94

2.4 Análise Envoltória de Dados – DEA

O objetivo desta seção é revisar os conceitos de produtividade e eficiência dos

processos produtivos abordando as técnicas de mensuração oferecidas no âmbito da Pesquisa

Operacional (PO), que abrangem os desenvolvimentos teóricos e metodológicos da

Programação Linear (PL) e Análise por Envoltória de Dados (DEA). São descritos os

fundamentos do conjunto de possíveis modelos de produção, e apresentado o conceito

empírico de fronteira de produção e suas medidas de eficiência. É apresentada a noção de

distância como medida de eficiência entre unidades produtivas.

2.4.1 Definições

Em seus estudos, Farrell (1957) preconiza a mensuração da eficiência da

produtividade. Essa mensuração da produtividade é elaborada a partir da observação da

relação existente entre produto e insumo dentro de um determinado processo produtivo. Uma

unidade produtiva é considerada eficiente quando é obtida a máxima produção ao aplicar um

determinado conjunto de insumos e tecnologia. Os recursos empregados, geralmente escassos,

devem ser maximizados durante o processo produtivo, desta forma, são eliminadas as

ineficiências de capacidade ociosa, ou reduzidas a níveis próximos de zero.

Segundo Wonnacott e Wonnacott (1994), a eficiência alocativa consiste na melhor

escolha entre um conjunto adequado de recursos para a produção de um conjunto adequado de

produtos. Em economia, a eficiência produtiva é normalmente calculada pelo emprego de

técnicas de regressão por mínimos quadrados, que é uma função de médias. A característica

principal dessa técnica é a representação da eficiência pela média ou tendência central da

produtividade. Assim, dispostos em um gráfico, podem ser interpretados como excelentes os

pontos alocados acima da linha da média.

Em outra técnica de mensuração da eficiência, a Programação Linear, busca-se a

minimização dos custos ou maximização dos lucros entre os fatores produtivos empregados.

Desenvolvida por Charnes, Cooper e Rhodes, a Análise Envoltória de Dados (DEA -

Data Envelopment Analysis) é uma abordagem da Programação Linear que generaliza as

medidas de Farrel (1957) e busca medir a eficiência produtiva de unidades de produção com

múltiplos produtos e múltiplos insumos.

95

2.4.2 Pesquisa Operacional

A Pesquisa Operacional (PO) foi desenvolvida durante a Segunda Guerra Mundial

quando se reuniram esforços de um conjunto de cientistas de diversas áreas que tinham por

objetivo resolver problemas no campo militar, de ordem estratégica e tática. Atualmente PO é

largamente usada como instrumento matemático-computacional de auxílio no processo de

tomada de decisões das organizações, pois disponibiliza uma ampla gama de ferramentas

quantitativas que se destinam a prestar auxílio em processos que envolvam tomadas de

decisões.

Trata-se de uma disciplina que objetiva resolver de forma eficiente os problemas de

administração nas organizações, sendo amplamente aplicada em praticamente todos os

domínios da atividade humana, como engenharias, economia, contabilidade, administração,

computação e outras.

A Pesquisa Operacional foca a obtenção do melhor uso técnico, econômico, social e

político de recursos geralmente escassos. Para tanto, emprega métodos científicos que

objetivam obter maior satisfação do usuário de um produto ou serviço, como os aplicados no

âmbito da Programação Linear.

2.4.3 Programação Linear

A Programação Linear (PL) é a disciplina mais aplicada em Pesquisa Operacional, e

constitui-se em uma técnica que tem por objetivo a otimização de problemas em que há

diversas opções de escolha, sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação. A

Programação Linear é aplicada em empresas que buscam a minimização dos custos ou

aumento dos lucros, porque fornece ferramentas quantitativas ao processo de tomada de

decisões, sendo apoiada pelas ciências de economia, matemática, e informática.

Os primeiros estudos na área da Programação Linear foram realizados no final da

década de 1940 por George Dantzig, sendo essa teoria atualmente aplicada na solução de

inúmeros problemas na área industrial e científica.

Para Puccini e Pizzolato (1989), o processo de formulação da Programação Linear

deve ser iniciado pela identificação das variáveis de decisão, posteriormente elaborada a

função-objetivo, e finalmente identificado o conjunto de restrições.

A Programação Linear é ainda composta por três itens básicos, conforme ilustrado na

equação 58: 1) a função-objetivo, que é uma função linear de variáveis de decisão, que deve

96

ser otimizada, isto é, a função deve ser maximizada ou minimizada; 2) as restrições, que

tratam das relações de interdependência entre as variáveis de decisão, e são expressas por um

conjunto de equações e/ou inequações lineares, e 3) as variáveis do modelo, que deverão

assumir valores positivos ou nulos.

Puccini e Pizzolato (1989) citam como exemplo uma empresa que possui m recursos

disponíveis para atender n produtos diversificados. Conforme esse exemplo, para os produtos

j = 1, 2, ..., n e recursos i = 1, 2, ..., m, são obtidos os seguintes dados:

a) xj indica o nível de uma produção do produto ou atividade j , sendo que os xj

( j = 1, 2, ..., n) são as incógnitas ou variáveis de decisão do problema;

b) cj indica o lucro unitário do produto j;

c) bi indica a quantidade disponível do recurso i (bi >= 0), e

d) aij indica a quantidade do recurso i, consumida na produção de uma unidade do

produto j.

Assim, a função-objetivo estabelece o lucro total da empresa a ser maximizado em n

atividades, no qual as m restrições são relativas ao total gasto do recurso i, em n atividades,

onde deverá assumir valores menores ou no máximo iguais à quantidade bi disponível daquele

recurso. Objetivando evitar que o nível de produção de cada produto não seja negativo, ainda

são formuladas as restrições xj >= 0 (j = 1, 2, ..., n).

No processo de definição da função objetivo, geralmente é determinada a

maximização de lucros ou receitas, ou a minimização de custos ou perdas, de acordo com as

variáveis de decisão envolvidas no problema. E finalmente, as restrições apresentadas na

descrição do sistema devem ser representadas em forma de relações lineares de igualdade ou

desigualdade, construídas com base nas variáveis de decisão.

(58)

97

Em suas definições, Goldbarg e Luna (2000) explicam que a Programação Linear é um

modelo matemático de otimização onde todas as suas funções são lineares, devendo possuir as

características de proporcionalidade, não negatividade, aditividade e separabilidade.

2.4.4 Conceitos de Análise Envoltória de Dados (DEA)

DEA é uma ferramenta analítica destinada a fornecer a identificação das melhores

práticas no uso de recursos, sendo no presente estudo, aqueles colocados à disposição dos

gestores públicos. Trata-se de uma técnica baseada em Programação Linear (PL) com a

capacidade de simultaneamente: a) identificar a possível fronteira de eficiência de um grupo

de organizações que possuam as mesmas características, e b) elaborar comparações entre os

recursos usados e os resultados obtidos por cada uma das organizações avaliadas.

DEA visa medir a eficiência produtiva individual em um grupo de unidades avaliadas,

considerando para esse fim, os resultados alcançados em relação aos insumos aplicados, onde

é construída uma fronteira de eficiência a partir das unidades produtivas mais eficientes, e

posteriormente é medida a eficiência alcançada pelas demais unidades que se encontram

abaixo dessa fronteira.

De acordo com Emrouznejad (2005), essa técnica permite a comparação entre

unidades produtivas que empregam múltiplas entradas (insumos) e múltiplas saídas

(produtos). As unidades produtivas comparadas entre si devem ser homogêneas e pertencentes

ao mesmo segmento de atividade.

Assim, pode ser elaborada uma avaliação da eficiência alcançada por: organizações

públicas ou privadas, setores, departamentos, municípios, estados, escolas, hospitais, filiais de

bancos, etc., sendo possibilitada a identificação das melhores práticas no uso dos recursos

pelas unidades produtivas.

A produtividade pode ser definida como a relação existente entre a quantidade ou

valor produzido (saídas ou outputs) e a quantidade ou valor dos insumos aplicados àquela

produção (entradas ou inputs).

Desta forma, entende-se por eficiência a característica de uma unidade produtiva em

alcançar o melhor rendimento com o mínimo de erros e/ou de dispêndio de recursos como

energia, tempo ou dinheiro. Essa medida de forma isolada pode não fornecer uma avaliação

de eficiência adequada, pois o desejável é poder comparar diversas organizações ou unidades

produtivas entre si.

98

Para atender aos casos de múltiplas entradas e saídas, é proposta a atribuição de pesos

aos fatores de entradas e saídas como demonstrado nas equações 59 e 60; para cada unidade

produtiva; vi e ur são os pesos desconhecidos. (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000).

Entrada virtual = v1x1o + ... + vmxmo (59)

Saída virtual = u1y1o + ... + usyso (60)

Assim, o cálculo de eficiência para uma determinada unidade pode ser visualizado na

ilustração da equação (62).

Neste caso, o valor de eficiência é normalmente restringido à escala [0.1]. A suposição

inicial é de que essa medida da eficiência requererá um conjunto comum de pesos a ser

aplicado a todas as unidades que as ajustará. No entanto pode ser difícil obter um conjunto

comum de pesos, uma vez que a subjetividade existente no processo de avaliação das entradas

ou das saídas poderá ocasionar problemas.

Por exemplo, se houver uma tentativa de comparar a eficiência de escolas que estejam

avaliando atividades musicais e esportivas, algumas escolas poderão de forma legítima avaliar

a realização dessas atividades de forma diferenciada de outras escolas, mediante a atribuição

de pesos diferenciados para cada uma das atividades. Gomes, Mello e Biondi Neto (2003)

afirmam que a maior parte dos trabalhos em economia procura medir a eficiência de

empreendimentos, usando técnicas de regressão por mínimos quadrados, que é uma função de

médias.

Nesse contexto, o estudo desenvolvido por Cooper; Seiford e Tone (2000) apresenta

um gráfico que exemplifica uma linha de regressão estatística (Figura 15), onde são

considerados excelentes todos os pontos alocados acima desta linha, e insatisfatórios todos os

pontos que se encontram abaixo dela.

u1 y1j + u2 y2j + ... v1 x1j + v2 x2j + ...

onde u1 = o peso atribuído para o output 1 y1j = montante do output 1 da unidade j v1 = peso atribuído para input 1 x1j = montante do input 1 para unidade j.

Eficiência da unidade j =

Saída virtual Entrada virtual

Eficiência = (61)

(62)

99

Esse modelo reflete a “média” ou “tendência central”, interpretando-se assim, que

quanto maior for o desvio do ponto até a linha, maior será a medida de excelência ou

inferioridade.

Figura 15 Linha de Regressão Estatística. Fonte: Adaptado de Cooper; Seiford e Tone (2000, p.4)

A DEA, entretanto, não calcula a eficiência pela média, mas constrói a fronteira de

eficiência com os melhores desempenhos das melhores unidades, como apresentado na Figura

16, onde a unidade B é a mais eficiente, sendo as demais unidades mais ou menos ineficientes

em relação à unidade B.

Figura 16 - DEA versus linha de regressão Fonte: Adaptado de Cooper; Seiford e Tone (2000, p.84)

Linha de Regressão vs. Linha de Fronteira

R$ 0,00

R$ 100.000,00

R$ 200.000,00

R$ 300.000,00

R$ 400.000,00

R$ 500.000,00

R$ 600.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de Funcionários

Valo

r de V

endas

B

A

C

D

E

G

H

Linha de Regressão

Fronteira de Eficiência DEA

Linha de Regressão vs. Linha de Fronteira

R$ 0,00

R$ 100.000,00

R$ 200.000,00

R$ 300.000,00

R$ 400.000,00

R$ 500.000,00

R$ 600.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de Funcionários

Valo

r de V

endas

B

A

C

D

E

G

H

Linha de Regressão

Fronteira de Eficiência DEA

Linha de Regressão vs. Linha de Fronteira

R$ 0,00

R$ 100.000,00

R$ 200.000,00

R$ 300.000,00

R$ 400.000,00

R$ 500.000,00

R$ 600.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de Funcionários

Valo

r de V

endas

B

A

C

D

E

G

H

Linha de Regressão

Fronteira de Eficiência DEA

100

2.4.5 Elementos DEA

O conceito de unidade produtiva e de grupo de unidades produtivas deve ser

previamente compreendido para que os resultados desejados em uma avaliação sejam

corretamente obtidos.

Assim, devemos detalhar os elementos que compõe as aplicações DEA, onde a

unidade produtiva, também chamada de Decision Making Unit (DMU), ou unidade tomadora

de decisão, possui inputs ou entradas, que se referem em princípio aos insumos empregados

por ela no processo produtivo, e os outputs ou saídas que se referem à produção obtida, como

pode ser visualizado na Figura 17.

Figura 17 - Elementos da DMU (Decision Making Unit).

As DMUs que farão parte do conjunto a ser analisado pela aplicação DEA devem

possuir a mesma natureza, sendo avaliadas pelo mesmo conjunto de inputs e outputs. Desta

forma, devem ser comparados bancos com bancos, prefeituras com prefeituras, hospitais com

hospitais, seguradoras com seguradoras, etc.

Conforme esclarecimentos de Cooper; Seiford e Tone (2000), os elementos básicos de

uma aplicação DEA são os seguintes: a) Decision Making Unit (DMU) ou unidade tomadora

de decisão; trata-se da unidade produtiva que se deseja avaliar e comparar com outras

unidades da mesma natureza, sendo esta responsável pela conversão de entradas em saídas; b)

inputs ou entradas são os insumos, como matéria-prima, equipamento, capital, horas de

trabalho, energia, e tempo, empregados pela DMU na geração de uma determinada produção;

c) outputs ou saídas são os produtos gerados pela DMU como bens ou serviços produzidos ou

vendidos; uma DMU pode ter uma ou mais saídas; d) modelo escolhido: DEA permite a

escolha de vários modelos de cálculos segundo a sua adequação, como por exemplo, o CCR

(Charnes-Cooper-Rhodes) e BCC (Banker-Charnes-Cooper), com orientação à entrada (ou

input) ou à saída (ou output); e) fronteira de eficiência, que é construída a partir dos melhores

resultados apresentados pelo conjunto de DMUs; para essas DMUs é atribuído o valor

máximo de eficiência (1, ou 100%); f) eficiência relativa, refere-se ao valor de eficiência (ou

DMU Input 2

Input m ...

Output 2

Output s ...

Input 1 Output 1

101

ineficiência) das DMUs em relação à fronteira; e g) pesos calculados: os melhores pesos para

cada DMU de cada entrada e saída são atribuídos, visando atingir a maior eficiência possível.

Os relatórios DEA podem fornecer uma maior ou menor quantidade de informações de

acordo com o software adotado, sendo também disponibilizados mais ou menos recursos para

a elaboração de análises. As informações apresentadas na Figura 18 são básicas em qualquer

software DEA.

Figura 18 - Entradas e saídas de um software DEA. Fonte: Jubran (2005).

2.4.6 Modelos DEA

Os modelos DEA tradicionais desenvolvidos por Charnes, Cooper e Rhodes (CCR) em

1978 e Banker, Charnes e Cooper em 1984 (BCC) são basicamente classificados segundo o

retorno de escala assumido na formulação do problema, ou seja, Constante (Constant Return

to Scale - CRS) ou Variável (Variable Return to Scale - VRS).

Outras classificações para os modelos DEA são referentes ao tipo de orientação

desejada, ou seja, um modelo pode ser orientado a input, ou orientado a output, conforme

ilustração apresentada na Figura 19 por Kassai (2002).

Além dos modelos clássicos, diversos outros foram desenvolvidos, como por exemplo,

o modelo aditivo (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000).

DEA

Cálculo DEA Entradas ou inputs por DMU

Saídas ou outputs por DMU DMUs a serem analisadas

Modelo de cálculo

Fronteira de eficiência

Entrada Saída (relatórios do DEA)

Eficiência relativa

Pesos calculados

102

Figura 19 - Classificação entre ganhos de escala e orientação. Fonte: Adaptado de Kassai (2002).

No modelo orientado a input, o objetivo é o máximo movimento em direção a

fronteira por meio da redução proporcional de inputs, mantendo os outputs constantes. Já no

modelo orientado a output, o objetivo é o máximo movimento em direção à fronteira por meio

do acréscimo proporcional de outputs, mantendo constantes os inputs.

Segundo Emrouznejad (2005), a figura 20 apresenta um conjunto de unidades P1, P2

... P6, onde cada unidade consome um recurso, porém produzem quantidades diferentes de

saídas, de y1 e de y2. Assim, para uma determinada quantidade de entrada de recurso, as

unidades que fornecerem quantidades maiores de saídas serão consideradas eficientes.

A aplicação da formulação DEA a este conjunto de unidades identificará as unidades

P1, P2, P3 e P4 como eficientes, pois se encontram na fronteira, e as unidades P5 e P6 como

ineficientes, pois se encontram antes da fronteira.

Para a unidade P5, as unidades de referência são P1 e P2. Claramente, há no exemplo

outras unidades de referência possíveis para P5. Se a quantidade de saída Y2 não puder ser

aumentada para a unidade P5, então o ponto P5’ poderia ser alcançado usando apenas o

incremento na saída y1.

Modelo Linear

Ganhos de Escala Constantes

Insumos CCR - INPUT

Produtos CCR - OUTPUT

Insumos BCC - INPUT

Produtos BCC - OUTPUT

Ganhos de escala Variáveis

103

Para a unidade P6 o aumento proporcional conduz ao ponto P6 '. Entretanto P6 '

estaria dominado claramente por P4 que produz a mesma quantidade de saída y1; porém

produzindo maior quantidade da saída y2. Neste caso o aumento proporcional necessitaria ser

suplementado por um aumento adicional na saída de y2 para que seja alcançada a fronteira de

eficiência. Dizemos então que P6 ' é tecnicamente eficiente, mas possui ineficiência de “mix”.

Figura 20 - Ilustração da fronteira de eficiência.

Fonte: Emrouznejad (2005).

O exemplo ilustrado na Figura 20 é semelhante ao do processo de análise de eficiência

para uma entrada e duas saídas apresentado por Cooper, Seiford e Tone (2000).

Conforme os dados contidos na Tabela 13, para efeito do cálculo da eficiência, são

comparadas as DMUs A, B, C, D, E, F e G no exemplo de uma entrada e duas saídas, sendo

considerada a variável de entrada o “número de empregados”, e como variáveis de saída o

“número de clientes” (unidade = 10) e o “valor de vendas” (unidade = 100.000 dólares).

Tabela 13 - Tabelamento das variáveis para uma entrada e duas saídas

DMU Empregados {I} Clientes {O} Vendas {O}

A 1 1 5

B 1 2 7

C 1 3 4

D 1 4 3

E 1 4 6

F 1 5 5

G 1 6 2

Fonte: Cooper; Seiford e Tone (2000)

104

O cálculo de eficiência para os dados da Tabela 13 foi executado no software DEA

Solver versão 1.0, usando o modelo CCR-O, gerando o escore de eficiência e demais

informações sobre as DMUs de referência que se encontram na Tabela 14, sendo atribuída a

eficiência máxima (100%) para as DMUs B, E, F e G, que são consideradas como DMUs de

referência para o cálculo da eficiência das demais.

Tabela 14 - Cálculo da eficiência para uma entrada e duas saídas

DMU Escore de Eficiência DMUs Referência Empregados

{I}

Cliente

{O}

Vendas

{O}

A 0,714286 B 1 1 5

B 1 B 1 2 7

C 0,7 E, F 1 3 4

D 0,75 F, G 1 4 3

E 1 E 1 4 6

F 1 F 1 5 5

G 1 G 1 6 2

Fonte: Cooper; Seiford e Tone (2000)

Neste exemplo, para a determinação da fronteira de eficiência, os valores que compõe

as variáveis de saída foram divididos pelos valores da variável de entrada.

Assim são obtidos os valores dos pontos que formam a fronteira de eficiência, ou seja,

a fronteira que é formada pelos maiores retornos e representada pelas linhas que ligam os

pontos B, E, F e G, como demonstrado na Figura 21.

Figura 21 - Fronteira de eficiência do exemplo de uma entrada e duas saídas Fonte: Cooper; Seiford e Tone (2000, p.9)

105

O cálculo da eficiência relativa é realizado pela projeção de retas a partir do ponto

(0,0) até a fronteira estabelecida, como ilustrado na Figura 22.

Desta forma, no cálculo realizado para o ponto D (com DMUs de referência F e G),

projeta-se uma reta que parte do ponto (0,0), passa pelo ponto D, e alcança a fronteira no

ponto P. (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000)

Figura 22 - Projeção das retas do ponto (0,0) até a fronteira. Fonte: Cooper; Seiford e Tone (2000 p.9)

Para o cálculo da eficiência relativa do ponto D em relação à fronteira, utiliza-se a

seguinte equação (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000):

O Ponto P(x,y) fica na intersecção das retas e .

Inicialmente calcula-se a equação da reta que une os pontos (0, 0) e D(4,3), e que

também passa pelo ponto P.

A função de primeiro grau que contém os pontos O(0,0) e D(4,3), tem a forma :

y = ax + b

d(0,D) (63) d(0,P)

OP FG

106

Logo, a equação da reta é:

y = 3/4x

A reta que une os pontos F(5,5) e G(6,2) é representada por:

y = 20 – 3x.

O ponto P de intersecção entre as duas retas pode então ser calculado por:

P=(16/3, 4)

Os cálculos das distâncias entre os pontos O(0,0) e D(4,3) e entre os pontos O(0,0) e

P(16/3,4) são efetuados pela Distância Euclidiana. (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000)

Dividindo-se a d(O,D) pela d(O,P), é obtido o resultado do cálculo da eficiência D,

que foi encontrado pela ferramenta DEA Solver (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000):

Este cálculo pode ainda ser realizado por meio de programação linear, sendo que nesse

caso é necessária uma equação linear para cada DMU.

Desta forma, pode ser criada a equação linear para a DMU D, como exemplificado na

formulação (66), para ser processada no software Lindo.

MAX 4u1 + 3u2

ST

v1 = 1

4u1 + 3u2 - v1 <= 0

u1 + 5u2 - v1 <= 0

2u1 + 7u2 - v1 <= 0

3u1 + 4u2 - v1 <= 0

4u1 + 6u2 - v1 <= 0

5u1 + 5u2 - v1 <= 0

6u1 + 2u2 - v1 <= 0

(64) d(0,D) = 42 + 32√

= 5

d(0, P) = (16/3)2 + 42√

= 20/3

d(O,D)/d(O,P) = 5 / (20/3) = 0, 75 (65)

(66)

107

Conforme anteriormente comentado, é possível formular o modelo CCR de duas

formas. Em uma é dada ênfase à redução de inputs, e na outra no aumento de outputs. Essas

formulações produzem resultados idênticos, fato que não ocorre com outros modelos DEA,

como o BCC.

A escolha por uma das duas formulações é determinada em função das circunstâncias.

Em algumas aplicações caracterizadas por elevados níveis gerenciais, os inputs são

particularmente inflexíveis, sendo nestes casos recomendada a orientação da formulação para

outputs.

Em outras aplicações, os outputs são ajustados ao conjunto de metas previamente

definidas pelos administradores ou restringidas pelas condições ambientais, caso em que a

orientação a input passa a ser a mais recomendada.

2.4.7 Armadilhas DEA

Dyson et al. (2001), ao analisarem o processo de desenvolvimento das aplicações

DEA, relacionam e comentam uma série de armadilhas que podem conduzir o analista a

cometer equívocos.

Assim, foram extraídas desse estudo (DYSON et al. 2001), e comentadas a seguir, as

situações que envolvem questões como homogeneidade, conjunto de fatores de entradas e

saídas, quantidade de fatores, correlação entre os fatores, mistura de fatores índices com

fatores volumes, entradas ou saídas indesejadas e variáveis qualitativas.

2.4.7.1 Homogeneidade

Geralmente presume-se que as DMUs produzem produtos e serviços comparáveis

entre si, e que têm a sua disposição recursos similares. Assim, uma armadilha básica em DEA

surge da tentativa de comparar unidades não homogêneas, como departamentos diferentes de

uma universidade, onde, por exemplo, o departamento de ciências incorre em mais gastos (em

função da necessidade do uso de laboratórios), do que o departamento de ciências humanas.

Portanto, o departamento de ciências pode aparecer como menos eficiente do que o

departamento de ciências humanas. Outra armadilha apontada está relacionada ao ambiente

das DMUs, como no caso da avaliação de desempenho de escolas, que pode ser afetado pelo

status social e de renda dos alunos.

108

2.4.7.2 Escolha do conjunto de Fatores de entradas e saídas

Existem quatro pressupostos chaves em relação à escolha do conjunto de inputs e

outputs a ser adotado: 1) devem cobrir todos os recursos usados; 2) devem capturar todos os

níveis de atividades e medidas de desempenho; 3) o conjunto de fatores deve ser comum a

todas as DMUs, e 4) se necessário, variáveis ambientais devem ser incluídas.

2.4.7.3 Quantidade de Fatores

Deve-se alertar para o problema da quantidade de fatores (inputs e outputs) adotados

no modelo, pois a inclusão de um grande número de fatores implica em um baixo nível de

discriminação, visto que as DMUs que apresentarem a melhor relação de inputs e outputs do

conjunto estarão na fronteira de eficiência. O número recomendado de DMUs deve ser de

pelo menos 2m x s, onde m x s é o produto do número de inputs pelo número de outputs,

ocorrendo assim um nível razoável de discriminação.

2.4.7.4 Correlação entre os Fatores

Para redução do número de outputs é sugerida a eliminação de medidas de

desempenho que não estejam fortemente relacionadas com os objetivos da organização.

Subconjuntos de inputs e outputs podem estar correlacionados, sendo uma tentação a omissão

de tais variáveis. No entanto, a omissão de variáveis fortemente correlacionadas pode

ocasionar alterações significativas no resultado das eficiências, como demonstrado no

exemplo hipotético apresentado nas Tabelas 15 e 16, para três inputs e dois outputs.

Tabela 15 - Conjunto de dados do exemplo de correlação

Input1 Input2 Input3 Output1 Output2

Unidade 1 4 8 4,5 6 7

Unidade 2 6 10 5,5 10,5 3

Unidade 3 4 8 4,5 9 2

Unidade 4 6 10 6,5 8 5

Unidade 5 5 9 5,5 7 6

Unidade 6 5 9 4,5 2 8

Unidade 7 7 11 7,5 12,6 10,5

Unidade 8 2 6 1,5 4,2 2

Unidade 9 3 7 2,5 2,25 5,7

Fonte: Dyson et al (2001)

109

Tabela 16 - Correlação entre as variáveis do exemplo.

Input1 (I1) Input2 (I2) Input3 (I3) Output1 (O1) Output2 (O2)

Input1 (I1) 1 1 0,965535 0,70158222 0,527859244

Input2 (I2) 1 1 0,965535 0,70158222 0,527859244

Input3 (I3) 0,965535 0,965535 1 0,75413965 0,524656833

Output1 (O1) 0,701582 0,701582 0,75414 1 0,079523306

Output2 (O2) 0,527859 0,527859 0,524657 0,07952331 1

Fonte: Dyson et al (2001)

Verifica-se dessa forma, que os fatores de entrada têm total ou grande correlação entre

si:

1 (I1 e I2),

0.97 (I1 e I3), e

0,97 (I2 e I3),

sendo que:

I2 = I1 + 4.

Embora I2 e I1 sejam totalmente correlacionados, a retirada de I2 implica na mudança

do resultado das eficiências para as Unidades 1 e 5.

Na Tabela 17 podem ser observadas as mudanças nas eficiências com o uso de

diferentes subconjuntos de inputs; onde se verifica que embora os inputs sejam total ou

grandemente correlacionados, a retirada de um ou mais inputs altera o cálculo das eficiências.

Os testes do exemplo foram realizados no software DEA Solver.

Tabela 17 - Eficiências com subconjuntos diferentes de inputs

I1, I2 e I3 I1 e I2 I1 e I3 I2 e I3 I1 I2 I3

Unidade 1 1 1 0,966989 0,966989 1 0,916667 0,813615

Unidade 2 0,95763074 0,921053 0,957631 0,957631 0,791667 0,916667 0,681818

Unidade 3 1 1 1 1 1 0,982143 0,714286

Unidade 4 0,70175439 0,701754 0,701754 0,701754 0,679012 0,698413 0,506687

Unidade 5 0,78888889 0,788889 0,755905 0,755905 0,788889 0,698413 0,632248

Unidade 6 1 0,979592 1 1 0,842105 0,931217 0,779727

Unidade 7 1 1 1 1 1 1 0,819907

Unidade 8 1 1 1 1 1 0,611111 1

Unidade 9 1 1 1 1 1 0,853061 1

Fonte: Adaptado de Dyson et al (2001).

110

2.4.7.5 Mistura de Fatores Índices com Fatores Volumes

Outra preocupação em DEA é a mistura de índices com volumes, o que gera

fatalmente distorções na medida de eficiência. Assim, índices, rateios ou porcentagens podem

ser incluídos no conjunto de entradas e saídas, desde que, todas as entradas e saídas sejam

dessa natureza.

2.4.7.6 Entradas ou Saídas Indesejadas

Supõe-se que os inputs e os outputs são isotônicos, ou seja, quanto maior o valor do

output maior a eficiência, e que quanto menor o valor do input, também maior sua eficiência.

Assim, pode ocorrer o problema de inputs ou outputs indesejados, como por exemplo, a

inclusão de emissão de poluentes como fator de output. Para essas situações são oferecidas

algumas sugestões, como subtrair o fator indesejado de uma grande constante K; ou ainda,

mover a variável de output para o lado do input no modelo ou vice-versa.

2.4.7.7 Variáveis Qualitativas

Em alguns casos existe a necessidade de incorporar variáveis qualitativas às análises,

como percepção do consumidor em Marketing ou descrição de competências de funcionários.

O primeiro desafio é transformar os dados qualitativos em quantitativos, o que é

normalmente efetuado por meio de rateio.

Outro desafio é a alta subjetividade da mensuração de fatores qualitativos que podem

variar de DMU para DMU. Por exemplo, clientes de agências bancárias localizadas em áreas

centrais podem ter determinadas expectativas sobre a qualidade do serviço prestado, que são

diferentes das expectativas de clientes de outras áreas, fazendo com que diferentes agências

correspondam a níveis diferentes de qualidade. Então, a alternativa é projetar instrumentos

que reduzam ao máximo o efeito da subjetividade no processo de mensuração da eficiência.

2.4.8 Escolha do Modelo DEA

A técnica DEA é capaz de determinar a eficiência de unidades produtivas, onde

insumos e produtos não são apenas dados financeiros.

111

Existem diversos modelos DEA à disposição dos analistas, sendo que os mais usados

são o CCR (Charnes, Cooper e Rhodes) e o BCC (Banker, Charnes e Cooper). (CHARNES et

al. 1995)

2.4.8.1 Modelo DEA CCR

O modelo clássico DEA denominado CCR (Charnes-Cooper-Rhodes), referente à

eficiência com retorno constante de escala foi proposto por Charnes, Cooper e Rhodes, em

1978 (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000).

No modelo CCR, para cada DMU são alocados inputs e outputs virtuais, cujos pesos

são desconhecidos, como representado a seguir (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000):

Virtual input = v1x1o + ... + vmxmo

Virtual output = u1y1o + ... + umymo

Para ilustrar o cálculo DEA, vamos designar a DMU 0 como sendo a DMU de

referência para cálculo. Conforme explicações de Cipparrone (2004), tratando-se a saída

virtual por Sv (composta por s saídas); a entrada virtual por Ev (composta por m entradas);

pesos ui (saída) e vi (entrada) que são automaticamente determinados por DEA; xio e os yio são

respectivamente as entradas e saídas da DMU 0, obtêm-se :

0 01

0 01

m

v i i

i

s

v i i

i

E v x

S u y

=

=

=

=

∑

∑

(69)

Logo se pode expressar a produtividade da DMU 0 como:

00

0

v

v

SP

E= (70)

O modelo CCR pode ser então aplicado na solução do programa fracional a seguir

representado (CIPPARRONE, 2004):

(67)

(68)

112

01

01

1

1

1

1

max

sujeito a 1 ( 1, )

, , 0

, , 0

s

i i

i

m

i i

i

s

i ij

i

m

i ij

i

s

m

u y

v y

u y

j n

v x

u u

v v

θ =

=

=

=

=

≤ =

≥

≥

∑

∑

∑

∑K

K

K

(71)

Assim, verifica-se que é imposto o limite máximo de 1 para cada eficiência. Logo,

para cada DMU é calculado o conjunto ótimo de pesos, que maximizem o escore θ. Desta

forma, para cada DMU é formulado um problema de otimização.

É possível então, converter o programa fracional acima no seguinte programa linear

(CIPPARRONE, 2004):

01

01

1 1

1

1

max

sujeito a

1

, , 0

, , 0

s

i i

i

s

i i

i

s m

i ij i ij

i i

m

s

y

x

y x

θ µ

ν

µ ν

ν ν

µ µ

=

=

= =

=

=

≤

≥

≥

∑

∑

∑ ∑

K

K

(72)

Uma das finalidades da técnica DEA é analisar a fronteira representada pelos melhores

desempenhos e possíveis combinações destes, também interpretada como superfície eficiente

de produção (CERETTA, 1999). DEA somente atribui Score θ =1 (100% de eficiência) a uma

DMU, se a eficiência verificada for superior às eficiências calculadas para as demais DMUs,

isto é, o Score θ =1 é uma eficiência relativa, ou não paramétrica, pois caso todas as DMUs

comparadas estejam trabalhando em condições de ineficiência, será considerada eficiente a

que apresentar a menor ineficiência. (SILVA, 2005).

São atribuídos valores proporcionalmente inferiores a 1 (inferiores a 100%) às demais

DMUs, sendo estas consideradas relativamente ineficientes.

113

Desta forma, o escore θ reflete a distância radial da DMU sob análise até a fronteira

de eficiência estimada (CIPPARRONE, 2004).

A escolha dos fatores de avaliação (entradas, saídas e DMUs) deve refletir os objetivos

do analista no cálculo da eficiência relativa das DMUs, sendo que no modelo CCR as entradas

e saídas devem apresentar apenas valores não negativos (COOPER; SEIFORD e TONE,

2000).

Na medida em que há um aumento do número de entradas e saídas no modelo, cada

DMU tende a tornar-se mais especializada dentro do conjunto analisado.

Por outro lado, caso ocorra uma diminuição do número de entradas e saídas no

modelo, mais DMUs tendem a apresentar níveis diferenciados em relação à fronteira de

eficiência (TRICK, 1998).

A tarefa de se adequar corretamente as entradas e as saídas no modelo DEA torna-se

vantajosa quando comparada com a necessidade de atribuir-se subjetivamente pesos às

variáveis em outros modelos, que é um procedimento comum nas análises convencionais, pois

esses pesos são atribuídos automaticamente pela ferramenta DEA.

O modelo CCR trabalha com retorno constante de escala, ou seja, se a relação (x,y) é

possível, então (tx, ty) também é possível, como mostrado na Figura 23.

Figura 23 - Fronteira de eficiência para uma entrada e uma saída – CCR. Fonte: Adaptado de Cooper; Seiford e Tone (2000)

114

2.4.8.2 Modelo DEA BCC

O modelo BCC trabalha com o conceito de retorno variável de escala, como

demonstrado na Figura 24. Pode ser observado que a fronteira da produção é formada por

segmentos lineares e tem característica côncava.

Figura 24 - Fronteira de eficiência para uma entrada e uma saída - BCC Fonte: Adaptado de Cooper; Seiford e Tone (2000).

Alguns fatores de entrada ou de saída podem ser externos ao controle das DMUs,

como condições ambientais, condições geográficas, ou legislação. Outros fatores podem ser

controláveis pelas DMUs, mas são limitados pela escala usada, como porcentagens, ou por

limites físicos, como o tamanho de cada área ou a demanda de mercado.

Um modelo baseado em retornos variáveis de escala foi proposto por Banker, Charnes

e Cooper, e é conhecido pelas iniciais dos autores (BCC). O modelo BCC adota o axioma de

convexidade em lugar da proporcionalidade do modelo CCR.

O modelo BCC permite DMUs com inputs baixos e outputs crescentes de escala, e

DMUs com inputs altos e outputs decrescentes de escala.

Um exemplo hipotético de modelo BCC, apresentado por Cooper; Seiford e Tone

(2000) pode ser visualizado na Figura 25, onde são apresentadas quatro DMUs, A, B, C e D,

cada qual com uma entrada e uma saída somente.

A fronteira de eficiência do modelo CCR é a linha pontilhada que passa pelos pontos 0

e B. A fronteira do modelo BCC consiste da linha mais grossa, que liga os pontos A, B e C.

115

O conjunto de possibilidades de produção é a área que consiste da fronteira junto com

atividades possíveis ou observadas que apresente um aumento de input e/ou uma diminuição

em outputs comparados com a fronteira.

Figura 25: Exemplo de modelo BCC. Fonte: Cooper; Seiford e Tone (2000).

O valor de eficiência BCC, orientado à entrada, da DMU D pode ser calculada como

mostrado a seguir (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000).

PDPR =

42.6667 = 0.6667

(73)

Onde a distância entre o ponto P e o ponto R pode ser calculada pelos passos a seguir.

Observe-se que o ponto R(x,y) fica na intersecção das retas AB e PD.

1) A equação da reta que une os pontos P e D é:

y = 3

DMU Input Output A 2 1 B 3 4 C 5 6 D 4 3

Exemplo de Modelo BCC

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

Input

Ou

tpu

t

B

C

D

A

RQP

T

116

2) Calcula-se a equação da reta que une os pontos A e B

y = ax + b A(2,1) B(3,4) R(?,3)

2a + b = 1 � b = 1 – 2a � b = -5 3a + b = 4 � a = (4 – b) / 3 � a = 3

Logo, a equação da reta é:

y = 3x – 5

Calcula-se o ponto R, de intersecção entre as duas retas:

3x – 5 = 3 � x = 2,6667 � R(2,6667,3)

Enquanto que o valor de eficiência da DMU D calculado pelo modelo CCR é menor,

sendo calculada a seguir (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000).

PDPQ = 4

2.25 = 0.5625 (74)

Onde a distância entre o ponto P e o ponto Q pode ser calculada pelos passos a seguir.

Observe que o ponto Q(x,y) fica na intersecção das retas 0B e PD.

1) A equação da reta que une os pontos P e D é:

y = 3

2) Calcula-se a equação da reta que une os pontos 0 e B

y = ax + b (0,0) B(3,4) Q(?,3)

0a + b = 0 � b = 0 3a + b = 4 � a = (4 – b) / 3 � a = 4/3

Logo, a equação da reta é:

y = 4/3x

3) Calcula-se o ponto R, de intersecção entre as duas retas:

4/3x = 3 � x = 2,25

117

O mesmo cálculo também foi efetuado no software DEA Solver, que apresentou os

resultados ilustrados na Figura 26.

Figura 26: Cálculo de um exemplo nos modelos BCC-I e CCR-I.

Cooper; Seiford e Tone (2000) apresentaram o seguinte programa linear para resolver

o modelo BCC orientado à entrada, sendo calculada a eficiência de uma DMU por vez.

Para a DMU0 (o = 1,...,n):

min �B

subject to �Bx0 �X� � 0

Y� � y0

e� = 1

� � 0

(75)

118

Onde:

�B é um escalar;

X e Y formam o conjunto de dados fornecidos;

n é a quantidade de DMUs;

X = (xj) Є Rmxn ;

Y = (yj) Є Rsxn ;

λ Є Rn,

e

e é o vetor da linha com todos os elementos iguais a 1.

O modelo BCC difere do modelo CCR somente na adição da condição:

e� =∑

j=1n �j = 1. (76)

Junto com a condição λj >= 0, para todo j, essa imposição da condição de convexidade

permite alternativas nas quais as n DMUs podem ser combinadas.

Cornuejols e Trick (1998) apresentaram um exemplo de programa linear que calcula a

eficiência de três DMUs, com 2 inputs e 3 outputs, para retorno constante de escala (CCR)

orientada à entrada. Esse exemplo foi alterado para atender o proposto nessa seção, conforme

mostrado na Figura 27.

Observa-se que é atribuído um peso para cada DMU, e esse peso acompanha os

valores de input e de output. Foi gerada uma restrição para cada coluna de input e de output.

No modelo BCC-I foi acrescentada uma restrição, somando todos os pesos e igualando esta

soma a 1.

Os cálculos de Programação Linear foram realizados no LINDO, apenas para cálculo

de eficiência da DMU D.

Geralmente, o valor de eficiência do modelo CCR não supera o valor de eficiência do

modelo BCC (COOPER; SEIFORD e TONE, 2000).

119

Figura 27: Cálculo de eficiência da DMU D usando Programação Linear.

Nesta seção foram revisados os conceitos de produtividade e eficiência dos

processos produtivos abordando-se as técnicas de mensuração oferecidas no âmbito da

Pesquisa Operacional (PO), que abrangem os desenvolvimentos teóricos e metodológicos da

Programação Linear (PL) e Análise por Envoltória de Dados (DEA). Foram descritos os

fundamentos do conjunto de possíveis modelos de produção, e apresentado o conceito

empírico de fronteira de produção e suas medidas de eficiência. Foi também apresentada a

noção de distância como medida de eficiência entre unidades produtivas.

DMU Input Output A 2 1 B 3 4 C 5 6 D 4 3

Equação Linear Resposta do software Lindo CCR-I MIN THETA ST 2L1 + 3L2 + 5L3 + 4L4 - 4THETA <= 0 1L1 + 4L2 + 6L3 + 3L4 >= 3 L1 >= 0 L2 >= 0 L3 >= 0 L4 >= 0

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.5625000 VARIABLE VALUE REDUCED COST THETA 0.562500 0.000000 L1 0.000000 0.312500 L2 0.750000 0.000000 L3 0.000000 0.125000 L4 0.000000 0.437500 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.250000 3) 0.000000 -0.187500 4) 0.000000 0.000000 5) 0.750000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 1

BCC-I MIN THETA ST 2L1 + 3L2 + 5L3 + 4L4 - 4THETA <= 0 1L1 + 4L2 + 6L3 + 3L4 >= 3 L1 + L2 + L3 + L4 = 1

L1 >= 0 L2 >= 0 L3 >= 0 L4 >= 0

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.6666667 VARIABLE VALUE REDUCED COST THETA 0.666667 0.000000 L1 0.333333 0.000000 L2 0.666667 0.000000 L3 0.000000 0.333333 L4 0.000000 0.333333 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.250000 3) 0.000000 -0.083333 4) 0.000000 -0.416667 5) 0.333333 0.000000 6) 0.666667 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 1

L1 L2 L3 L4

Cálculo de eficiência da DMU D no Software LINDO