5- Variáveis aleatórias contínuas

2

• Para variáveis aleatórias contínuas, atribuímos probabilidades a

intervalos de valores.

Exemplo 5.1 – Seja a variável correspondente ao tempo de vida útil de

determinado equipamento. Neste caso, vamos associar probabilidades,

por exemplo, a um tempo de vida inferior a 15 dias, superior a dois meses,

entre 7 e 30 dias...

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• O gráfico da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória

contínua é uma curva, tal que a área sob a curva, para um intervalo de

valores de interesse, represente a probabilidade de um resultado nesse

intervalo.

Exemplo 5.2 – Vamos admitir que o tempo (em dias) até a cura de

pacientes submetidos ao tratamento tenha sua distribuição de

probabilidades conforme o gráfico apresentado a seguir:

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Tempo até a cura (dias)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

P(40<X<60)=0,22 (22% da área)

P(X>100)=0,09 (9% da área)

Figura 5.1 – Distribuição de probabilidades para o tempo até a cura.

5

• A função que associa probabilidades a intervalos de valores de

variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de

probabilidades, denotada por ( )xf e definida no conjunto dos reais,

satisfazendo:

o ( ) ℜ∈∀≥ xxf ,0 ;

o ( )∫∞∞−

dxxf ;

o ( ) ( )∫=<< b

adxxfbXaP .

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• Probabilidades podem ser obtidas, com base na função densidade de

probabilidade:

o Com base na determinação da área de formas geométricas conhecidas;

o Calculando a integral analiticamente;

o Usando aproximações numéricas, quando a solução analítica não é

possível;

Nota – Algumas variáveis aleatórias contínuas têm suas probabilidades

tabeladas ou disponíveis em softwares estatísticos.

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Exemplo 5.3 – Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água,

os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC

produzidos. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são

submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento,

cuja distância a uma das extremidades (fixada a priori) é anotada. Escolhe-

se um tubo ao acaso para ser inspecionado.

Vamos denotar por X a variável aleatória que indica a distância

correspondente ao vazamento. Vamos admitir iguais probabilidades em

todos os pontos.

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a) Apresente a função densidade de probabilidade de X . Esboce o

correspondente gráfico;

b) Qual a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a um

metro da extremidade de referência?

c) Qual a probabilidade de que o vazamento esteja a mais de um metro

de qualquer uma das extremidades?

Nota – Para uma variável aleatória contínua, ( ) 0== xXP , para qualquer

ℜ∈x , de tal forma que ( ) ( )aXPaXP <=≤ , ( ) ( )bXPbXP >=≥ ,

( ) ( )dXcPdXcP ≤≤=<< ...

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Exemplo 5.4 – Em condições urbanas, a quilometragem alcançada por

automóveis de determinado modelo e ano é uma variável aleatória X que

tem a seguinte função densidade de probabilidade:

( )

≤≤−

<≤−

=

.,0

220200,400

220

200180,400

180

parteoutraem

xparax

xparax

xf .

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a) Esboce o gráfico da função densidade de probabilidade;

b) Abastecido o tanque de um automóvel deste modelo, qual a

probabilidade dele rodar menos de 195km? E mais de 205 km?

c) Qual a probabilidade dele rodar entre 195 e 205km?

d) Qual a distância a ser percorrida tal que a probabilidade de haver

combustível suficiente para o percurso seja igual a 0,05?

e) Determine (e interprete) os quartis de X .

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Exemplo 5.5 – Dizemos que uma variável aleatória contínua X segue o

modelo probabilístico exponencial, com parâmetro 0≥α , se sua função

densidade de probabilidade for dada por:

( ) >=

−

contráriocaso

xexf

x

,0

0,αα.

Como propriedades da distribuição exponencial, a variável aleatória X

tem média α/1 e variância 2/1 α .

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x

f(x)

0

α

Figura 5.2 – Gráfico da função densidade exponencial.

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Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação continuamente. O

tempo de vida dessas lâmpadas é modelado pela distribuição exponencial, com média de

8.000 horas.

a) Se a empresa for empregada a ressarcir lâmpadas com duração inferior a 50 horas,

qual proporção de lâmpadas dará direito a ressarcimento?

b) Qual deveria ser o tempo limite de forma que apenas duas a cada 1000 lâmpadas

dessem ao consumidor direito de ressarcimento?

c) Qual a probabilidade de uma lâmpada dessas funcionar por mais de 1000 horas?

d) Se um sistema de iluminação fosse composto por três lâmpadas instaladas em série,

qual a probabilidade do sistema funcionar após 1000 horas? E se as lâmpadas

compusessem um sistema em paralelo?

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A distribuição normal de probabilidades

• Há um grande número de variáveis aleatórias contínuas cujas

distribuições de probabilidades são simétricas e têm a forma

aproximada de um sino.

• O modelo probabilístico normal permite descrever adequadamente as

distribuições de probabilidades de tais variáveis.

• Adicionalmente, há diversas técnicas de inferência estatística que se

baseiam na distribuição normal de probabilidades.

15

Escores

Den

sida

de

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 5.3 – Histograma para escores de 100 indivíduos com a curva do

modelo normal sobreposta.

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• Cada distribuição normal é especificada por dois parâmetros: a média

(denotada por µ ) e o desvio padrão (denotado por σ ).

• A Figura 5.4 apresenta as curvas da distribuição Normal para

diferentes valores de µ (acima) e σ (abaixo).

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-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

(a)x

f X(x

)µ=-3, σ2=1µ=0, σ2=1µ=3, σ2

=1

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

(b)x

f X(x

)

µ=0, σ2=1µ=0, σ2=4µ=0, σ2=9

Figura 5.4 - Curvas da distribuição Normal para diferentes valores de µ

(acima) e σ (abaixo)

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• Se a variável aleatória X tem distribuição normal de média µ e

desvio padrão σ (para quaisquer valores de µ e σ ), então:

o Há uma probabilidade de 0,68 de se observar um valor de X que não

se afaste por mais de um desvio padrão da média;

o Há uma probabilidade de 0,95 de se observar um valor de X que não

se afasta por mais de dois desvios padrões da média;

o Há uma probabilidade de 0,997 de se observar um valor de X que

não se afasta por mais de três desvios padrões da média.

19

Figura 5.5 – Propriedades da distribuição normal.

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• O cálculo de probabilidades para variáveis aleatórias com distribuição

normal baseia-se, como para as demais variáveis aleatórias contínuas, na

área sob a curva da função densidade de probabilidade:

f(x) f a b

Figura 5.6 – Ilustração de ( )bXaP ≤≤ para uma variável aleatória normal.

21

• O modelo matemático correspondente à distribuição normal é bastante

complexo e a obtenção de probabilidades a partir dele exige o uso de

métodos de aproximação numérica, que fogem do escopo desta

disciplina.

• Por meio do uso de softwares estatísticos, tais probabilidades podem ser

obtidas facilmente.

• As referências de Estatística Básica apresentam tabelas com

probabilidades correspondentes a uma distribuição normal de média

igual a zero e desvio padrão igual a um (distribuição normal padrão).

22

Figura 5.7 – Parte da tabela de probabilidades da distribuição normal padrão.

23

• Como usar a tabela da distribuição normal padrão:

• A tabela fornece probabilidades do tipo ( ) pzZP =≤ , onde Z representa

a variável com distribuição normal padrão e z é um valor real qualquer

da variável.

• Os valores da variável (z) estão representados na lateral esquerda (parte

inteira e primeiro decimal) e no topo (segundo decimal) da tabela;

• A probabilidade correspondente (p) pode ser encontrada no interior da

tabela, no cruzamento da linha e da coluna associados ao valor de z.

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• Cuidado! Em outras referências, você pode encontrar tabelas que

apresentam diferentes áreas (e diferentes probabilidades,

consequentemente), como a área à esquerda de um valor z ( ( )zZP ≥ ) ou

á área entre zero e um valor positivo z ( ( )zZP ≤<0 ).

• O importante é que, independente da probabilidade apresentada na

tabela, as demais probabilidades são deduzidas facilmente.

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Figura 5.8 – Gráficos da distribuição normal padrão com

probabilidades usualmente disponibilizadas em tabelas: ( )zZP ≤ (à

esquerda), ( )zZP ≥ (ao centro) e ( )zZP ≤<0 (à direita).

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Exemplo 5.6 – Vamos treinar o uso da tabela da distribuição Normal.

Suponha que a diferença dos diâmetros de parafusos produzidos com

relação ao diâmetro especificado no projeto (em mm) seja uma variável

aleatória Z com distribuição Normal de média zero e desvio padrão igual a

um. Com base nas probabilidades apresentadas na tabela, responda aos

seguintes itens:

a) Qual proporção dos parafusos produzidos tem diâmetro inferior à

especificação? E superior?

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b) Qual a probabilidade do diâmetro de um parafuso selecionado

aleatoriamente dessa produção exceder o diâmetro especificado em

mais de 1,5mm? E de não exceder por mais de 1,5mm?

c) Qual a probabilidade do diâmetro de um parafuso selecionado

aleatoriamente dessa produção ser inferior ao diâmetro especificado em

mais de 1,5mm? Utilize algum resultado do item anterior.

d) Calcule ( )75,0≤ZP ?

e) Qual proporção dos parafusos produzidos tem diâmetro num intervalo

de 1 desvio padrão (1mm) do diâmetro especificado no projeto? O

mesmo para 2 e 3 desvios padrões;

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f) Para 30% dos parafusos produzidos, a diferença entre o diâmetro

verificado e o especificado pelo projeto é inferior a 1z . Qual o valor de

1z ?

g) Para 1% dos parafusos produzidos, a diferença entre o diâmetro

verificado e o especificado pelo projeto é superior a 2z . Qual o valor de

2z ?

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• Questão: Como obter probabilidades para uma variável aleatória X com

distribuição normal diferentes da normal padrão (com média µ e desvio

padrão σ quaisquer?).

• O seguinte resultado permite transformar a variável X em uma nova

variável Z , com distribuição normal padrão, e usar a tabela que

dispomos para calcular probabilidades para X .

Resultado – Se X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão

σ , então σ

µ−= XZ tem distribuição normal padrão.

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• Com base no resultado apresentado, pode-se obter uma probabilidade

para Z equivalente a qualquer probabilidade desejada para X .

Exemplo 5.7 – Suponha que para X com distribuição normal de média µ e

desvio padrão σ desejamos calcular a probabilidade ( )aXP ≤ , sendo a

uma constante qualquer. Então:

( )

−≤=

−≤−=≤σ

µσ

µσ

µ aZP

aXPaXP ,

sendo que a probabilidade apresentada à direita pode ser obtida da tabela da

distribuição Normal padrão.

31

o Assim, se a variável X tem distribuição Normal com média 100=µ e

desvio padrão 20=σ , então, a título de exemplo:

( ) ( ) 16,0120

1008080 =−≤=

−≤−=≤ ZPX

PXPσ

µ,

conforme pode ser verificado na Figura 5.9.

32

x

Dens

idad

e

20 40 60 80 100 120 140 160 180

P(X<80)=0,16

z

Dens

idad

e-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(Z<-1)=0,16

Figura 5.9 – Equivalência de ( )80<XP e ( )1−<ZP .

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Exemplo 5.8 – O Índice de Desenvolvimento Mental (MDI) - Escalas de

Desenvolvimento Infantil de Bayley – é uma medida padronizada usada em

estudos com crianças de alto risco. Este índice, na população em que se

aplica, tem distribuição aproximadamente normal, com média 100 e desvio

padrão 16.

a) Qual proporção das crianças tem MDI de no máximo 75?

b) Qual proporção das crianças tem MDI superior a 120?

c) Qual proporção das crianças tem MDI entre 80 e 110?

d) Qual o escore de MDI correspondente ao percentil 0,9?

e) Determine (e interprete) os quartis correspondentes à distribuição dos

MDIs.