2.5 Teorema da Amostragem e Transformada de Fourier Discreta · Profs. Lucio M. Silva / André Noll Barreto Princípios de Comunicação Teoria das Comunicações 2.5 Teorema da Amostragem

Princípios de ComunicaçãoProfs. Lucio M. Silva / André Noll Barreto

Teoria das Comunicações

2.5 Teorema da Amostragem e Transformada de Fourier Discreta


TEOREMA DA AMOSTRAGEM


t

Instantes de amostragem

Ts

x(t)

t

xs(t) = x(t)Ts(t)t

Ts(t)

Amostragem de Sinais

)()()()()( s

n

ss

n

s nTtnTxnTttxtx


-B B

X( f )

f0

A

-B B

Xs( f )

f0

A fs

fs 2fs-2fs -fs

Espectro de Sinal Amostrado

Se fs > 2B

( ) ( )s s sk

X f f X f k f


-B B

X( f )

f0

A

-B B

Xs( f )

f0

A fs

fs-fs

Espectro de Sinal Amostrado

Se fs < 2B

aliasing

( ) ( )s s sk

X f f X f k f


-B B

| X( f )|

f0

BTs 2

1 Bfs 2

t

Instantes de amostragem

Ts

x(t)

.21

,,2,1,0),(

),(

BT

nnTx

tx

s

s

quedesde

amostrasas

ssuficientesão

erro,qualquersem

rreconstruiPara

Teorema da Amostragem


Taxa (de amostragem) de Nyquist: taxa de amostragem mínima teórica para um sinal de banda básica limitado frequencialmente a B hertz, isto é,

fs, Nyquist = 2 B

Frequência de Nyquist: Dado um amostrador que opera com a taxa de amostragem fs, denomina-se frequência de Nyquist a

fNyquist = fs /2,

ou seja, fNyquist é o valor máximo teórico para a mais alta frequência que o sinal a ser amostrado pode conter.

Definições


Reconstrução do sinal original)

-B B

Y( f ) = X( f )

f0

A

-B B

Xs( f )

f0

A fs

fs 2fs-2fs -fs

Filtro passa-baixa idealh(t) H( f )fcorte = fs /2Xs( f )

xs(t)

Y( f ) = X( f )

y(t) = x(t)

sf1)( fH

2sf2sf


Resposta impulsional de um filtro passa-baixa ideal

t

)(th

1

sTsT

0sT2sT2

0

2sf

2

sf f

sT

)( fH

ss f

fTfH rect)(

s

s

sss

Tt

tf

tffTth

sinc

sinc

sinc)(


)(tx

t

n

sss nTtfnTxtx )(sinc)()(

Reconstrução do sinal contínuo usando interpolador ideal

sT

skT sTk )1( sTk )2( sTk )3( sTk )5( sTk )6( sTk )7(


Dobramento espectral (ou aliasing)

Xs( f )

f0 B fsfs

2

- fs -B - fs

2

Filtro PB interpolador

Y( f )

f0 B fsfs

2

- fs -B - fs

2

Faixa perdida

Faixa perdida rebatida

Espectro original, X( f )

Espectro de um sinal amostrado a uma taxa fs < 2B:


fsf0 BBsf BfsBfsBfs Bfs

Filtro de reconstrução

f

)( fX s

sf0

sAf

BBsf BfsBfsBfs Bfs

)( fHr

sf1 Bfs 2transiçãodeFaixa

f

)( fX

0

A

BB


Escolha prática da taxa de amostragem

Na prática, os filtros antialiasing e de reconstrução não são filtros ideais e, por isso, a taxa de amostragem precisa ser maior que 2B. Utiliza-se, geralmente, valores de fs na faixa

BfB s 23,121,1

onde, B é a frequência de corte do filtro antialiasing.


TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)


Transformada de Fourier Discreta (1)

• Podemos amostrar sinal limitado no tempo dentre um intervalo de tamanho T0 a uma taxa fs = 1/Ts

• Temos N = T0 / Ts amostras

• A transformada de Fourier do sinal pode ser aproximada pelas suas amostras

t

T0

0

0

1

0

22 )()()(T N

n

fnTj

ss

ftj senTgTdtetgfG

)(tg



• Podemos amostrar a transformada de Fourier G(f) em intervalos

• Fazendo

1

0

/2N

n

Nknj

nk egG

G( f )

0

0

1

Tf s

)(e)( skssn kfGGnTgTg

Transformada de Fourier Discreta(DFT)



• Podemos mostrar que

• Ou seja, a DFT Gk é periódica• Só existem N valores diferentes de Gk

G( f )

0

kNk GG


Transformada de Fourier Discreta Inversa

• A Transformada de Fourier Discreta Inversa (IDFT) pode ser obtida por

• Podemos mostrar que , ou seja, também é periódico com período N

1

0

/21 N

k

Nknj

kn eGN

g

kg

nNn gg ng


FFT/IFFT

• Tranformada de Fourier Discreta é normalmente implementada por meio do algoritmo rápido

• Fast Fourier Transform (IFT)

• Complexidade

• DFT:

• FFT:

• O mesmo vale para a transformada inversa• IFFT

)( 2NO

)log( NNO


2

Deslocamento Circular

• Deslocamento de uma sequência periódica de período N =

• Deslocamento circular de uma sequência de N amostras

• Ex.

Com deslocamento circular 1

Com deslocamento circular 4

]8,7,6,5,4,3,2,1[g

]7,6,5,4,3,2,1,8[)1(

1 gng

]4,3,2,1,8,7,6,5[)4(

4 gng

1

5

73

8

64


Deslocamento Circular

• Se

• então

kn GgF

Nknj

knn eGg/2 0

0

F


Convolução Circular

• Convolução de uma sequência periódica de período N =

• Convolução circular de uma sequência de N amostras

1

0

N

m

mnmnnn xgxgy Lembrando que gn e xn são periódicos com período N

]0,0,1,1[

]4,3,2,1[

x

g

• Ex.

3)1(4)0(3)0(2)1(1

13223100

332211000

xgxgxgxg

xgxgxgxgy

1)0(4)0(3)1(2)1(1

23320110

231201101

xgxgxgxg

xgxgxgxgy


Convolução Circular

• Se

• então

kn GgF

kn XxF

kknn XGxgF

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