FUNÇÃO FUNÇÃO QUADRÁTICAQUADRÁTICA

INEQUAÇAO

1o caso ( > 0)

2o caso ( = 0)

3o caso ( < 0)

a > 0

a < 0

Estudo do sinal da função quadrática

Resumindo:

m/a

m/a

c/a

x’ = x’’

x’ x’’

m/a

m/a

m/a

m/a

macama

mama

mama

a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6.Primeiro, determinamos os zeros de f: x2 + x – 6 = 0 x = –3 ou x = 2Em seguida, fazemos um esboço do gráfico da função.Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade é voltada para cima e a função tem dois zeros reais distintos, obtemos o seguinte esboço do gráfico:

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.

Concluímos que:

b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15.

Zeros da função g: –

Como o coeficiente de x2 é negativo, a concavidade é voltada para baixo, obtemos o seguinte esboço do gráfico:

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas. Portanto:

1. Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k seja positiva para todo x real.

Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima.Para que a função seja positiva para todo x real, o discriminante de f deve ser negativo. 

Resolução

Exercícios

x

Coeficiente de x2 positivo e < 0

Assim, como < 0:(–5)² – 4 ∙ 1 ∙ k = 25 – 4k

Como < 0, então: 25 – 4k < 0

Logo:

Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o segundo membro é zero.

Inequações do 2o grau

a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0

b) –x² + 0,5x ≤ 0

c) 5x² – 2 < 0

d) –4x² + x + > 0

Exemplos

Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos números reais.Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f: Primeiro, determinamos os zeros de f:

3x² – 8x – 3 ≥ 0f(x)

3x2 – 8x – 3 = 0 = 64 + 36 = 100

Inequações do 2o grau

Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para os quais a função f é positiva ou nula. Assim, o conjunto solução da inequação é:

S =

Exemplo: Vamos resolver a inequação quociente .

Inequação produto ou quociente

f(x) = x – 5 (zero de f: 5)

g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)

Sinal de f

Sinal de g

Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação. A “bolinha” é aberta, pois são as raízes do denominador. Logo, o conjunto solução da inequação é:

S =

f(x) = x (zero de f: 0)

g(x) = –x² – 4

(g não tem zeros)–x3 – 4x < 0 x(–x2 – 4) < 0

Sinal de fSinal de g

Exemplo: Vamos resolver a inequação produto –x3 – 4x < 0.

Inequação produto ou quociente

S =

Logo, o conjunto solução da inequação é:

Exercícios

Atente que o quadro de sinais só pode ser usado quando o segundo membro da inequação-quociente for igual a zero. Então fazemos:

1. Resolver a inequação em ℝ.

Resolução

f(x) = x² – 9 zeros de f: 3 e –3

g(x) = 2x + 10 zero de g: –5

Sinal de f

Sinal de g

Logo, o conjunto solução é: S =

Observe que –5 não é solução da inequação, pois: 2x + 10 ≠ 0 x ≠ –5

Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte sistema de inequações:

Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma mais simples:

Inequações simultâneas

f(x) g(x)

Assim temos:

Zeros de f: –4 e 2 Zeros de g: 1 e 2 Sinal de f Sinal de g

S2=S1 =

A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações:

Logo, o conjunto solução do sistema é: S =

Inicialmente reduzimos as inequações a uma forma mais simples:Resolução

2. Resolver, em ℝ, a inequação 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.

(I) 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2

2x2 – 4x ≤ 0

(II) 2x2 – 3x + 2 < –3x + 42x2 – 2 < 0

f(x)

g(x)

Exercícios

f(x) = 2x2 – 4x zeros de f: 0 e 2

Sinal de f

g(x) = 2x2 – 2 zeros de g: –1 e 1

Sinal de g

Logo S =

Vamos determinar o domínio da função dada pela lei

Em , devemos ter:

f(x)

h(x)

Exemplo

Determinação do domínio de uma função

Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:

f(x) = x² – 2x + 1 zero real duplo de f: x = 1

h(x) = 2x – 7 zero de h: x =

Sinal de fSinal de h

Logo, D =