100 Unidade 2 • Geometria anal’tica: ponto, reta e circunfer•ncia

2 Posi•›es relativas entre reta e circunfer•nciaConsideremos as três possíveis posições de uma reta em relação a uma circunferência:

1a) A reta t é secante à circunferência:

O

M

B

A

t

d � r

Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é menor que o raio. A reta e a circunferência

têm dois pontos comuns.

Observação: Propriedades de reta e da circunferência secantes:

• OM � AB

• M é ponto médio de AB (AB � 2AM)

• Teorema de Pitágoras: (OM)2 � (BM)2 � (BO)2

2a) A reta t é tangente à circunferência:

O

A

t

d � r

Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio. A reta e a circunferência têm um

único ponto comum.

3a) A reta t é exterior à circunferência:

O

t

d � r

Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é maior que o raio. A reta e a circunferência não

têm ponto comum.

Vejamos, a partir das equações, como identificar qual desses casos se verifica.

Fique atento!Note que t � tOAu.

101Capítulo 4 • Geometria anal’tica: a circunfer•ncia

Exercício resolvido

7. S‹o dadas a reta r, de equa•‹o 2x � y � 1 � 0, e a circunferência equa•‹o x2 � y2 � 6x � 8y � 0. Qual Ž a posi•‹o da reta r em rela•‹o ˆ circunferência?

Resolução:

Vamos calcular, inicialmente, as coordenadas do centro e o raio da circunferência:

x2 � y2 � 6x � 8y � 0 ⇒ x2 � 6x � y2 � 8y � 0 ⇒ x2 � 6x � 9 � y2 � 8y � 16 � 9 � 16 ⇒

⇒ (x � 3)2 � (y � 4)2 � 25

Ent‹o, C(�3, 4) e r � 5.

Agora vamos determinar a dist‰ncia do centro ˆ reta:

d � | ( )    ( )    |2 3| (| ( 1 4  (  (   |  |

2 12 22 12 1

� �) 2 32 3 �

2 12 12 12 1

� | |

,

| || |�

| || |

5

3

5

3

2 2,� � 1,3

Comparando d e r, temos d � r, pois 1,3 � 5.Logo, a reta r Ž secante ˆ circunferência.

Outra resolução:

Os pontos comuns ̂ reta e ̂ circunferência, se houver, s‹o as solu•›es do sistema formado por suas equa•›es:

2 1 0 1 2

6 82 2

x y2 12 1 y x0 10 1 2

x y2 2 x6 86 8

2 12 12 12 12 1 0 10 10 10 1� �0 1y xy x� �

2 22 2x yx y2 22 22 26 86 8

0 10 1⇒0 10 10 10 1

yy � 0{Substituindo y na segunda equa•‹o, temos:

x2 � y2 � 6x � 8y � 0 ⇒ x2 � (1 � 2x)2 � 6x � 8(1 � 2x) � 0 ⇒

⇒ x2 � 1 � 4x � 4x2 � 6x � 8 � 16x � 0 ⇒ 5x2 � 18x � 7 � 0

O c‡lculo de � ser‡ suficiente para determinar quantos pontos comuns têm a reta e a circunferência e daí a posi•‹o relativa. Ent‹o:

� � 182 � 140 � 324 � 140 � 464 � 0

O valor de � � 0 indica a existência de dois valores reais e distintos de x e, consequentemente, dois pontos comuns ˆ reta e ˆ circunferência.Logo, a reta Ž secante ˆ circunferência.

Observação: A resolu•‹o completa do sistema permite descobrir quais s‹o os dois pontos comuns ˆ reta e ˆ circunferência.

Fique atento!Para � � 0, h‡ um s— ponto comum (reta tangente ˆ circunfer•ncia).Para � � 0, n‹o h‡ ponto comum (reta exterior ˆ circunfer•ncia).

17. (UFBA) Determine o comprimento da corda determi-nada pela intersec•‹o da reta r, de equa•‹ox � y � 1 � 0, com a circunferência de equa•‹o x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0.

18. ATIVIDADE EM DUPLA A reta r de equa•‹o x � y � 3 � 0 e a circunfe-

rência de equa•‹o (x � 2)2 � (y � 1)2 � 10 s‹o secantes nos pontos A e B. Determinem a ‡rea do tri‰ngulo cujos vŽrtices s‹o o centro da circunferência e os pontos A e B.

19. Consideremos a reta r, de equa•‹o x � y � 3 � 0 e a circunferência de equa•‹o x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0. Qual Ž a posi•‹o da reta r em rela•‹o ̂ circunferência?

Exercícios

20. ATIVIDADE EM DUPLA Dadas uma reta r e uma circunferência �, veri-

fiquem a posi•‹o relativa de r e �. Se houver pontos co-muns (tangente ou secante), determinem esses pontos:a) r: 2x � y � 1 � 0 e �: x2 � y2 � 2x � 0

b) r: y � x e �: x2 � y2 � 2x � 4y � 4 � 0

21. Determine as coordenadas dos pontos em que a reta r, de equa•‹o y � �x � 5, intersecta a circunferência de equa•‹o x2 � y2 � 10x � 2y � 21 � 0.

22. ATIVIDADE EM DUPLA A reta x � y � 1 � 0 secciona a circunferência

x2 � y2 � 2x � 3 � 0 nos pontos A e B. Calculem a dist‰ncia do centro C ˆ corda AB.

102 Unidade 2 • Geometria anal’tica: ponto, reta e circunfer•ncia

3 Problemas de tang•nciaPara resolver problemas que envolvem retas tangentes à circunferência, devemos lembrar dois detalhes

já vistos:

¥ Quando a reta é tangente à circunferência, a dist‰ncia do centro da circunferência à reta tangente Ž o raio.

¥ A reta tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Em razão disso, talvez seja uma boa ideia revisitar o capítulo 3, itens Posições relativas de duas retas no

plano e Perpendicularidade de duas retas e Distância de um ponto a uma reta.

Acompanhe nos exercícios resolvidos a seguir as situações mais comuns que envolvem tangência.

8. A reta de equação x � y � k � 0 é tangente à circunferência de equação x2 � y2 � 9. Calcule o valor de k.

Resolu•‹o:

Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro até a reta é igual ao raio.Centro e raio da circunferência:x2 � y2 � 9 ⇒ (x � 0)2 � (y � 0)2 � 32

Então, C(0, 0) e r � 3.Distância do centro (0, 0) à reta 1x � 1y � k � 0:

d � |     | | |1 0|  |   1 0

1 1 22 21 11 1

� �1 01 0 � �1 0� �� �1 01 0

1 11 11 11 1�

k k  |  | | || |

Cálculo de k, sabendo que d � r:

| || |

| || |k kk k| || |

23 3| |3 3k kk k| || | 2 3k kk k 2� �3 3 2 32 3⇒ ⇒⇒ ⇒| |k kk k3 33 3| |3 33 3| |k kk k| || | 2 32 3k kk kk k3 33 3| |k kk k| || |

Fique atento!Se há dois valores para k, existem duas

retas, x � y � 3 23 2 � 0 e x � y � 3 23 2 � 0,

que satisfazem à condição imposta.

Outra resolução:

Se a reta é tangente à circunferência, então o sis-tema formado pelas duas equações tem uma única solução:

x y k x y kx y

� �x yx y � �k xk x y ky k� �x yx y

k xk xk xk x9

2 2x yx y� �� �x yx yk xk xk xk x{

Substituindo x na segunda equação, temos:

x2 � y2 � 9 ⇒ (y � k)2 � y2 � 9 ⇒

⇒ y2 � 2ky � k2 � y2 � 9 � 0 ⇒

⇒ 2y2 � 2ky � k2 � 9 � 0

Para que a solução seja única devemos ter � � 0:

� � 4k2 � 8(k2 � 9) � 0 ⇒ 4k2 � 8k2 � 72 � 0 ⇒

⇒ �4k2 � 72 � 0 ⇒ k2 � 72

418� ⇒

⇒ k � � � �18 3 23 2

9. O ponto P(5, 2) pertence à circunferência de equa-ção x2 � y2 � 2x � 6y � 27 � 0. Determine a equa-ção da reta t tangente a essa circunferência em P.Lembre-se de que, se uma reta t tangencia uma circunferência de centro C e raio r em P, então t é perpendicular à reta-suporte de tCP..

r

P

t

C

Resolu•‹o:

Calculando as coordenadas do centro C e o raio r, temos:x2 � y2 � 2x � 6y � 27 � 0 ⇒

⇒ x2 � 2x � y2 � 6y � 27 ⇒⇒ x2 � 2x � 1 � y2 � 6y � 9 � 27 � 1 � 9 ⇒

⇒ (x � 1)2 � (y � 3)2 � 37Então, C(�1, 3) e r � 37 .

Vamos determinar o coeficiente angular m1 da

reta que passa pelos pontos C(�1, 3) e P(5, 2):

m1 �

2 3

5 1

1

6

2 32 3

5 15 1� �

Vamos determinar o coeficiente angular m2 da

reta t perpendicular à reta que passa pelos pontos C e P:

m2 �

1 1

1

6

1m� � �

�

� 6

Calculamos agora a equação da reta t que passa pelo ponto P(5, 2) e tem declividade 6:y � 2 � 6(x � 5) ⇒ y � 2 � 6x � 30 ⇒

⇒ 6x � y � 28 � 0Logo, a equação pedida é 6x � y � 28 � 0.

Exerc’cios resolvidos

103Capítulo 4 • Geometria anal’tica: a circunfer•ncia

10. O ponto P(1, �2) é externo à circunferência de equa-ção (x � 1)2 � (y � 2)2 � 8. Determine as equações das retas tangentes à circunferência e que passam por P.

Pela equação dada, temos C(1, 2) e r � 8 .

0

y

x

C(1, 2)

P(1, Ð2)

t1

t2

8

Fique atento!Se P pertence à circunferência,

existe uma só reta que passa por P

e é tangente à circunferência.

O

t

P

t tOPu

Se P é externo, há duas tangentes.

O

P

T1

PT1 PT

2T

2

Se P é interno, não existe tangente.

Considerando o coeficiente angular m das retas t1

e t2, podemos escrever a equação geral dessas re-

tas, lembrando que passam por P(1, �2).y � 2 � m(x � 1) ⇒ y � 2 � mx � m ⇒

⇒ mx � y � 2 � m � 0Como a distância entre o centro C(1, 2) e a reta de equação mx � y � 2 � m � 0 deve ser igual ao raio r, temos:

| ( )    ( )    |m m| (| (   (   |  |m m  (

m

1 1)    (  (m mm m)    (  (2 2) m mm m) 

1

82

m m  (m mm m  (  (m mm mm m) m mm m

�� ⇒

⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒|  

⇒ ⇒  |

⇒ ⇒⇒ ⇒m m|  |     |  |

m

m mm m

�

⇒ ⇒⇒ ⇒2 2m mm mm mm mm m

1

82

⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒| |

⇒ ⇒⇒ ⇒| || |

⇒ ⇒⇒ ⇒

��

| || |8⇒ ⇒⇒ ⇒

4

1

82 2

� 1m mm m� 12 2

� 1

⇒ 16

12m �

� 8 ⇒ 8m2 � 8 � 16 ⇒ 8m2 � 8 � 0 ⇒

⇒ m2 � 1 � 0 ⇒ m2 � 1 ⇒ m� � 1 e m� � �1

Vamos calcular, agora, as equações das retas t1 e t

2,

substituindo o valor de m por m� e por m� na equa-ção geral mx � y � 2 � m � 0.Para m� � 1, temos:

(1)x � y � 2 � 1 � 0 ⇒ x � y � 3 � 0

Para m� � �1, vem:(�1)x � y � 2 � (�1) � 0 ⇒ �x � y � 1 � 0 ⇒

⇒ x � y � 1 � 0

Logo, as equações das retas tangentes t1 e t

2 são

x � y � 3 � 0 e x � y � 1 � 0.

Fique atento!Se houver duas retas tangentes, porém

um único valor para m, significa que

uma das retas é vertical.

23. ATIVIDADE

EM DUPLA (UFRGS-RS) A reta r de equação x � 3 é tangente

à circunferência de equação x2 � y2 � 4x � 2y � k � 0.Nessas condições, calcule o valor de k.

24. ATIVIDADE

EM DUPLA O ponto A(2, 3) pertence à circunferência

de equação x2 � y2 � 2x � 2y � 3 � 0. Determinem

a equação da reta tangente à circunferência no ponto A.

25. ATIVIDADE

EM DUPLA (UFU-MG) A circunferência de equação

x2 � y2 � 2x � 2y � 5 � 0 possui duas retas tangentes, t1 e t

2, que são paralelas à reta s de equação

3x � 4y � 1 � 0. Determinem as equações das retas t1 e t

2.

Exercícios

26. ATIVIDADE

EM DUPLA (UFSM-RS) As retas r e s tangenciam a circun-

ferência de equação x2 � y2 � 4x � 3 � 0, respectiva-mente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O(0, 0). A medida do ângulo PBOQ vale:a) 15°.

b) 30°.

c) 45°.

d) 60°.

e) 90°.

27. ATIVIDADE

EM DUPLA A circunferência com centro C(1, 1) é tangen-te à reta t de equação x � y � 10 � 0. Determinem a equação da circunferência.

104 Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência

4 Aplicações à Geometria planaAcompanhe a seguinte situação:

Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de

arco de circunferência, semelhante à que aparece na fotografia

ao lado. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de

24 m, e a pilastra central, segundo o arquiteto, deverá ter 4 m

de altura. O engenheiro, usando seus conhecimentos de Geo-

metria plana, já calculou que o raio do arco de circunferência

projetado pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o

tamanho das outras quatro pilastras menores (duas à esquerda

e duas à direita da pilastra central). Segundo o projeto, todas as

pilastras estão a 4 m uma da outra.

Com base nas informações do problema, vamos escolher

um sistema de eixos coordenados conveniente e obter a altura

dessas quatro pilastras menores.

Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque

a pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x, o cen-

tro da circunferência será C(0, �16), pois o raio tem 20 m e a

pilastra maior tem 4 m. Para obter o tamanho das pilastras

pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B,

cujas abscissas são respectivamente 4 e 8. Nesse exemplo,

a escolha do sistema de eixos cartesianos adequado é muito

importante para facilitar a resolução.

A equação da circunferência é, então, x2 � (y � 16)2 � 400.

Para obtermos a ordenada yA do ponto A, basta substituir a

abscissa xA � 4 na equação da circunferência:

42 � (yA � 16)2 � 400 ⇒ (y

A � 16)2 � 384 ⇒ y

A � 16 � 384 � 19,60 ⇒ y

A � 3,60 m

Da mesma forma, para obtermos a ordenada yB do ponto B, basta substituir a abscissa x

B � 8 na equação da

circunferência:

82 � (yB � 16)2 � 400 ⇒ (y

B � 16)2 � 336 ⇒ y

B � 16 � 336 � 18,33 ⇒ y

B � 2,33 m

Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas

correspondentes no lado direito. Assim, as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas

têm 3,60 m, e a central, como já sabíamos, tem 4 m.

Alamy/Other Images

Ponte em Hamburgo, Alemanha.

y

Modelo matem‡tico

x

P(0, 4) A(4, yA)

B(8, yB)

C(0, �16)

Exercícios

Escolha um sistema de eixos coordenados adequado e resolva, usando Geometria analítica, os seguintes problemas de Geometria plana:

28. ATIVIDADE

EM DUPLA Obtenham o raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo cujos catetos meçam 3 cm e 4 cm.

Fique atento!Dica: Coloquem o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo na origem.

29. ATIVIDADE

EM DUPLA Uma circunferência L está inscrita em um triângulo equilátero de lado 2 3. Mostrem que, para todo ponto de L, a soma dos quadrados de suas distâncias aos três vértices do triângulo é constante.

105Capítulo 4 • Geometria anal’tica: a circunfer•ncia

Um poucomais...

Posições relativas de duas circunferências

Duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum. Veja as possíveis

posições relativas:

1a) Dois pontos comuns:

secantes

2a) Um ponto comum:

ou

tangentes exteriormentetangentes interiormente

3a) Nenhum ponto comum:

ou

circunfer•ncias externas uma circunfer•ncia interna ˆ outra

A partir das equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os pontos

comuns resolvendo o sistema formado por elas. Além disso, no segundo caso (um ponto comum) e

no terceiro caso (nenhum ponto comum) podemos identificar a posição relativa usando os dois raios

e a distância entre os centros.

Fique atento!Poss’veis posi•›es relativas entre duas circunfer•ncias:¥ externas: d(C

1, C

2) � r

1 � r

2

¥ tangentes externas: d(C1, C

2) � r

1 � r

2

¥ secantes: |r1 � r

2| � d(C

1, C

2) � r

1 � r

2

¥ tangentes internas: d(C1, C

2) � |r

1 � r

2|

¥ uma interna ˆ outra: d(C1, C

2) � |r

1 � r

2|

¥ conc•ntricas: C1 � C

2, d(C

1, C

2) � 0

Fique atento!No 2o caso, os dois centros e o ponto de tang•ncia s‹o colineares.

106 Unidade 2 • Geometria anal’tica: ponto, reta e circunfer•ncia

Vamos verificar a posi•‹o relativa das circunfer•ncias:

a) x2 � y2 � 30 e (x � 3)2 � y2 � 9

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações, temos:

x y

x y x y

2 2

2 2 2 2

30

( 3) 9 6

� �

� � � � �⇒ xx x x x0 30 6 0 6 30 5� � � � �⇒ ⇒ ⇒

Substituindo x na primeira equação, vem:

x2� y2

� 30 ⇒ 25 � y2� 30 ⇒ y2

� 5 ⇒ y � � 5

Logo, as duas circunferências são secantes e seus pontos comuns são (5, 5 ) e (5, � 5 ).

b) x2 � y2 � 20x � 2y � 100 � 0 e x2 � y2 � 2x � 2y � 98 � 0

Resolvendo o sistema, temos:

x y x y

x y x

2 2

2 2

20 2 100 0

2

                   

           

� � � � �

� � � 22 98 0 1y                 ( )� � ��

⇒ 

                   

       

x y x y

x y x

2 2

2 2

20 2 100 0

2

� � � � �

� � � �� � �           2 98 0y

198 0 18 19� � � �18x x⇒ 88 ⇒

⇒ ⇒             x x� �

198

1811

Substituindo x na primeira equação, vem:

x2 � y2 � 20x � 2y � 100 � 0 ⇒ 112 � y2 � 20 � 11 � 2y � 100 � 0 ⇒ y2 � 2y � 121 � 220 � 100 � 0 ⇒

⇒ y2 � 2y � 1 � 0 ⇒ y � 2 0

2

   � � 1

(11, 1) é o œnico ponto comum às duas circunferências, portanto elas são tangentes.

Como já vimos, as circunferências tangentes podem ser externas ou internas. Podemos determinar a

sua posição relativa por meio da distância entre os centros das circunferências e por meio de seus

raios (lembrando que os centros das circunferências e o ponto de tangência estão sempre alinhados).

C1C2

r1

r2

ouC1

C2

r1

r2

circunferências tangentes externamented(C

1, C

2) � r

1 � r

2

circunferências tangentes internamented(C

1, C

2) � |r

1 � r

2|

Considerando a primeira equação, temos:

x2 � y2 � 20x � 2y � 100 � 0 ⇒ x2 � 20x � 100 � y2 � 2y � 1 � �100 � 100 � 1 ⇒

⇒ (x � 10)2 � (y � 1)2 � 12

Então, C1(10, 1) e r

1 � 1.

Agora, pela segunda, vem:

x2 � y2 � 2x � 2y � 98 � 0 ⇒ x2 � 2x � 1 � y2� 2y � 1 � 98 � 1 � 1 ⇒

⇒ (x � 1)2 � (y � 1)2 � 100 � 102

Então, C2(1, 1) e r

2 � 10.

107Capítulo 4 • Geometria analítica: a circunferência

Exerc’cio resolvido

Calculamos, então, a distância entre os centros C1 e C

2:

d(C1, C

2) � (     )    (     )    10 1 1 1 81

2 2� � � � � 9

Como os raios medem r1 � 1 e r

2 � 10 e 9 � |1 � 10|, temos d(C

1, C

2) � |r

1 � r

2|.

Logo, as circunferências são tangentes internamente e o ponto comum é (11, 1).

Determine a equação da circunferência de centro em (8, 4) e que tangencia exteriormente a circunfe-rência x2 � y2 � 4x � 8y � 16 � 0.

Resolução:Nesse caso, a distância entre os centros é igual à soma dos raios.Inicialmente, calculamos o centro (C

1) e o raio (r

1)

da circunferência dada abaixo:

C1

C2

r1

r2

d(C1, C

2) � r

1 �

r

2

x2 � 4x � 4 � y2 � 8y � 16 � 16 � 4 � 16 ⇒

⇒ (x � 2)2 � (y � 4)2 � 36

Então, C1(2, �4) e r

1 � 6.

Agora, calculamos a distância entre os centros C1(2, �4) e C

2(8, 4):

d � 6 8 1002 2

6 86 8� �6 86 82 2

6 86 8 � 10

Como d � r1 � r

2, podemos calcular o raio r

2:

d � r1 � r

2 ⇒ 10 � 6 � r

2 ⇒ r

2 � 4

A equação procurada é a da circunferência de raio 4 e centro (8, 4):

(x � 8)2 � (y � 4)2 � 42

ou

x2 � y2 � 16x � 8y � 64 � 0

1. Dadas as circunferências �1 e �

2, descubra suas posições

relativas e seus pontos comuns (se houver):

a) �1: x2 � y2 � 4x � 8y � 5 � 0

�2: x2 � y2 � 2x � 6y � 1 � 0

b) �1: x2 � y2 � 8x � 4y � 10 � 0

�2: x2 � y2 � 2x � 10y � 22 � 0

c) �1: (x � 2)2 � (y � 1)2 � 4

�2: (x � 2)2 � (y � 2)2 � 1

d) �1: x2 � y2 � 16

�2: x2 � y2 � 4y � 0

2. �1 e �

2 são duas circunferências concêntricas, com �

1

interna à �2. Sabendo que a equação de �

1 é

x2 � y2 � 6x � 8y � 0 e que a área do anel circular

formado por �1 e �

2 é igual a 24�, determine a equação

de �2 na forma geral.

3. Determinando-se o centro e o raio das circunferên-cias x2 � y2 � 2y � 8 � 0 e x2 � y2 � 4x � 2y � 4 � 0, pode-se garantir que:

a) elas não têm ponto em comum.

b) elas são secantes.

c) elas são tangentes exteriormente.

d) elas são tangentes interiormente.

4. As circunferências de equação x2 � y2 � 2x � 2y � 10 � 0 e (x � 1)2 � (y � 1)2 � 4 são:a) secantes.

b) tangentes internas.

c) tangentes externas.

d) exteriores, sem ponto comum.

e) interiores, sem ponto comum.

5. Sabendo que o ponto M(1, �3) não pertence à cir-cunferência de equação x2 � y2 � 2x � 4y � 3 � 0, determine se o ponto M é interno ou externo à circunferência.

Exerc’cios adicionais

108 Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência

Competição entre os melhores atletas do mundo, confraternização entre os povos

e, acima de tudo, a grande festa do esporte. As Olimpíadas são um dos mais impor-

tantes eventos do planeta, mobilizando populações de centenas de países e emocio-

nando a todos com vitórias, recordes e histórias de superação. De quatro em quatro

anos, uma cidade do mundo tem o privilégio de sediar os jogos, onde competidores

e torcedores se misturam e, durante pouco mais de duas semanas, ajudam a preser-

var e fortalecer o espírito olímpico.

A bandeira olímpica

A bandeira olímpica é o mais importante símbolo das Olimpíadas. Ela é forma-

da por cinco anéis de cores diferentes (azul, vermelho, preto, amarelo e verde) en-

trelaçados e localizados no centro da bandeira. Esta bandeira representa a univer-

salidade do olimpismo. Ela tem fundo branco e os anéis representam os cinco

continentes habitados no mundo. As seis cores, contando com o branco, aparecem

em todas as bandeiras dos países em 1896.

A bandeira é hasteada na cerimônia

de abertura das Olimpíadas e é levada, na

posição horizontal, ao estádio olímpico por

atletas e hasteada em um mastro. Enquan-

to a chama olímpica queima no estádio ela

permanece hasteada. Na cerimônia de

encerramento a bandeira é recolhida e

entregue ao prefeito da cidade sede das

Olimpíadas para os jogos seguintes.

Disponível em: <www.suapesquisa.com/olimpiadas/bandeira_olimpica.htm>. Acesso em: 17 dez. 2012.

Alguns esportes olímpicos

Tiro com arco

O tiro com arco é disputado em duas

categorias — individual e por equipes —,

na distância de 70 m em relação ao alvo,

que tem 1,22 m de diâmetro e é formado

por dez círculos concêntricos. O círculo

mais central — a mosca — vale 10 pontos;

cada círculo seguinte perde um ponto em

valor. Para vencer, o competidor tem de

somar o maior número possível de pontos.

A disputa é eliminatória e, a cada etapa, o

atleta dispara 36 flechas — seis séries de

seis flechas com quatro minutos cada.

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Prova de tiro com arco, Londres, 2012.

Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência108

OlimpíadasOutros

contextos

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