a inclinação da curva correspondente, tem-se:- a inclinação da curva “x versus t”, para qualquer instante de tempo dado, é igual ao valor de “V” nesse instante;

- a inclinação da curva “V versus t”, para qualquer instante de tempo dado, é igual ao valor de “a” nesse instante;


EXERCÍCIOS

1) Um ponto material que se desloca em linha reta, de modo que sua posição seja definida por x=(6t2-t3), onde “t” é expresso em segundos e “x” é expresso em metros. Nesta condições pede-se: a) a equação da velocidade e da aceleração do ponto material em função do tempo;b) Esboce os gráficos: “x” versus “t” ; “V” versus “t” ; “a” versus “t” para 0 t 8;c) Faça uma análise dos gráficos.

R.: a) V = 12t - 3t2 e a = 12 - 6t



2) Um ponto material se move segundo uma linha reta, de forma que por um curto período de tempo sua velocidade é definida por v= (3t2+2t) m/s, onde “t” é expresso em segundos e t0. Considere que quando t=0, x=0. Nesta condições pede-se: a posição e a aceleração do ponto material quando t=3s.

R.: x = 36m e a = 20m/s2


3) Aposição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida pela relação: x= t3-6t2-15t+40, onde “x” é expresso em metros e “t” em segundos e t0. Pede-se:a) o instante em que a velocidade será nula;b) a posição e a distância percorrida pelo ponto até esse instante;c) a aceleração do ponto nesse instante;d) a distância percorrida pelo ponto de t=4s a t=6s.

R.: a) t=5s; b) x5=-60m e (x5-xo)=-100mc) a5=18m/s2 d)18m


4) Um pequeno projétil é lançado verticalmente para baixo em um fluido com velocidade inicial de 60m/s. Devido à resistência do fluido, o projétil sofre uma desaceleração que pode ser representada por a=(-0,4V3) m/s2 , onde “V” é expresso em m/s. Neste sentido pede-se a velocidade e a posição do projétil após 4s de seu lançamento.

R.: v = 0,559 m/s e x = 4,43 m

0

y


5) De uma janela de um prédio, localizado a 20m acima do solo, arremessa-se, verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10m/s. Sabendo-se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81m/s2, para baixo. Pede-se:a) a velocidade “V” e a elevação “Y” da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante “t”;b) a máxima elevação atingida pela bola e o correspondente instante “t”;c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua correspondente velocidade. Esboce os gráficos Vxt e Yxt.


6) Durante um teste um foguete movimenta-se para cima e seu motor falha ao atingir 40 m do solo e velocidade de 75 m/s. Durante o tempo em que o foguete está em movimento, ele sobe com uma aceleração constante para baixo de 9,81 m/s2 devido a gravidade. Desprezando o efeito da resistência do ar, determine a altura máxima alcançada pelo foguete e sua velocidade no instante imediatamente antes de tocar o solo.

R.: a) altura máxima = 327 m e V = 80,1 m/s

R.: a) V = 10 - 9,81t e Y = -4,90t2 + 10t + 20b) t = 1,02 s e Y = 25,1 mc) t = 3,28 s e v = - 22,2 m/s


7) A aceleração de um ponto material é proporcional ao tempo t. No instante que t=0, a velocidade é v=-9m/s e a a=0. Sabendo-se que v=0 e x=12m quando t=3s, escreva as equações que caracterizam o movimento.

8) Uma partícula percorre uma trajetória em linha reta com velocidade expressa por V=(12-3t2) m/s, onde “t” é expresso em segundos. Quando t=1s, a partícula está localizada 10 m à esquerda da origem. Determine a aceleração quando t=4s, o deslocamento de t=0 até t=10s e a distância percorrida pela partícula durante este intervalo de tempo.

t

t

x

x

dtvdxxxdtvdxanteconstdt

dxv

00

0


Movimento Retilíneo Uniforme

0 aanteconstv

00 tex


)( 00 ttvxx vtxx 0 p/ to=0

t

t

v

v

dtadvvvdtadvanteconstdt

dva

00

0


Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado

anteconsta

atvvttavv 000 )(

000 , texv

dtatatvdxatatvdt

dxv 0000

200000 2

1

00

attvxxdtatatvdxxxt

t

x

x


x

x

v

v

dxavdvdxavdvdx

dvv

dt

dva

00

Pode-se também escrever que:

dx

dvv

dx

dx

dt

dv

dt

dva

)(2)()(2

10

20

20

20

2 xxavvxxavv


No caso do movimento de vários pontos materiais, ao longo de uma mesma reta, equações independentes podem ser escritas para cada um dos pontos, mantendo o mesmo referencial, isto é, utilizando-se um único cronômetro e um único referencial.


Movimento de Vários Pontos Materiais:

ABABABAB xxxxxx //

ABABABAB vvvvvv //

Movimento Relativo de dois Pontos Materiais

AxBx

A B

ABx /

ABABABAB aaaaaa //


A diferença (xB - xA) defini a posição de “B” em relação a “A”.

1) Uma bola é arremessada, verticalmente, para cima, a partir de uma altura de 12m, num poço de elevador, com uma velocidade inicial de 18m/s. No mesmo instante, um elevador de plataforma está a uma altura de 5m, subindo com velocidade constante de 2m/s. Pede-se:a) Determine quando e onde a bola se encontrará com o elevador; R.: t=3,65s e y = 12,30mb) Determine a velocidade da bola em relação ao elevador quando o encontrar. R.: VB/E=-19,81m/s


EXERCÍCIOS:

2) Atira-se uma bola verticalmente, para cima, a partir de um ponto localizado a 25m acima do solo. Sabendo-se que a bola atinge o solo 3s após ter sido atirada, pede-se:a) Determine a velocidade de arremesso;b) Determine a velocidade de chegada ao solo.


3) Um automóvel percorre 240m em 20s com aceleração uniforme de 0,75m/s2. Pede-se:a) Determine a velocidade inicial do automóvel;b) Determine a velocidade final do automóvel;c) Determine a distância percorrida durante os primeiros 10s.

4) Um automóvel “A” está trafegando para leste com uma velocidade constante de 25Km/h quando passa pelo cruzamento. Um automóvel “B” que estava parado a 30m ao norte, dirige-se para o sul com uma aceleração constante de 1,2m/s2. Determine a posição, a velocidade e a aceleração de “B” em relação a “A” cinco segundos após “A” passar pelo cruzamento.


5) Um elevador de carga, movendo-se para cima com uma velocidade de 1,8m/s passa por um elevador de passageiros que está parado. Quatro segundos depois este último se põe em movimento, para cima, com aceleração de 0,72m/s2. Pede-se:a) Determine quando e onde os elevadores estarão à mesma altura;b) Determine qual será a velocidade do elevador de passageiros.


6) Um carro “B” está trafegando a uma distância “d” à frente do carro “A”. Ambos estão a uma velocidade de 60m/s quando o motorista do carro “B” repentinamente pisa no freio, causando uma desaceleração de 12m/s2 em seu carro. Esta atitude demanda 0,75s para ser percebida pelo motorista do carro “A” (este é o tempo normal de reação para motoristas). Quando ele pisa no freio, ele desacelera seu carro a 15m/s2. Nestas condições, determine a máxima distância “d” entre os carros para evitar uma colisão.



Soluções gráficas são utilizadas quando:

1) Posição, velocidade e aceleração não podem ser expressos analiticamente como funções do tempo.

Solução Gráfica de Problemas de Movimento

3) O movimento em estudo consiste de partes distintas e sua análise exige uma equação diferente para cada parte.

2) O movimento em estudo é definido por dados experimentais.


1 - A velocidade em cada ponto é igual a inclinação da curva x-t;

Gráfico: x-t

2 - A aceleração em cada ponto é igual a inclinação da curva v-t.

Quando se conhece o gráfico de (x-t) pode-se obter os gráficos de (v-t e a-t) através das inclinações.

vdt

dx

Gráfico: v-t Gráfico: a-t


Quando se conhece o gráfico de (a-t) pode-se obter os gráficos de (v-t e x-t) através da área medida sob a curva do gráfico:

- A área sob a curva (V-t) mede X;

- A área sob a curva (a-t) mede V;

- Uma área acima do eixo “t” corresponde a um aumento de “X” ou “V”;

- Uma área abaixo do eixo “t” mede um decréscimo de “X” ou “V”.


EXERCÍCIOS:

1) Um ponto material se move em uma trajetória retilínea de forma que sua posição e descrita pelo gráfico (x-t), conforme figura abaixo. Pede-se: construa o gráfico de (v-t) e (a-t) correspondentes ao período (0 t 30s).

100

500

10 30 t(s)

X(m)

x=t2

X=20t-100


2) A velocidade de um trem durante o primeiro minuto de seu percurso foi registrada conforme os dados a seguir:

t(s)

V(m/s)

0

0

20

16

40 60

21 24

Pede-se:

a) Faça o gráfico (V-t), aproximando a curva com segmento de reta entre os pontos fornecidos;b) Determine a distância total percorrida.


3) Um ponto material parte do repouso e percorre uma trajetória retilínea de forma que ele é acelerado a uma taxa constante (10m/s2) por 10s e em seguida desacelera a uma taxa também constante (-2m/s2). Nestas condições, pede-se:a) construa os gráficos de (v-t) e (x-t);b) Determine o tempo necessário para o ponto material parar; (R.: 60s)c) Qual a distância percorrida pelo ponto material. (R.:3000m)


4) Uma composição de metrô deixa a estação “A”. Acelera à razão de 1,2m/s2 durante 6s e, então, acelera à razão de 1,8m/s2 até alcançar a velocidade de 14,4m/s. A composição mantém a mesma velocidade até as proximidades da estação “B”. Aplicam-se, então, os freios que a desaceleram uniformemente e a fazem parar em 6s. O tempo total gasto na viagem de “A” a “B” foi de 40s. Esboce os diagramas (a-t), (v-t) e (x-t) e determine a distância entre as estações “A” e “B”.


5) O gráfico (v-x) descreve o movimento de um ponto material, conforme mostra figura abaixo. Nestas condições, pede-se: a) construa o gráfico de (a-x) desse movimento; b) Determine o tempo necessário para o ponto material atingir a posição x=400m. R.: 12s

10

50

200 400 X (m)

V(m/s)

V=50

V=0,2X+10


6) Um ponto material partindo do repouso em x=0 apresenta o perfil de aceleração conforme o gráfico (a-x) mostrado a seguir. Pede-se, construa o gráfico de v-x.

75

500 X (m)

a(m/s2)

a=75-0,15x


7) O gráfico (v-x) para um ponto material é mostrado na figura abaixo. Nestas condições, pede-se, determine a aceleração do ponto material quando x=100m e quando x=175m.

10

50

100 200 X (m)

V(m/s)

15050


8) O gráfico (a-x) de um ponto material é fornecido para os primeiros 400m de seu movimento, conforme mostra figura abaixo. Nestas condições, pede-se, construa o gráfico de (v-x). Considere V=0 quando x=0.

2

200 400 X (m)

a(m/s2)

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