UNIVERSIDADE FEDERAL DE SO JOO DEL-REI - UFSJDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA - DEPELPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA - PPGEL

3 LISTA DE EXERCCIOS DE MTODOS NUMRICOS

Aluno: Jhonathan Campos Resende Matrcula: 2015220230009 Prof. Leonidas Chaves de Resende

So Joo del-Rei, 21 de maio de 20151 QuestoConsidere a seguinte tabela que relaciona a intensidade de corrente medida num circuito eltrico em funo da tenso , por meio de :1,001,501,702,002,50

0,110,140,180,300,35

a) Construa um polinmio interpolador de Newton de 2 grau para estimar o valor da intensidade de corrente quando a tenso de 1,9V; b) Sabendo que: , onde o maior valor em mdulo das diferenas divididas de ordem , estime o erro de truncamento cometido em a). Soluo:A necessidade de obter um valor intermedirio que no consta de uma tabela ocorre comumente. Dados experimentais, tabelas estatsticas e de funes complexas so exemplos dessa situao. Interpolar uma funo consiste em aproximar essa funo por uma outra funo , escolhida entre uma classe de funes definida a priori e que satisfaa algumas propriedades. Considerando que os polinmios so as funes mais simples e estudadas, ento eles so os mais utilizados para determinar esta relao. Um polinmio construdo com o intuito de aproximar uma funo denominado polinmio interpolador. A funo ento usada em substituio funo .[footnoteRef:1] [1: CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira.Algoritmosnumricos.2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 428 p.]

a) O polinmio que interpola , em , pontos distintos, dado por:

Onde os coeficientes , acima, so diferenas divididas de ordem entre os pontos , .Para um polinmio interpolador de Newton de grau 2, precisamos somente de 3 pontos, tal que:U(V)1,702,002,50

I(A)0,180,300,35

O polinmio que interpola nos pontos dados :

Dessa forma, a tabela de diferenas divididas :U(V)Ordem 0Ordem 1Ordem 2

1,700,18

0,40

2,000,30-0,375

0,10

2,500,35

Portanto, o polinmio interpolador de Newton de 2 grau dado por:

Agrupando os termos semelhantes, temos:

Para o polinmio tem como resposta:

Portanto, quando , estima-se que a corrente seja .

b) O erro de truncamento dado por: , onde o maior valor em mdulo das diferenas divididas de ordem . Dessa forma, para calcular o erro, torna-se necessrio obter o valor da diferena dividida de ordem 3. A tabela de diferenas divididas at a ordem 3 ordem dada por:

U(V)Ordem 0Ordem 1Ordem 2Ordem 3

1,000,11

0,06

1,500,140,20

0,200,20

1,700,180,40

0,40-0,775

2,000,30-0,375

0,10

2,500,35

Para , onde o maior valor em mdulo das diferenas divididas de ordem 3, ou seja, , a inequao nos fornece a seguinte estimao de erro:

Para fins de comparao, o grfico ilustrado na Figura 1 relaciona os dados fornecidos, plotados ponto a ponto, e a resposta obtida pelo polinmio de Newton de 2 grau.

Figura 1 - Grfico comparativo entre o polinmio interpolador e os dados fornecidosO algoritmo mostrado abaixo, desenvolvido no software Matlab, realiza as operaes as operaes mostradas durante o desenvolvimento desse exerccio, bem como compara graficamente os dados fornecidos e o polinmio interpolador de Newton. clcclear allclose all %% Dados de entradaU=[1 1.5 1.7 2 2.5]; % TensoI=[0.11 0.14 0.18 0.30 0.35]; % Corrente %% Tabela de diferenas divididasTab=[U' I'];r=length(U);s=1;

for j=1:r k=0; for i=s:r-1 k=k+1; Num=Tab(i+1,j+1)-Tab(i,j+1); Den=Tab(i+1,1)-Tab(k,1); Tab(i+1,j+2)=Num/Den; end s=s+1;end %% Clculo dos coeficientes do polinmio interpoladorx0=Tab(3,1);x1=Tab(4,1);a=Tab(3,2);b=Tab(4,3);c=Tab(5,4);syms x;P=a+b*(x-x0)+c*(x-x0)*(x-x1); % Polinmio interpolador de Newtony=subs(P,x,1.9); disp(['O valor da intensidade de corrente quando a tenso de 1,9V : ',num2str(y),'A.'])disp(' ') %% Erro de truncamenton=2; % Grau do polinmio interpoladorM=max(abs(Tab(:,n+2+1)));E=(abs((1.9-1.7)*(1.9-2)*(1.9-2.5))*M)/factorial(n+1); disp(['O erro de truncamento cometido : ',num2str(E),'.'])disp(' ')

%% Comparando dados fornecidos e polinmio interpoladorplot(U,I) % Plotando grfico de UxItitle('Comparao: Dados fornecidos x Polinmio Interpolador'); % Definindo o ttulo do grficoxlabel('Tenso[V]'); % Nomeando o eixo das ordenadasylabel('Corrente[A]'); % Nomeando o eixo das abscissasgrid onhold on t = linspace(1,2.5,1000);PN=-0.375.*t.^2+1.7875.*t-1.775;plot(t,PN,'r'); % Plotando polinmio interpolador de Newton

2 QuestoA velocidade do som na gua varia com a temperatura de acordo com a tabela a seguir:Temp. (C)86,093,398,9104,4110,0

Vel. (m/s)15521548154415381532

Estime a velocidade do som na gua a uma temperatura de 100 C.Soluo:Utilizando-se um polinmio interpolador de grau 2 para estimar a velocidade do som na gua a uma temperatura de 100 C, necessrio utilizar 3 dos pontos dados. Os pontos utilizados so mostrados na tabela a seguir. Temp. (C)98,9104,4110,0

Vel. (m/s)154415381532

A tabela de diferenas divididas usando tais pontos mostrada abaixo:Temp.(C)Ordem 0Ordem 1Ordem 2

98,91544

-1,091

104,415380,001755

-1,071

1101532

Assim, o polinmio interpolador obtido dado por:

Agrupando os termos semelhantes, temos:

Para , obtm-se:

Portanto, para uma temperatura de , estima-se que a velocidade do som na gua seja de .Para fins de comparao, o grfico ilustrado na Figura 2 relaciona os dados fornecidos, plotados ponto a ponto, e a resposta obtida pelo polinmio de Newton de 2 grau.

Figura 2 - Grfico comparativo entre o polinmio interpolador e os dados fornecidosO algoritmo mostrado abaixo, desenvolvido no software Matlab, realiza as operaes as operaes mostradas durante o desenvolvimento desse exerccio, bem como compara graficamente os dados fornecidos e o polinmio interpolador de Newton. clcclear allclose all %% Dados de entradaTemp=[86 93.3 98.9 104.4 110]; % TemperaturaVel=[1552 1548 1544 1538 1532];% Velocidade %% Tabela de diferenas divididasTab=[Temp' Vel'];r=length(Temp);s=1;for j=1:r k=0; for i=s:r-1 k=k+1; Num=Tab(i+1,j+1)-Tab(i,j+1); Den=Tab(i+1,1)-Tab(k,1); Tab(i+1,j+2)=Num/Den; end s=s+1;end %% Clculo dos coeficientes do polinmio interpoladorx0=Tab(3,1);x1=Tab(4,1);a=Tab(3,2);b=Tab(4,3);c=Tab(5,4);syms x;P=a+b*(x-x0)+c*(x-x0)*(x-x1); % Polinmio interpolador de Newtony=subs(P,x,100); disp(['A velocidade do som na gua a uma temperatura de 100 C : ',num2str(y),'m/s.'])disp(' ') %% Erro de truncamenton=2; % Grau do polinmio interpoladorM=max(abs(Tab(:,n+2+1)));E=(abs((1.9-1.7)*(1.9-2)*(1.9-2.5))*M)/factorial(n+1); disp(['O erro de truncamento cometido : ',num2str(E),'.'])disp(' ') %% Comparando dados fornecidos e polinmio interpoladorplot(Temp,Vel) % Plotando grfico de UxItitle('Comparao: Dados fornecidos x Polinmio Interpolador'); % Definindo o ttulo do grficoxlabel('Temperatura[C]'); % Nomeando o eixo das ordenadasylabel('Velocidade[m/s]'); % Nomeando o eixo das abscissasgrid onhold on t = linspace(86,110,1000);PN=0.001755.*t.^2-1.4478.*t+1670.0206;plot(t,PN,'r'); % Plotando polinmio interpolador de Newton

3 Questo A curva de carga tpica de uma cidade dada pela figura:

Sejam as medidas de potncia a cada hora:HoraMWHoraMWHoraMWHoraMW

13074013421939

22883914382045

329,893315342150

4321032,516302244

533113117292340

638123918312430

Estime o consumo de energia dirio dessa cidade utilizando: a) Trapzio Composto; b) Primeira Regra de Simpson Composta; c) Segunda Regra de Simpson Composta; d) Quadratura Gaussiana; e) Compare os resultados.

Soluo:No intuito de comparar os mtodos apresentados a seguir, foi considerado que a potncia na hora zero igual potncia na hora 24, ou seja, 30MW, pois o nmero de subintervalos no Mtodo de Simpson deve ser par para a primeira regra composta e um mltiplo de 3 para a segunda regra composta. A figura 3 mostra a curva de carga tpica da cidade.

Figura 3 - Curva de carga tpica da cidadeEsse grfico foi gerado atravs do software Matlab, usando interpolao linear. A rotina utilizada para tal mostrada abaixo.clear allclose allclc %% Dados de entrada Pot=[30 30 28 29.8 32 33 38 40 39 33 32.5 31 39 42 38 34 30 29 31 39 45 50 44 40 30]; % Potncias Hora=0:1:24; % Hora %% Plotanto grfico da curva de carga tpica da cidadeplot(Hora,Pot)title('Curva de carga tpica de uma cidade'); % Definindo o ttulo do grficoxlabel('Hora [h]'); % Nomeando o eixo das ordenadasylabel('Potncia [MW]'); % Nomeando o eixo das abscissasgrid onhold on

a) O algoritmo desenvolvido no Matlab para estimar o consumo de energia dirio nessa cidade utilizando a regra dos trapzios composta mostrado a seguir.clear allclose allclc %% Dados de entrada Pot=[30 30 28 29.8 32 33 38 40 39 33 32.5 31 39 42 38 34 30 29 31 39 45 50 44 40 30]; % Potncias Hora=0:1:24; % Hora %% Regra dos Trapzios CompostaR=0;Soma=0;n=length(Pot); % Nmero de intervalos da funoh=1; % Passo de integrao

for i=1:n if (i==1||i==n) Soma=Soma+Pot(i); else Soma=Soma+2*Pot(i); end endR=(h/2)*Soma; %% Imprimindo resultadosdisp(['A estimativa de consumo de energia dirio dessa cidade utilizando a Regra dos Trapzios Composta : ',num2str(R),' MW.'])disp(' ')

A regra dos trapzios composta fornece como resultado um consumo de energia dirio de 857,3000 MW.

b) O algoritmo desenvolvido no Matlab para estimar o consumo de energia dirio nessa cidade utilizando a primeira regra de Simpson composta mostrado a seguir.clear allclose allclc %% Dados de entrada Pot=[30 30 28 29.8 32 33 38 40 39 33 32.5 31 39 42 38 34 30 29 31 39 45 50 44 40 30]; % Potncias Hora=0:1:24; % Hora %% Primeira Regra de Simpson CompostaR=0;Soma=0;n=length(Pot); % Nmero de intervalos da funoh=1; % Passo de integrao for i=1:n if (i==1||i==n) Soma=Soma+Pot(i); else k=mod(i,2); % Retorna 0 (mpar) ou 1 (par) switch k case 0 Soma=Soma+4*Pot(i); case 1 Soma=Soma+2*Pot(i); end end endR=(h/3)*Soma; disp(['A estimativa de consumo de energia dirio dessa cidade utilizando a Primeira Regra de Simpson Composta : ',num2str(R),' MW.'])disp(' ')

A primeira regra de Simpson composta fornece como resultado um consumo de energia dirio de 858,7333 MW.

c) O algoritmo desenvolvido no Matlab para estimar o consumo de energia dirio nessa cidade utilizando a segunda regra de Simpson composta mostrado a seguir.clear allclose allclc %% Dados de entrada Pot=[30 30 28 29.8 32 33 38 40 39 33 32.5 31 39 42 38 34 30 29 31 39 45 50 44 40 30]; % Potncias Hora=0:1:24; % Hora %% Segunda Regra de Simpson CompostaR=0;Soma=0;j=0;n=length(Pot); % Nmero de intervalos da funoh=1; % Passo de integrao for i=1:n if (i==1||i==n) Soma=Soma+Pot(i); else j=j+1; if j