Funo Afim
Clculo Diferencial e IntegralPROFESSOR CLOVIS JOSE SERRA
DAMIANO
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9Funo QuadrticaA lei de uma funo afim dada por: y = ax2 + bx +
c, com a, b e c R e a 0.Exemplos de funes quadrticas:
y = 3x2 + 6x 5
a3
b6
c-5
y = 3x2 + 6x
a3
b6
c0
y = 3x2 5
a3
b0
c-5
y = 3x2
a3
b0
c0
Grfico de uma funo quadrticaO grfico de uma funo quadrtica uma
parbola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. Para desenhar o
grfico necessrio determinar alguns pontos da parbola, atribuindo
valores a x e achando suas respectivas imagens. Exemplo: y = x2+
xxy
-36
-22
-10
00
12
26
Desenhar o grfico da funo: y = x2 6x + 5Construir a tabela de
valores (representao numrica da funo):xy
Desenhar o grfico da funo: y = x2 2x Construir a tabela de
valores (representao numrica da funo):xy
Pontos notveis de uma parbolaEsses facilitam a construo do
grfico e a anlise da funo.
Ponto de interseco com eixo y (eixo das ordenadas)Esse ponto
pode ser obtido ao igualar o x a zero. Observe a funo:y = x2 6x +
5Se atribuirmos o valor zero a x y = 02 6.0 + 5, portanto y = 5
(que o coeficiente c ou o termo independente da funo
quadrtica)Observe nos exemplos anteriores em que lugar as parbolas
cortaram, o eixo Y.
VrticeEsse ponto muito importante por 3 motivos especialmente;1.
Conhecida a abscissa xv (x do vrtice) encontramos a reta que
constitui o eixo e simetria.2. O V (vrtice) o ponto que a funo f
assume o seu maior ou seu menor valor de acordo com a concavidade
da parbola.3. A funo muda de comportamento ao passar pelo
vrtice.Determinando o vrtice de uma parbola:V = (xv, yv)Os pontos
que determinam o V so dados por:V = (- , - )Exemplo: Achar o V da
funo: y = x2 6x + 5Ponto x = = 3Se x = 3 ponto achar y substituindo
direto na funo:y = 32 6.3 + 5 = 4V = (3, 4) Compara com o grfico f
feito no primeiro exerccio.Outra forma de achar o yv seria
aplicando a frmula acima. (- )Pontos de interseo da parbola com o
eixo x (eixo das abscissas)Um ponto que pertence ao eixo x tem como
ordenada y igual a zero. Assim, como na funo afim, para descobrir
onde a parbola intercepta o eixo x, basta substituir y por zero,
obtendo assim a equao quadrtica: ax2 + bx + c = 0. A soluo
encontrada so as razes ou zeros da equao.A frmula resolutiva da
equao conhecida por frmula de Bhskara:
= b2 4ac o discriminante da equao.H trs possibilidades de
resoluo:Para, a equao tem duas razes reais diferentes.y = x2 - 6x +
5 = 36 20 = 16x = , portanto x1 = 5 e x2 = 1 = S = {5, 1}
Para, a equao tem duas razes reais iguais.y = x2 + 2x - 1 = 0x =
, portanto x1 = 1 e x2 = 1 = S = {1}
Para, a equao no tem razes reais.y = x2 + x 2 = 7 (no h raiz
real, ou seja, a parbola no intercepta o eixo do x)
Coordenadas do vrtice da parbola
Quandoa > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e
umponto de mnimoV.
Quandoa < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e
umponto de mximoV.
Em qualquer caso, as coordenadas de V so. Veja os grficos:
Imagem
O conjunto imagemImda funoy = ax2+ bx + c,a0, o conjunto dos
valores que y pode assumir. H duas possibilidades:1 - quandoa >
0,
a > 0
2 quandoa < 0,
a < 0
Atividade em Grupo1) Faa o grfico da funo y = x2 + 2x + 1. Para
fazer o grfico identifique o ponto V (vrtice) e depois dois pontos
direita e dois esquerda do vrtice.
xy
2) Faa o mesmo que o exerccio anterior para y = -2x2 + 4x 5.
xy
Analise a funo: x2 8x + 15a) Para que valores de x a parbola
intercepta o eixo x?b) Quais as coordenadas do vrtice a parbola?c)
Observe o vrtice e informe qual o valor mximo ou valor mnimo da
funo?
Um objeto lanado obliquamente a partir do solo alcana uma altura
h (em metros) que varia em funo do tempo em segundos de acordo com
a frmula h(t) = - t2 + 20t.a) Em que instante o objeto atinge a
altura mxima?b) De quantos metros essa altura?c) Em que instante
ele atinge o solo novamente?
