3 Geometria Tridimensional 3.1 Retas no Espaço Tridimensionalritaccs.pro.br/site/wp-content/uploads/2016/11/geometriatri... · parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo

Cálculo II-�� 65

3 Geometria Tridimensional

3.1 Retas no Espaço Tridimensional

Equação da Reta que Liga os Pontos ��, ��, ��, ��,��, ��

Forma Normal � � ��

� � ��

Forma Paramétrica

� � ��

3.2 Plano

Equação Geral do Plano

�� 0

Equação do Plano em Relação a suas

Interseções

� �� 1 onde , �, � são as interseções nos eixos �, �, �, respectivamente

Equação do Plano que contém os pontos ��, �� , ��, ��,��, ��, �!��!, �!, �!� " � � �� ! � �� ! � �� ! � ��# � 0


3.3 Superfície Cilíndrica ou Cilindro

Superfície obtida pela translação de uma reta, chamada geratriz, ao longo de uma curva, chamada diretriz.

Exemplo:

Curva Geratriz Paralela ao Eixo $ e Curva Diretriz no Plano %&

� � ��'(�� )��(��

3.4 Superfície de Revolução

Superfície obtida pela rotação de uma

curva plana (curva diretriz) em torno

de uma reta (eixo de revolução), que

pertence ao plano da curva.

Exemplo:

Curva Diretriz no Plano &$ rotacionada em torno do eixo $

� � ��)��(�� *+,�� -�./0(��í��(�

3.5 Esfera

�� 1 0

Todos os traços são círculos

Curva Geratriz

Curva Diretriz

Eixo de

Revolução

Curva

Diretriz


3.6 Superfície Quadráticas

Chama-se superfície quadrática ao conjunto de pontos ��, �, �� ∈ ℜ! que

satisfazem uma equação de 2º grau do tipo:

�� +�� + �� + �� + 4�� + 5�� + 6� + 7� + 8� + 9 = 0

Com coeficientes reais, onde pelo menos um dos coeficientes �,�,�,�, 4 ou 5 é diferente de zero. Tipo I : Superfícies geradas por equações do tipo

±��

�±

��

��±

��

��= 1

onde , � e � são constantes positivas e com sinais algébricos simultâneamente não negativos. São chamadas superfícies quadráticas centrais pois possuem simetria em relação aos 3 eixos coordenados, aos 3 planos coordenados e à origem e se classificam em: esfera, elipsóide, hiperbolóide de uma folha (ou uma seção) e hiperbolóide de duas folhas (ou duas seções). Tipo II : Superfícies geradas por equações do tipo

±��

�±

��

��±

��

��= 0

onde a, b e c são constantes positivas e nem todos os três sinais algébricos são igual são chamadas de cone elíptico (ou cone circular se = � = �).

Tipo III : Superfícies geradas por equações do tipo

±��

�±

��

��=

�

��/ ±

��

��±

��

�� =

�

�/ ±

��

�±

��

��=

�

�

onde , � e �são constantes positivas Se ambos os termos à esquerda possuem o mesmo sinal algébrico, o gráfico de qualquer destas equações é chamado parabolóide elíptico. Se os termos tiverem sinais contrário, o gráfico é chamado de parabolóide hiperbólico.


Técnicas para o estudo das superfícies quadráticas centradas na origem do sistema cartesiano Identificar: Traços, interseções com os eixos coordenados e simetrias. 1) Traço As seções transversais das superfícies são formadas pela interseção da superfície com planos, especialmente planos paralelos aos planos coordenados ou perpendiculares ao plano de simetria da superfície. A curva formada interseção de uma superfície com um plano é chamada de traço da superfície no plano.

2) Interseções com os eixos coordenados: As interseções �, � e �da superfície são definidas como sendo os pontos em que os eixos �, � e �, respectivamente, interceptam a superfície. Por exemplo, para determinar a interseção �, fazemos � = 0 e � � 0 na equação da superfície. 3) Simetrias: As superfícies geralmente apresentam simetrias em relação a pontos, retas ou planos. Por exemplo, se uma equação equivalente à equação original é

obtida quando � é substituido por –�, então, a superfície é simétrica em relação ao plano ��.

A equação do traço da superfície

em um plano em particular pode

ser determinada substituindo a

equação do plano na equação da

superfície.


3.6.1.Elipsóide

��

�+

��

��+

��

��= 1

, �, � 1 0 Todos os traços são elipses ou círculos Se � � � � o elipsóide é uma esfera

Equação na forma reduzida:

�� 1

, �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação de um elipsóide:

• As três variáveis ( �, �, �) estão na segunda potência e o termo

independente é não nulo.

• Os coeficientes das três variáveis são positivos.

• Os traços nos planos perpendiculares aos três eixos coordenados são

elipses ou círculos.

• Se � � � � o elipsóide é uma esfera.


Exemplo: Análise dos traços do elipsóide cuja equação é dada por:

�� + 4�� + 4�� 4 = 0 ��4 � �� 1

Interseções com os eixos coordenados: Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +2 → �+2, 0, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +1 → �0, +1, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +1 → �0, 0, +1�

Traços Plano cortante: � � > com |>| @ 1

Plano cortante: � � 0 (Traço xy)

��4 � �� 1 � >�

Se |>| A 1

Elipses:

eixo maior paralelo ao eixo dos � eixo menor paralelo ao eixo dos �

Se |>| � 1

Pontos �0, 0,+1�

��2� � �� 1

Elipse:

semi-eixo maior no eixo dos � → � 2 semi-eixo menor no eixo dos � → � � 1


Plano cortante: � = > com |>| @ 1

Plano cortante: � � > � 0 (Traço xz)

Plano cortante: � � > com > @ 2

Plano cortante: � � 0 (Traço yz)

��4 � �� 1 � >�

Se |>| A 1

Elipses:


Se |>| � 1

Pontos �0, +1, 0�

�� 1 � >�2�

Se |>| A 2

Círculos:

Círculos em planos paralelos a yz

de raio � � ,1 � >�/4

Se |>| � 2

Pontos �+2, 0, 0�

�� 1

Círculos no plano yz de raio � � 1

��2� � �� 1

Elipse:

semi-eixo maior no eixo dos � → � 2 semi-eixo menor no eixo dos � → � � 1


3.6.2. Hiperbolóide de uma folha

��

�+

��

��

��

��= 1

, �, � 1 0

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos

Equações na forma reduzida: �� 1

�� 1

�� 1 , �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação reduzida de um hiperbolóide de uma folha



• Os coeficientes de duas variáveis são positivos e da outra é negativo.

• O eixo do hiperbolóide de uma folha é homônimo à variável de

coeficiente negativo.

• Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são

hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são

elipses ou círculos


Exemplo: Análise dos traços do hiperbolóide de uma folha cuja equação é

dada por:

4�� + �� = 9

��

9/4+��

9��

9= 1 → ��3/2�� 3� � ��3� � 1

Interseções com os eixos coordenados: Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +1,5 → �+3/2, 0, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +3 → �0, +3, 0� Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 →não intercepta Traços: Plano cortante: � � >

Plano cortante: � � > � 0 (Traço xy)

��3/2�� 3� � 1� >�3�

Elipses:


��3/2�� 3� � 1

Elipse:

semi-eixo maior no eixo dos � → � 3 semi-eixo menor no eixo dos � → � � 1,5


Plano cortante: � = > com |>| A 3

Plano cortante: � = > com |>| 1 3

Plano cortante: � = > com |>| = 3

Plano cortante: � = > = 0 (Traço xz )

��3/2�� 3� � 1 � >�3�

Se |>| A 3

Hipérboles:

eixo real paralelo ao eixo dos x

eixo imaginário paralelo ao eixo dos z

�F ��3/2�� 3�G � �F1 � >�3�G

Se |>| 1 3

Hipérboles:

eixo real paralelo ao eixo dos z

eixo imaginário paralelo ao eixo dos x

��3� � ��3/2��

Se |>| � 3

Retas : � � +2�

��3/2�� 3� � 1

Hipérbole:

semi-eixo real no eixo dos x → � 1,5 semi-eixo imaginário no eixo dos z → � � 3


Plano cortante: � = > com |>| A 1,5

Plano cortante: � � > com |>| 1 1,5

Plano cortante: � � > com |>| � 3/2

Plano cortante: � � > � 0 (Traço yz )

��3� � ��3� � 1 � >��3/2��

Se |>| A 1,5

Hipérboles:

eixo real paralelo ao eixo dos y

eixo imaginário paralelo ao eixo dos y

�F��3� � ��3�G � �F1 � >��3/2��G

Se |>| 1 1,5

Hipérboles:



��3� � ��3�

Se |>| � 3/2

Retas: � � +�

��3� � ��3� � 1

Hipérbole:

semi-eixo real no eixo dos y → � 3 semi-eixo imaginário no eixo dos z → � � 3


3.6.3.Hiperbolóide de duas folhas

��

��

��

��+

��

��= 1

, �, � 1 0.

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos

Equações na forma reduzida:

�� 1

�� 1

�� 1

, �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação de um hiperbolóide de duas folhas



• Os coeficientes de duas variáveis são negativos e da outra é positivo.

• O eixo do hiperbolóide de duas folhas é homônimo à variável de

coeficiente positivo.




Exemplo: Análise dos traços do hiperbolóide de duas folha cuja equação é

dada por:


�� + 2�� + 4 = 0 →�� 2�� 4

��4 � ��2 � ��4 � 1 Interseções com os eixos coordenados: Com o eixo dos � →não intercepta Com o eixo dos � →não intercepta Com o eixo dos � → � � 0, � � 0 → � � +2 → �0, 0, +2� Traços: Plano cortante: � � >

Plano cortante: � � > � 0�Traço xy )

��4 � ��2 � >�2� � 1

Se |>| 1 2

Elipses:

eixo maior paralelo ao eixo dos x

eixo menor paralelo ao eixo dos y

Se |>| � 2

Ponto �0, 0,+2� Se |>| A 2

não intercepta

Não existe


Plano cortante: � = >

Plano cortante: � = > = 0 (Traço xz)

Plano cortante: � � >


��2� � ��2� � 1

Hipérbole:

semi-eixo real no eixo dos z → � 2 semi-eixo imaginário no eixo dos x → � � 2

��4 � ��4 � 1 � >�2

Hipérboles:



��2 � ��4 � 1 � >�4

Hipérboles:



� ��H√2J� �

��2� � 1

Hipérbole:

semi-eixo real no eixo dos z → � 2 semi-eixo imaginário no eixo dos y → � � √2


3.6.4. Cone

Equação Tipo II

��

�+

��

��

��

��= 0

, �, � 1 0

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.


��

�� 0

��

�� 0

��

�� 0

, �, � 1 0 Dicas para reconhecer a equação de um cone


independente é nulo.

• Os coeficientes de duas variáveis são positivos e da outra é negativo.

• O eixo do cone é homônimo à variável de coeficiente negativo.

• Os traços planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são




Exemplo: Análise dos cortes das seções transversais do cone cuja equação

é dada por:

��

4+��

9��16 � 0

��2� � ��3� � ��4� � 0

Interseções com os eixos coordenados: Ponto �0, 0, 0�

Traços: Plano cortante: � � >

Plano cortante: � � > � 0 (Traço xy )

��2� � ��3� � >�4�

Se > L 0

Elipses:

eixo maior paralelo ao eixo dos y

eixo menor paralelo ao eixo dos x

Ponto (0, 0, 0)



Traço xz : Plano cortante: � = > = 0


Plano cortante: � � > � 0 (Traço yz)

��2� � ��4� � >�3�

Se > L 0

Hipérboles:



��3� � ��4� � 0

� � +34 � Retas:

��3� � ��4� � >�2�

Se > L 0

Hipérboles:


eixo imaginário paralelo ao eixo dos

��2� � ��4� � 0

� � +12 � Retas:


3.6.5. Parabolóide Elíptico

Equação Tipo III

��

�+

��

��=

�

�

, � 1 0(� L 0

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.


�� , � 1 0(� L 0 Dicas para reconhecer a equação de um parabolóide elíptico

• Duas variáveis estão na segunda potência e a outra na primeira

potência.

• Os coeficientes das variáveis em segunda potência são positivos.

• O eixo do parabolóide elíptico é homônimo à variável em primeira

potência.

• Os traços planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são

parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são



Exemplo:Análise dos traços do parabolóide elíptico cuja equação é dada

por:

9�� + 4�� 36� = 0 → 936�� 436��

��4 � ��9 � � → ��2� � ��3� � �


Traços Plano cortante: � � >


��2� � ��3� � >

Se > 1 0

Elipses:

eixo maior paralelo ao eixo dos y

eixo menor paralelo ao eixo dos x

Ponto �0, 0, 0�






�� 4 F� � >�3�G

Parábolas em planos paralelos a xz com

vértice em*0, >, MNO -, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido

positivo de z

(distância focal 0 � 1�

�� 9F� � >�2�G

Parábolas em planos paralelos a yz com

vértice em*>, 0, MNP -, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido positivo de z

(distância focal 0 � 9/4�

�� 9�

Parábola no plano yz com vértice

em�0, 0, 0�, eixo coincidente com o eixo dos

z e voltada para o sentido positivo de z


�� 4�

Parábola no plano xz com vértice

em�0, 0, 0�, eixo coincidente com o eixo dos

z e voltada para o sentido positivo de z.

(distância focal 0 � 1�


3.6.6. Parabolóide Hiperbólico

Equação Tipo III

��

�+

��

��=

�

�

, � 1 0(� L 0

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são hipérboles.


��

�� / ��

� ��

�� / ��

� � ��

�� / ��

� � ��

, � 1 0(� L 0 Dicas para reconhecer a equação de um parabolóide hiperbólico

• Duas variáveis estão na segunda potência e a outra na primeira

potência.

• Os coeficientes das variáveis em segunda potência têm sinais

contrários.

• Os traços hiperbólicos são os obtidos pela interseção da superfície com

planos paralelos homônimos à variável em primeira potência.


parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são

hipérboles.


Exemplo: Análise dos traços do parabolóide hiperbólico cuja equação é dada

por:

� = ��


Tracos: Plano cortante: � � > com > 1 0

Plano cortante: � � > com > A 0


�� >

Se > 1 0

Hipérboles:

eixo real paralelo ao eixo dos y


�� >

Se > A 0

Hipérboles:

eixo real paralelo ao eixo dos x


��

Se > � 0

Retas: � � +�





Plano cortante: � � > � 0 (Traço yz)

�� >�� Parábolas em planos paralelos a xz

com vértice em�0, >, >��, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido

negativo de z

(distância focal 0 � �1/4�

�� >�� Parábolas em planos paralelos a yz com

vértice em�>, 0, �>��, eixo paralelo ao eixo dos z e voltadas para o sentido

positivo de z


��

Parábola no plano yz com vértice

em�0, 0, 0�, eixo paralelo ao eixo dos z e voltada para o sentido positivo de z


��

Parábola no plano xz com vértice

em�0, 0,0�, eixo coincidente com o

eixo dos z e voltada para o sentido

negativo de z

(distância focal 0 � �1/4�

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