PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Chamamos de progressão aritmética (P.A.) toda seqüência de números reais, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão r. Exemplos:

a) (1, 3, 5, 7, 9) P.A. finita de razão r = 2.

b) (- 3, - 7, - 11, ...)

P.A. infinita de razão r = - 3.

CLASSIFICAÇÃO R > 0 Crescente. Uma P.A. é Crescente quando a razão r for positiva. R = 0 Constante. Uma P.A. é constante quando a razão r for igual a zero. R < 0 Decrescente. Uma P.A. é decrescente quando a razão r for negativa. TERMO GERAL DE UMA P.A. a1 a2 = a1 + r. a3 = a2 + r ⇒ a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r ⇒ a4 = a1 + 3r . . an = a1 + (n – 1).r an = a1 + (n – 1).r

NOTAÇÃO ESPECIAL Três termos em P.A. : x – r, x, x + r PROPRIEDADE A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos. Exemplo: Na P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31) 3 + 31 = 7 + 27 = 11 + 23 = 15 + 19 = 34 SOMA DOS N TERMOS DE UMA P.A.

( )

2.naa n1

n

+=S

Aplicações:

01) Quantos são os múltiplos de 3 compreendidos entre 5 e 41? 02) Escreva uma P.A. de três termos, de modo que sua soma seja – 3

e seu produto seja igual a 8.

03) Insira doze meios aritméticos entre 60 e – 5.

04) Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A. em que an = 18, r = 2 e Sn = 88.

05) Qual a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 5 e 130?

06) Qual é a soma dos cem primeiros números naturais pares?

07) Determine a soma dos cinqüenta primeiros termos de uma P.A.

na qual a6 + a45 = 160.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

DEFINIÇÃO Chamamos de progressão geométrica (PG) a qualquer seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado de razão da progressão. A representação matemática de uma PG é (a1, a2, a3, ..., an - 1,..., an), na qual

a2 = a1.q, a3 = a2.q, a4 = a3.q, etc.

Numa PG, a razão q é igual ao quociente entre qualquer termo, a partir do segundo, e o anterior. Exemplos: (5, 10, 20, 40)

25

10q ==

(- 4, - 4, - 4, - 4, - 4, - 4)

144q =

−−

=

( - 6, - 3, - 3/2, - 3/4, ...)

21

63q =

−−

=

CLASSIFICAÇÃO As progressões geométricas podem ser classificadas como:

1) Crescentes: aquelas em que cada termo é maior que o anterior.

1º caso: PG com termos positivos a1 > 0 e q > 1

Exemplo: (2, 6, 18, 54, ...)

2º caso: PG com termos negativos. a1 < 0 e 0 < q < 1

Exemplo: (- 40, - 20, - 10, ...)

2) Decrescentes: aquelas em que cada termo é menor que o anterior.

1º caso: PG com termos positivos a1 > 0 e 0 < q < 1

Exemplo: (256, 64, 16, ...)

2º caso: PG com termos negativos a1 < 0 e q > 1

Exemplo: (- 2, - 10, - 50, ...)

3) Constantes: aquelas em que cada termo é igual ao anterior. PG com termos todos iguais.

q = 1

Exemplo: (3, 3, 3, 3, ...)

4) Alternantes: aquelas em que cada termo tem sinal oposto ao do termo anterior.

q < 0

Exemplo: (2, - 6, 18, - 54, ...) APLICAÇÃO:

01) A seqüência (x, 3x + 2, 10x + 12) é uma PG. Determine: a) O valor de x.

b) A razão da PG.

02) A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

03) (FUVEST - SP) Os números 10xlogexx, 2 são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calcule:

a) O 1º termo x. b) O 5º termo.

04) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (3x + 1, 34 – x, 33x + 1) seja uma PG.

TERMO GERAL DE UMA P.G.

Seja (a1; a2; a3; ...; an; ...) uma PG de razão q ≠ 0 e a1 ≠ 0. Pela definição de PG, podemos escrever: a2 = a1.q a3 = a2.q ⇒ a3 = (a1.q).q ⇒ a3 = a1.q

2 a4 = a3.q ⇒ a4 = (a1.q

2).q ⇒ a4 = a1.q3

a5 = a4.q ⇒ a5 = (a1.q3).q ⇒ a5 = a1.q

4 . . . . an = a1.q(n – 1)

OBSERVAÇÃO: an = ap.q

r, onde n = p + r

Exemplo: a10 = a1.q

9 ou a10 = a2.q

8 ou a10 = a3.q

7 ou . . . a10 = a9.q

1

APLICAÇÃO:

01) Qual o vigésimo termo da PG

K,,, 21

22

?

02) (UFRJ) Uma PG de 8 termos tem o primeiro termo igual a 10. O

logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Encontre a razão da progressão.

03) Interpole três meios geométricos entre 2 e 162. 04) (UEFS) A quantidade de cafeína presente no organismo de uma

pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão geométrica de razão 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128 mg para 1 mg é tal que:

a) 0 < t < 1 b) 1 < t < 2 c) 2 < t < 4 d) 4 < t < 6 e) 6 < t < 8 PROPRIEDADES:

P1: Numa P.G., cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do anterior e do posterior.

Na PG (a, b, c, d, ...)

b2 = a.c, c2 = b.d, etc P2: Em toda PG, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos extremos.

Na PG (a, b, c, d, e, f), temos: a.f = b.e = c.d Seja a PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128). Verificar P2. 2.128 = 256 4.64 = 256 8.32 = 256 Observe que 16 = 2.1284.648.32 == NOTAÇÃO ESPECIAL:

P.G. com 3 termos:

x.qx,,qx

.

APLICAÇÃO: 01) A soma dos três primeiros termos de uma progressão geométrica

crescente é 130 e o produto entre eles é 27 000. Calcule os três números.

02) Numa PG, a diferença entre o 2º e o 1º termos é 9, e a diferença entre o 5º e o 4º termos é 576. Calcule o 1º termo dessa P.G.

SOMA DE TERMOS DE UMA P.G. FINITA Seja a PG finita (a1, a2, a3, ..., an). Podemos reescrevê-la da seguinte forma: (a1, a1.q, a1q

2, ..., a1.qn-1) de razão q e de soma dos

termos Sn.

1º Caso: q = 1 Sn = a1 + a1.1 + a1.1²+ ... a1.q1-1 Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1 Sn = n.a1 2º Caso: q ≠ 1 Sn = a1 + a1.q + a1q

2 + ...+ a1.qn-1 (I)

q.Sn = a1.q + a1.q² + a1q

3 + ...+ a1.qn-1 + a1.q

n (II) (II) – (I) ⇒ q.Sn – Sn = – a1 + a1.q

n (q – 1)Sn = a1(-1 + qn)

( )1qa n −

Exemplos:

01) Calcular a soma...)

Resolução: a1 = 3, q = 2, n = 10 Sn = ?

S10 =

02) Dê o valor de x sabendo que osP.G.

Resolução: a1 = x

1qS 1

n −=

dos dez primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,

( )1qa n −

(3

na te

1qS 1

n −=

) 3069121210

=−−

igualdade x + 3x + ... + 729x = 5 465, rmos do primeiro membro formam uma

( )1qa n −

1q

S 1

n −=

q = 3 an = 729x Sn = 5 465 Cálculo de n: an = a1.qn–1 ⇒ 729x = x.3n – 1 36 = 3n – 1 ∴ n = 7

( ) 5x1313x5465

7

=⇒−−

=

SOMA DE TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

• Se -1 < q < 1 e n → ∞, então q n → 0.

• Substituindo em ( )

1q1qa n

1

n −S −

= , teremos: ( )

1q10aS 1

n −−

=lim

q-1aS 1=

∞

Exemplos:

01) Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4,...).

Resolução:

q-1aS 1=

∞

q = 5/2 ÷ 5 = 1/2

a1 = 5

S∞ = 5 ÷ ( 1 – 1/2) = 10 S∞

= 10

02) A soma dos infinitos termos da P.G. (x, x/2, x/4, ...) é 5.

Determine x. Resolução:

q-1aS 1=

∞

q = 1/2 a1 = x S∞ = 5 5 = x ÷ (1 – 1/2) → 5 = x ÷ 1/2 x = 5/2 APLICAÇÃO: 01) No 1º dia de dezembro, um menino propôs ao pai que lhe desse

R$ 1,00 e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária até 24 de dezembro. O filho usaria o dinheiro para comprar um presente de Natal para o pai. De quanto vai dispor o filho para comprar o presente?

02) Simplifique a expressão: ...xxxA 3 3 33 33 ⋅⋅=

03) Considere a seqüência (Q1, Q2, Q3, ...) de infinitos quadrados. O lado do quadrado Q1 = 8 cm e os vértices de cada quadrado, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do quadrado precedente. Calcular a soma das áreas desses infinitos quadrados.

PRODUTO DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

n

n1 ).a(a=P

Considere a P.G. (a1, a2, a3,..., an - 2, an - 1, an). Vamos multiplicar os termos da seguinte forma: (I) Pn = a1 . a2 . a3 . ... . an – 2 . an – 1 . an

(II) Pn = an . an – 1 . an – 2 . ... . a3 . a2 . a1

Multiplicamos as duas igualdades, membro a membro, e agrupamos os termos correspondentes: Pn

2 = (a1 . an).(a2 . an – 1).(a3 . an – 2). ... .(a3 . an – 2).(a2 . an – 1).(a1 . an) Como temos n fatores e cada fator é igual ao produto dos extremos a1 . an , podemos escrever a fórmula:

Pn2 = (a1 . an)

n ⇒ n

n1 ).a(aP =

Exemplo: 01) Calcular o produto dos oito primeiros termos da P.G. (1/8, 1/4,

1/2, ...)

Resolução: a8 = 1/8.27, a8 = 16.

P8 = 4

8

2.1681

=

P8 = 16.