Tensões e Deformações em Corpos Deformáveis

Resistência dos Materiais

CONCEITO DE TENSÃO

• O principal objetivo do estudo da resistência

dos materiais é proporcionar ao futuro

engenheiro os meios para dimensionar

máquinas e estruturas sujeitas a

solicitações estáticas e dinâmicas.

• O dimensionamento de estruturas envolve a

determinação de tensões e deformações.

TENSÕES NORMAIS

A

P

A

Fmed

A

0lim

• Tensão normal num ponto:

• A distribuição real de tensões normais é

estaticamente indeterminada.

CARREGAMENTO CONCÊNTRICO E EXCÊNTRICO

• Distribuição de tensões não uniforme.

• Distribuição de tensões uniforme na seção.

N

TENSÕES TANGENCIAIS

• As forças P e P’ são aplicadas

transversalmente ao membro AB.

A

Vmed• A tensão tangencial média é:

• As forças internas correspondentes que

actuam no plano da secção C designam-se

por esforços cortantes.

• A distribuição de tensões tangenciais pode ser

assumida como uniforme.

V

TENSÕES TANGENCIAIS

A

F

A

Vmed

Corte simples

A

F

A

V

2med

Corte duplo

V

V

V

TENSÕES TANGENCIAIS - EXEMPLOS

262

2 m104912

mm25

rA

MPa102m10491

N105026

3

,

A

VmedC

MPa7.40m10491

kN2026,

A

VmedA

V

V

V

TENSÕES NORMAL E TANGENCIAL

N

V

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1

cossin

cos

sin

cos

cos

cos

00

2

00

A

P

A

P

A

V

A

P

A

P

A

N

• As tensões normal e tangencial médias

no plano oblíquo ao eixo são:

TENSÕES NUM PLANO OBLÍQUO AO EIXO

sincos PVPN

• Componentes normal e tangencial da

carga P no plano oblíquo.

N

• A tensão normal máxima ocorre para = 0º:

00

m A

P

• A tensão tangencial máxima ocorre para

= + 45o:

00 2

45cos45sinA

P

A

Pm

TENSÕESMÁXIMAS

cossincos0

2

0 A

P

A

P

• As tensões normal e tangencial num plano

oblíquo a um eixo são expressas por:

TENSÕES PARA UM CASO DE CARREGAMENTO QUALQUER

• Considerando um corpo onde estão

aplicadas várias forças vamos

estudar as condições de tensões

num ponto Q do interior do corpo.

A

V

A

V

A

N

x

z

Axz

x

y

Axy

x

Ax

limlim

lim

00

0

• As componentes de tensão são

definidas por:

ΔN x ΔN x

• Componentes de tensão no ponto Q.

• Condições de equilíbrio:

0

0

zyx

zyx

MMM

FFF

yxxy

yxxyz aAaAM

0

• Considerando:

ESTADO DE TENSÃO NUM PONTO

• As 6 componentes de tensão x ,y,z e xy,

yz, xz são suficientes para definir o estado

de tensão.

similarmente yz =zy e zx = xz

DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA

S

S'S.méd

S

S'Slim

AB

S)1(S´

Alongamento:

Distorção:

´

ABnt

AC

lim2

COMPONENTES CARTESIANAS DAS DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS

S)1(S´

Comprimentos aproximados dos lados do paralelogramo:

y)1(y y´ z)1(z z

´ x)1(x x´

Ângulos aproximados entre os lados:

zx2

yz2

xy2

Alongamentos causam variação do volume do elemento.

Distorções causam variação na forma do elemento.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2

250 mm

Uma placa retangular é deformada conforme indicado pela forma tracejada

mostrada na figura (a). Considerando que na configuração deformada as

linhas horizontais da placa permanecem horizontais e não variam o seu

comprimento, determine:

a) o alongamento ao longo do lado AB;

b) a distorção da placa relativamente aos eixos x e y.

a) De acordo com a figura b), vem:

b) De acordo com a figura c), vem:

Introdução:

Vários tipos de propriedades são importantes na prática do projeto :

• Econômicas

• Mecânicas

• Superficiais

• Fabricação

• Físicas

• Microestruturais

• Estéticas

PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

PreçoCustos Financeiros

Valor de Mercado

Incentivos Fiscais

DisponibilidadeFornecedores Alternativos

Materiais com Propriedades Equivalentes

Atualização TecnológicaCiência e Tecnologia Evoluem Rapidamente!

Necessário Estudo Permanente

PROPRIEDADES ECONÔMICAS

Resistência dos materiais

Dureza (HV, HB, HR)

Escoamento(σY)

Ruptura (σrot.)

Fadiga (S - N)

Fluência (temperatura, tempo)

Flexão, Esmagamento, Corte, Delaminagem, Desgaste, etc.

Rigidez: (quanto o material deflecte sob carga) E, , G

Tenacidade: Energia absorvida durante a propagação de fendas.

Ductilidade: Capacidade do material sofrer deformações plásticas.

PROPRIEDADES MECÂNICAS

Corrosão

Fricção

Desgaste

Abrasão

Adesão

Erosão

Revestimento

Adesão ou Colagem

PROPRIEDADES SUPERFICIAIS

Usinagem

Soldagem

Colagem

Fundição

Conformação

Acabamento

PROPRIEDADES DE FABRICAÇÃO

Elétricas

Resistência, Piezoeletricidade e Termoeletricidade

MagnéticasPermeabilidade

ÓpticasCor, Transparência, Refração, Absorção

TérmicasCondutibilidade, Expansão

Reatividade Química

PROPRIEDADES FÍSICAS E QUIMICAS

Tipo (cristalina, cadeias, amorfa)

Cristalização (CFC, CCC, HC, ...)

Defeitos (vazios)

Fases

Solubilidade

Tratamentos Térmicos

Tratamentos Mecânicos

PROPRIEDADES MICROESTRUTURAIS

PROPRIEDADES MECÂNICAS

Propriedades Mecânicas dos Metais

• Como os metais são materiais estruturais, o conhecimento de suas propriedades

mecânicas é fundamental para prever o seu comportamento sob solicitação.

• Um grande número de propriedades pode ser derivado de um único tipo de

ensaio, o ensaio de tração.

No ensaio de tração, um material é tracionado e deforma-se até a ruptura. Mede-se

o valor da força e da extensão a cada instante, e gera-se uma curva tensão -

extensão.

Tensão e Extensão

ExtensãoL

NormalTensãoA

P

L

A

P

A

P

2

2

LL

A

P

2

2

Corpo de prova

Gage

Length

Célula de Carga

Tração

Diagrama Tensão - Extensão

Alongamento (mm)

0 2 3 4 510

50

100

Ca

rga

(1

03 N

)

0

250

500

Extensão, (mm/mm)

Ten

são,

(MP

a)

0 0.04 0.05 0.08 0.100.02

Normalização para

eliminar influência

da geometria da

amostra

Curva Tensão - Extensão

• Normalização

= P/A0 onde P é a carga e A0 é a seção reta do corpo de prova.

= (L-L0)/L0 onde L é o comprimento para uma dada carga e L0 é o comprimento original

• A curva pode ser dividida em duas regiões:

Região elástica

é proporcional a => = E.onde E = módulo de Young

A deformação é reversível.

Ligações atómicas são alongadas mas não se rompem.

Região plástica

não é linearmente proporcional a .

A deformação é quase toda não reversível.

Ligações atómicas são alongadas e rompem-se.

Curva Tensão - Extensão

Ten

são, σ

(MP

a)

0 0.04 0.05 0.08 0.100.02

0

250

500

Extensão, ε (mm/mm)

Plástica

Elástica

Fractura

Como não existe um limite claro entre as regiões

elástica e plástica, define-se o limite de cedência,

como a tensão que, após a libertação da carga, causa

uma pequena deformação residual de 0.2%.

O Módulo de Young, E, (ou módulo de

elasticidade) é dado pela derivada da curva na

região linear.

0 0.004 0.005 0.008 0.0100.002

Extensão, (mm/mm)

Limite de cedência

DIAGRAMA TENSÃO - EXTENSÃO: MATERIAIS DÚCTEIS

DIAGRAMA TENSÃO - EXTENSÃO: MATERIAIS FRÁGEIS

MÓDULO DE ELASTICIDADE OU MÓDULO DE

YOUNG

= E

Lei de Hooke:

DIAGRAMA TENSÃO - EXTENSÃO: REGIMES ELÁSTICO E PLÁSTICO

Rotura

Exercício resolvido 1

= E. = E.L/L0 => L = L0/E

E é obtido de uma tabela ECu = 11.0 x 104 MPa

Assim: L = 276 . 305/11.0 x 104 =0.76 mm

Uma peça de cobre de 305 mm é tracionada com uma tensão de 276 MPa. Se a

deformação é totalmente elástica, qual será o alongamento ?

Estricção e limite de resistênciaT

ensã

o,

Estricção

Extensão,

Limite de

resistência

A partir do limite de resistência

começa a ocorrer uma estricção no

provete. A tensão concentra-se nesta

região, levando à rotura.

Dutibilidade

• Dutibilidade é uma medida da extensão da deformação que ocorre até a fratura.

• Dutibilidade pode ser definida como:

Alongamento percentual % AL = 100 x (Lf - L0)/L0

onde Lf é o alongamento na fratura

uma fracção substancial da deformação concentra-se na estricção, o que faz com

que a % AL dependa do comprimento do provete. Assim o valor de L0 deve ser

citado.

Redução de área percentual %AR = 100 x(A0 - Af)/A0

onde A0 e Af se referem à área da secção recta original e na fractura.

Independente de A0 e L0 e em geral de AL%

Resiliência

• Resiliência é a capacidade que o material possui de absorver energia elástica

sob tração e devolvê-la quando relaxado.

Área sob a curva dada pelo limite de cedência e pela extensão na cedência.

Módulo de resiliência Ur = d com limites de 0 a y

Na região linear Ur =yy /2 =y(y /E)/2 = y2/2E

Assim, materiais de alta resiliência possuem alto limite de cedência e baixo

módulo de elasticidade.

Estes materiais seriam ideais para uso em molas.

Tenacidade

• Tenacidade (toughness) é a capacidade que o material possui de absorver energia

mecânica até a fratura.

Área sob a curva até a fratura

Dúctil

Frágil

Extensão,

Ten

são

,

O material frágil tem maior limite de

cedência e maior limite de resistência.

No entanto, tem menor tenacidade

devido à falta de dutilidade (a área sob a

curva correspondente é muito menor).

Resumo da curva e Propriedades

Região elástica (deformação reversível) e região plástica (deformação quase toda

irreversível).

Módulo de Young ou módulo de elasticidade => derivada da curva na região elástica

(linear).

Limite de cedência (yield strength) => define a transição entre regiões elástica e plástica

=> tensão que, libertada, gera uma deformação residual de 0.2 %.

Limite de resistência (tensile strength) => tensão máxima na curva de engenharia.

Ductilidade => medida da deformabilidade do material

Resiliência => medida da capacidade de absorver e devolver energia mecânica => área

sob a região linear.

Tenacidade (toughness) => medida da capacidade de absorver energia mecânica até a

fractura => área sob a curva até a fractura.

A curva real

A curva obtida experimentalmente é

denominada curva - ε de engenharia.

Esta curva passa por um máximo de tensão,

parecendo indicar que, a partir deste valor, o

material se torna mais fraco, o que não é verdade.

Isto, na verdade, é uma consequência da

estricção, que concentra o esforço numa área

menor.

Pode-se corrigir este efeito levando em conta a

diminuição de área, gerando assim a curva

real.

Curva real

Fractura

Fractura

Curva σ - ε de engenharia

Coeficiente de Poisson

• Quando ocorre alongamento ao longo de uma direcção, ocorre contração

no plano perpendicular.

• A Relação entre as deformações é dada pelo coeficiente de Poisson .

= - y / x = - z / x o sinal de menos apenas indica que uma

extensão gera uma contracção e vice-versa.

Os valores de para diversos metais estão entre 0.25 e 0.35.

• Para uma barra sujeita a carregamento axial:

0 zyx

xE

• O alongamento na direcção ox é acompanhado

da contracção nas outras direcções.

Assumindo o material como isotrópico tem-se:

0 zy

• O coeficiente de Poisson é definido por:

x

z

x

y

alLongitudin Extensão

lTransversa Extensão

Coeficiente de Poisson

Exercício resolvido 2

z = d/d0 = -2.5 x10-3 /10 = -2.5 x10-4

x = - z/-2.5 x10-4 / 0.35 = 7.14 x10-4

= E. x = 10.1 MPa x 7.14 x10-4 = 7211 Pa

F = A0 = d02/4 = 7211 x (10-2)2/4 = 5820 N

Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é tracionado ao longo do seu eixo.

Qual é a força necessária para causar uma mudança de 2.5 µm no diâmetro, no

regime elástico ?

Distorção

• Uma tensão tangencial causa uma distorção de forma análoga a uma tração.

Tensão tangencial

= F/A0 onde A0 é a área paralela à aplicação da força.

Distorção

= tan = y/z0 onde é o ângulo de deformação

• Módulo de distorção G

= G

• Um elemento cúbico sujeito a tensões

tangenciais deforma-se num rombóide. A

distorção correspondente é quantificada em

termos da alteração dos ângulos:

xyxy f

• Lei de Hooke: (Pequenas deformações)

zxzxyzyzxyxy GGG

G é o módulo de distorção.

Distorção

G

Diagrama Tensão tangencial - Distorção

Com base num ensaio de torção obtêm-se os valores de tensão tangencial e respectivos valores de

distorção. Representando num gráfico os sucessivos valores obtidos no ensaio chega-se ao diagrama

Tensão tangencial - Distorção para o material em consideração.

O diagrama Tensão - Distorção é idêntico ao diagrama Tensão - Extensão obtido a partir de um ensaio

de tracção. No entanto os valores obtidos para a tensão tangencial de cedência, tensão tangencial de

rotura etc. de um dado material, são aproximadamente metade dos valores correspondentes à tracção.

][rad

p

p

p U r

r

U

][MPa

Muitos dos materiais utilizados em engenharia

têm um comportamento elástico linear e assim a

Lei de Hooke para tensões tangenciais pode ser

escrita:

RELAÇÃO ENTRE E, , E G

12

EG

Exercício resolvido 3

Um bloco retangular de um material comum módulo de distorção G = 620 MPa é colado

a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa superior é

submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm

sob ação da força, determine:

a) a distorção média no material;

b) a força P que atua na placa superior.

200 mm

60 mm

50 mm

radmm50

mmxyxyxy 020.0

1tan

xyxy G

6 6 6 3

212,4.10 . 200.10 .60.10 148,8.10 148,8xy

NP A m m N kN

m

1 mm

50 mm

Solução

a) Distorção média no material

b) Força P atuante na placa superior

MPaG xyxy 4,1202,0*620

• Num elemento sujeito a um carregamento multiaxial, as

componentes de extensão resultam das componentes de tensão

por aplicação do princípio da sobreposição. As condições de

aplicação do método são:

1) Cada efeito é diretamente proporcional à carga que o produziu

(as tensões não excedem o limite de proporcionalidade do

material).

2) As deformações causadas por qualquer dos carregamentos é

pequena e não afeta as condições de aplicação dos outros

carregamentos.

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

• Tem-se:

Carregamento Triaxial - Lei de Hooke Generalizada

Fratura

O processo de fratura é normalmente súbito e catastrófico, podendo gerar grandes

acidentes.

Envolve duas etapas: formação de fenda e propagação.

Pode assumir dois modos: dútil e frágil.

Fratura dútil e frágil

• Fratura dútil

o material deforma-se substancialmente antes de fraturar.

O processo desenvolve-se de forma relativamente lenta à medida que a fissura

se propaga.

Este tipo de fissura é denominado estável porque ela pára de se propagar a

menos que haja uma aumento da tensão aplicada no material.

Fratura frágil

O material deforma-se pouco, antes de fraturar.

O processo de propagação da fissura pode ser muito veloz, gerando situações

catastróficas.

A partir de um certo ponto, a fissura é dita instável porque se propagará mesmo

sem aumento da tensão aplicada sobre o material.

Fratura