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8/14/2019 2fichatrabalho09_10

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ESCOLA SECUNDRIA S DE MIRANDA

Ficha de trabalho n 2 12 5 e 6

Novembro 2009

Fernanda Carvalhal

1. Estuda a existncia de assntotas ao grfico das funes reais de

varivel real definidas por:

1.1 f x( ) =3x

3+ 3x

2

x3! x

2! 2x

1.2 f x( ) =2 ! x

3

x2! 4x + 3

1.3 h x( ) = 21

x!3

1.4 h x( ) =x!1

ex!e

1.5 h x( ) = 3+ln x +1( )

x

1.6 f x( ) = 1! lnx ! 4x

"#$

%&'

1.7 f x( ) =

2x2

x +1! x < "1

3! x = "1

x +1

ex+1 "1

! x > "1

#

$

%

%

&

%%%

2. O limx!+"

1#ln x

x

%&

()

A) !" B) 1 C) 0 D) +!

3. O limx!0

ex

x "1

$%% '((

A) !" B) - 1 C) 0 D) +!

4. O valor de limx!2

x2 " 4

ex " e2

$%% '((

A) ! 4

e2

B) 4 C) 4

e2

D) !4


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Ficha de trabalho n 2 2009/10

Fernanda Carvalhal

5. Na figura junta estorepresentadas, em referencial o.n.xOy:

parte do grfico da funo f, de

domnio IR, definida por f x( ) =1+ ex parte do grfico da funo g, de

domnio 1,+!] [, definida por

g x( ) = ln x !1( ) O ponto A o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Oy e o ponto B

o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Ox.

Na figura est tambm representado um tringulo [CDE].

O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao grfico de f e o ponto E

pertence ao grfico de g.

Sabe-se ainda que:

a recta BD paralela ao eixo Oy e a recta CE paralela ao eixo Ox

AC =OA

5.1 Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E.

5.2 Determine o valor exacto da rea do tringulo [CDE].

5.3 Determine cada um dos seguintes limites:

5.3.1. limx!0

x2+ 3x

2 " f x( )

$%%

'((

5.3.2. limx!2

g x( )2" x

$%% '((

5.4. Os grficos das funes f e g so simtricos relativamente bissectriz

dos quadrantes mpares. Prove esta afirmao.

6. Considere a funo f, de domnio 0,+!"# $% \ 1{ } , definida por

f(x) =3 ! log

2x

x !1

Sem recorrer calculadora resolva as questes seguintes:


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Fernanda Carvalhal

6.1 Prove que f4

3

"#

%&= log2 216( ).

6.2 Calcule lim

x!0

+

f x( )e interprete graficamente o resultado.

7. Considere a funo real de varivel real, h, definida por

h x( ) =

x3 !1

x2 ! 4x + 3

se x >1

a se x =1

b

x2 ! 2x

se x


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Fernanda Carvalhal

10. Seja h a funo real de varivel real definida por

h x( ) =1! log2 4x ! x2( )

10.1. O domnio de h o intervaloA) 0,4[ ] B) 0,4] [ C) IR \ 0,4] [ D) IR \ 0,4[ ]

10.2. O conjunto soluo da condio h x( ) = !1

A) !2,4{ } B) 2,!4{ } C) 2{ } D) 4{ }

11. O limx!+"

x2+ 4

x2

#

$

%%&

'

((

2x

igual a

A) 1 B) e8 C) +! D) e4

12. A funo f de domnio IR admite como assimptotas ao seu grfico as rectas

de equao x = 3 e y = -5.

Indique, justificando, o valor lgico de cada uma das proposies:

12.1 A funo g definida por g x( ) = 3+ f x + 2( ) admite como

assimptotas ao seu grfico as rectas de equao x = 1 e y = - 2.

12.2 A funo h definida por h x( ) = f !x( ) admite como assimptotas ao

seu grfico as rectas de equao x = 3, x = -3 e y = - 5.

12.2 A funo f contnua em todo o dominio.

13 Uma funo g definida por g x( ) =

ex ! e

1! xse x


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Fernanda Carvalhal

14.2 Indique o conjunto soluo da condio f x( ) = 3.

14.3 Estude a existncia de assimptotas ao grfico de f.

15. Prove que loga 1x!"#

$%&= log

1

a

x( ) , com x '!+ , a '!+ \ 1{ }

16. Prove que logak

ap( )=p

k, com a !!+ \ 1{ }

17. Prove que se f uma funo mpar de domnio ! e a recta y =b uma

assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao y = !b uma

assntota ao seu grfico em !" .

18. Prove que se f uma funo par de domnio ! e a recta y =b uma

assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao y =b uma

assntota ao seu grfico em !" .

19. Prove que se f uma funo mpar de domnio ! e a recta y = mx +b

uma assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao

y = mx !b uma assntota ao seu grfico em !" .

20. Prove que se f uma funo par de domnio ! e a recta y = mx +b

uma assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao

y = !mx +b uma assntota ao seu grfico em !" .

21. Mostre que a equao1

x= e

x tem uma e s uma soluo no intervalo

0,+!"# $% . Sugesto: Comece por considerar o intervalo1

2,1

!

"#

$

%& .

22.Sejam f e g duas funes reais de varivel real, de domnio

!+

, queadmitem assntotas obliquas. Prove que a funo f+g admite uma

assntota no vertical.

23. Prove que se f uma funo real de varivel real, contnua e de domnio

! , que se anula para todos os naturais, ento o grfico da funo real

de varivel real g definida por g x( ) =1

f x( )admite infinitas assntotas

verticais.


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24. Considere uma funo f de domnio !+ . Admita que f positiva e que o

eixo Ox assntota ao grfico de f. Mostre que o grfico da funo1

fno

tem assntota horizontal.

25. A soma de todos os termos da sucesso un

( ) definida porun =2!n+1 :

A) 1 B) 2 C)1

4D)

1

2

26. Olimx!+"

x ln x # 3( ) # ln x( )$% &'$% &' igual a

A) 3 B)!3 C) 1 D)e

3

27. De duas funes f e g sabe-se que:

limx!2

f x( ) = "#

limx!"

f x( ) =5

g x( )= f x!3( )!1

Pode-se ento afirmar que o grfico da funo g admite como assmptotas asrectas de equao:

A) x= !1!e!y= 4 B) x= !1!e!y=6C) x=5!e!y=4 D) x=5!e!y=628. A funo f definida porf x( ) = elog2 x( ) idntica funo

A) g x( )= x1

ln2 B) g x( )= x1

ln2 , em IR+

C) g x( )= xln2, em IR+ D) g x( ) = xln2

29. Considere a funo real de varivel real f definida por f x( ) = 2!ln 1! x( )

x.

29.1. Indique o domnio de f.

29.2. Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:

29.2.1. limx!0

f x( )


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Fernanda Carvalhal

29.2.2. limx!1

"

f x( )

29.2.3. limx!"#

f x

( )

29.3. Indique, justificando convenientemente, as equaes das

assmptotas ao grfico de f.

30. Considere duas funes reais de varivel real que verificam as condies:

Df = IR

f mpar e contnua no seu domnio

f estritamente decrescente em IR+

limx!+"

f x( ) = #4

g x( )=!2

log2f x( )( )!3

.

30.1. Construa um possvel grfico de f.

30.2. Determine o domnio de g.

30.3. Verifique a existncia de assmptotas ao grfico de g,paralelas aos eixos coordenados.

31. Considere a funo real de varivel real h definida por

h x( )=

ln x!2( )ex !e3

, se x


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Fernanda Carvalhal

32. De uma funo g de domnio !+ , sabe-se que a bissectriz dos quadrantes

mpares uma assntota ao seu grfico.

Seja h a funo de domnio !+

, definida porh x( ) =g x

( )x2 .

Prove que o eixo Ox uma assntota ao grfico de h.

33. De uma funo g, contnua em ! , sabe-se que:

1 zero de g

g 3( ) > 0

Prove que a equao g x( )=

g 3( )2 tem, pelo menos, uma soluo no

intervalo 1,3!" #$ .

34. Seja f uma funo contnua, de domnio 0,5!" #$ e contradomnio 3,4!" #$

Seja g a funo de domnio 0,5!" #$ , definida porg x( ) = f x( ) ! x .

Prove que a funo g tem pelo menos um zero.

35. Seja f : 0,2!" #$% ! uma funo contnua tal que f 0( ) = f 2( ) = 0 e f 1( ) > 0

Prove que existe pelo menos um nmero real c no intervalo 0,1!" #$ tal que

f c( ) = f c +1( ) . Sugesto: considere a funo g : 0,1!" #$% ! definida por

g x( ) = f x( )! f x +1( ) .

36. Seja c um numero real maior que 1. Na figura est

representada uma parte do grfico de f, de domnio ! ,

definida por f x( ) = ex ! c .

Tal como a figura sugere:

A o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Ox

B o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Oy

Mostre que se o declive da recta AB c !1 ento c = e .

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