3 a Lista de Exercícios de Mecânica Básica

1 – Uma partícula de massa m desliza na parte externa de um trilho na forma de um anel circular vertical de raio R. Ela está presa a uma das extremidades de uma mola de constante k. A outra extremidade da mola está fixa a uma distância R/2 acima do centro do trilho. O comprimento da mola relaxada é R/2, de modo que quando a partícula se encontra no alto do trilho (ponto A) a mola está relaxada. A aceleração da gravidade é g e sabe-se que kR > 4mg. Despreze inicialmente o atrito entre a partícula e o trilho.

a) Quando a partícula vai do ponto mais alto do trilho (ponto A) até o ponto mais baixo (ponto B), calcule, pelo método que desejar, o trabalho realizado sobre ela pela gravidade, pela mola e pelo trilho. Justifique suas respostas.b) Qual é o módulo mínimo da velocidade que a partícula deve ter no ponto A para que seja possível chegar ao ponto B?c) Suponha agora que entre a partícula e o trilho há uma força de atrito que diminui linearmente com a distância na trajetória de A (ponto mais alto) até B (ponto mais baixo), sendo F0 o valor inicial (em A) da força de atrito e F0/4 seu valor final (em B). Neste caso, determine a variação da energia mecânica total E entre os pontos A e B.

2 – Uma partícula de massa m desliza sem atrito num anel vertical de raio R. Sabendo que no ponto mais baixo de sua trajetória o módulo da velocidade da partícula é v0, determine a força que o anel exerce sobre ela quando o vetor posição que vai do centro do anel até a partícula faz um ângulo com a vertical.

3 – Um bloco de massa m está no topo (posição A) de um plano inclinado sem atrito de comprimento L (trecho AB), que faz um ângulo desconhecido com a horizontal. A este bloco é dada uma velocidade inicial v0 ao longo do plano. Na base do plano está uma superfície também de comprimento L (trecho BC) que devido à rugosidade variável, exerce uma força de atrito cujo módulo está descrito no gráfico abaixo. No final, é colocada uma mola com constante elástica desconhecida em uma superfície sem atrito (trecho CD). O bloco chega na mola com velocidade v0 (posição C) e a deixa totalmente comprimida por um instante de tempo (posição D).Utilize a origem do potencial gravitacional no topo do plano (posição A).Responda ás perguntas abaixo utilizando obrigatoriamente os dados do problema e a aceleração da gravidade g.

a) Determine a altura da posição A em relação à base do plano.b) Determine o trabalho realizado pela força da gravidade ao longo do plano inclinado (trecho AB) e ao longo da superfície com atrito (trecho BC). Justifique.c) Determine a energia potencial elástica da mola quando ela estiver totalmente comprimida e a energia potencial gravitacional neste ponto (posição D).d) Determine a velocidade inicial mínima para que o bloco ao voltar empurrado pela mola consiga subir até o topo do plano inclinado.

4 – Uma partícula de massa m = 2 kg se desloca unidimensionalmente ao longo do eixo x. Ela está sujeita a uma energia potencial dada pela expressão algébrica U(x) = 15x2 – 2x3 , em unidades SI, e mostrada no gráfico abaixo.a) Calcule a expressão algébrica que descreve a força aplicada sobre a partícula.b) Em uma dada situação, a energia mecânica total da partícula é igual a 0 J. Diga, para esta situação, em que regiões do eixo x é possível o movimento da partícula, e descreva o movimento.

5 – No percurso abaixo, a mola de constante elástica desconhecida está comprimida de uma distância d e inclinada de 30 em relação à horizontal. Na extremidade da mola está uma esfera de raio r e massa m em repouso no ponto A. Quando a mola é solta, ela impulsiona a esfera que perde o contato com a mola no ponto B a uma velocidade vB. O plano inclinado não tem atrito e portanto a esfera desliza até o ponto C onde atinge uma velocidade vC. Como a parte plana do percurso tem um coeficiente de atrito não desprezível, a esfera passa a rolar sem deslizar no ponto D com a velocidade do centro de massa igual a vD. No final do percurso em forma de ¼ de círculo de raio R, a esfera continua a rolar sem deslizar atingindo o ponto E com a velocidade do centro de massa vE. responda as perguntas obrigatoriamente em função das variáveis do problema.

a) Determine a energia potencial da mola quando ela está comprimida. Determine a variação da energia potencial gravitacional da esfera no trecho BC. Determine a energia cinética da esfera no ponto D. b) Determine a variação da energia potencial gravitacional da esfera no trecho BC. c) Determine a energia cinética da esfera no ponto D.

6 – Um objeto, de massa m = 2,00 kg desliza sobre uma superfície horizontal de maneira que em t = 0, ele está sobre x = 0, com velocidade v0 = 5,00 m/s. Sobre esse corpo age uma força F(x) que depende de x como dado na figura. Considere g = 10,0 m/s2 .a) Supondo que não exista atrito entre o objeto e a superfície, calcule em que posição final xf o objeto irá parar.b) Agora suponha que além da força F também exista atrito entre o objeto e a superfície. Os Coeficientes de atrito cinético e estático são respectivamente c = 0,200 e e = 0,500. Em que nova posição xf

’ o objeto parará agora?c) Após atingir o repouso, o objeto permanecerá parado? Justifique.

7 – – O carro de uma montanha russa tem massa m e encontra-se na base de uma rampa que faz um ângulo de 30 com a horizontal, trecho AB. Ele tem velocidade inicial paralela à rampa, no sentido ascendente de módulo vi = onde g é a aceleração da gravidade e R é o raio da pista em forma de um anel paralelo ao plano vertical, localizado no centro do percurso. O coeficiente de atrito cinético

entre o carro e a rampa é de . No trecho BE da pista horizontal e no anel o atrito é desprezível.

O trecho EF tem comprimento d. As respostas devem ser dadas em função dos dados do problema g, R, m, 0 e d.

a) Em C, o ponto mais alto do anel, os passageiros devem ter a sensação de peso nulo (reação normal do anel igual a zero). Para que isto aconteça, calcule o módulo da velocidade do carro neste ponto.b) Determine qual deve ser o comprimento L do trecho AB para que os passageiros tenham a sensação de peso nulo no ponto C.c) Obtenha a reação do anel sobre o carro quando ele se encontra no ponto D, em que o vetor posição a partir do centro do anel faz um ângulo 0 com a vertical.

8 – Um fio de massa desprezível e comprimento L preso em uma de suas extremidades, está ligado a uma bola de massa m. O conjunto é mantido em repouso na posição vertical. Um vento que sopra da esquerda para direita exerce sobre a bola uma força constante F. O conjunto é solto e a bola atinge uma altura máxima H, como ilustra a figura abaixo. A aceleração da gravidade é g. As respostas têm de ser dadas em termos dos dados do problema.

a) Escreva a equação de trabalho – energia mecânica para este caso.b) Calcule a altura máxima H.c) Calcule a tensão (em forma vetorial) no fio neste ponto.

9 – Uma força agindo sobre uma partícula em movimento no plano xy é dada por F = (2yi + x2j) N, em que x e y estão em metros. A partícula se desloca da origem até uma posição final com coordenadas x = 5,00 m e y = 5,00 m, como na figura abaixo. Calcule o trabalho feito por F ao longo dea) OAC,b) OBC,c) OC.d) F é conservativa ou não conservativa? Explique.

10 – Uma roda, em forma de aro, com a massa M = 1,50 kg concentrada no círculo externo, tem raio r = 25,0 cm e rola, sem deslizar, no trilho mostrado na figura abaixo. O trecho circular do trilho tem um raio R = 10,0 m. A roda tem uma velocidade (de centro de massa) v0 em algum ponto A do trecho retilíneo do trilho.a) Faça um diagrama de corpo livre, indicando as forças atuando sobre a roda quando ela passa pelo ponto B.b) Calcule os vetores torque para todas as forças que agem na roda, em relação ao seu centro de massa, quando ela passa pelo ponto B.c) Determine o valor mínimo da velocidade v0 para que a roda consiga chegar ao ponto C, sem perder contato com o trilho.d) Se no ponto A a velocidade é v0 = 40,0 m/s, calcule a velocidade (do centro de massa) da roda ao entrar em contato com o ponto C.

F L

m

FL

mH

O A

BC

(5,00; 5,00) m

y

x