!L1. Introduo

A experincia nos mostra que, se quisermos frear em ls uma bicicleta que esteja comuma velocidade de 10m/s, ser necessrio aplicar uma fora muito intensa. Se no lugarda bicicleta considerarmos um carro com igual velocidade e se quisermos fre-lo no mes-mo intervalo de tempo, nece.ssitaremos de uma fora de intensidade muito maior. Por ou-tro lado, se o carro estivesse com velocidade de 20 m/s, a fora de freamento precisariater intensidade maior ainda, no mesmo intervalo de tempo. Nessas condies, a fora re-querida depende da velocidade e da massa do corpo. Note que os mesmos efeitos podemser obtidos em intervalos de tempo maiores com a aplicao de foras menos intensas.

Esses fatos sugerem a introduo de duas novas grandezas: impulso, que caracteriza-do pela fora e pelo intervalo de tempo de sua atuao, e quantidade de movimento, queleva em conta a massa e a velocidade do corpo.

2. Definio de impulso de uma fora constanteConsidere um ponto material sob ao de uma fora F constante, durante um inter-

valo de tempo ~t = t2 - ti.Por definio, impulso da fora F no intervalo de tempo ~t a grandeza vetorial:

I 1 = F .~t I~ndo o intervalo dejempo ~t uma grandeza escalar pos~va, conclumos que o.mpul-

so I tem a mesma direo e o mesmo sentido da fora F (fig. 1).

~t/~ ~A~ ~,r,

F _--- -------.-=-

-. -.Representando por I e F as intensidades do impulso I e da fora F ,respectivamen-te, podemos escrever: I = F . ~t.

No Sistema Internacional, a unidade de intensidade do impulso newton X segundo. s).

276

3. Mtodo grfico para clculo da intensida eimpulso

-+No caso da fora F constante, o grfico da intensidade F em funo do tempo t

representado na figura 2.

Fig.2F

FI III A I! I

o t, t2

Calculando a rea A do retngulo sombreado, temos:

A = F . (t2 - tI) = F . .::lt(numericamente)

Sendo a intensidade do impulso I = F . .::lt,conclumos:

No grfico cartesiano da intensidade da fora F em funo do tempo t, a rea A numericamente igual intensidade do impulso Ino intervalo .::l1.

I A = I (numericamente) I-+

A propriedade enunciada vlida mesmo quando a fora F for varivel em intensi-dade, mas de direo constante.

Exemplos:Na figura 3 apresentado o grfico da intensidade de uma fora de direo e sentido

constantes. A intensidade do impulso no intervalo O a 2 s numericamente igual reado tringulo sombreado.

rea do tringulo = base(2) . altura(10)2

Fig.3Portanto, I I = 10 N . s I

=10

o

F(N)

10 ----

tts)

277

--+o bloco da figura 4a desloca-se por ao de uma fora F de intensidade varivel,direo constante e sentido varivel. Observe no diagrama cartesiano da figura 4b que,para distinguir os diferentes sentidos de F,atribuirnos sinais s suas intensidades (valoralgbrico da fora). Assim, o sentido da fora no intervalo de O a 4 s contrrio ao sentidoda fora no intervalo de 4 s a 6 s, o mesmo acontecendo com os sentidos dos impulsos.Os mdulos dos impulsos, nesses intervalos, so numericamente iguais s reas dos trin-gulos AI e A2, respectivamente.

A - 4 10 = 20 :. II = 20 N . S1- 2

2 5A2 = -2- = 5 .'. 12= 5N . s

No interval~ de Oa 6 s o impul-~ resultante I tem o sentido deII e mdulo igual diferena dosmdulos I = II - 12 = 15N . s.(Neste curso o impulso de forasvariveis somente ser calculadopelo mtodo grfico.)

Fig.4a) 0--1--

10

F=O--+ --+Q~4fI II II II II I

b) A,o

- 5

EXERCCIOS1 Uma fora de intensidade 10N, direo h-rizontal e sentido da esquerda para a direi-ta, aplicada a uma partcula durante 2,0s.Determine a intensidade, a direo e o sen-tido do impulso desta fora,

F = 10N,.

Resoluo:O impulso tem as seguintescaractersticas:intensidade' I = F . ~t I I

I = 10 . 2,0 I = 20 N . s-+

direo: a mesma de E, isto , horizontalsentido: o mesmo de F , isto , da esquer-da para a direita

2 Um jogador d um chute em uma bolaaplicando-lhe uma fora de intensidade5,0 . 12N em 1,0 . 10-1 s. Determine a in-tensidade do impulso dessa fora.

intensidadedo impulso aplicado por uma

8

fora constante, no intervalo de tempo4,0s, igual a 20N . s. Determine a intensi-dade da fora.

4 Uma partcula descreveuma trajetria r~ti-lnea sob ao de uma fora cuja intensida-de varia com o tempo, conforme o grfico.Determine:

F(N)

30

o 10 " ts)

a) a intensidade do impulso da fora no in-tervalo de tempo de O a 10 s;

b) a intensidade da foraconstante que pro-duz o mesmo impulso que a fora de in-tensidade varivel dada.Essa fora constante recebe o nome defora mdia.

#'4. Definio de quantidade de movimento de um

ponto material

Resoluo:a) A intensidade do impulso no intervalo de

tempo de Oa 10 s numericamente igual rea A indicada:

F(N)

o 10 tts)

A = base X altura2

10 x 30 = 1502

I I = 150 N . s Ib )Sendo a fora constante, podemos usar

a expresso: I = F . .1t.Mas I = 150 N . s e t = 10 s; logo:

150 = F . 10 I F = 15 T5 Um ponto material realiza um rnovim .retilneo sob ao de uma fora cujoalgbrico varia com o tempo, de acordoo grfico anexo. Determine os mdulo dimpulsos dessa fora nos intervalos: O a3,0 s; 3,0 a 5,0 s e Oa 5,0 s.

F(N)

201---""""

o 1,0 15,0 tts)II

-20

Considere um ponto material de massa m que, num certo instante, possui velocida-de .

Por definio, quantidade de movimento do ponto material no instante em questo a grandeza vetorial:

f Sendo a massa uma grandeza escalar positiva, conclumos que a quantidade de movi-mnto Q tem a mesma direo e o mesmo sentido da velocidade v (fig. 5a e b),

trajetria

--+v

--+ --+Q = mvmG ai b)

~Representando por Q e v os mdulos da quantidade de movimento Q e da veloci

de ~ , respectivamente, podemos escrever Q = mv.No Sistema Internacional, a unidade do mdulo da quantidade de movime

kg. m .s

5. Definio de quantidade de movimento de umsistema de pontos materiais

Considere um sistema de pontos materiais de massas m., m-, ...,m, que num certo ins-. 1 d d -+ -+ -+tante possuem, respectivamente, as ve OCI a es VI , V2, , vn

Por definio, a quantidade de movimento do sistema de pontos materiais, no instanteem questo, a soma das quantidades de movimento dos pontos do sistema:

-+ -+ -+ -+Q = m, VI + m, V2 + ... + rn, Vn

EXERCCIOS6 Uma partcula de massa m = 1,0 kg pos-

sui, num certo instante, velocidade v demdulo v = 2,0 m/s, direo vertical e sen-tido ascendente. Determine o mdulo, a di-reo e o sentido da quantidade de movi-mento apresentados pela partcula no ins-tante considerado.

Resoluo:As caractersticas da quantidade de movi-mento da partcula, no instante considera-do, so:

mdulo:Q = m v I IQ = 1,0 . 2,0 Q = 2,0 kg . m/sdireo: a mesma de v, isto , verticalsentido: o mesmo de v, isto , ascendente

7 Uma partcula de massa m = 0,1 kg reali-za um movimento circular uniforme comvelocidade escalar v = 2 m/s. A respeitoda quantidade de movimento da partcu-la, podemos afirmar que:a) constante.b) constante s em direo.c) constante somente em mdulo e vale

0,2 kg . m/s.d) tem sentido apontando para o centro da

trajetria.e) constante somente em mdulo e vale

20 kg . m/s,

8 Uma partcula em movimento retilneodesloca-se obedecendo funo horrias = 9,Ot. + 2,Ot2 para s e t, medidos

280

em unidades SI. A massa do corpo 2,0 . 10-1 kg. Calcule o mdulo da quan-tidade de movimento da partcula no ins-tante t = 3,0 s.

Resoluo:Comparando s = 9,0 t + 2,0 t2 com

s = so + Yo ' t ++ at2, conclumos quevo = 9,0 m/s e a = 4,0 m/s-De v = vo + a . t, para t = 3,0 s, vem:

v = 9,0 + 4,0 . 3,0v = 21 m/s

Sendo Q = m . v, resulta:Q = 2,0 . 10-1 21

I Q = 4,2 kg . m/s I9 Uma partcula realiza um movimento obe-decendo funo s = 2 + 3t, para s emmetros e t em segundos. A massa da part-cula 0,2 kg. Determine o mdulo daquantidade de movimento da partcula noinstante t = 2 s.

10 Calcule o mdulo da quantidade de movi-mento do sistema de pontos materiais A eB nos instantes indicados na figura a seguir:a)

B v~

A vBB

b) ) vA t1.

----l',A vAC) Gb )Nesse outro caso, os vetares tm a mes-

ma direo e sentidos opostos. OA

Q = QB - QAQ = 4,0 - 3,0 a

I Q = 1,0 kg . m/s IConsidere mA = 1,0 kg, mB 2,0 kg,vA = 3,0 m/s e VB= 2,0 m/s.

c) O Teorema de Pitgoras fornece:Resoluo: .-Calculemos inicialmente os mdulos dasquantidades de movimento dos pontos ma-teriais A e B:

Q = Qi + Q~

Q = ~ (3,0)2 + (4,0)2

QA = mA . VAQA = 1,0 . 3,0QA = 3,0 kg . m/sQB = mB . VBQ8 = 2,02,0Q8 = 4,O kg . m/s

I Q = 5,0 kg . m/s I

QA e Q8 tm direo e sentido das veloci-dades v:.. e V8 , respectivamente.A quantidade de movimento do sistema a soma vetorial das quantidades de movi-mento dos pontos do sistema.

11 Calcule o mdulo da quantidade de movi-mento do sistema de pontos materiais A eBnos instantes indicados na figura abaixo:

A BCl vB

b)B vB8--=---

a) esse caso, temos a soma de vetares demesma direo e mesmo sentido.

OA OBQ = QA + QBQ= 3,0 + 4,0

I Q = 7,0 kg . m/s I

A B

c) F------~Considere mA = m8 = 1,0 kg e vA = vB= 2,0 m/s.

~

6. Teorema do impulso para um ponto mate ial

o impulso da resultante das foras que atuam num ponto material num cerro .valo de tempo igual variao da quantidade de movimento do pomo materialno mesmo intervalo de tempo.

281

~lresultante Q~ Q~2 - I

Embora esse teorema seja vlido para qualquer tipo de movimento, vamos demonstr-10 apenas para o caso em que o movimento retilneo e uniformemente variado. Nessascondies, a resultante F constante e a acelerao vetorial mdia coincide com a ins-tantnea. Assim, pelo Princpio Fundamental da Dinmica, vem:

F ~m : aF m !.v!.tF !.t m!.vF !.t m(v2 VI)F At ~ ~m V2 - m VI

lresultante~ ~

= Q2 - QI

EXERCCIOS12 Uma partcula de massa 1,0 kg realiza um

movimento retilneo com velocidade esca-lar 3,0 m/s. Uma fora constante, paralela trajetria e no mesmo sentido do movi-mento, aplicada partcula durante2,0 s e sua velocidade passa para 8,0 m/s.Determine:

3,0 m/s 8,0 m/s

a) a intensidade do impulso dessa fora;b) a intensidade da fora.Resoluo:a) De acordo com o teorema do impulso,

temos:

1=Q;-~1= mV2 - mVI

v, = 3,Om/s-- V2 = 8,Om/sI~

--eixo adotado EB

........ ....Quando os vetares I, V2 e VI tma mesma direo, podemos transformar

282

a igualdade vetorial anterior numa igual-dade escalar, adotando um eixo com di-reo dos vetares e projetando-os nesseeixo. Os vetares com o mesmo sentidodo eixo tero projees positivas; aque-les de sentidos opostos, projees nega-tivas. No caso em questo, como o eixoadotado tem sentido para a direita, to-dos os vetares tero projees positivas:

.... .... ....I = m V2 - m VII = mV2 - mVII = 1,0 . 8, - 1,0 . 3,0

I I = 5,0 N . s Ib) Sendo I = F . ~t, vem:

5,0 = F . 2,0 I-F-=-,-2-,5-N-1

13 Sobre uma partcula de 5,0 kg, movendo-se a 20 m/s, passa a atuar uma fora cons-tante de intensidade 2,0 . 102 N durante2,0 s, no sentido do movimento. Determi-ne o mdulo da quantidade de movimen-to da partcula no instante em que terminaa ao da fora.

#EXERCCIOS

14 Uma partcula de massa 2,0 kg realiza mo-vimento retilneo com velocidade de m-dulo 5,0 m/s. Uma fora constante parale-la trajetria aplicada na partcula du-rante 10 s. Aps esse intervalo de tempo,a partcula passa a ter velocidade de m-dulo 5,0 m/s, mas sentido oposto ao inicial.Determine:

5.0 m/s 5.0m/s--~ t= 10s

a) a intensidade do impulso dessa fora nointervalo de tempo em questo;

b) a intensidade da fora.

IS Um carro de corrida de massa 800 kg en-tra numa curva com velocidade 30 m/s esai com velocidade de igual mdulo, pormnuma direo perpendicular inicial, ten-do sua velocidade sofrido uma rotao de90. Determine a intensidade do impulsorecebido pelo carro.

Resoluo:

De acordo com o teorema do impulso, te-mos:

17 Um corpo de massa m = 2,0 kg, inicial-mente em repouso, est sob a ao da for-a resultante F de direo constante, eu-ja intensidade varia com o tempo, confor-me o grfico seguinte. Determine:

-> ....Como os vetares Ql e Q2 tm direesdiferentes, para obtermos 1devemos fa-.... ....zer a subtrao vetorial Q2 - Ql . Para.... ....isso basta somar Q2 ao oposto de Ql(figura seguinte). - o,

[2JI ~!__ ~ a,Mas Ql = Q2 = 800 . 30

Ql = Q2 =- 2,4 . 1000kg. m/s.Desse modo, 1tem intensidade:

I I = 2,4 . 10" . .Ji kg . m/s Iconforme o teorema de Pitgoras aplica-do ao tringulo sombreado, -

16 Uma bola de massa m e velocidade de m-dulo v atinge um plano, conforme mostraa figura, refletindo com velocidade de mes-mo mdulo v. Determine a intensidade doimpulso recebido pela bola.Dados: m = 0,10 kg

v = 20 m/sII11(li) v 1 y

a) a intensidade do impulso da fora Fno intervalo de tempo de a 20 s;

b) a velocidade do corpo no instantet = 20 s.

Resoluo:a) A intensidade do impulso no intervalo

de a 20 s numericamente igual reaA = AI + A2

20

tts)

F(NI

10

o 10 20

base menor + base maior2

10 + 20 . 10 = 1502

base x alturaA2 = 2

A2= 10 x 20 = 100

2

A = AI + A2 = 250

. altura

Portanto:

I I = 250 N . s I

b) Teorema do impulso:

---+ ---+sendo v I = (parte do repouso),vem:

---+ ---+I = mV2

Em mdulo:

I = m . V2

250 = 2,0 . v2

I V2 = 125 m/s I

18 A intensidade da resultante em uma part-cula de massa m = 10g, em funo do tem-po e a partir do repouso, dada pelo grfi-co seguinte.

284

10 -- - - -'...-----,

FINI

tts)o 10 20

Determine:a) o mdulo da quantidade de movimen-

to da partcula no instante t = 20 s;b) a velocidade da partcula no instante

t = 10 s.

19 Uma partcula de massa 10g descreve ummovimento sob ao de uma fora de di-reo constante cujo valor algbrico variacom o tempo, conforme o grfico a seguir.Sabendo que a velocidade da partcula nula no instante t = 0, determine sua ve-locidade no instante t = 2 s.

otts)

F(N)

211I

-1 -------.

20 Um corpo de massa igual a 1,0 kg acha-seem movimento retilneo e uniforme. Numcerto trecho de sua trajetria, faz-se agir so-bre ele uma fora que tem a mesma dire-o do movimento e que varia com o tem-po, conforme o grfico ao lado. Nesse tre-cho e nessas condies, pode-se afirmarque a variao da velocidade !1vdo corposer dada por:

F(N)

30

20

10

-10

a) 6,5 m/sb) 5,5 m/sc) 8,0 m/s

d) 2,0 m/se) 4,5 m/s

EXERCCIOS21 Uma partcula de massa m move-se com

velocidade de mdulo v e atinge uma pa-rede vertical, voltando com a mesma velo-cidade em mdulo.

Determine a intensidade do impulso que apartcula recebeu.

Resoluo: v, = v I~

incio

Teorema do impulso:EB.

1-+-+= Q2 - QI eixo adotado1-+-+= m V2 - m VI

Em relao ao eixo adotado, vem:

I = mv - m( -v) I11=2m.vl v~

fim

22 Uma bola de massa 0,20 kg, quando ani-mada de uma velocidade de 10m/s, gol-peada por um taco de beisebol, saindo namesma direo mas em sentido contrrio,com velocidade 14m/s. Admitindo que adurao do golpe na bola seja de 0,030 s,determine:a) a intensidade do impulso recebido pela

bola;b) a intensidade da fora mdia exercida

pelo taco sobre a bola.

Resoluo:a) Teorema do impulso:

1->-+= Q2 - QI1-+-+= m V2 - m VI

v, = 10 m/s v2 = 14 m/s-- .....-____~ iL~__~ __

o "'--ei-xo-a-d-o-ta-do--

Em relao ao eixo adotado, vem:I = mV2 - m( - VI)I = mV2,+ mVII = 0,20 . 14 + 0,20 . 1.0

I I = 4,8 N 's Ib) Dei = F ~tesendo~t = 0,030s, vem:

4,8 = F . 0,030 I F = 1,6 . 102 N I

23 Uma bola de tnis de massa m = 0,10 kg atirada contra uma parede, onde chegahorizontalmente com velocidade de mdu-10 20 m/s. Refletindo na parede, ela voltacom velocidade horizontal e de mesmo m-dulo. Determine:a) a intensidade do impulso recebido pela

bola;b) a intensidade da fora mdia que a pa-

rede exerce na bola durante o impacto.Sabe-se que a durao do impacto de0,10 s.

24 Uma bola de massa 2,0 kg move-se com -locidade 6,0 m/s e atinge perpendimente uma parede vertical voltandovelocidade 3,0 m/s. Determine a intde da fora mdia de impacto, sabendo C:r'.rele tem durao de 0,010 s.

6,0 rn.s

52 20~;1O~ 59 O,20m 31 c 34 c 6 a)2,ON 10 bb) zero

53 a)3 92S J 60 O,4m 32 e 35 S50J 11 db) 20,6m/s 7 b

62 d 33 e 36 7,2m 12 a)30N54 10m/s 8 4,Om/s b) zero63 a56 a) I,OJ 9 24N;16N 13 c

b)O,SOm/s 64 b SEC012 14 b 17 9,O.I()457 20J Movimentos planos com

trajetrias curvas 15 d 18 4SO65 a) 2 m/s; 2V2 m/s; zero

b) SOJ; 4OJ; 30 J; SOJ Exerccios 16 b 19 b68 V14m/s 3,74m/s 2 4 c 20 3,Om/s69 10m '~ 5 e 21 0,36 N; 0,49 N70 2,1' 1()3J 71 O,25J 6 d 22 a 24 c

Exerccios de reviso 3 b 8 b 23 c 25 2,Om/s

1 c 8 a)2,4' I()2J 9. rad ; 20 N

s

2 2,0' 108 J b)4SN 10 SON SEC0133 7,SJ()2J 9 a)SOJ; ISOJ 11 4N Impulso. Quantidade de4 -4J b) lOOJ 13 O,4ON movimento

5 10 SOm/s2; 7,1 rn/s Exercciosa a 146 11 16 2 SON se e a7 b 12 e 19 I,SN; I,ON 3 S,ON

13 a)2 s 1()31i b)SOJ 20 5 so N . s; 30 N . s; 20 N . s, m e24 6,O.I()3N 7

c

14 b 17 b 20 24J 9 O,6kg' m/s25 4,S. I()4N; I,S. I()4N15 e 18 d 21 c 11 a) 4,0 kg . rn/s26 O,50N 35 e b)zero16 d 19 a c)2,O' V2kg m/s30 IOm/s 37 20m/s22 IOm/s; lOOJ 31 13 5,O'I()2kg'm/s0,20 39 a)4,Om/s23 e b)30N 14 a)20N' s32 a)45 b)2,ON24 a) 1,25' 1()4J b) 14N 41 d

b)ll,25m 34 2,Om/s 42 Vo = J5Rg 16 2,ON' s25 e 18 a) 150 kg . m/s

b) 5,0' 1()3rn/s

26 dExerccios de reviso 19 zero27 IOm/s; 6m/s

1 c 3 a 20 b28 4,Om/s

2 d 4 d 23 a)4,ON' s29 2SN/m b)4ON

Ir;~

5 I > If2 I pois R, < R230 c 24 I,SI()3N

397