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Apostila de:
MATEMÁTICA Com exercícios resolvidos para o ensino fundamental (6° ao 9° ano) Apostila para o professor.
Escola Estadual José Ferreira Barbosa
Rua Comandante Elias Ferreira, 55
Vila Bordon
Campo Grande MS
Fone: (67)3314-7057
Diretor: Mariomar Rezende Diniz Junior
Coordenadora Pedagógica: Suely de Oliveira Assis
Coordenador de Língua Portuguesa: Johnny Alves Mattos
Coordenador de Matemática: Éder Régis Rodrigues
Apresentação:
Este material tem por objetivo revisar algumas técnicas de resolução de
exercícios de Matemática, que foram esquecidas ou aprendidas de maneira
superficial. As situações problema contidas na apostila leva o aluno a raciocinar,
desenvolver idéias e conceitos matemáticos com o intuito de solucioná-las.
Assim não estará apenas decorando, e sim, criando mecanismos que dificilmente
serão esquecidos.
Todo o material foi retirado de livros, apostilas, cadernos de questões ou
sites que tratam exclusivamente de Matemática e as referências estão
devidamente registrados no início dos exercícios.
Dessa forma desejamos a todos bons estudos.
Atenciosamente:
Prf: Éder Régis Rodrigues
Sumário: 1- Conjunto dos números naturais
2- Divisibilidade
3- Números primos
4- Decomposição em fatores primos
5- Mínimo múltiplo comum
6- Frações
7- Conjunto dos números inteiros
8- Conjunto dos números racionais
9- Equações do 1º grau com uma incógnita
10- Inequações do 1º grau com uma incógnita
11- Equações do 2º grau com uma incógnita
12- Funções do 1° grau
1- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS:
1.1- Escrevendo o conjunto dos números naturais:
Iniciando com o zero e a partir dele adicionando uma unidade a cada numeral, formamos o
conjunto dos números naturais em uma sequência infinita. Esse conjunto é representado pela
letra .
Quando se exclui o zero desse conjunto ele é chamado de conjunto dos números naturais não-
nulos, é representado por *.
1.2- Sucessor e antecessor de um número natural:
Todo número natural possui um sucessor. Obtemos esse novo número adicionando uma
unidade, observe:
1 é o sucessor de 0, pois, 0 + 1 = 1
2 é o sucessor de 1, pois, 1 + 1 = 2
3 é o sucessor de 2, pois, 2 + 1 = 3
⋅
⋅
⋅
15 é o sucessor de 14, pois, 14 + 1 = 15
Todo número natural possui um antecessor, exceto o zero. Obtemos esse novo número
subtraindo uma unidade, observe:
0 é o antecessor de 1, pois, 1 - 0 = 0
1 é o antecessor de 2, pois, 2 - 1 = 1
2 é o antecessor de 3, pois, 3 - 1 = 2
⋅
⋅
⋅
13 é o antecessor de 14, pois, 14 - 1 = 13
1.3- Números naturais consecutivos:
5 e 6 são consecutivos.
50, 51 e 52 também são consecutivos.
Sendo N um número natural, podemos representar uma sequência de números consecutivos
como sendo;
N, N + 1, N + 2, . . . , N + M.
Exercícios:
1º) Responda (F) para as alternativas falsas e (V) para as verdadeiras:
a) (F ) Existem apenas 15 números naturais:
b) (V) Na sequência dos números naturais, cada número, a partir do 1, é o anterior mais1;
c) (F ) O número 6000 é igual 5909 + 1;
d) (V ) O número 6000 é igual 5999 + 1;
e) (F ) 10 000 é o número natural que vem na sequência do número 9 909.
2º) Determine o sucessor e o antecessor dos números a seguir:
a) _____808________809______810_______
b) _____998________999______1000_______
c) _____1008_______1 009_____1010________
d) _____9098_______9 099_____9100________
e) _____10998______10 999____11000_________
3º) Considere três números naturais e consecutivos, cuja a soma é igual a 453. Quais são esses
números?
N+N+1+N+2=453
3N=453-1-2
3N=453-3
3N=450
N=
N=150
R: Então os números são 150, 151,152.
1.4- Resolvendo problemas com os números naturais:
1º) (MORI, Iracema. Matemática: Ideias e Desafios, 5ª série. 2006 p. 49) Juca não perde uma
ocasião de vender brigadeiros. Hoje, ele vendeu 148, mas ainda restam 57. Quantos
brigadeiros ele havia levado para vender?
148 + 57 =205
R: Restam 205 brigadeiros.
2º) (MORI, Iracema. Matemática: Ideias e Desafios, 5ª série. 2006 p. 56) Se Pedro ganhar
600,00 reais e juntar com o que tem, poderá pagar uma dívida de 893,00 reais e ainda lhe
sobrarão 31,00 reais. Quanto Pedro tem?
600 + 31 = 631.
893 – 631 = 262
R: 262 reais.
3º) (MORI, Iracema. Matemática: Ideias e Desafios, 5ª série. 2006 p. 57) A pirâmide de
números abaixo possui um segredo, descubra e complete os quadros em branco.
4º) Maria tem 423,00 reais e vai receber mais 600,00 reais. Se pagar uma dívida no valor de
386,00, quanto lhe sobrará?
600 + 423 = 1023
1023 – 386 = 637
R: 637 reais.
5º) João possui 3 camisetas de cores diferentes: azul, vermelha e preta. Ele possui também 4
shorts de cores distintas: azul, amarelo, cinza e verde. De quantas maneiras diferentes João
poderá se vestir, utilizando um short e uma camiseta de cada vez?
3 x 4 = 12
R: 12 maneiras diferentes.
6º) Um velocista corre 100 metros em 15 segundos. Mantendo a mesma velocidade quantos
quilômetros ele corre em 2 horas?
100
65 35
50 15 20
43 7 8 12
Em 1 minuto ele corre 100 x 4 = 400 metros.
Como duas horas tem 120 minutos, então ele correrá 400 x 120 = 48000 metros.
Como 1 quilômetro tem 1000 metros, então ele correrá 48000 : 1000 = 48 quilômetros.
R: 48 quilômetros.
7º) Um certo televisor de uma determinada marca custa 498,00 reais. Quanto custará 78
televisores dessa mesma marca?
498 x 78 = 38844
R: Custará 38 844 reais.
8º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 63) Quantos
garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de água?
315 : 5 = 63
R: 63 garrafões.
9º) Se em1 hora tem 60 minutos. Quantas horas há em 2220 minutos?
2220 : 60 = 37
R: 37 horas.
10º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 63) Um livro tem
216 páginas. Quero terminar a leitura desse livro em 18 dias, lendo o mesmo número de
página todos os dias. Quantas páginas preciso ler por dia?
216 : 18 = 12
R: 12 páginas.
1.5- Potenciação de números naturais:
Por definição todo número elevado a zero, diferente de zero é 1, observe:
= 1
O algarismo 2 é chamado de base;
O algarismo 0 é chamado de expoente;
O algarismo 1 é chamado de resultado ou potência.
A partir do expoente 1, a base é o fator que se repete e o expoente é o número de fatores que
se repetem. Observe:
= 2 lê-se dois elevado a primeira potência ou a primeira potência de dois;
= 3x3= 9 lê-se três elevado ao quadrado ou o quadrado de três;
= 4x4x4= 64 lê-se quatro elevado ao cubo ou o cubo de quatro;
= 5x5x5x5= 625 lê-se cinco elevado a quarta potência ou a quarta potência de cinco.
Observe que na potência o 5 é multiplicado por ele mesmo 4 vezes;
Na potência o 4 é multiplicado por ele mesmo 3 vezes. E assim segue sussecivamente.
1.6- Potencias de dez:
Em síntese, toda potência de dez é um número formado pelo algarismo 1 acrescido dos zeros
que correspondem ao expoente. Veja os exemplos:
= 10
= 10x10= 100
= 10x10x10= 1000
= 10x10x10x10= 10 000
= 10x10x10x10x10= 100 000 Observe que 10 é multiplicado por ele mesmo 5 vezes.
1.7- Potências de bases iguais:
Se levarmos em conta algumas propriedades da potenciação, facilita o cálculo de algumas
expressões. Em especial quando se trata de operações entre potências de mesma base. Olhe os
exemplos:
1º) Multiplicação entre potências de mesma base;
= =
=
Na multiplicação entre potências de mesma base conserva-se a base e soma os expoentes.
2º) Divisão entre potências de mesma base:
=
=
Na divisão entre potências de mesma base conserva-se a base e subtrai os expoentes.
3º) Cálculo entre potências cuja base é uma potência:
=
=
No caso da base ser uma potência conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Exercícios:
1º) Usando os símbolos , compare as potências;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2º) Se você elevar o número 4 a um expoente n, encontrará 1024. Qual será o valor do
expoente n?
4x4x4x4x4=1024= .
3º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 81)
Escreva utilizando potência de dez os números das frases a seguir:
a) A distância da terra à lua é de, aproximadamente, 400 000 km.
400000=4x100000=4x .
b) Uma pessoa tem de 120 mil a 150 mil fios de cabelo.
120000=12x10000=12x a 150000=15x10000=15x .
c) Na floresta amazônica já foram registradas 2 500 espécies de árvores.
2500=25x100=25x .
d) O coração humano dá 100 mil batidas por dia, 3 milhões por mês e 37 milhões por
ano.
100000= ; 3000000=3x1000000=3x ; 37000000=37x1000000=37x .
4º) Escreva em uma só potência as seguintes operações:
a) =
b) =
c) =
d) 9 =
e) =
f) =
5º) Calcule:
a) =1000000
b) =36
c) =7x1000=7000
d) =35x10000=350000
1.8- Raiz quadrada exata de um número natural:
Na resolução de raiz quadrada exata, por exemplo, faça a seguinte pergunta; que número
eu elevo ao quadrado, ou seja, que eu multiplico por ele mesmo duas vezes que dá 25?
O 5 claro, pois, 5 x 5 = 25 ou = 25. Observe a seguir:
525 lê –se raiz quadrada de vinte cinco é igual a cinco.
= 3, pois = 9.
=4, pois = 16.
Os números que possui raiz quadrada exata são chamados de números quadrados perfeitos.
Veja o quadro a seguir:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
X 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
E assim em diante sucessivamente.
Exercícios:
1º) Um determinado número elevado ao quadrado resulta 441.
a) Qual é esse número?
21.
b) O que esse número representa em relação a 441?
A raiz quadrada.
2º) Calcule:
a) =15
b) =25
c) =30
d) =23
e) =0
3º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática 2002 p. 83) Identifique os números
que são chamados de quadrados perfeitos.
2 9 16 30 41
64 50 22 36 49
1.9- Expressões numéricas com todas as operações:
Expressões numéricas com todas as operações. Raiz quadrada, potência, multiplicação,
divisão, adição e subtração. Vamos fazer algumas considerações, que são suma importância
para a resolução de expressões:
1º) Eliminamos parênteses, colchetes e chaves;
2º) Resolvemos raiz quadrada e potência. No sentido em que aparecem na expressão (da
esquerda para a direita);
3º) Multiplicação e divisão;
4º) Adição e subtração, veja a seguir:
+ 3 x 5 - : 4 + 5 x 12 – (125: 5) x 2 + 3
25 + 3 x 5 – 16 : 4 + 1000 5 x 12 – 25 x 2 + 3
25 + 15 – 4 + 1000 60 – 50 + 3
40 - 4 + 1000 10 + 3
36 + 1000 13.
1036.
: 3 + 4 x 5
81: 3 + 4 x 5
27 + 20
47.
Exercícios:
1º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 84) Encontre a
soma dos quadrados dos números 10 e 5. O valor obtido é o cubo de qual número?
= 100+25=125
5x5x5=125=
R: 125 ; 5.
2º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 84) Determine a
raiz quadrada do valor de .
= = = =4
3º) determine o valor das expressões numéricas a seguir:
a)
27+1-25
28-25
3
b) x 10
16:4+9x10
4+90
94
c)
8:2-1
4-1
3
4º) (MORI, Iracema. Matemática: Ideias e Desafios. 5ª série. 2006 p. 74) Calcule o valor das
expressões numéricas:
a) (140 + 20 – 10) – 63 – (18 – 10 – 8)
(160-10)-63-(8-8)
150-63-0
150-63
87
b) 135 – 35 + (13 – 8 + 4) -7 + 20
135-35+(5+4)-7+20
135-35+9-7+20
100+9-7+20
109-7+20
102+20
122
c) 500 + 36 – (8 + 12 – 6) + 21 – (80 + 123)
536-(20-6)+21-203
536-14-182
522-182
340
d) 200 – (15 x 3 – 12) – 3 x 18
200-(45-12)-54
200-33-54
200-87
113
e) 12 x 3 x 2 – 4 x 5 + (5 x 9 – 4 x 8 – 13)
36x2-20+(45-32-13)
72-20+(45-45)
52+0
52
f) 5 x 8 x 2 – 15 x 3 – (6 x 7 – 5 x 6 – 10)
40x2-45-(42-30-10)
80-45-(42-40)
35-2
33
2- DIVISIBILIDADE: Divisores e Múltiplos.
2.1- Critérios de divisibilidade:
Todo número par, ou seja, terminado em 0, 2, 4, 6, 8, é divisível por 2;
Todo número cuja soma dos seus algarismos seja divisível por 3, também é divisível por 3;
Todo número terminado em 0 ou 5, é divisível por 5.
2.2- Divisores:
1 x 20 = 20; 2 x 10 = 20; 4 x 5 = 20; assim os divisores de 20 são:
D (20) = .
2.3- Múltiplos:
Um número natural x é múltiplo de um número natural y, diferente de zero, se x é divisível
por y ou y for divisor de x.
M (5) = , ser múltiplo é o mesmo que ser divisível por.
Exercícios:
1º) Quais dos números a seguir são divisíveis por 2, 3 ou 5.
2542 48231 3455 528 1046 380 10038 405045 6402 125
2542 é par, então é divisível por 2.
48231 A soma de seus divisores é 18, como 18 é divisível por 3, então 48231 também é
divisível por 3.
3455 termina em 5, então é divisível por 5.
528 é par e a soma de seus divisores é divisível por 3, então 528 é divisível por 2 e por 3.
1046 é par, então é divisível por 2.
380 é par e termina em 0, então é divisível por 2 e por 5.
10038 é par e a soma de seus divisores é divisível por 3, então 10038 é divisível por 2 e por 3.
405045 termina em 5 e a soma de seus divisores é divisível por 3, então 455045 é divisível
por 3 e 5.
6402 é par e a soma de seus divisores é divisível por 3, então 6402 é divisível por 2 e por 3.
125 termina em 5, então é divisível por 5.
2º) Quais são os divisores de 125 e de 64?
D(125)={1,5,25,125}
D(64)={1,2,4,8,16,32,64}
3º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 101) Verifique se
92 é múltiplo de:
Lembre-se ser múltiplo é ser divisível. Divisão exata (número natural).
a) 4 sim, pois, 92:4=23
b) 6 não, pois, 92:6=15,3333... divisão não exata.
c) 8 não, pois, 92:8=11,5 divisão não exata.
3- NÚMEROS PRIMOS:
Número primo é aquele possui apenas dois divisores, o número 1 e ele mesmo. Veja os
exemplos:
número divisores número divisores
0 1,2,3,4,... 7 1,7
1 1 8 1,2,4,8
2 1,2 9 1,3,9
3 1,3 10 1,2,5,10
4 1,2,4 11 1,11
5 1,5 12 1,2,3,4,6,12
6 1,2,3,6 13 1,13
4- DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS:
Decompor em fatores primos é escrever um numero natural não primo em forma de uma
multiplicação de dois ou mais fatores, chamada de forma fatorada completa. Observe:
4 = 2 x 2 ou
12 = 2 x 2 x 3 ou x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2 =
36 / 2
18 / 2
9 / 3
3 / 3
1 / =
Exercícios:
1º) Escreva os números primos entre 0 e 50.
R: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
2º) Escreva a forma fatorada completa dos seguintes números:
a) 24 x 3.
b) 196 .
c) 500 .
d) 1024 .
e) 972 .
f) 1089 .
g) 60 x 3 x 5.
h) 338 2 x .
3º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 111) Escreva o
número natural cuja forma fatorada completa é:
a) 2420
b) x 7 x 13 364
c) x 17 459
5- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc):
Mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais, é o menor número comum,
diferente de zero, que se repete em seus múltiplos. Veja.
M (15) =
M (4) = Assim;
O mmc (4,15) = 60.
Pela decomposição simultânea:
4 , 15 / 2
2 , 15 / 2
1 , 15 / 3
1 , 5 / 5
1, 1 / = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Exercícios:
1º) Usando qualquer um dos métodos, encontre o mmc entre os seguintes números:
a) O mmc (2, 3);=6
b) O mmc (3, 12);=12
c) O mmc (5,12);=60
d) O mmc (3, 5, 15);=15
e) O mmc (36, 54, 90).540
2º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 114) Quantos
alunos tem, no mínimo, a 5ª série de um colégio, se podemos contá-los de 8 em 8 ou de 10 em
10?
Basta encontrar o mmc (8,10)=40
R: 40 alunos.
3º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 114) Três
luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o segundo a cada
24 segundos, o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três se acendem ao
mesmo tempo, depois de quantos segundos os luminosos voltarão a acender
simultaneamente?
Basta encontrar o mmc (20,24,30)=120
R: 120 segundos.
6- FRAÇÕES:
sendo x e y números naturais quaisquer.
6.1- Frações equivalentes e simplificação de frações:
Quando simplificamos uma fração encontramos uma fração equivalente a primeira, ou seja,
que tem o mesmo valor numérico
ou seja
.
. Essas frações são chamadas de equivalentes. A ultima é chamada de
irredutível.
6.2- Frações e os números decimais:
Para transformar um número fracionário em um número decimal (com vírgula), basta dividir
o numerador pelo denominador, ou seja, o de cima pelo de baixo. Observe:
0,5
Para fazer o inverso conte as casas decimais, ou seja, as casas que existem após a vírgula, se
for uma divide por 10, se forem duas dividi por 100, se forem três dividi por 1000 e assim
sussecivamente.
0.5 =
6.3- Frações e porcentagem:
Para transformar frações em porcentagem multiplique por 100.
= 50%
75%
Para fazer o inverso divida por 100, pois, porcentagem significa por 100. È algo dividido em
cem partes iguais.
75% =
= 0.75
50% =
= 0,5
6.4- Adição e subtração de frações:
Com o mesmo denominador:
Operações com o mesmo denominador, conserva-se o denominador e opere apenas com os
numeradores.
Com denominadores diferentes:
Observe que;
são frações equivalentes, por isso,
substituímos um pelo outro para que os denominadores ficassem iguais e pudéssemos efetuar
o cálculo.
Observe que o mmc (5, 15) = 15. Basta dividir o mmc pelo denominador
anterior e multiplicar pelo numerador, desta forma o numerador será o mesmo, aí é só
proceder da mesma forma dos exercícios anteriores.
6.5- Multiplicação e divisão de frações:
Na multiplicação entre frações, multiplica-se o numerador com numerador e
denominador com denominador.
Na divisão entre frações, copia-se a primeira fração e multiplica-se pelo
inverso da segunda fração. Observe que
é o inverso de
.
Exercícios:
1º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 284) Escreva as
seguintes porcentagens na forma decimal:
Basta fazer a divisão por cem. Observe:
a) 1%=
=0,01
b) 9%=
=0,09
c) 16%=
=0,16
d) 21%=
=0,21
e) 59%=
=0,59
f) 64%=
=0,64
g) 260%=
=2,6
h) 2,4%=
=0,024
i) 20,4%=
=0,204
2º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 284) Escreva a
porcentagem correspondente a cada uma das seguintes razões:
a)
=
=60%
b)
=
=30%
c)
=
=85%
d)
=
62,5%
e)
=
=225%
f)
=
250%
3º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 284) Escreva na
forma irredutível, a razão correspondente a:
a) 60%=
b) 150%=
c) 55%=
d) 15%=
e) 75%=
f) 45%=
4º) Usando os símbolos =, , compare as potências:
a)
b)
c)
d)
e)
5º) Efetue as operações, simplifique os resultados se possível:
a)
=
b)
=
c)
=
d)
=
e)
=
f)
=
g)
h)
=
6º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 5ª série. 2002 p. 164) Da renda de
uma partida de futebol,
corresponde às despesas gerais,
cabe ao clube vencedor e o
restante cabe ao clube perdedor. Nessas condições, qual a fração da renda que cabe ao clube
perdedor?
R:
.
7º) (MORI, Iracema. Matemática: Ideias e Desafios. 5ª série. 2006 p. 218) Dona Branca usou
das laranjas de uma caixa para fazer doces e
para fazer sucos. Que fração da caixa foi
usada para fazer doces e sucos?
R:
8º) (MORI, Iracema. Matemática: Ideias e Desafios. 5ª série. 2006 p. 219) Na figura abaixo, o
trecho de A a M mede
da distância de A a B, e o de M a N,
dessa distância. Que fração
da distância de A a B corresponde ao trecho NB?
-----A----------------------------M--------N-----------------------------B-------
R: Corresponde a
.
Observação: As propriedades que estudamos para operar dentro do conjunto dos números
naturais, valem também para as operações com números inteiros.
7- CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS:
O conjunto dos números inteiros é composto por todos os naturais e seus simétricos, ou seja,
os números negativos. O conjunto dos números inteiros é representado por .
= {...,-5, -4 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
7.1- A reta numérica dos números inteiros:
----5----4----3----2----1----0----1----2----3----4----5----
7.2- Números opostos ou simétricos:
O oposto de 1 é -1
O oposto de -4 é 4, e assim sucessivamente.
7.3- Módulo ou valor absoluto de um número inteiro:
O módulo de -4 = 4
0 módulo de 4 = 4, ou seja é sempre seu valor positivo.
7.4- Comparação de números inteiros:
-8 < 2
-18 < 0
-20 < -1
-1 < 0, observe que o número que está a direita na reta numérica, é maior que aquele que
está a esquerda.
Exercícios:
1º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 37) Imagine uma
reta numérica e responda:
a) Quantos quilômetros há de 90 quilômetros a oeste até 50 quilômetros a leste de um
ponto, em linha reta?
90+50=140 quilômetros.
b) Quantas graduações há de 3°C abaixo de zero até 12°C acima de zero?
3+12=15°C
c) Quantos quilômetros há de 80 quilômetros ao norte até 30 quilômetros ao sul de um
ponto, em linha reta?
80+30=1101uilômetros.
d) Quantas graduações há de -51ºC até -27°C?
-51-(-27)=-51+27=-24°C
2º) Determine o módulo dos números abaixo:
O módulo ou valor absoluto é sempre positivo.
a) +38 =38
b) -3 =3
c) -29 =29
d) +11 =11
3º) Use os símbolos > ou < , para fazer a comparação dos números a seguir:
a) -15 -----<------- -1
b) -95 ------<------ 0
c) -7 ------->------ -75
d) -87 -------<------ 1
e) 15 ------->------ -16
4º) Determine o sucessor e o antecessor dos números a seguir:
a) ---------- -5------- -4 ---------- -3------
b) ----------- -17----- -16 ----------- -15-----
c) ----------- -28----- -27 ------------ -26---
d) ------------- -1--- 0 -------------- 1-----
e) ------- 0--------- 1 -------- 2-------
7.5- Escrevendo subconjuntos de números inteiros:
Vamos escrever um subconjunto de e vamos chamá-lo de A. Esse conjunto irá conter
apenas números inteiros maiores que -5. Observe:
A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Em símbolos: A = {X / X > -5}, assim temos;
A = {X / X > -5} = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Exercícios:
1º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 42) Nomeando os
elementos, escreva os seguintes conjuntos dados na forma simbólica:
a) P = {X / X -3}
={-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
b) Q = {X / -9 < X -6}
={-8,-7,-6}
c) R = { X / -3< X > 5}
={-2,-1,0,1,2,3,4}
d) S = { X / X< -100}
={...,-104,-103,-102,-101}
e) F = { X / X< 0 }
={...,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1}
7.6- Adição e subtração de números inteiros:
Duas pessoas estão de pé num mesmo ponto. Uma vai dar quatro passos e a outra cinco, em
direção oposta. Quantos passos elas estarão uma da outra no final dessa experiência?
+5 + (+4) = + 5 + 4 = + 9
R: 9 passos.
Veja outros exemplos:
+ 4 + 10 = +14
- 6 + 17 = + 11
- 12 + 2 = - 10
- 3 – 15 = - 18
+7 -15 + 20 = + 27 – 15 = + 12
Se tiver parênteses, primeiro elimine-os:
(+16) + (-6) = + 16 – 6 = + 10
(-17) + (-2) = - 17 – 2 = - 19
(+8) – (-3) = + 8 + 3 = + 11
(- 5) – (+ 9) = - 5 – 9 = - 14
(-18) + (+ 20) – (+ 5) = - 18 + 20 – 5 = - 23 + 20 = - 3
(- 30) - (- 9) + (+ 48) + (- 9) = - 30 + 9 + 48 – 9 = - 39 + 47 = + 8
7.7- Multiplicação e divisão de números inteiros:
(- 3) . (+ 6) = - 18
(- 4) . (- 3) = + 12
(+ 7) . (+ 9) = +63
(+ 2) . (- 5) = - 10
(- 9) : (- 3) = + 3
(+ 4) : (- 2) = - 2
http://educadormatematico.wordpressz.com/category/numeros-inteiros/ acesso em 12-10-11 às
11:57, exercícios de 1 a 18.
Exercícios
1 – Responda:
a) Qual o oposto de um número positivo?
Negativo
b) Qual o oposto de um número negativo?
Positivo
2 – Considere os números – 20, – 5, 0, 5, 12, – 1, 8, 15. Qual o menor e o maior número?
R: menor é -20, o maior é 15.
3 – Coloque os números em ordem crescente
a) 423, – 243, 234, – 324, – 432, 342, 243
R: -432, -324, -243, 234, 243, 342, 423
b) 5055, – 5005, 5505, 5005, – 5055, – 5505
R: -5505, -5055, -5005, 5005, 5055, 5505.
4 – Um garoto faz o seguinte percurso sobre uma reta numérica: “A partir do zero, ele
caminha cinco unidades no sentido positivo e em seguida anda sete unidades no sentido
negativo.” Determine o ponto em que se encontra o garoto após esse percurso.
R: No ponto -2.
5 – Uma escola promoveu jogos esportivos cujos resultados estão descritos abaixo:
Carlos 3 pontos ganhos
Sílvio 8 pontos perdidos
Paulo 7 pontos ganhos
Mário 0 pontos
Coloque os nomes na ordem do melhor classificado para o pior.
Paulo, Carlos, Mário e Sílvio.
6 – Considere as afirmações:
I) Qualquer número negativo é menor do que 0 (zero).
II) Qualquer número positivo é maior do que 0 (zero)
III) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número negativo.
Quais das afirmações são verdadeiras?
Todas as afirmações são verdadeiras.
7 – Quais são os números inteiros compreendidos entre – 5 e + 4?
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
8 – Calcule:
a) + 10 + 2=+12
b) + 2 + 21=+23
c) + 5 + 18=+23
d) + 23 + 21=+44
e) + 12 + 34=+46
f) + 12 – 8=+4
g) + 15 – 6=+9
h) + 45 – 32=+13
i) + 56 – 34=+22
j) + 57 – 31=+26
k) – 32 + 25=-7
l) – 23 + 12=-11
m) – 15 + 13=-2
n) – 45 + 40=-5
o) – 35 + 27=-8
p) – 23 + 32=+9
q) – 32 + 53=+21
r) – 12 + 32=+20
s) – 11 + 40=+29
t) – 36 + 54=+18
u) – 5 – 9=-14
v) – 12 – 13=-25
w) – 23 – 10=-33
x) – 35 – 16=-51
y) – 51 – 21=-72
9 – Calcule:
a) ( + 12 ) + ( + 21 )=+33
b) ( + 13 ) + ( + 7 )=+20
c) ( + 23 ) + ( + 21)=+44
d) ( – 12 ) + ( – 11 )=-12-11=-23
e) ( – 23 ) + ( – 4 )=-23-4=-27
f) ( – 21 ) + ( – 12 )=-21-12=-33
g) ( + 10 ) + ( – 13 )=10-13=-3
h) ( + 21 ) + ( – 23 )=21-23=-2
i) ( + 40 ) + ( – 17 )=40-17=+23
10 – Calcule x – y:
a) x = + 6 e y = + 5
6-5=1
b) x = – 7 e y = + 8
-7-8=-15
c) x = – 9 e y = – 5
-9-(-5)=-9+5=-4
d) x = + 12 e y = – 15
12-(-15)=12+15=+27
11 – Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários, mas irá receber R$ 7300,00 de
outra empresa. Represente essa situação com apenas um número inteiro?
7300 – 5400 = 1900
R: 1 900,00
12 – Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 70,00. Qual foi o
seu lucro?
70 – 27 = 43
R: Seu lucro foi R$ 43,00.
13 – Resolva:
a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 )=3-2-5=3-7=-4
b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 )=-2-1-5=-8
c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 )=4-2-3=4-5=-1
d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 )=5+3+1=+9
e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 )=4-6-7+6+7=+17-13=+4
f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 )=-3+5-6+8+4=-9+17=+8
14 – Elimine os parênteses:
a) + ( – 3 + 8 )=+(+5)=+5
b) – ( – 3 + 8 )=-(+5)=-5
c) + ( 5 – 6 )=+(-1)=-1
d) – ( – 3 – 1 )=-(-4)=+4
e) – ( – 6 + 4 – 1 )=-(-7+4)=-(-3)=+3
f) – 6 – ( – 3 + 2 )=-6-(-1)=-6+1=-5
g) 18 – ( – 5 – 2 – 3 )=18-(-10)=18+10=+28
h) 20 – ( – 6 + 8 ) – ( – 1 + 3 )=20-(+2)-(+2)=20-2-2=20-4=+16
i) – 32 – 1 – ( – 12 + 14 )=-33-(+2)=-33-2=-35
j) 7 + ( – 5 – 6 ) – ( – 9 + 3 )=7+(-11)-(-6)=7-11+6=13-11=+2
15 – Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes
operações:
Retiramos 80 litros
Colocamos 45 litros
Colocamos 30 litros
Retiramos 130 litros
Retiramos 80 litros
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?
500-80+45+30-130-80=575-290=+285
R: 285 litros de água.
16 – Qual é o sinal de um produto:
a) que tem dois números positivos? +
b) que tem dois números negativos? +
c) que tem um número positivo e outro negativo? -
17 – Efetue as multiplicações:
a) ( + 5 ) . ( + 3 )=+15
b) ( + 4 ) . ( – 5 )=-20
c) ( – 8 ) . ( + 4 )=-32
d) ( – 6 ) . ( – 7 )=+42
e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 )=+24
f) ( – 5 ) . ( – 6 ) . ( – 2 )=-60
g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 )=-36
h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 )=+105
18 – Determine o sinal de cada produto:
a) +.+.+.+=+
b) -.-.-.-.=+
c) +.-.+.-=+
d) +.+.-.+.-.-= -
18 – Efetue as divisões:
a) ( + 15 ) : ( + 3 )=+45
b) ( + 20 ) : ( – 4 )=-5
c) ( – 35 ) : ( + 7 )=-5
d) ( – 40 ) : ( – 5)=+8
e) (+ 51 ): (– 3 )=-17
f) ( – 77 ) : ( + 11 )=-7
g) 500 : ( – 25 )=-20
h) ( – 750 ) : 10=-75
19º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 56) Eliminando
parênteses, colchetes e chaves, determine as somas algébricas:
a) 30 + [- 16 – (- 7 + 10)]
30+[-16-3]
30+[-19]
30-19
11
b) – 10 – [11 + (- 10 – 6) + 1]
-10-[11-16+1]
-10-[-4]
-10+4
-6
c) 18 – (14 + 15) – [13 – (16 – 21)]
18-29-[13+5]
-11-18
-29
d) – (- 22) – [29 + (27 – 23 – 26) – 28]
+22-[29+(27-49)-28]
22-[29-22-28]
22-[29-50]
22-[-21]
22+21
43
e) 9 – (- 10) – [- 21 – (- 13 – 13 + 25)] – (- 18)
9+10-[-21-(-26+25)]+18
19-[-21-(-1)]+18
19-[-21+1]+18
19-[-20]+18
19+20+18
39+18
57
f) 11 +[- 17 – (- 22 + 16) + (- 29)] – (- 46 + 54)
11+[-17-(-6)-29]-(+8)
11+[-17+6-29]-8
11+[-46+6]-8
11-40-8
11-48
-37
20º) Calcule o valor das expressões numéricas a seguir:
a) 12- (- 3) . (- 5)
12-(+15)
12-15
-3
b) 20 + 3 . (- 4) – 2 . (- 5)
20-12+10
30-12
18
c) 5 . (- 3) – (- 3) . (+ 6)
-15-(-18)
-15+18
3
d) 10 – (- 8) : (+ 4)
10-(-32)
10+32
42
7.8- Potenciação e radiciação de números inteiros com expoentes naturais:
Se o expoente for par, o resultado da potência será positivo. Veja:
= + 4
= + 4
Se o expoente for ímpar, o resultado da potência será o mesmo que o da base. Veja:
= - 8
= + 8
Como vimos, com exceção do zero, todo número inteiro elevado a um expoente par, o
resultado é positivo. Desta forma, raiz quadrada de número negativo, não possui solução no
conjunto dos números inteiros. Observe alguns exemplos:
= 2
- )= - (- 3) = + 3
= - 6
=
= 11
) = 4 : (- 2) = - 2
Exercícios:
1º) Calcule:
a) =+1
b) =-100
c) =+10000
d) =+1
e) =-1
f) =-4
g) =-125
h) =+125
i) =+49
j) =+49
k) =+81
l) =-1
m) =+64
n) =-256
o) )=-(-5)=+5
p) =-13
q) = Não pertence a
r) =25
s) = Não pertence a
t) =30 – 25=5
2º) O valor de Y= : ( ). Qual é o valor de Y?
9 : (36 – 27)
9 : 9
1
3º) Qual o valor das expressões numéricas a seguir:
a) ( : (- 9) – [2 . (- 4 – 2) – ( . (- 5 + 8)]
: (-9)-[2.(-6)-(-1).(+3)]
:(-9)-[-12-(-3)]
−1-[-12+3]
-1-[-9]
-1+9
8
b) (- 7 – 4) . (- 9 + 2) – (- 72 + 2) : (- 5 – 5) + (- 9 – 4 + 6)
(-11) . (-7)-(-70):(-10)+(-13+6)
77-(+7)+(-7)
77-7-7
77-14
63
c)
36:(-12)-(-27)+(-32):16-1
-3+27-2-1
27-6
21
4º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 74) Duas equipes,
A e B, disputam 100 partidas de um certo jogo. Cada vez que a equipe A vence uma partida,
recebe 20 fichas de B, e cada vez que B vence, recebe 30 fichas de A. Se a equipe A vencer
51 partidas, quantas fichas ela terá, em relação a B, a mais ou a menos?
A= 51x20=1020
B= 49x30=1470
B-A= 1470 – 1020 = 450
R: A equipe A terá 450 fichas a menos que B.
5º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 56) Determine o
valor numérico da expressão quando a = - 3, b = + 1 e c = + 5.
-27-
-27-(-64)
-27+64
37
8- CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS:
Todo número que pode ser escrito na forma de uma fração é chamado de racional. São eles;
os naturais, os inteiros, os fracionários, os decimais exatos e decimais infinitos, ou seja, as
dízimas periódicas.
Observação: os decimais que não são dizimas periódicas são chamados de números
irracionais.
={x / x =
, com a , b e b 0}
As propriedades que estudamos anteriormente estão valendo também para o conjunto dos
números racionais. Vamos a alguns exemplos particulares de operações com os racionais:
8.1- Adição e subtração de números racionais:
10,532 + 3,02 = 13,552
98,02 – 35,987 = 62,033, lembre-se que na adição e subtração de números decimais, o valor
posicional é muito importante, unidades com unidades, décimos com décimos e assim
sucessivamente.
8.2- Multiplicação e divisão de números decimais:
Exercícios:
1º) De a resposta certa:
a) O dobro de
b) O triplo de 12,098
3.12,098=36,294
c) O quádruplo de
4.
=
d) O quíntuplo de
5.
e) O triplo de 45,009
3.45,009=135,027
f) O dobro de 25,002
2.25,002=50,004
2º) Sendo x =
e y =
, qual o valor de :
a) 2x + 3y
2.
+3.
=
b) 8x – 4y
8.
4.
5
c)
d) 11x – 5y
11.
5.
3º) Calcule:
a) 35 – 11,65=23,65
b) 34,50 – 7,05=27,45
c) 0,7 + 3,45 + 10,098=14,248
d) 345 . 4,5=1552,5
e) 45,6 . 1,2=54,72
f) 3,87 . 7,8=30,186
g) (+ 2) : (-0,5)=-4
h) (+6) : (- 2,5)=-2,4
i) 1,44 : 0,24=6
j) 30,4 : 4=7,6
k)
+ 1,2=
l)
+ 0,9=
m)
=
4º) Represente os números a seguir numa reta numérica, -4, 1, 0 5, 3, 0,4,
, 1,9, -2.
---------------------------------------------------------------------------------------------------
-4 -2 0 0,4
1
1,9 3 5
5º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 84) Dados a = -
1,75, b = + 3,6 e c = - 4,21, determine o valor da expressão a – b + c.
-1,75-3,6+(-4,21)
-5,35-4,21
-9,56
9- EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGINITA:
Exemplo:
Um urubu disse a um bando de pombas:
- bom dia minhas cem pombas.
Uma pomba respondeu:
- Cem pombas não somos nós, para sermos cem, seriam necessário nós, mais o dobro de nós e
mais você urubu.
Quantas pombas tinham no bando?
X + 2X + 1 = 100
3X = 100 – 1
3X = 99
X =
X = 33
R: 33 pombas.
Exercícios: (1 ao 7) www.educadormatematico.wordpress.com
1 – O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número?
2x+15=49
2x=49-15
2x=34
X=
X=17
R: Esse número é 17.
2 – A soma de um número com o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?
X+3x=48
4x=48
X=
X=12
R: Esse número é 12.
3 – A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo
que juntos têm 60 anos?
X+3x=60
4x=60
X=
X=15
R: 15 anos e 45 anos.
4 – Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia?
2x+5=35
2x=35-5
2x=30
X=
X=15
R: A idade de Sônia é 15 anos.
5 – O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é
esse número?
2x-4=x+1
2x-x=1+4
X=5
R: Esse número é 5.
6 – O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse
número?
3x+2=x-4
3x-x=-4-2
2x=-6
X=
X=-3
R: Esse número é -3.
7 – O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, aumentado
de 2. Qual é esse número?
4x-10=2x+2
4x-2x=2+10
2x=12
X=
X=6
R: Esse número é 6.
10- INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA:
Exemplo:
Qual é o conjunto solução da equação 5x – 3 . (x + 6) > x – 14, sendo U = .
5x – 3x – 18 > x – 14
2x – x > - 14 + 18
x > 4
S = { x / x > 4}
Exercícios:
1º) (GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da Matemática, 6ª série. 2002 p. 170) Determine,
para cada uma das seguintes inequações, quais números racionais representam uma solução:
a) X + 15 > 21
X > 21-15
X > 6
S = { x / x > 6}
b) X – 18 < -23
X < -23+18
X < -5
S = { x / x > -5}
c) 17 – x < 30
-x < 30-17
-x < 13 .(-1)
X > -13
S = { x / x > -13}
d) 8x + 19 10x + 11
8x – 10x 11-19
-2x -8 .(-1)
2x 8
X
X 4
S = { x / x > 4}
e) 3 . (x – 1) – 2x 13
3x -3 -2x 13
3x-2x 13+3
X 16
S = { x / x > 4}
f)
+ x < -1
3x+6x<-6+10
9x<4
X<
S = { x / x >
}
g)
> 1 +
3x-2x>6+3
X > 9
S = { x / x > 9}
h)
2x-x ≤ -2-2
x≤ -4
S = { x / x ≤ -4}
11- EQUAÇÕES DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA:
Exercícios: (1 ao 5) www.educadormatematico.wordpress.com
1 – A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número.
X + =90
+ x - 90 =0
Recordando a equação geral a +bx + c =0 temos:
A=1, b=1 e c= - 90
Vamos agora substituir na fórmula para resolver a equação do 2º grau, observe.
X =
X=
X=
X=
X=
X’=
=
=9
X”=
=
=-10
R: Os números são -10 ou 9.
2 – A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número.
+x = 12
+x -12 =0
X =
X=
X=
X=
X =
X’=
X”=
R: 3 ou -4.
3 – O quadrado menos o dobro de um número é igual – 1. Calcule esse número.
- 2x = -1
- 2x +1 = 0
X =
X=
X=
X=
X =
X’=
X”=
R: 1.
4 – A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.
- 2x = 80
- 2x -80 = 0
X =
X=
X=
X=
X =
X’=
X”=
R: -8 ou 10.
5 – O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse
número.
+ 25 = 10x
- 10x + 25 = 0
X =
X=
X=
X=
X =
X’=
X”=
R: 5.
12- FUNÇÃO DO 1º GRAU:
1) Determine a raiz ou zero de cada uma
das seguintes equações:
a) f(x) = 2x+5
2x+5 =0
2x=- 5
X= -
b) f(x) = -x+2
-x+2 = 0
-x = -2
X = 2
c) f(x) = 1/3x+3
1 = 0, ou seja, não possui zeros reais.
d) f(x) = 1-5x
1 – 5x =0
-5x = -1
X =
X =
e) f(x) = 4x
4x = 0
X =
X = 0
Exercício resolvido:
Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:
Uma equação do 1º grau é definida por y=ax+b com
Pelo gráfico, concluímos:
Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2
Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função)
Substituindo os valores em y=ax+b:
0 = -4a + 2
a = 1/2
Logo, a expressão é y = 1/2x+2
2) As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R em R, determine as
expressões que as definem.
a)
Y = ax + b
(0 ; 2) (4 ; 0)
2 = a.0 + b 0 = a.4 + b
2 = 0 + b 0 = 4a + b
B = 2 4a + 2 = 0
4a = - 2
A =
Assim temos;
R: Y =
b)
Y = ax + b
(-2 ; -2) (2 ; 2)
-2 = a .(-2) + b 2 = a. 2 + b
-2a + b = -2 (I) 2a + b = 2 (II)
Vamos montar um sistema com as equações I e II e resolvê-lo.
-2a + b = -2
2a + b = 2
B = 0 substituido esse resultado em uma das equações, encontraremos o valor de a.
2a + 0 =2
2a =2
A = 1 assim temos a função;
R: Y = X
13-FUNÇÕES DO 2º GRAU:
1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as
coordenadas do vértice que a representa:
a) f(x)= x² - 4x + 5
= -
= -
(2 ; 1)
b) f(x)= x² +4x - 6
= -
= -
(-2 ; -10)
c) f(x)= 2x² +5x - 4
= -
= -
d) f(x)= -x² + 6x - 2
= -
= -
(3 ; 7)
e) f(x)= -x² - 4x +1
= -
= -
(-2 ; 5)
2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes:
a) f(x)= 3x² - 7x + 2
- 7x +2 = 0
X =
X=
X=
X=
X =
X’=
X”=
X = 2 e x =
b) f(x)= -x² + 3x - 4
Proceder da mesma forma:
Não possui zeros reais, pois, raízes quadradas de números negativos não estão definidas em R.
c) f(x)= -x² + 3/2x + 1
x = ±
d) f(x)= x² -4
x = ±
e) f(x)= 3x²
x = 0
