rea 1: Faculdade de Cincia e Tecnologia Disciplina: Geometria
AnalticaCurso: ___________________ Professor:
_________________Data: ______ / ______ / ______
Nome:____________________________________________ Turma:___________
Pgina | 1 1 LISTA DE EXERCCIOS TRANSLAO / CNICAS Translao 1.Por
meio de uma translao dos eixos coordenados, transforme as equaes
dadas para a nova origem indicada. a)( ) 3 , 1 , 0 6 6 22 2 ' = + +
+ O y x y x d)( ) 2 , 3 , 0 28 4 24 42 2O y x y x ' = + + b)( ) 3 ,
4 , 0 1 3 4 3 ' = + O y x xy e)( ) 2 , 1 , 5 4 3 32 2 3O y x y x x
' = + + c)( ) 1 , 1 , 0 1 2 6 42 2O y y x x ' = + 2.Usando uma
translao de eixos coordenados, a)Simplifiqueaequao0 6 2 62 2= + + +
y x y x indicandoqualanovaorigemequais so as equaes de transformao;
b)Utilizandoatranslaodoitemanterior,determineascoordenadasdoponto (
) 2 , 1 xyPem relao ao sistemay O x ' ' 'e as coordenadas de( ) 1 ,
2y xQ' ' no sistema xOy.3.Determine a translao dos eixos
coordenados (nova origem e equaes de transformao) que levam forma
reduzida as seguintes equaes: a)0 4 4 22 2= + + y x y x b)0 8 62 2=
+ + y x y x c)0 1 6 8 22 2= + + + y x y x4.Para cada item, converta
os pontos como se pede, usando a translao indicada pela nova
origemO' . a)( ) xy P 3 , 2 paray x ' ' ,com ( ) 5 , 1 ' Ob)( ) y x
Q ' ' 2 , 4 paraxy,com ( ) 3 , 2 ' Oc)( ) xy R 0 , 1 paray x ' '
,com ( ) 4 , 0 O'd)( ) y x S ' ' 4 , 0 paraxy,com ( ) 0 , 2 ' O5.Em
cadaumdositens,porumatranslaodoseixoscoordenados,transformeaequao
dada em outra desprovida de termos do 1 grau, se possvel. a); 0 4 4
22 2= + + y x y x d); 0 1 2 42= + + y x yb); 0 8 62 2= + + y x y x
e)0 36 24 4 42 2= y x y xc); 0 29 8 18 2 32 2= + + + y x y
xGeometria Analtica: Lista de Exerccios Atualizada em Janeiro de
2011 Pgina | 2Parbola 6.Identifique o lugar geomtrico de um ponto
que se desloca de modo que a sua distncia ao ponto( ) 3 , 2 P
igualsuadistnciareta0 6 : = + x r .Emseguidaaequaodesse lugar
geomtrico.
7.Emcadaumdosseguintesitens,determineaequaopadrodaparbolaapartirdos
elementos dados: a)Um ponto da diretriz( ) 7 , 4 , vrtice na origem
e eixo de simetria Ox; b)Vrtice( ) 2 , 3
,eixofocalparaleloaOyeoponto( ) 0 , 7 L umadasextremidades do latus
rectum; c)Diretrizl: 0 1 = x ,eixofocal0 2 : . = + y F E eoponto( )
2 , 3 L umadas extremidades do latus rectum; d)Diretrizl: 4 = y
eospontos( ) 2 , 8 L e( ) 2 , 4 R soasextremidadesdolatus rectum;
e)Vrtice( ) 2 , 1 V , eixo focal paralelo a Ox e( ) 6 , 7 P um
ponto do seu grfico; f)Vrtice( ) 3 , 1 V , eixo focal paralelo a Oy
e( ) 1 , 3 P um ponto da parbola; g)Eixo focal0 5 : . = y F E ,
diretriz l: 0 3= x e vrtice sobre a reta3 2 : + = x y r ; h)Eixo
focal4 : . = x F E , diretriz l: 3 = y e foco sobre a reta5 : = x y
r ;
8.Determineascoordenadasdovrtice,dofoco,asequaesdadiretrizedoeixofocalde
cada uma das seguintes parbolas: a)( ) ( ) 1 4 22+ = y xb)0 1 6 22=
+ y x yc)0 33 32 4 42= + + y x xd)0 5 42= + + y x ye)0 23 2 82= y x
yf)0 71 20 48 42= x y
x9.DeterminasascoordenadasdospontosquesoasextremidadesdoLatusRectumda
parbolaquetemcomodiretrizareta0 3 = y efoconoponto( ) 1 , 1 F
.Elipse 10. Umponto( ) y x P ,
sedeslocademodoqueasomadesuasdistnciasaospontos ( ) 1 , 3 A e( ) 1
, 5 B 10.DigaanaturezadacurvadescritaporPeemseguida determine sua
equao padro. 11. Umponto( ) y x P ,
sedeslocademodoqueasomadesuasdistnciasaos pontos ( ) 2 , 3 A e( ) 6
, 3 B 8.DigaanaturezadacurvadescritaporPeemseguida determine sua
equao padro. 12.
Emcadaumdosseguintesitens,determineaequaopadrodaelipse,apartirdos
elementos dados: a)Focos( ) 8 , 31Fe( ) 2 , 31Fe comprimento do
eixo maior 10; Geometria Analtica: Lista de Exerccios Atualizada em
Janeiro de 2011 Pgina | 3b)Vrtices( ) 1 , 51 A e( ) 1 , 31 A
extremidadesdoeixomaior,eexcentricidade 43= e ; c)Centro( ) 2 , 1 C
, um dos focos em( ) 2 , 6 Fe( ) 6 , 4 P ponto do seu grfico;
d)EixofocalparaleloaoeixoOx,umdosfocosnoponto( ) 3 , 4 F eumadas
extremidades do eixo menor no ponto( ) 0 , 0 B . 13.De acordo com
os conhecimentos sobre elipse, determine
ascoordenadasdosfocoseaequaopadrodacnica
dafiguraaolado.Obtenhatambmasequaesde transformao e a nova origem
da translao que levam a equao desta curva forma reduzida.
14.Sabendoque( ) 5 , 7 P umpontodaelipsecujos
extremosdoeixomaiorcoincidemcomosextremosdo latus rectum da
parbola0 30 10 102= + y x y , determine sua equao geral. Hiprbole
15.Determine a equao do lugar geomtrico descrito por um ponto que
se desloca de modo queomdulodadiferenadesuasdistnciasaospontos( ) 4
, 61 P e( ) 4 , 22 P igual a 6. Verifique se esta curva admite
assntotas e, em caso afirmativo, determine suas equaes. 16.Em cada
um dos itens, determine a equao padro da hiprbole, a partir dos
elementos dados: a)Focos( ) 3 , 11 Fe( ) 3 , 72 Fe comprimento do
eixo transverso igual a 4; b)Vrtices( ) 4 , 51Ae( ) 4 , 12Ae
comprimento do latus rectum igual a 5; c)Focos( ) 1 3 , 21Fe( ) 1 3
, 22 Fe comprimento do eixo no transverso igual a 24; d)Assntotas0
1 1 4 : = +y x re0 1 3 4 : = y x se um dos vrtices( ) 1 , 3 A ;
e)Eixo normal3 = y , um dos focos no ponto( ) 0 , 3 Fe
excentricidade5 , 1 = e ; f)Focos( ) 5 , 41 Fe( ) 5 , 42 Fe
comprimento do eixo transverso igual a 6; g)Assntotasx y r 3 2 : =
ex y s 3 2 : = ,comprimentodoeixoimaginrio6efocosno eixo Ox. 17.
Reduza as equaes das cnicas a seguir, atravs de uma translao, para
a forma padro, identificando os seguintes elementos: I.As
coordenadas do(s) vrtice(s) e foco(s); II.As equaes do eixo focal,
e eixo normal (elipse e hiprbole) ou diretriz (parbola);
III.Comprimento do latus rectum e excentricidade; Geometria
Analtica: Lista de Exerccios Atualizada em Janeiro de 2011 Pgina |
4IV.Comprimento dos eixos: maior e menor (elipse) / transverso
(hiprbole). a)( ) 0 200 50 25 1 922= + + y y xc)0 39 24 2 42 2= + +
y x y xb)( ) 0 144 54 2 25 922= + x y xd)0 63 18 36 9 42 2= + y x y
x18.Dizemosqueduas hiprboles soconjugadasquando oeixotransverso de
cadauma delascoincidecomoeixoconjugadodaoutra.Dadaahiprbole ( ) (
)11 6391:2 2=+ x yH
,determineascoordenadasdosfocosdahiprboleHconjugada deHe sua equao
geral. 19.Uma hiprbole dita equiltera quando o comprimento do seu
eixo transverso igual
aocomprimentodoseueixoconjugado.Sabendoqueosfocosdeumahiprbole
equilteracoincidemcomasextremidadesdoeixomenordaelipse ( ) ( )11
623612 2=++ y x. Determine a equao padro desta hiprbole.
20.Ovrticedeumaparbolacoincidecomocentrodahiprbole 0 19 14 4 7 2 :2
2= + y x y x H esuadiretrizcoincidecomoeixofocaldaelipse ( )( ) 1
241:22= + +yxE . Determine a equao padro dessa parbola.
21.Osfocosdeumaelipsecoincidemcomosvrticesdahiprbole 0 199 18 64 9
16 :2 2= + y x y x H .Sabendo-sequeaexcentricidadedaelipse igual a
31, escreva sua equao padro. Geometria Analtica: Lista de Exerccios
Atualizada em Janeiro de 2011 Pgina | 5Gabarito Questo 1. 0 ) 4 4 )
0 20 4 2 ) 1 ) 4 )2 3 2 2 2 2 2 2= ' ' = ' ' = ' ' ' + ' = ' ' = '
+ ' y x e y x d y x y x c y x b y x aQuesto 2.) 2 ; 1 ( ) 3 ; 4 (
)13) 1 ; 3 ( 4 )2 2 = '+ = ' ' = ' + ' Q e P by yx xO y x aQuesto
3. ( )( )( ) 1 4 ; 141)25 4 ; 343)9 2 ; 121)2 22 22 2= ' + ' ' = '+
= '= ' + ' ' = '+ = '= ' + ' '+ = ' = 'y x Oy yx xcy x Oy yx xby x
Oy yx xa Questo 4.) 4 ; 2 ( ) ) 4 ; 1 ( ) ) 5 ; 6 ( ) ) 2 ; 3 ( ) d
c b aQuesto 5. 4 4 )) 1 l i m ( 0 4 )6 2 3 ) 25 ) 9 )2 222 2 2 2 2
2= ' '= ' '= ' + ' = ' + ' = ' + 'y x egrau de termo o inar e
possvel foi no que observe x y dy x c y x b y x a Questo 6.0 23 8 6
,2= x y y ParbolaQuesto 7. ) 1 ( 8 ) 4 ( ) ) 1 ( 12 ) 2 ( )) 1 ( 8
) 5 ( ) ) 1 ( 8 ) 2 ( )) 3 ( 4 ) 1 ( ) ) 2 ( 8 ) 3 ( )) 1 ( 8 ) 2 (
) 16 )2 22 22 22 2 = + = + = + = + = + = = =y x h y x dx y g x y cy
x f y x bx y e x y a Questo 8. ( ) ( )( )( )( ) ( )0 5 2 : . 5 : 1
;252 ;25)1 : . 5 : 1 ; 1 1 ; 3 )2 : . 0 3 4 : 2 ;452 ; 1 )0 1 2 : .
0 1 : 3 ;211 ;21)3 : . 0 9 2 : 3 ;273 ; 4 )2 : . 0 : 2 ; 2 1 ; 2 )=
= |.|
\||.|
\|= = = = +||.|
\| = + = + |.|
\| |.|
\| = = + |.|
\| = = x F E y l F V fy F E x l F V ey F E x l F V dx F E y l F
V cy F E x l F V bx F E y l F V a Questo 9.( ) ( ) 1 ; 3 1 ; 1 R e
L Questo 10.19) 1 (25) 1 (,2 2=++ y xElipse Questo 11.112) 3 (16) 4
(,2 2=+ x yElipseGeometria Analtica: Lista de Exerccios Atualizada
em Janeiro de 2011 Pgina | 6Questo 12. 19) 3 (25) 17) 1 (16) 1
()120) 2 (45) 1 () 125) 5 (16) 3 ()2 2 2 22 2 2 2=+ =++=+=+y xdy
xby xcy xa Questo 13.( ) ( ) ( ) 1 ; 2 ;1219) 1 (4) 2 (, 5 1 ; 2 ,
5 1 ; 22 22 1Oy yx xey xF F ' = ' = '=+ +Questo 14.0 225 160 150 16
252 2= + + y x y xQuesto 15.( ) 2374 : , : 17) 4 (9) 2 (,2 2+ =
=++x y s r Assntotasy xHiprboleQuesto 16. 141) 3 (4) 1 ()19 4)
1144) 2 (25)116) 4 (9) 15) 4 (4) 3 ()15) 3 (4) 3 () 15) 3 (4) 4 ()2
22 2 2 22 2 2 22 2 2 2=+= ==+ =+=++=+x ydy xgx ycx yfy xbx yey xa
Questo 17. ( ) ( )( ) ( )6 . , 10 . .54,518: . .1 : . , 1 : . .1 ;
3 , 1 ; 5, 1 ; 4 , 1 ; 6 . )2 12 1= === = m E M E I Ve R L I I Ix N
E y F E I IF FA A I a ( ) ( )( ) ( )2 . , 4 . .25, 1 : . .1 : . , 3
: . .3 ; 5 1 , 3 ; 5 1, 3 ; 3 , 3 ; 1 . )2 12 1= == = = + m E M E I
Ve R L I I Ix N E y F E I IF FA A I c ( ) ( )( ) ( )6 . , 10 .
.54,518: . .3 : . , 2 : . .2 ; 7 , 2 ; 1, 2 ; 8 , 2 ; 2 . )2 12 1=
=== =m E M E I Ve R L I I Ix N E y F E I IF FA A I b ( ) ( )2 . , 3
. .313,34: . .9 2 : . , 1 : . .1 ; 1329, 1 ; 1329, 1 ; 3 , 1 ; 6 .
)2 12 1= === =|.|
\| |.|
\| + m E M E I Ve R L I I Ix N E y F E I IF FA A I d Questo 18.(
) ( ) 0 79 32 54 16 9 1 ; 2 , 1 ; 82 22 1= + + y x y x e F FQuesto
19.18) 1 (8) 2 (2 2=+ x y Questo 20. 2 2) 1 ( 12 ) 1 ( = y xQuesto
21.1144) 1 (128) 2 (2 2=++ y x
