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ANDR REIS

MATEMTICA

TEORIA 272 QUESTES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS 264 EXERCCIOS RESOLVIDOS

Teoria e Seleo das Questes: Prof. Andr Reis

Organizao e Diagramao: Mariane dos Reis

1 Edio SET 2013

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. vedada a reproduo total ou parcial deste material, por qualquer meio ou pro-cesso. A violao de direitos autorais punvel como crime, com pena de priso e multa (art. 184 e pargrafos do Cdigo Penal), conjuntamente com busca e apreenso e indenizaes diversas (arts. 101 a 110 da Lei n 9.610, de 19/02/98 Lei dos Direitos Autorais).

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SUMRIO 1. CONJUNTOS NUMRICOS: Nmeros Naturais, Inteiros e suas propriedades. Nmeros Racionais. Noes

Elementares de Nmeros Reais. Aplicaes ............................................................................................. 05 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 18

2. NMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razes e Propores, Diviso Proporcional, Regras de Trs Simples e Composta.............................................................................................................................. 21 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 26

3. FUNES: Noo de Funo. Grficos. Funes Crescentes e Decrescentes. Funes Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Funo Composta e Funo Inversa. Funes Lineares, Afins e Quadrticas. Funes Exponenciais e Logartmicas. Equaes e Inequaes. Aplicaes .................................................................................... 31 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 46

4. PROGRESSES ARITMTICAS E GEOMTRICAS. APLICAES ................................................ 54 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 58

5. MATRIZES: Operaes com Matrizes, Matriz Inversa. Aplicaes .....................................................................61 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 64

6. DETERMINANTES: Clculos de Determinantes..................................................................................... 67 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 70

7. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES: Resoluo de Sistemas Lineares ............................................. 72 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 77

8. ANLISE COMBINATRIA: Contagem, Arranjos, Permutaes e Combinaes. Aplicaes ..................... 79 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 82

9. PROBABILIDADE: Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e E-ventos Independentes. Aplicaes .......................................................................................................... 84 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 88

10. POLINMIOS: Conceito, Adio, Multiplicao e Diviso de Polinmios e Propriedades ............................. 91 Equaes Algbricas: Razes, Relao entre Coeficientes e Razes. Aplicaes............................................. 94 Questes de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 98

11. TRIGONOMETRIA: Arcos e ngulos. Funes Trigonomtricas. Aplicaes das Leis do Seno e do Cosseno. Resoluo de Tringulos. Aplicaes .................................................................................................... 101 Questes de Provas de Concursos ................................................................................................................................ 123

12. GEOMETRIA PLANA: Retas. Feixe de Paralelas. Teorema de Tales. Congruncia e Semelhana de Tringulos. Relaes Mtricas no Tringulo. reas de Figuras Planas. Aplicaes ....................................................... 127 Questes de Provas de Concursos ................................................................................................................................ 148

13. GEOMETRIA ESPACIAL: Cilindro, Esfera e Cone. Clculo de reas e Volumes. Aplicaes .................... 153 Questes de Provas de Concursos ................................................................................................................................ 161

14. GEOMETRIA ANALTICA: Coordenadas Cartesianas, Distncia entre Dois Pontos, Equaes da Reta, rea de um Tringulo. Aplicaes. Posies Relativas ........................................................................................ 163 Questes de Provas de Concursos ................................................................................................................................ 172

GABARITOS ..................................................................................................................................... 175

Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis

MATEMTICA

1 CONJUNTOS NUMRICOS:

Nmeros Naturais, Inteiros e suas propriedades. Nmeros Racionais. Noes Elementares de Nmeros Reais. Aplicaes.

5 www.apostilasvirtual.com.br www.apostilasvirtual.com.br

CONJUNTOS NUMRICOS Os conjuntos numricos foram surgindo a partir da ne-cessidade do homem de apresentar resultados para al-gumas operaes matemticas. Inicialmente era preciso contar quantidades, criando-se assim o conjunto dos nmeros naturais: N = { 0,1,2,3,...}. Conhecendo-se o conjunto dos nmeros naturais como seria possvel a operao (3 5)? Para tornar sempre possvel a subtrao, foi criado o conjunto dos nmeros inteiros relativos: Z = { ..-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,} Representao dos nmeros inteiros na reta numrica Vamos traar uma reta e marcar o ponto 0 (origem), em que est o nmero real zero. direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalaremos os pontos que correspondem aos nmeros positivos e esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos nmeros negativos.

Notas:

1. Os nmeros inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +. Ex.: +7 = 7

2. O zero no positivo nem negativo

3. Todo nmero inteiro possui um antecessor e um sucessor. Exs.: +5 o sucessor de +4

-6 o antecessor de -5

4. O valor absoluto ou mdulo de um nmero inteiro a distncia desse nmero origem. Exs.: |-7| = 7

|0| = 0 |+5| = 5

Nmeros opostos ou simtricos Na reta numerada, os nmeros opostos esto a uma mesma distncia do zero. Observe que cada nmero inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinal diferente. Exs.: O oposto de +1 -1.

O oposto de -3 +3. O oposto de +9 -9. O oposto de -5 +5.

Nota:

O oposto de zero o prprio zero. Comparao de nmeros inteiros Observando-se a representao grfica dos nmeros intei-ros na reta.

Dados dois nmeros quaisquer, o que est direita o maior deles, e o que est esquerda, o menor deles. Exemplos:

a) -1 > -4, porque -1 est direita de -4. b) +2 > -4, porque +2 est a direita de -4 c) -4 menor -2 , porque -4 est esquerda de -2. d) -2 menor +1, porque -2 est esquerda de +1.

Operaes com nmeros inteiros 1. Adio

a) Adio de nmeros inteiros positivos

A soma de dois nmeros inteiros positivos um nmero positivo.

Exemplos: a) (+2) + (+5) = +7 b) (+1) + (+4) = +5 c) (+6) + (+3) = +9



Simplificando a maneira de escrever a) +2 + 5 = +7 b) +1 + 4 = +5 c) +6 + 3 = +9

Observe que escrevemos a soma dos nmeros inteiros sem colocar o sinal + da adio e elimi-namos os parnteses das parcelas.

b) Adio de nmeros inteiros negativos

A soma de dois nmeros inteiros negativos um nmero negativo

Exemplos:

a) (-2) + (-3) = -5 b) (-1) + (-1) = -2 c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever

a) -2 3 = -5 b) -1 1 = -2 c) -7 2 = -9

Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operao e eliminando os parnteses das par-celas.

c) Adio de nmeros com sinais diferentes

A soma de dois nmeros inteiros de sinais dife-rentes obtida subtraindo-se os valores absolu-tos, dando-se o sinal do nmero que tiver maior valor absoluto.

Exemplos:

a) (+6) + (-1) = +5 b) (+2) + (-5) = -3 c) (-10) + (+3) = -7


a) +6 1 = +5 b) +2 5 = -3 c) -10 + 3 = -7

Nota: Quando as parcelas so nmeros opostos, a soma

igual a zero.

Exemplos a) (+3) + (-3) = 0 b) (-8) + (+8) = 0 c) (+1) + (-1) = 0


a) +3 3 = 0 b) -8 + 8 = 0 c) +1 1 = 0

Nota: Para obter a soma de trs ou mais nmeros adicio-

namos os dois primeiros e, em seguida, adicionamos es-se resultado com o terceiro, e assim por diante.

Exemplos: a) -12 + 8 9 + 2 6 =

= -4 9 + 2 6 = = -13 + 2 6 = = -11 6 = = -17

b) +15 -5 -3 +1 2 = = +10 -3 + 1 2 = = +7 +1 -2 = = +8 -2 = = +6

Propriedades da adio

1) Fechamento: a soma de dois nmeros inteiros

sempre um nmero inteiro. Ex.: (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas no altera a soma. Ex.: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o nmero zero o elemento neutro da adio. Ex.: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adio de trs nmeros inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois ltimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]

5) Elemento oposto: qualquer nmero inteiro admite um simtrico ou oposto. Ex.: (+7) + (-7) = 0

2. Subtrao

A operao de subtrao uma operao inversa operao da adio. Exemplos:

a) (+8) (+4) = (+8) + (-4) = = +4 b) (-6) (+9) = (-6) + (-9) = -15 c) (+5) (-2) = ( +5) + (+2) = +7

Notas:

1) Para subtrairmos dois nmeros relativos, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do se-gundo.

2) A subtrao no conjunto Z tem apenas a pro-priedade do fechamento (a subtrao sem-pre possvel)



Eliminao de parnteses 1) Parnteses precedidos pelo sinal positivo (+)

Ao eliminarmos os parnteses e o sinal positivo (+) que os precede, devemos conservar os si-nais dos nmeros contidos nesses parnteses. Exemplos:

a) + (-4 + 5) = -4 + 5 b) + (3 + 2 7) = 3 +2 -7

2) Parnteses precedidos pelo sinal negativo (-)

Ao eliminarmos os parnteses e o sinal de ne-gativo (-) que os precede, devemos trocar os sinais dos nmeros contidos nesses parnteses.

Exemplos:

a) -(4 5 + 3) = -4 + 5 -3 b) -(-6 + 8 1) = +6 -8 +1 c) -(+8) (-3) = -8 +3 = -5 d) -(+2) (+4) = -2 4 = -6 e) (+10) (-3) (+3) = 10 + 3 3 = 10

3. Multiplicao

a) Multiplicao de dois nmeros de sinais iguais

Observe os exemplos: a) (+5) . (+2) = +10 b) (+3) . (+7) = +21 c) (-5) . (-2) = +10 d) (-3) . (-7) = +21

Concluso: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto po-sitivo.

b) Multiplicao de dois nmeros de sinais diferentes

Observe os exemplos:

a) (+3) . (-2) = -6 b) (-5) . (+4) = -20 c) (+6) . (-5) = -30 d) (-1) . (+7) = -7

Concluso: Se dois produtos tiverem sinais diferentes o pro-duto negativo.

Regra prtica dos sinais na multiplicao

SINAIS IGUAIS: O RESULTADO POSITIVO (+)

a) (+) . (+) = (+)

b) (-) . (-) = (+)

SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO NEGATIVO (-)

a) (+) . (-) = (-)

b) (-) . (+) = (-)

c) Multiplicao com mais de dois nmeros Multiplicamos o primeiro nmero pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessi-vamente, at o ltimo fator.

Exemplos:

a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30

b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360

Propriedades da multiplicao

1) Fechamento: o produto de dois nmeros inteiros

sempre um nmero inteiro. Ex.: (+2) . (-5) = (-10)

2) Comutativa: a ordem dos fatores no altera o produto. Ex.: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)

3) Elemento Neutro: o nmero +1 o elemento neutro da multiplicao. Ex.: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6

4) Associativa: na multiplicao de trs nmeros inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois ltimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)

5) Distributiva Ex.: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)

4. Diviso

A diviso a operao inversa da multiplicao

Observe: a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12

b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12

c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12

d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12

Regra prtica dos sinais na diviso As regras de sinais na diviso igual a da multiplica-o:

SINAIS IGUAIS: O RESULTADO POSITIVO (+)

a) (+) : (+) = (+)

b) (-) : (-) = (+)

SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO NEGATIVO (-)

a) (+) : (-) = (-)

b) (-) : (+) = (-)

Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis NMEROS FRACIONRIOS, OPERAES E PROPRIEDADES Conhecendo-se o conjunto dos nmeros inteiros como seria possvel a operao (4:10)? Para tornar sempre possvel a diviso, foi criado o con-junto dos Nmeros Racionais, formado por todos os n-meros que podem ser escritos na forma de frao, so eles:

1) Inteiros: 25

10 ;

2) Decimais exatos: 25,041 ;

3) Dzimas peridicas: ...333,031

FRAES As fraes so nmeros representados na forma

yx .

Exemplos: 267 ; 2

510 ;

21

84 .

O nmero x o numerador da frao e y o denominador. Nota: Para que uma frao exista necessrio que o denomi-nador seja diferente de zero ( 0y ). Leitura de uma frao

Algumas fraes recebem nomes especiais: 1/4 um quarto 1/6 um sexto 1/8 um oitavo 2/5 dois quintos 1/1000 um milsimo 7/100 sete centsimos 1/11 um onze avos 7/120 sete cento e vinte avos 4/13 quatro treze avos

Classificao das Fraes

Quanto classificao a frao pode ser:

a) REDUTVEL: quando a frao admite simplifica-o. Isso ocorre se o numerador e o denomina-dor forem divisveis por um mesmo nmero.

Ex.: na frao 84 tanto o numerador quanto o

denominador so nmeros divisveis por 4. Assim,

podemos escrever que 21

84 .

b) IRREDUTVEL: quando a frao no admite simpli-ficao.

Ex.: A frao 267 uma frao que no admite

simplificao.

c) APARENTE: quando o numerador mltiplo do denominador.

Ex.: 25

10 .

d) PRPRIA: uma frao irredutvel que possui nume-rador menor que o denominador.

Ex.: 267 .

e) IMPRPRIA: uma frao irredutvel que possui nu-merador maior ou igual ao denominador.

Exs.: 726 ;

2626 .

f) EQUIVALENTE: Quando duas fraes representam uma mesma parte do inteiro, so consideradas equivalentes.

Ex.: 84 uma frao equivalente

21 , pois am-

bas representam metade de um inteiro. Nmero Misto

Toda frao imprpria, que no seja aparente, po-de ser representada por uma parte inteira seguida de uma parte fracionada.

Ex.: 753

726 , ou seja,

726 representa 3 partes inteiras

mais a frao prpria 75 .

Processo Repetimos o denominador 7 da frao impr-

pria;

Dividimos o nmero 26 por sete para obtermos a parte inteira 3;

Colocamos como numerador da frao pr-pria o resto da diviso obtida entre 26 e 7.

Operaes entre Fraes

1. Reduo de Fraes ao Menor Denominador Comum

Para reduzirmos duas ou mais fraes ao menor denominador comum, devemos determinar o m.m.c dos denominadores, dividir o m.m.c en-contrado pelos denominadores e, o resultado des-sa diviso, multiplicar pelos numeradores.

Ex.: Reduzir as fraes 43 e

65 ao menor deno-

minador. Processo:

1210,

129

65,

43 .


Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis 2. Comparao entre Fraes

1 caso: Denominadores iguais

Dadas duas ou mais fraes com o mesmo de-nominador, a maior dessas fraes ser aquela que tiver maior numerador.

Ex.: Comparando as fraes 41;

47;

43 teremos:

47

43

41 ou

41

43

47 .

2 caso: Denominadores diferentes

Para compararmos duas ou mais fraes que possuam denominadores diferentes, reduzimos as fraes ao menor denominador comum e procedemos de acordo com o 1 caso.

Ex.: Compare as fraes 51;

67;

43 .

Processo:

6012;

6070;

6045

51;

67;

43 .

Como 6012

6045

6070 temos que

51

43

67 .

3 caso: Numeradores iguais

Dadas duas ou mais fraes com o mesmo nu-merador, a maior dessas fraes ser aquela que tiver menor denominador.

Ex.: Comparando as fraes 54;

74;

34 teremos

74

54

34 ou

34

54

74 .

3. Adio e Subtrao

1 caso: Adio ou subtrao com denominadores iguais

Para adicionar ou subtrair fraes com denomi-nadores iguais, basta conservar o denominador comum e adicionar ou subtrair os numeradores.

Ex.: 104

103

107

1043

2 caso: Adio ou subtrao com denominadores di-ferentes

Para adicionar ou subtrair fraes com denomi-nadores diferentes, basta reduzirmos as fraes ao menor denominador comum e procedermos como no primeiro caso.

Ex.: 72

85

5651

561635

4. Multiplicao e Diviso

1 caso: Multiplicao

Para multiplicar duas ou mais fraes, basta di-vidirmos o produto dos numeradores pelo produto dos denominadores.

Ex.: 2

15645

35

29

Observao: Sempre que possvel, devemos fa-zer a simplificao dos numeradores com os de-nominadores, antes de efetuarmos o produto. Essa simplificao pode ser feita com numera-dor e denominador da mesma frao ou ento com numerador de uma frao e denominador de outra. Ento, na operao anterior, teramos:

215

253

35

293

2 caso: Diviso

Para dividir uma frao por outra, basta multipli-car a primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo: 225

675

35

215

53

215

FRAO DECIMAL toda frao cujo denominador uma potncia de 10 com expoente no nulo (10, 100, 1000) Exemplos:

a) 107 ;

b) 100

3 ;

c) 1000

27 .

NMEROS DECIMAIS EXATOS As fraes decimais podem ser escritas na forma de n-meros decimais exatos. Exemplos:

a) 107 = 0,7;

b) 100

3 = 0,03;

c) 1000

27 = 0,027.

Nota: Nos nmeros decimais exatos, a vrgula separa a parte inteira da parte decimal.


Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis Leitura de um nmero decimal exato

Para ler um, nmero decimal, procedemos do se-guinte modo: 1) L -se a parte inteira 2) L-se a parte decimal, seguida da palavra:

dcimos se houver uma casa decimal. centsimos se houver duas casas decimais. milsimos se houver trs casas decimais.

Exemplos:

a) 5,3 (cinco inteiros e trs dcimos). b) 1,34 (um inteiro e trinta e quatro centsimos). c) 12,007 (doze inteiros e sete milsimos).

Nota: Se a parte inteira for igual a zero, l-se apenas a par-te decimal.

a) 0,4 l-se quatro dcimos. b) 0,38 l-se trinta e oito centsimos.

Transformao de frao decimal em nmero decimal

Escrevemos o numerador e contamos da direita pa-ra a esquerda tantas casas quanto so os zeros do denominador para colocarmos a vrgula Exemplos:

a) 1042 = 4,2

b) 100135 = 1,35

c) 1000175 = 0,175

Nota: Quando a quantidade de algarismos do numerador no for suficiente para colocar a vrgula, acrescen-tamos zeros esquerda do nmero. Exemplos:

a) 1000

29 = 0,029

b) 1000

7 7 = 0,007

Transformao de nmero decimal em frao decimal

O numerador ser o nmero decimal sem a vrgula, e o denominador o nmero 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do nmero decimal depois da vrgula. Exemplos:

a) 0,7 = 107

b) 8,34 = 100834

c) 0,005 = 1000

5

Operaes com nmeros decimais

1. Adio e Subtrao Colocamos vrgula debaixo de vrgula e opera-mos como se fossem nmeros naturais. Exemplos: a) 2,64 + 5,19

2,64 5,19 + ____ 7,83

b) 8,42 5,61 8,42 5,61 ____ 2,81

Nota: Se o nmero de casas depois da vrgula for dife-rente, igualamos com zeros direita

Exemplos:

a) 2,7 + 5 + 0,42 2,70 5,00 + 0,42 ____ 8,12

b) 4,2 2,53 4,20 2,53 ____ 1,67

2. Multiplicao de nmeros decimais

1 caso: Multiplicao

Multiplicamos os nmeros decimais como se fos-sem nmeros naturais. O nmeros de casas de-cimais do produto igual soma do nmero de casas decimais dos fatores. Exemplos: a) 2,46 x 3,2

2,46 x3,2 ____ 7,872

b) 0,27 x 0,003 x0,27 0,003 _______ 0,00081


Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis Nota: Na multiplicao de um nmero decimal por uma potncia de 10 (10, 100, 1000, ...), basta deslocar a vrgula para a direita uma quantida-de de casas equivalentes ao nmero de zeros da potncia de dez. Exemplos: a) 3,785 x 10 = 37,85 b) 3,785 x 100 = 378,5 c) 3,785 x 1000 = 3785 d) 0,0928 x 100 = 9,28 2 caso: Diviso

Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como se fossem nmeros na-turais. Exemplos: a) 17,568 : 7,32

Igualando-se as casas decimais, teremos: 17568 : 7320 = 2,4

b) 12,27 : 3 Igualando-se as casas decimais, teremos: 1227 : 300 = 4,09

Nota: Na diviso de um nmero decimal por uma po-tncia de 10 (10, 100, 1000, ...), basta deslocar a vrgula para a esquerda uma quantidade de casas equivalentes ao nmero de zeros da po-tncia de dez. Exemplos: a) 379,4 : 10 = 37,94 b) 379,4 : 100 = 3,794 c) 379,4 : 1000 = 0,3794 d) 42,5 ; 1000 = 0,0425

DZIMAS So nmeros que possuem infinitas casas decimais. Exemplos:

...3333,031 ; ...5555,1

914 ; ...32222,1

90119 ;

....4142,12 ; .....1415,3

Os nmeros 31 ;

914 ;

90119 ; 2 ; so denominados

geratriz das dzimas apresentadas acima.

Dzimas no peridicas

As dzimas no peridicas ou aperidicas so aque-las que no possuem perodo definido. Dos exemplos citados acima possvel verificar que e2 geram dzimas no peridicas.

Dzimas peridicas

As dzimas peridicas so aquelas que possuem pe-rodo definido. Dos exemplos citados anteriormente

possvel verificar que 90

119;9

14;31 geram dzimas pe-

ridicas.

Observaes: 1) Todos os radicais inexatos geram dzimas ape-

ridicas; 2) Perodo o nmero que se repete aps a vr-

gula, na dzima peridica; 3) Dzimas peridicas simples so aquelas que

apresentam o perodo logo aps a vrgula; 4) Dzimas peridicas compostas so aquelas

que apresentam parte no peridica (nmero que aparece entre a vrgula e o perodo);

5) O nmero que aparece esquerda da vrgula denominado parte inteira.

Representao e nomenclatura

Considere a dzima peridica 1,322222.... 1,3(2)

1,3 2 Ento, 1 a parte inteira 3 a parte no peridica 2 o perodo

Obteno da geratriz da dzima peridica

1 caso: Dzima peridica simples sem a parte inteira

O numerador da geratriz formado pelo nmero que forma o perodo e, o denominador, por uma quantidade de noves que corresponde quantida-de de algarismos que o perodo possui.

Exemplo: 0,323232.... = 9932

0,(32)

32,0

2 caso: Dzima peridica simples com a parte inteira

O numerador da geratriz formado pela parte intei-ra seguida da peridica, menos a parte inteira. O denominador formado por uma quantidade de noves que corresponde quantidade de algaris-mos que o perodo possui.

Exemplo: 1,323232.... = 99131

991132

1,(32)

1, 32


Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis 3 caso: Dzima peridica composta sem a parte inteira

O numerador da geratriz formado pela parte no peridica seguida da peridica, menos a parte no peri-dica. O denominador formado por uma quantida-de de noves que corresponde quantidade de algarismos que o perodo possui, seguido de uma quantidade de zeros que corresponde quantida-de de algarismos que a parte no peridica possui.

Exemplo: 0,4565656.... = 495226

990452

9904456

0,4(56) 0,4 56

4 caso: Dzima peridica composta com a parte inteira

O numerador formado pela parte inteira seguida da parte no peridica e peridica, menos a parte inteira seguida da parte no peridica. O denominador formado por uma quantidade de noves que cor-responde quantidade de algarismos que o pero-do possui, seguido de uma quantidade de zeros que corresponde quantidade de algarismos que a parte no peridica possui.

Exemplo: 5,4565656.... = 4952701

9905402

990545456

5,4(56) 5,4 56

Nota: Em clculos que aparecem dzimas peridicas de-vemos transform-las em fraes, antes de efetuarmos as operaes.

MLTIPLOS E DIVISORES, MXIMO DIVISOR COMUM E MNI-MO MLTIPLO COMUM DIVISO EUCLIDIANA Numa diviso Euclidiana possvel identificar o dividen-do, divisor, quociente e o resto.

quocienteresto

divisorDividendo


Podemos relacionar o Dividendo (D), o quociente (Q), o divisor (d) e o resto (R) atravs de uma equao. Assim,

RdQD . Observaes:

1. O menor resto possvel zero; 2. O maior resto possvel uma unidade menor

que o quociente; 3. ;0 quocienteresto 4. Considere dois nmeros A e B. Dizemos que A

divisvel por B quando o resto da diviso for zero.

MLTIPLOS E DIVISORES DE UM NMERO NATURAL Considere a operao 2 . 5 = 10. Nesta operao po-demos verificar que:

2 e 5 so divisores do nmero 10 2 e 5 so fatores do nmero 10 10 mltiplo dos nmeros 2 e 5 10 divisvel por 2 e 5

NMEROS PRIMOS Um nmero natural diferente de zero e 1 ser primo se, e somente se, for divisvel por 1 e por ele mesmo. Ou seja, quando o nmero possuir apenas dois divisores naturais. Ex.: Os nmeros {2,3,5,7,11,13,17,19,23, ...} so alguns dos infinitos nmeros primos. Observaes:

1. O nmero 2 o nico par que primo.

2. Os nmeros {4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22, ...} so considerados nmeros compostos. Esses n-meros podem ser escritos em funo de uma multiplicao entre nmeros primos. Podemos to-mar como exemplo o nmero 6 que pode ser escrito em funo dos primos 2 e 3, pois, 6 = 2.3.

OBTENO DO MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)

1. Atravs da decomposio simultnea Em alguns casos o mtodo utilizado acima se torna trabalhoso. O m.m.c. de dois ou mais n-meros naturais pode ser encontrado atravs da decomposio simultnea dos nmeros dados. Ex.: Encontre o m.m.c dos nmeros 120 e 84.

120, 84 2 60, 42 2 30, 21 2 15, 21 3

5, 7 5 1, 7 7 1, 1

m.m.c.(120, 84) = 23.3.5.7 = 840

O m.m.c.(120, 84) obtido atravs do produto en-tre os fatores primos encontrados atravs da de-composio simultnea dos nmeros 120 e 84.

2. Atravs da decomposio simples

O m.m.c tambm pode ser obtido atravs da decomposio particular de cada um dos n-meros dados. Ex.: Encontre o m.m.c dos nmeros 120 e 84.



120 2 84 2 60 2 42 2 30 2 21 3 15 3 7 7 5 5 1 1 = 22.3.7

120 = 23.3.5

O m.m.c.(120, 84) dado pela multiplicao dos fatores primos comuns e no comuns, com maior expoente possvel. Logo, m.m.c.(120, 84) = 23.3.5.7 = 840.

Nota: Nas decomposies acima se pode observar que 2 e 3 so fatores primos comuns e que 5 e 7 so fatores primos no comuns.

PROBLEMAS ENVOLVENDO M.M.C. O m.m.c pode ser utilizado na resoluo de problemas que envolve fatos ou fenmenos cclicos ou repetitivos.

Exerccios Resolvidos: 1. Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mes-

mo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pis-ta circular. O primeiro d uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que le-varo para se encontrar novamente.

a) 1.320 b) 132 c) 120 d) 60 e) 22

Resoluo: Temos a um clssico problema de m.m.c. O primeiro ciclista d uma volta em 132 segundos. O segundo ciclista d uma volta em 120 segundos. Existiu uma coincidncia. A prxima coincidncia ocorrer no m.m.c. entre 132 e 120.

132 2 120 2 66 2 60 2 33 3 30 2 11 11 15 3 1 5 5

132 = 22.3.11 1 = 23.3.5

m.m.c.(132, 120) = 23.3.5.11 = 8.3.5.11 = 1.320 segundos.

A questo pediu a resposta em minutos. Como 1 mi-nuto corresponde a 60 segundos, para obtermos a resposta em minutos basta dividirmos 1.320 por 60.

1320 segundos 60

120 segundos 22 minutos 0

Logo a alternativa correta a letra "e".

2. (PUCSP) Numa linha de produo, certo tipo de manuteno feita na mquina A a cada 3 dias, na mquina B, a cada 4 dias, e na mquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manuteno nas trs mquinas, aps quantos dias as mquinas recebero manuteno no mesmo dia.

Resoluo:

Temos que determinar o m.m.c entre os nmeros 3, 4 e 6.

3, 4, 6 2 3, 2, 3 2 3, 1, 3 3 1, 1, 1

m.m.c.(3, 4, 6) = 22.3. = 4.3 = 12

Dessa forma, conclumos que aps 12 dias, a manu-teno ser feita nas trs mquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

3. Um mdico, ao prescrever uma receita, determina que trs medicamentos sejam ingeridos pelo pacien-te de acordo com a seguinte escala de horrios: remdio A, de 2 em 2 horas, remdio B, de 3 em 3 horas e remdio C, de 6 em 6 horas. Caso o pacien-te utilize os trs remdios s 8 horas da manh, qual ser o prximo horrio de ingesto dos mesmos?

Resoluo:

Calcular o m.m.c. dos nmeros 2, 3 e 6.

2, 3, 6 2

1, 3, 3 3

1, 1, 1

m.m.c.(2, 3, 6) = 2.3. = 6

O mnimo mltiplo comum dos nmeros 2, 3, 6 i-gual a 6.

De 6 em 6 horas os trs remdios sero ingeridos jun-tos. Portanto, o prximo horrio ser s 14 horas.

OBTENO DO MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

1. Atravs da decomposio simples O m.d.c. tambm pode ser obtido atravs da decomposio particular de cada um dos n-meros dados.

Exemplo:

Encontre o m.d.c. dos nmeros 120 e 84.

Como vimos anteriormente:

120 = 23.3.5 e 84 = 22.3.7.

O m.d.c. (120, 84) dado pela multiplicao dos fatores primos comuns, com menor expoente possvel.

Logo, m.d.c.(120, 84) = 22.3 = 12.



2. Atravs do mtodo das divises sucessivas O mtodo das divises sucessivas ser utilizado para obteno do m.d.c. de apenas dois nme-ros naturais. O mtodo utilizado da seguinte forma: 1) Divide-se o maior nmero pelo menor. 2) Divide-se o divisor pelo resto obtido na pri-

meira diviso. 3) Repete-se o mesmo procedimento at que

se encontre um resto zero. 4) O m.d.c. ser o divisor obtido quando se

tem resto zero. 5) Considere dois nmeros naturais A e B, onde

A mltiplo de B. Neste caso, pode-se afir-mar que m.m.c.(A,B) = A e, como B divisor de A, o m.d.c.(A,B) = B.

6) Dados dois nmeros naturais A e B se pode afirmar que: m.m.c.(A,B) . m.d.c.(A,B) = A.B.

NMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais nmeros naturais so primos entre si quando a decomposio desses nmeros no apresentarem fa-tores primos comuns. Ex.: Considere os nmeros 45 e 14. Como 45 = 32.5 e 14 = 2.7, os mesmos no apresentam fatores comuns e, portanto, so primos entre si. Observaes:

1. O m.d.c. de dois ou mais nmeros primos entre si 1.

2. O m.m.c. de dois ou mais nmeros primos entre si o produto desses nmeros.

3. Dois nmeros naturais consecutivos sempre se-ro primos entre si.

PROBLEMAS ENVOLVENDO M.D.C.

Exerccios Resolvidos: 4. Uma indstria de tecidos fabrica retalhos de mesmo

comprimento. Aps realizarem os cortes necessrios, verificou-se que duas peas restantes tinham as se-guintes medidas: 156 centmetros e 234 centmetros. O gerente de produo ao ser informado das medi-das, deu a ordem para que o funcionrio cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento pos-svel. Como ele poder resolver essa situao?

Resoluo:

Devemos encontrar o m.d.c. entre 156 e 254, esse valor corresponder medida do comprimento de-sejado.

156 2 234 2 78 2 117 3 39 3 39 3 13 13 13 13 1 1

156 = 22.3.13 234 = 2.32.13

m.d.c.(156, 234) = 2.3.13 = 78

Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de compri-mento.

5. Uma empresa de logstica composta de trs reas: administrativa, operacional e vendedores. A rea ad-ministrativa composta de 30 funcionrios, a opera-cional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integrao en-tre as trs reas, de modo que todos os funcionrios participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo nmero de funcionrios com o maior nme-ro possvel. Determine quantos funcionrios devem participar de cada equipe e o nmero possvel de equipes.

Resoluo:

Determinando o nmero total de funcionrios de cada equipe:

Encontrar o m.d.c. entre os nmeros 48, 36 e 30.

48 2 36 2 30 2 24 2 18 2 15 3 12 2 9 3 5 5 6 2 3 3 1 3 3 1 1

Decomposio em fatores primos: 48 = 24.3 36 = 22.32

30 = 2.3.5

m.d.c.(48, 36, 30) = 2.3 = 6

Determinando o nmero total de equipes: 48 + 36 + 30 = 114 114 : 6 = 19 equipes O nmero de equipes ser igual a 19, com 6 partici-pantes cada uma.

6. Um comerciante quer distribuir 60 laranjas, 72 maas, 48 peras e 36 mangas entre vrias sacolas, de modo que cada uma recebesse o mesmo e o maior nme-ro possvel de uma espcie de fruta. Qual o nmero total de sacolas obtidas?

Resoluo:

Determinando o nmero total de frutas de cada sa-cola:

Encontrar o m.d.c. entre os nmeros 60, 72, 48 e 36.

60 2 72 2 48 2 36 2

30 2 36 2 24 2 18 2

15 3 18 2 12 2 9 3

5 5 9 3 6 2 3 3

1 3 3 3 3 1

1 1

Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis Decomposio em fatores primos: 60 = 22.3.5 72 = 23.32 48 = 24.3 36 = 22.32

m.d.c.(60, 72, 48, 36) = 22.3 = 4.3 = 12

Determinando o nmero total de sacolas:

60 + 72 + 48 + 36 = 216 216 : 12 = 18 sacolas O nmero de sacolas ser igual a 18, com 12 frutas cada uma.


NMEROS REAIS O diagrama abaixo representa de forma simplificada o conjunto dos nmeros reais:

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N): O conjunto dos Nmeros Naturais representado por N = {0,1,2,3,4,5,...}. Nota: N* = {1,2,3,4,5,...} representa o conjunto dos Nmeros Na-turais no nulos. CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z): O conjunto dos Nmeros Inteiros representado por Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Notas: Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,4,...} representa o conjunto dos N-meros Inteiros no nulos. Z*+ = {1,2,3,4,...} representa o conjuntos dos Nmeros In-teiros Positivos que equivale ao conjunto dos Nmeros Naturais no nulos.

.

Z+ = {0,1,2,3,4,...} representa o conjunto dos Nmeros In-teiros no negativos que equivalente ao conjunto dos Nmeros Naturais. Z*- = {...,-4,-3,-2,-1} representa o conjunto dos Nmeros Inteiros Negativos

Z- = {...,-3,-2,-1,0} representa o conjunto dos Nmeros In-teiros no positivos. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS (Q): O conjunto dos Nmeros Racionais obtido atravs da unio dos Nme-ros Inteiros e as fraes no aparentes positivas e nega-tivas. Assim, todo Nmero Racional pode ser escrito na forma a/b, com a Z, b Z e b 0. Ex.: {-2,-3/2,-1,-1/2,1/3, ...} De acordo com os exemplos possvel notar que os N-meros Racionais podem gerar nmeros decimais exatos (-3/2 = -1,5) ou nmeros decimais peridicos (1/3 = 0,333 ...). CONJUNTO DOS NMEROS IRRACIONAIS (I): Nmero Irracio-nal todo nmero que est ou pode ser escrito na for-ma decimal infinita e no-peridica. Exemplos: Um dos nmeros irracionais mais conhecidos o , que se obtm dividindo o comprimento de uma circunfern-cia pelo seu dimetro ( = 3,141592 ...). As razes quadradas no exatas de nmeros naturais tambm so nmeros irracionais ( 3 = 1,7320508 ...). CONJUNTO DOS NMEROS REAIS (R): O conjunto dos Nme-ros Reais dado pela unio dos conjuntos de Nmeros Racionais e Irracionais. CONJUNTO DOS NMEROS COMPLEXOS (C): A raiz de um ra-dical de ndice par e radicando negativo impossvel em R, pois, por exemplo, no existe nmero real que, e-levado ao quadrado, d um nmero negativo.

N: Naturais Z: Inteiros Q: Racionais I: Irracionais Exemplo: 4 no um Nmero Real; um Nmero

Complexo. R: Reais POTENCIAO Considere dois nmeros naturais x e n, com n > 1. Deno-minamos potncia de base x elevada ao expoente n, o nmero xn que o produto de n fatores iguais a x. Assim,

fatoresn

n x...x.x.x.xx

Ex. 1255.5.553 Notas: Numa potncia de base for negativa, se o expoente

for par o resultado ser positivo e, se o expoente for mpar, teremos um resultado negativo. Exs.: ( - 2 )4 = 16 e ( - 2 )3 = - 8

Para elevar uma frao a um expoente, elevam-se o numerador e o denominador da frao a esse ex-

poente:

n

nn

yx

yx

Ex.: 125

85.5.52.2.2

52

52

3

33

.

Matemtica Teoria, Exerccios Resolvidos e Questes por Tpicos Prof. Andr Reis 1. Definies Nota:

O sinal do expoente do denominador muda du-erao.

2.3.

r a base e multiplicar os ex-


1.1. Nmero elevado ao expoente nulo

Por definio temos 1x0 , desde que . 0x Exs.: 30 = 1

152 0

16 0 00 = Indeterminado

1.2. Nmero elevado ao expoente unitrio

Por definio temos xx1 . Exs.: 31 = 3

43

43 1

22 1 01 = 0

1.3. Potncia de expoente inteiro negativo

Por definio temos nnnn

n

x1

x1

x1x

.

Exs.: 125

151

515 3

333

827

23

23

32

3

333

01

01

010 3

333

Nota: zero negativo = (no existe soluo)

2. Propriedades

2.1. Produto de potncias com bases iguais Devemos conservar a base e somar os expoen-tes: mnmn xxx Exs.: 31255555 52323

42222 25353

Nota: Os expoentes permanecem com os mesmos si-nais durante a operao.

2.2. Diviso de potncias com bases iguais

Devemos conservar a base e subtrair os expoen-

tes: mnmn

xxx

Exs.: 22222 134

3

4

12822222 734)3(4

3

4

rante a op

Potncia de uma potncia Devemos conserva

poentes: mnmn xx

Ex.: 2562 42 22 842 Nota:

lgumas expresses podemos ter uma po-or:

Veja que a resoluo feita de cima para bai-u seja, p meiro resolvemos 34.

2.4.

Em atncia de ordem superi

nn xx Ex.: 813 22

4

mm

xo, o ri

Potncia de um produto ou diviso

nnn yxyx

Ex.: 3375

8125

1278

51

32

51

32

51

32

3

3

3

3333

RADICIA

radiciao uma operao matemtica oposta (ou exponenciao).

O

Apotenciao Para um nmero real a, a expresso n a representa o nico nmero real x que verifica xn = a e tem o mesmo

nal que a (quando existe). si Assim temos: n a = x x = a nonde:

a: radican do

ndice do radical (n N / n 1) de a

n:

x: raiz n-sima

: radical Nota: Quando n omitido, significa que n igual a 2 e o smbolo l refere-se raiz quadrada. de radica

Ex.: 864 , pois 82 = 64. 1. Propriedades

Para ositivos tem-se: a e b p

m produto

1.1. Radical de u

nnn baba Ex.: 84.216.4164 .



1.2. al de um quociente Radic

n

nn

ba

ba

Ex.: 326

436

436 .

1.3. al de uma potncia

Devemos conservar a base e dividir o expoente e da raiz.

Radic

da potncia pelo ndic

nm

n m aa

Ex.: 54

5 4 33 .

1.4. al de outr radical Radic o

nmm n aa

Ex.: 15355 3 555 2. Racionalizao de denomin

uma frao em ou-icais.

adores

Processo pelo qual se transformatra cujo denominador no tem rad

Exemplos:

a) b

bX

b

bXbb

bXbX

2

.

b) aaX

a

a

a

X

a

X n mnn mn

n mn

n mn m .

c) ba baXba baba Xba X .

Observao: (a + b) (a b) = a2 b2

XP

sses numricas, devemos se-de operaes:

ra a direita);

4. arnteses, s

Exerccios Resolvidos

E RESSES NUMRICAS Para resolvermos as expre

uir a seguinte sequncia g

1. As potncias e as razes;

2. Os produtos e os quocientes, na ordem em que aparecem (esquerda pa

3. As somas e as diferenas, em qualquer ordem;

Nas expresses que apresentarem pcolchetes e chaves, devemos comear pelaexpresses neles contidas, a partir do mais inter-no (parnteses).

:

7. Encontre o valor da expresso numrica:

1]

15+[(3x6-2)-(10-6:2)+

Resoluo: 15+[(3.6-2)-(10-6

10-3)+1] =

8. o valor da expresso numrica:

:2)+1] = 15+[(18-2)-(15+[16-7+1] = 15+[9+1] = 15+10 = 25

Encontre

)29.(2:]3).2:16[( 32 Resoluo:

)29.(2:]3).2:16[( 32 = -8) =

[2.9]:2.1 =

9. valor da expresso numrica:

[(4:2).9]:2.(9

18:2.1 = 9.1 = 9

Encontre o

2323 )]4:23(:)12510[( Resoluo:

2323 )]4:23(:)12510[( = 4)]2 =

[52:(3+2)]2 =

10. ntre o valor da expresso numrica:

[(10-5)2:(3+8:

[25:5]2 = 25 =

25

Enco312

253 1.62

Resoluo: 312

21.

53

62

= 31

12.

65

94

=

32.65

94 =

8.65

94 =

640

94 =

181208

18

112

956


QUESTES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. [Oficial-(NM)-PM-MS/2013-SAD-

meros decimais e dzimas peridSEJUSP].(Q.36) Todos os

icas podem ser escri-n

tos na forma ba , com a Z e b z*, o que define um n-

mero racional Se


. ba a mais simples frao geratriz do

nmero N = 1,575757... + 2,434343..., ento a b um nmero: a) par. b) mltiplo de 3.

el por 7.

(NM)-PM-MS/2013-SAD-SEJUSP].(Q.39) A figura seguir representa nove quadrados, dispostos em trs

6 2 A

c) divisvd) mltiplo de 11.e) primo. 2. [Oficial-alinhas e trs colunas.

B 4 3

1 C 5 Os nmeros que apare m uadrados so naturais,

e 1 a 9 (incluindo os extremos). Alm disso, a soma dos

A + B C igual a:

) 3.

sist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/2012].(Q.16) Seja S o onjunto soluo da equao

ce nos qdnmeros dos quadrados de uma mesma linha ou de uma mesma coluna constante. Nessas condies, o valor de a) 2. bc) 4. d) 5. e) 6. 3. [Asc 12xx . Pode-se afir-

) S = {16} 6}

. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/2012].(Q.22) corre- afirmar que:

s naturais contm o conjunto dos inteiros. )

mar que: a) S = {} bc) S = {9, 1d) S = {9} e) S = 4to a) o conjunto dob 2 pertence ao conjunto dos nmeros racionais. c) 245 o dobro de 244.

d) 2

2 .

e) 174

53 .

S-FAPEMS/2012].(Q.25) Sejam os conjuntos A = {n IN : 0 < n < 2} e B = {x IR : 1 < x 1}.

e-se afi ar que:

) A B = ]1,1] {2} b) A B =A B

MCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.21)

5. [Assist. Adm.-(NM)-UEM

Pod rm a

c) A B = ]1,2[ d) A B =]0,1] e) A B = {1} 6. (Monitor de Alunos-P

Se o nmero N = 16.16 , ento correto afirmar que:

de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.23) alor da expresso numrica a seguir?

a) N = 18 b) N = 16 c) N = 12 d) N = 10 e) N = 8 7. (MonitorQual o v

38

32

25

29

31 2

a) 8 b) 6 c) 3 d) 2 e) 1

sist. Serv. Sade II.-(Aux. Serv. Sade)-SES-MS/2011].(Q.31) asal tem quatro filhos: Alberto (A), Bendito (B), Carlos (C)

vi (D). o filho A tem

8. [AsUm c

e Da41 da idade do pai, B tem

64 da

e do pai, C tem idad31 da idade do pai e D tem

53 da

:

a) B, D, C e A

ade II.-(Aux. Serv. Sade)-SES-MS/2011].(Q.32) cimais representados por A = 0,56; B = 0,6;

,500 quando colocados em ordem de-mem as seguintes posies:

) C, A, D e B

idade do pai. Com essas informaes podemos afirmar que se colocarmos esses filhos em ordem do mais velho para o mais novo teremos

b) A, B, C e D c) D, C, A e B d) D, C, B e A e) C, D, A e B 9. [Assist. Serv. SOs nmeros deC = 0,375 e D = 0crescente assu ab) D, C, A e B c) B, A, D e C d) A, D, C e B e) C, D, A e B



ade II.-(Aux. Serv. Sade)-SES-MS/2011].(Q.33) 4 pode ser escrito como:

+ 4 30.10 + 80.10 + 4.100

a podem ser falsas (F) ou verdadeiras inte ordem:

) F, F, F, V

. Sade II.-(Aux. Serv. Sade)-SES-MS/2011].(Q.35) equncia de nmeros indicada por A = 6;

4 e D = 72, temos que:

A mximo divisor comum entre B, C e D D mnimo mltiplo comum entre A, B e C

, B e C

er falsas (F) ou verda-

) V, V, F, F

e II.-(Aux. Serv. Sade)-SES-MS/2011].(Q.37)

o numrica

10. [Assist. Serv. SO nmero 3080 I 3.104 + 8.10 II III 3.104 + 0.10 + 8.10 + 0.10 + 4 IV 3.105 + 0.104 + 8.10 + 0.10 + 4.10 As afirmaes acim(V) e aparecem na segu a) F, F, V, F b) V, V, V, F cd) F, V, V, F e) V, F, V, F 11. [Assist. ServObservando a sB = 18; C = 2 I II III A mnimo mltiplo comum entre B, C e D IV D mximo divisor comum entre A Observe as afirmaes acima que podem sou verdadeiras (V). A ordem em que as falsasdeiras aparecem : a) F, F, V, V bc) V, F, V, F d) F, V, F, V e) F, F, V, F 12. [Assist. Serv. Sad

Na express x5

232 025 o valor de x po-o por:

) 20

x. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.16) ro N =

de ser express ab) 4 c) 20.2 d) 2 e) 2-3 13. [AuSe o nme 16,0 ento correto afirmar.

0,04 ) N = 0,4

. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.16) ro N = ento o valor de N

) N = 3 ) N = 5,9

ud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.18)

a) N =bc) N = 0,8 d) N = 0,08 e) N = 0,008

14. [Aux. JudSe o nme 25,081 a) N = 1 bcd) N = 9,5 e) N = 20,25 15. [Aux. J

Seja 432

5,1.32

ento correto afirmar.

) M

M

a 21

b) 21 M

23

c)

23 M 2

2 M d) 25

e) M 2

5

A (Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.20) lo do expoente n na expresso numrica dada

) 3

ux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.25) ado produto, vendido a granel, custa R$ 20,00 por

Na pesagem do produto o funcionrio es-eu-se de descontar a massa de 50 gramas da em-

alagem descartvel. Se o preo a pagar pelo produto mbalado foi de R$4,00, quantos gramas do produto o onsumidor est levando na embalagem?

16. [ ux. Jud. I-Qual o va r a seguir?

n5 10.25,62.5 a) (-1) b) 0 c) 1 d) 2 e

17. [AUm dquilograma.quecbec a) 150 gramas b) 200 gramas c) 250 gramas d) 300 gramas e) 350 gramas



p. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.26) m salo de festas dispe de 114 mesas, sendo que em rno de cada uma delas podem sentar no mximo 6 pes-as. Numa determinada festa, para 680 pessoas senta-

as, todas as mesas foram ocupadas, sendo que uma esa era disponibilizada somente quando as anteriores

stivessem completamente ocupadas. Qual ser o nme-

responder as questes 19 e 20 seguintes considere ue o preo do presunto fatiado vendido a granel $ 12,00 por quilograma e que o funcionrio esqueceu e descontar a massa de 50 gramas da embalagem escartvel no ato da pesagem.

9. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.21)

) 990 gramas

0. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.22) ara conseguir comprar exatamente 1Kg de presunto um onsumidor dever escolher a embalagem com qual os preos a seguir?

) R$12,00 ) R$12,20

onsiderando o nmero decimal infinito n= 2,7777..., res-onda as questes 21 e 22 seguintes:

1. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.28) ual a representao fracionaria do nmero n?

)

18. [Aux. Jud. I-(A CU p

to2soQd m

e a 9

25 ro de pessoas sentadas na mesa que no estava com-pletamente ocupada? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

b)

Para qRdd 1Qual quantidade real de presunto contm uma embalagem, j pesada, marcada com o preo de R$ 12,00? a) 1000 gramas b) 995 gramas cd) 950 gramas e) 900 gramas 2Pcd abc) R$12,40 d) R$12,50 e) R$12,60

927

c) 3

)

4

d37

e) 27

22. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.29) al o valor da raiz quadrada de n?

) 1,333333... ) 1,353535... ) 1,555555... ) 1,666666... ) 1,777777...

da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.29) meros inteiros relativos e sejam

, y e z trs nmeros quaisquer de Z. considere agora as firmaes seguintes:

se x0.

pode-se dizer que:

ira. s.

ras.

Qu abcde 23. [Soldado Seja, Z o conjunto dos nxa I.II. sIII. se xz>0 e yz0. IV. se y



GABARITOS (272 QUESTES)

1 CONJUNTOS NUMRICOS:

Nm acionais. eros Naturais, Inteiros e suas propriedades. Nmeros RNoes Elementares de Nmeros Reais. Aplicaes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 A E B C E A E A A C B B D B B D E A B D E A D

2 NMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Ra ro r , s azes e P po es Diviso Proporcional, Regra de Trs Simples e Compost .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 E C C B C E E D C C E D D B D C E D C B A D E D

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 C B E C C C A D A C E C B

3

FU N O: Noo de Fun es Crescentes e Decrescentes. Funes Injetoras, Sobre-o. Gr ficos. Fun

jetoras e je a F Composta e Funo Inversa. Bi tor s. un o Funes Lineares, Afins e Quadrticas. nciais e Logartmicas. Funes Expone

Equaes e Inequaes. Aplicaes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 D D A A E E A D D E D B D B D B E C B D E C D C 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 B C E C E A C D B C B B B A D E A E C A B E A B 49 50 51 52 53 54 C A C E E C

4 PROGRESSES ARITMTICAS E GEOMTRICAS. APLICAES.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C E A D B C A B D B C D D C B A E D E

5 MATRIZES: Ope c r , t n s ara es om Mat izes Ma riz I ver a. Aplic es.

1 2 3 4 5 6 7 A D E B B 05 01

6 DETERMINANTES: Clculos de Determinantes

1 2 3 4 5 6 7 8 B E B A D E A E



7 SISTEM ARES: AS DE EQUAES LINEResoluo de Sistemas Lineares

1 2 3 4 5 6 7 8 B C A A E E D A

8 ANLISE COMBINATRIA: Con e , Arranjos, Permutaes e Combinaes. Aplicaes.

tag m

1 2 3 4 5 6 7 8 A D A B B D D C

9 PROBABILIDADE:

Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e Eventos Independentes. Aplicaes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C B D A D D B C D D D E A D

10 POLINMIOS:

C c , i , l c o e Polinmios e Propriedades. on eito Ad o Mu tipli a e Divis o dEqu e l br sa s A g ica : Ra , la o tr oeficientes e Razes. Aplicaes. zes Re en e C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A B A B A E E D D E B B D D E A C D B A E A B E 25 26 27 28 29 30 31 32 33 C A C E C A C C A

11 TRIGONOMET ARI :

Arcos e ngulos. Funes Trigonomtricas. Aplicaes das Leis do Seno e do Cosseno. Resoluo de Tringulos. Aplicaes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C B C A B A A C D D A A B

12 GEOMETRIA PLANA:

Reta F P l . Teorema de Tales. s. eixe de ara elasCongrunc e a T os. Relaes Mtricas no Tringulo. ia Semelh na de ringul

reas de Figuras Planas. Aplicaes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A E A E E C B D C E E B B C A C B E A



13 GEO E IA S AM TR E P CIAL: Cilindro, Esfera e Cone.

1 2 3 4 5 6 7 8 E A D B E C A B

14 GEOMETRIA ANALTICA:

Coordenadas Cartesianas, Distncia entre Dois Pontos, Equaes da Reta, rea de um Tringulo. Aplicaes. Posies Relativas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C E E D B E B E D B A B B C A C A B B

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2 Av Mat. 2013 Demo p&b Pm Cbm Ms(Soldado)