FLEXÃO SIMPLESFLEXÃO SIMPLESEstruturas de Concreto I

Prof. Geraldo Barros

Sumário

1 Ensaio de Stuttgart1.1 Etapas do Ensaio

2 Tipos de Ruptura

3 Notações Adotadas

4 Hipóteses Básicas no Dimensionamento à Flexão Simples

5 Simplificação do Diagrama de Tensões

6 Dimensionamento

7 Tabela de Dimensionamento

8 Armadura Dupla

9 Vigas T e L

Prof. Geraldo Barros

1 Ensaio de Stuttgart

Seção Transversal

Trechos AB e CDFlexão simples com cisalhamento

Trecho BCFlexão pura

AB C

D

1.1 Etapas do Ensaio- Viga sem Fissura (Estádio I) -

O esforço de tração é absorvido totalmente pelo concreto.

D

Z

- Viga Fissurada (Estádio II) -

O esforço de tração é absorvido pelo aço.

Funcionamento do Estádio II na vizinhança do estado limite último.

D

Z

- Viga no Estado Limite Último (Estádio III) -

A zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa região está na iminência da ruptura.

D

Z

2 Tipos de Ruptura- Ruptura por flexão -

CASO I

Deficiência de aço (viga sub-armada). A ruptura se inicia pelo aço, ao ultrapassar o limite de escoamento, o que provoca grandes deformações na região tracionada, elevando a LN até o ponto que a seção comprimida inexista, dando-se a ruptura final. Diz-se que se deu uma “ruptura com aviso”.

CASO II

Deficiência do concreto (viga super-armada). Por esta deficiência, a ruptura se dará diretamente pelo esmagamento das fibras comprimidas do concreto, antes que o aço entre em escoamento, portanto, sem grandes deformações. Diz-se que é uma ruptura sem “aviso prévio”.

Representada na região A Representada na região A

Ruptura de cisalhamento por tração

É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento, resultante da deficiência da armadura transversal para resistir às tensões de tração devidas à força cortante, o que faz com que a peça tenha a tendência de se dividir em duas partes.

Ruptura de cisalhamento por esmagamento da biela

No caso de largura “bw” muito reduzida, as tensões principais de compressão podem atingir valores elevados, incompatíveis com a resistência do concreto à compressão, concomitante com a tração perpendicular (estado duplo). Tem-se, então, uma ruptura por esmagamento do concreto.

Ruptura por deficiência deancoragem no apoio

Causada pelo deslizamento da armadura, caso não seja convenientemente ancorada.

A ruptura por falha de ancoragem ocorre bruscamente, usualmente se propagando e provocando também uma ruptura ao longo da altura útil da viga.

Representada na região D.

Ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento

No caso de armadura de cisalhamento insuficiente, essa armadura pode entrar em escoamento, provocando intensa fissuração (fissuras inclinadas), com as fissuras invadindo a região comprimida pela flexão. Isto diminui a altura dessa região comprimida e sobrecarrega o concreto, que pode sofrer esmagamento, mesmo com momento fletor inferior àquele que provocaria a ruptura do concreto por flexão.

3 Notações Adotadas

Dd – resultante das tensões de compressão, na parte comprimida pela flexãoZd – resultante das forças de tração provocadas pela flexão e absorvidas pela armaduraz – braço de alavanca entre as resultantes de compressão e tração que provoca o momento resistente da seção, dado por:

(por equilíbrio estático)zZzDM ddd ´=´=

%35,0=c

s

RdM

dZ

dD

4 Hipóteses Básicas no Dimensionamento a Flexão Simples

n Dimensionamento no Estado Limite Último

n Até a ruptura as seções transversais permanecem planas (hipótese de Bernoulli), sendo, então o diagrama de deformações , uma reta (ver indicação)

n O encurtamento de ruptura do concreto é de 3,5‰, sendo o valor de cálculo da tensão limite de compressão igual a 0,85fcd, devido ao efeito Rüsch (carga de longa duração diminui resistência), para deformações a partir de 2‰. Abaixo deste valor, as tensões de compressão no concreto se darão segundo uma lei parabólica.

Hipóteses Básicas no Dimensionamento a Flexão Simples

n O alongamento máximo do aço, considerado no cálculo, será de 10‰, para se evitar deformações plásticas excessivas.

n É inteiramente desprezada, no cálculo, a resistência do concreto a tração.

Distribuição das tensões de compressão no concreto(Estado Limite Último)

5 Simplificação do Diagrama de Tensões

Seções retangulares

Obs.: A NBR 6118/03 chama de MRd ao Momento Resistente de Cálculo e de MSd ao Momento Solicitante de Cálculo. Como MRd = MSd,chamaremos aqui, ambos de Md.

6 Dimensionamento

n Por semelhança de triângulos

n Por simples substituição

dxsc

c

+= max

max

sc

cxK

+=

max

max

dKx x .=

)4,01(4,0 xKdxdz -=-= xz KK 4,01-= dKz z .=

Dimensionamento

n Por equilíbrio estático

dd DZX =\=å 0xfbxbfD cdwwcdd ..68,0.8,0.85,0 ==

2...68,0. dfKKbMdKx cdzxwdx =\=

w

d

cdzxcdzxw

d

bM

fKKfKKbM

d ´==68,0

1...68,0

w

dII b

MKd =

dkfxbzDMM zcdwdd ....68,0.0 ==\=å dKfAzZM zydsdd ´´´== .

dKfM

Azyd

ds ´´=

dM

A ds ´=

7 Tabela de Dimensionamento

cmax

(‰) s

(‰) Kx Kz fck

110 fck 135

fck 150

fck 180

fck 200

fck 220

fck 240

fck 260

CA-25 CA-40 (B)

CA-50 (B)

CA-60 (B)

0,121 0,2 10,0 0,02 0,99 65,5 4,30 0,244 0,42 10,0 0,04 0,98 32,8 4,28 0,357 0,64 10,0 0,06 0,98 22,1 4,26 0,465 0,87 10,0 0,08 0,97 16,9 4,22 0,565 1,11 10,0 0,10 0,96 13,8 4,17

0,955 2,82 10,0 0,22 0,91 7,33 3,96 0,987 3,16 10,0 0,24 0,90 6,95 3,94

1,0 3,50 10,0 0,26 0,90 6,63 3,91 1,0 3,50 9,00 0,28 0,89 6,43 3,87 1,0 3,50 8,17 0,30 0,88 6,24 3,83

1,0 3,50 4,83 0,42 0,83 5,43 3,61 1,0 3,50 4,45 0,44 0,82 5,34 3,59 1,0 3,50 4,11 0,46 0,82 5,22 3,57 1,0 3,50 3,79 0,48 0,81 5,15 3,45

( )cmb

MKd

w

dII= ( )2cm

d

MA d

s =

( )ckzx

cII fKK

K68,0

4,1=-= zsd Kk=

Tabela de Dimensionamento(Sussekind)

São desaconselhados valores muito baixos de , por significarem aço trabalhando com baixa tensão, portanto peça super-armada (anti-econômica). Neste caso, deve-se, sempre que possível, aumentar a seção de concreto ou colocar armadura para ajudar o concreto na compressão.

( )( )mb

mtMKcmd

w

dII

.)( = ( ) ( )

( )mdmtM

cmA ds ´

=.2

Exemplos

ExemplosFlexão Simples

01. Dimensionar a viga abaixo, considerando-a normalmente armada.

02. Supondo que a viga não pode ter altura útil superior a 40cm, encontre uma solução.

6 m

2 t/m

20 cm

ExemplosFlexão Simples

03. Qual a carga P máxima permitida de modo que não se tenha qualquer seção superarmada?

04. Qual seria o valor de P caso possa superarmar no limite recomendável?

2,5 m

2,5 t/mP

2,5 m

20 cm

56 cm

ExemplosFlexão Simples

05. Para uma área de aço de 12cm2, encontrar o máximo vão l possível, de modo que não se tenha qualquer seção superarmada.

06. Encontrar l podendo superarmar até Kx = 0,4. Dizer se há desperdício de material, qual e quanto.

07. Encontrar l quando As = 2cm2. Mostrar o diagrama de deformação da seção transversal da peça.

3 t/m

l

15 cm

36 cm

As

ExemplosFlexão Simples

08. Encontrar os valores máximos de a, l1 e l2, considerando que as vigas têm a seção dada. Neste caso, há material sobrando? Qual? Quanto? E em qual (is) viga (s)?

09. Considerando os limites de deformação transversal sugeridos por Sussekind, quais os novos valores de a, l1 e l2, e quais os acréscimos de aço necessários?

20 cm

56 cm

4 cm2

3 cm2

56 c

m

P1 P2

P3 P4

a l1 a

l2

V1

V2

V3

V4

V5

V6

L1 L2 L3

8 Armadura Dupla

Suponhamos um momento md superior ao valor Md que a peça suportaria pelo critério visto anteriormente. Restaria um valor M=md – Md que não poderia sobrecarregar a seção de concreto, sob pena de rompê-la. Este esforço pode ser absorvido por um binário formado por uma força de compressão Dd2 sobre a armadura As’ localizada na zona de compressão e pela força de tração Zd2 numa armação adicional na zona de tração.

c = 3,5‰

Dd1 y

Md

Zd1 Zd2

Md

Dd2

cm

Armadura Dupla

AS total de tração

f’yd = tensão de escoamento do aço à compressão

Em aços de categoria B, f’yd fyd

Em aços de categoria A, f’yd = fyd

ddd McZcD D=´=´ 22

dydS

dd

McfA

McD

D=´´

D=´

''2

yd

dS fc

MA

''

´D

=

dydS

dd

McfA

McZ

D=´´

D=´

)2(

2

yd

dS fc

MA

´D

=)2(yd

ddtotS fc

Md

MA

´D

+´

=

Exemplos

ExemplosArmadura Dupla

10. Dimensionar a viga abaixo considerando a seção transversal dada e a condição de não podermos superarmá-la em nenhuma seção.

2,5 m

2 t/m4t

2,5 m

15 cm

36 cm

As

4 cm

ExemplosArmadura Dupla

11. Considerando a viga abaixo e sua seção transversal. Pede-se:

a) Encontrar o máximo valor possível para P e l de modo a não se ter qualquer seção superarmada. Há desperdício de aço? Quanto e onde?

b) Encontrar P e l máximos, podendo usar todos os recursos conhecidos até então. Há desperdício de aço? Quanto e onde?

Sugestão: Refazer a questão iniciando pelo binário aço-aço.

20 cm

36 cm

8 cm2

5 cm2

4 cm

4 cm

3 t/m

l2m 2m

P P

9 Vigas T e L

Piso de um edifício comum – Laje apoiando-se em vigas

Nervura ou alma

Mesa

x

Largura da Mesa Colaborante(14.6.2.2)

a = distância entre momentos nulos na viga

Valores de a

a = distância entre pontos de momento nulo, medida ao longo do eixo da viga, em cada tramo, podendo ser obtida diretamente do diagrama de momentos fletrores, ou pelos seguintes valores, dados pela norma:

a = l a = 0,75l a = 0,6l

Vigas T e L

CASO 1: LN cai na mesa a viga é calculada normal para as dimensões bf e d.CASO 2: LN cai na nervura leva-se em consideração a compressão desta.

Obs.:

1. Quando houver carga concentrada sobre a viga, multiplica-se “bf” pelo

coeficiente , sendo:

Mc = momento devido à carga concentrada

Mmax = momento total

2. Armação de costura (estribos horizontais na mesa)

max1MMc-

mcmbb

AAf

swt

sw /5,11cos ³=

Domínios de deformações das seções no Estado Limite Último

Exemplos

ExemplosSeção T

12. Dimensionar a viga 4, usando a contribuição de ambas as lajes.

13. Limitando d = 46cm, dimensione novamente a viga 4.

cmb

mtq

cmh

w

V

lajes

20

/3

10

4

=

=

=

2,5m 2,5m

6m

P1 P2

P3 P4

L1 L2

V1

V2

V3

V4

V5

14. Considerando a seção V3 dada, pede-se a máxima carga admissível para V3 de modo a não superarmá-la. Há desperdício de aço?

Obs.: Usar todas as possibilidades aprendidas.

ExemplosSeção T

20 cm

3 cm2

4 cm

4 cm4 cm

32 cm

Asw,cost

12 cm2